1.4 练习1　充分条件与必要条件 同步练 2026-2027学年高中数学 高一上学期 人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“充分条件与必要条件”同步练，以“基础概念辨析—简单综合应用—复杂情境探究”分层，覆盖从单一到综合的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|充分、必要条件定义|直接判断选择题，巩固概念| |中档层|集合、不等式与条件结合|多选题与简单解答题，培养推理能力| |提升层|参数范围、实际情境应用|电路图分析与开放性问题，发展模型意识|

1.4 练习1　充分条件与必要条件 1. 若a是实数，则a＞2的一个必要条件是(　 　) A. a＞3 B. a＜1 C. a＜5 D. a＞1 2. 若集合A＝{0，m2}，B＝{1，2}，则“m＝1”是“A∪B＝{0，1，2}”的(　 　) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. “a＋b是偶数”是“a和b都是偶数”的(　 　) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知实数a，b，c，则“b2＝ac”是“”的(　 　) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若不等式－a＜x＜a成立的一个充分条件为0＜x＜1，则实数a的取值范围是(　 　) A. 0＜a≤1 B. 0＜a＜1 C. a≥1 D. a＞1 6. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　 　) A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C. 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 7. 已知a，b∈R，则“ab＝0”的一个充分条件是(　 　) A. a－b＝0 B. a＋b＝0 C. a2－b2＝0 D. a2＋b2＝0 8. (多选)下列命题中，p为q的充分条件的是(　 　) A. p：a是无理数，q：a2是无理数 B. p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C. p：x＞2，q：x≥1 D. p：a＞b，q：ac2＞bc2 9. (多选)( 2024·嘉兴一中高一检测)下列条件中，是x＞3的必要条件，但不是充分条件的为(　 　) A. x＞0 B. x≥2 C. x≥3 D. x＞5 10. (2024·嘉兴一中高一检测)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的　 　条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分也不必要”).  11. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的　 　.  (2)“△ABC≌△A'B'C'”是“△ABC∽△A'B'C'”的　 　.  12. (2025·江苏高一阶段检测)设命题p：x∈A＝{x|－1＜x＜3}，命题q：x∈B＝{x|2－a＜x＜2＋a}，若p是q成立的必要条件，则实数a的取值范围是　 　.  13. 判断下列各题的p是q的什么条件. (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 14. (2024·台州一中高一期中) 已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}. (1)若A∩B＝⌀，求实数m的取值范围； (2)若p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 15. 某校高一年级为丰富学生的课外生活，提高学生的探究能力，开设了一些社会活动小组.甲、乙两组同学在参加的社团活动中，设计了如下两个电路图，并根据在数学课上所学的有关充分条件与必要条件的知识，提出了下面两个问题： ①　　 ② (1)①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? (2)②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? 请根据所学知识解答上述两个问题. 16. (2024·山东东营一中高一检测)从①{x|a－1≤x≤a}，②{x|a≤x≤a＋2}，③{x|≤x≤＋3}这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的a存在，求出a的值；若a不存在，请说明理由. 已知集合A＝　 　，B＝{x|1≤x≤3}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，求实数a的取值范围.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 练习1　充分条件与必要条件 1. 若a是实数，则a＞2的一个必要条件是(　D　) A. a＞3 B. a＜1 C. a＜5 D. a＞1 【解析】a＞2⇒a＞1. 2. 若集合A＝{0，m2}，B＝{1，2}，则“m＝1”是“A∪B＝{0，1，2}”的(　A　) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】当A∪B＝{0，1，2}时，m2＝1，或m2＝2，解得m＝±1，或m＝±，∴“m＝1”是“A∪B＝{0，1，2}”的充分条件但不是必要条件. 3. “a＋b是偶数”是“a和b都是偶数”的(　B　) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】∵当a＋b为偶数时，a，b都可以为奇数，∴“a＋b是偶数” ⇒/ “a和b都是偶数”，显然“a和b都是偶数”⇒“a＋b是偶数”，∴“a＋b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件. 4. 已知实数a，b，c，则“b2＝ac”是“”的(　B　) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】由可得b2＝ac，反之不成立，如当b＝c＝0时，满足b2＝ac，但 不成立，故“b2＝ac”是“”成立的必要条件. 5. 若不等式－a＜x＜a成立的一个充分条件为0＜x＜1，则实数a的取值范围是(　C　) A. 0＜a≤1 B. 0＜a＜1 C. a≥1 D. a＞1 【解析】由题意可得{x|0＜x＜1}⊆{x|－a＜x＜a}，∴－a＜0，且a≥1，解得a≥1. 6. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　A　) A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C. 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【解析】∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲.又丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙 ⇒/ 丙，如图.综上，有丙⇒甲，但甲 ⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件. 7. 已知a，b∈R，则“ab＝0”的一个充分条件是(　D　) A. a－b＝0 B. a＋b＝0 C. a2－b2＝0 D. a2＋b2＝0 【解析】对于A，a－b＝0，即a＝b，∵a，b∈R，∴ab＝0不一定成立，A错误；对于B，a＋b＝0，即a＝－b，∵a，b∈R，∴ab＝0不一定成立，B错误；对于C，a2－b2＝0，即|a|＝|b|，∵a，b∈R，∴ab＝0不一定成立，C错误；对于D，a2＋b2＝0，即则ab＝0成立，D正确. 8. (多选)下列命题中，p为q的充分条件的是(　BC　) A. p：a是无理数，q：a2是无理数 B. p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C. p：x＞2，q：x≥1 D. p：a＞b，q：ac2＞bc2 【解析】A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，∴p不是q的充分条件；B中，∵等腰梯形的对角线相等，∴p是q的充分条件；C中，x＞2⇒x≥1，∴p是q的充分条件；D中，当c＝0时ac2＝bc2，∴p不是q的充分条件. 9. (多选)( 2024·嘉兴一中高一检测)下列条件中，是x＞3的必要条件，但不是充分条件的为(　ABC　) A. x＞0 B. x≥2 C. x≥3 D. x＞5 【解析】由x＞3，可令集合M＝{x|x＞3}，结合选项可得集合{x|x＞0}，{x|x≥2}，{x|x≥3}都真包含M，∴x＞0，x≥2，x≥3都是x＞3的必要条件，但不是充分条件. 10. (2024·嘉兴一中高一检测)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的　充分　条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分也不必要”).  【解析】若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD为菱形”不一定成立. 11. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的　必要条件　.  (2)“△ABC≌△A'B'C'”是“△ABC∽△A'B'C'”的　充分条件　.  【解析】(1)∵ax2＋bx＋c＝0有实根，∴Δ＝b2－4ac≥0，ac＜0不一定成立；当ac＜0时，Δ＝b2－4ac≥0一定成立，∴“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的必要条件. (2)△ABC≌△A'B'C'⇒△ABC∽△A'B'C'，△ABC∽△A'B'C' ⇒/ △ABC≌△A'B'C'，∴“△ABC≌△A'B'C'”是“△ABC∽△A'B'C'”的充分条件. 12. (2025·江苏高一阶段检测)设命题p：x∈A＝{x|－1＜x＜3}，命题q：x∈B＝{x|2－a＜x＜2＋a}，若p是q成立的必要条件，则实数a的取值范围是　(－∞，1]　.  【解析】∵p是q成立的必要条件，∴q⇒p，∴B⊆A.当B为空集时，满足题意，此时2－a≥2＋a，即a≤0；当B不为空集，即a＞0时，∵B⊆A， ∴ a≤1，∴0＜a≤1.综上，a的取值范围是a≤1. 13. 判断下列各题的p是q的什么条件. (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解：(1)∵x2＝2x＋1 ⇒/ x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要 条件. (2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0 ⇒/ a2＋b2＝0，∴p是q的充分 条件. (3)在△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即p ⇒/ q，且q⇒p，∴p是q的必要条件. (4)画出Venn图(如图所示). 结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA，反之也成立，∴p是q的充分条件，且p是q的必要条件. 14. (2024·台州一中高一期中) 已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}. (1)若A∩B＝⌀，求实数m的取值范围； (2)若p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 解：(1)①当B＝⌀时，2m≥1－m，解得m≥，满足题意；②当B≠⌀时，若A∩B＝⌀，则或解得0≤m＜.综上所述，实数m的取值范围是m≥0. (2)若p是q的充分条件，则A⊆B，∴解得m≤－2，∴实数m的取值范围是m≤－2. 15. 某校高一年级为丰富学生的课外生活，提高学生的探究能力，开设了一些社会活动小组.甲、乙两组同学在参加的社团活动中，设计了如下两个电路图，并根据在数学课上所学的有关充分条件与必要条件的知识，提出了下面两个问题： ①　　 ② (1)①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? (2)②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? 请根据所学知识解答上述两个问题. 解：(1)充分条件.(2)必要条件. 16. (2024·山东东营一中高一检测)从①{x|a－1≤x≤a}，②{x|a≤x≤a＋2}，③{x|≤x≤＋3}这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的a存在，求出a的值；若a不存在，请说明理由. 已知集合A＝　　　　，B＝{x|1≤x≤3}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，求实数a的取值范围.  解：由题意知，A不为空集，B＝{x|1≤x≤3}.当选条件①时，∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，∴A⫋B，或解得2≤a≤3，∴实数a的取值范围是{a|2≤a≤3}. 当选条件②时，∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，∴A⫋B.∵且等号不能同时取得，∴不存在a的值满足题意. 当选条件③时，∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，∴A⫋B，或该不等式组无解，故不存在a的值满足题意. 学科网（北京）股份有限公司 $