专题25.2.3 因式分解法解一元二次方程（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦因式分解法解一元二次方程核心知识点，系统梳理提公因式、公式法、十字相乘法等具体方法，延伸至换元法整体代换，构建从基础分解到灵活选法的递进学习支架，衔接解一元二次方程的完整方法体系。 资料通过分层知识点（基础到拓展）、题型示例与中考链接结合，培养学生数学思维中的推理能力和运算能力，借助换元法模型转化复杂问题，提升数学语言表达与创新意识，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

专题25.2.3 因式分解法解一元二次方程 教学目标 1.掌握因式分解法解一元二次方程。 2.掌握换元法解方程，并能够利用换元法求相关式子的值。 3.掌握解一元二次方程的所有方法，能够根据不同的一元二次方程选择合适的方法熟练进行求解。 教学重难点 1.重点 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）换元法解方程或求值； 2.难点 （1）因式分解法中利用十字相乘法解一元二次方程； （2）换元法的应用及解绝对值方程。 知识点01 因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法的定义 解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若，则＝ 或＝ 。 2.因式分解具体方法 ①提公因式法： ； ②逆用公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 3.因式分解法解一元二次方程的步骤 ①移项：将方程的右边化为0； ②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式； ③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 【即学即练】 1．如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（ ） A． B． C． D． 2．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 3．分解因式：（ ） A． B． C． D． 4．下列各式计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 5．用因式分解法解方程 （1）解方程： （2）解方程：． （3）解方程：． 知识点02 换元法解一元二次方程 换元法解方程 在因式分解中，把多项式中某些部分看作 ，用一个新的字母代替（即 ），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式． 解：设， 【即学即练】 6．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 7．我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A． B． C． D． 8．若，则_____． 9．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为___________． 知识点03 灵活选用合适的方法解一元二次方程 1.解一元二次方程的基本思路 先将二次方程化为 ，即降次，再分别解两个一次方程。 2.解一元二次方程方法的特点 （1）配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程； （2）因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0； （3） 、 适用于 一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便。 方法 特点 举例 直接开方法 解一元二次方程最简单的方法.若方程可化为的形式,则宜选用直接开平方法求解 配方法 解一元二次方程最基本的方法,它适用于解所有的一元二次方程.配方法要先配方,再降次.通过配方法可以推出求根公式 公式法 解一元二次方程最通用的方法,它适用于解所有的一元二次方程.公式法是直接利用求根公式解方程 因式分解法 解一元二次方程较简单的方法.当方程的一边为0,另一边易化为两个一次因式的积时,就可优先选用因式分解法求解 【即学即练】 10．分别用公式法和因式分解法解方程． 11．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)（用公式法）； (4)． 题型01 用因式分解法解一元二次方程 【典例1】用因式分解方法解方程：． （1）考查方向：选择合适的因式分解方法将一元二次方程降次求解。常见包括：提公因式法解方程、平方差公式解方程、完全平方公式解方程、十字相乘法解方程等。 （2）核心方法：移项化零—分解因式—转化为两个一元一次方程—分别求解。 【变式1】用因式分解法解方程时，因式分解结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排乱的解题过程： ①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x1＝﹣1，x2＝6，④（x＋1）（x﹣6）＝0 （1）解题步骤正确的顺序是　 　； （2）请用因式分解法解方程：（x＋3）（x﹣1）＝12 【中考链接】阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法. （1）二次项系数； （2）常数项 验算：“交叉相乘之和”； ；；； （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：_________． 题型02 用换元法整体代换解方程 【典例1】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：发现方程中反复出现的整体结构，通过设元将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程。 （2）核心方法：换元法的本质是“整体代换、降次转化”；解出新未知数后，再代回原设元式继续求解；注意换元后要根据原整体的取值范围进行检验。 【变式1】解方程，令，则原方程变为_______． 【变式2】若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是__________． 【变式3】我们在求解一元二次方程时将其降次转化为一次方程进行求解．降次的方法教科书中介绍了两种：一种是开平方，另一种是因式分解．其实，降次的方法不止这两种，例如：解方程时，通过设将方程化为，从而将一元四次方程转化为一元二次方程，通过解这个一元二次方程，求得原方程的解，这种方法称为换元法．利用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【中考链接1】在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】若，则_______． 题型03 选择适当方法解一元二次方程 【典例1】选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． （1）考查方向：根据一元二次方程的结构特点，灵活选择直接开方法、配方法、公式法或因式分解法进行求解。 （2）核心方法：能直接开方则直接开方，能因式分解则因式分解，不易分解时用公式法或配方法。 【变式1】用两种方法求解方程： 方法一： 方法二： 【变式2】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【中考链接】选择适当的方法解下列方程：； 题型04 解含绝对值的方程 【典例1】阅读下面的材料： 例：解方程． 解：分两种情况讨论： ①当时，原方程为． 解得，（不合题意，舍去）； ②当时，原方程为． 解得，（不合题意，舍去）． 综上，原方程的根是． 请参照例题，解方程：． （1）考查方向：根据绝对值的意义，将含绝对值的一元二次方程转化为普通的一元二次方程求解。 （2）核心方法：分类去绝对值—解普通方程—代回检验—写出最终解。 【变式1】解方程： (1)． (2)． 【中考链接】“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x﹣＝0，就可利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题： （1）填空：若，则的值为　 　； （2）直接写出方程的根； （3）解方程：2﹣8＝0． A组·基础过关 1．方程的根是__________． 2．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 3．已知方程的解是或，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 4．新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 5．解方程：． B组·能力提升 6．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 7．我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 8．等腰三角形的两条边长是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．14 C．10或14 D．不能确定 9．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 10．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． C组·拓展延伸 11．已知实数，满足，，且，则的值是（ ） A．4 B．12 C．0 D．4或12 12．已知是实数，且满足，则的值为（ ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 13．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题： （1）方程的解是，______，______； （2）求方程的解； 拓展： （3）用“转化”思想求方程的解． 14．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 15．阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0①，解得y1=1，y2=4． 当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2； ∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用什么方法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6=0． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2.3 因式分解法解一元二次方程 教学目标 1.掌握因式分解法解一元二次方程。 2.掌握换元法解方程，并能够利用换元法求相关式子的值。 3.掌握解一元二次方程的所有方法，能够根据不同的一元二次方程选择合适的方法熟练进行求解。 教学重难点 1.重点 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）换元法解方程或求值； 2.难点 （1）因式分解法中利用十字相乘法解一元二次方程； （2）换元法的应用及解绝对值方程。 知识点01 因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法的定义 解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若，则＝ 0 或＝ 0 。 2.因式分解具体方法 ①提公因式法： ； ②逆用公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 3.因式分解法解一元二次方程的步骤 ①移项：将方程的右边化为0； ②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式； ③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 【即学即练】 1．如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与因式分解，由和是方程的两个根可得，进而可得，即可求解，掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴， 即， ∴多项式可以分解因式为， 故选：． 2．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，通过观察第二项中的可转化为，从而与第一项形成公因式，提取公因式后进一步分解即可． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 3．分解因式：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式继续进行因式分解． 【详解】解：． 故选：A． 4．下列各式计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，因式分解，根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，因式分解的运算法则逐项计算，即可判断． 【详解】解：解：A、与不是同类项，故不能合并，故A不符合题意； B、，原计算错误，故B不符合题意； C、，原计算错误，故C符合题意； D、，原计算正确，故D符合题意． 故选：D． 5．用因式分解法解方程 （1）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用平方差公式进行因式分解计算即可． 【详解】解：， ， 或， ，． （2）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键． 用因式分解法解方程即可． 【详解】解：分解因式，得， 或， 解得，． （3）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴ 知识点02 换元法解一元二次方程 换元法解方程 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式． 解：设， 【即学即练】 6．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，复杂问题简单化，变得容易处理． 直接把换成y，整理即可． 【详解】解：已知分式方程， 设， 则原方程化为， 故选：D． 7．我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果． 【详解】把方程看作关于的一元二次方程， ∴或， ∴． 故选D． 8．若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了换元法解方程及非负数的性质，解题的关键是通过换元将方程转化为一元二次方程，再结合的非负性求解． 【详解】解：设（），则原方程化为， 因式分解得， 解得或， 又，故，即． 故答案为：． 9．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为___________． 【答案】2 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，此题实际上求的值．设，将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值即可． 【详解】解：设，则由原方程，得 ， 整理，得 ， 解得或（舍去）． 则， ∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长， ∴这个直角三角形的斜边长为． 故答案为：2． 知识点03 灵活选用合适的方法解一元二次方程 1.解一元二次方程的基本思路 先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程。 2.解一元二次方程方法的特点 （1）配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程； （2）因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0； （3）配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便。 方法 特点 举例 直接开方法 解一元二次方程最简单的方法.若方程可化为的形式,则宜选用直接开平方法求解 配方法 解一元二次方程最基本的方法,它适用于解所有的一元二次方程.配方法要先配方,再降次.通过配方法可以推出求根公式 公式法 解一元二次方程最通用的方法,它适用于解所有的一元二次方程.公式法是直接利用求根公式解方程 因式分解法 解一元二次方程较简单的方法.当方程的一边为0,另一边易化为两个一次因式的积时,就可优先选用因式分解法求解 【即学即练】 10．分别用公式法和因式分解法解方程． 【答案】， 【分析】利用公式法和因式分解法分别求解一元二次方程即可． 【详解】解：公式法：原方程可化为， ∵a＝3，b＝－14，c＝16， ∴＝＝4＞0， ∴x＝＝， ∴原方程的根为，； 因式分解法：原方程可化为＝0， ∴（2－x）（3x－8）＝0， ∴2－x＝0或3x－8＝0， ∴原方程的根为，． 11．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)（用公式法）； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用因式分解法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可； （3）将方程化为一般式，利用公式法进行求解即可； （4）利用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得； （2）， ， ， ， 或， 解得； （3）， ， ， ， ， 解得； （4）， ， ， 解得． 题型01 用因式分解法解一元二次方程 【典例1】用因式分解方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解： 解：， ∴或， ∴，． （1）考查方向：选择合适的因式分解方法将一元二次方程降次求解。常见包括：提公因式法解方程、平方差公式解方程、完全平方公式解方程、十字相乘法解方程等。 （2）核心方法：移项化零—分解因式—转化为两个一元一次方程—分别求解。 【变式1】用因式分解法解方程时，因式分解结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C 【变式2】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 或， ，； （2）解：∵， ∴， ∴， 或， ，； （3）解：∵， ∴， 即， 或， ，； （4）解：∵， ∴， 或， ，． 【变式3】用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排乱的解题过程： ①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x1＝﹣1，x2＝6，④（x＋1）（x﹣6）＝0 （1）解题步骤正确的顺序是　 　； （2）请用因式分解法解方程：（x＋3）（x﹣1）＝12 【答案】（1）②④①③；（2）x1＝﹣5，x2＝3 【分析】（1）先移项，再利用十字相乘法将等式左边因式分解，继而得出两个一元一次方程，解之即可得出答案； （2）先整理为一般式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）∵x2﹣5x＝6， ∴x2﹣5x﹣6＝0， ∴（x＋1）（x﹣6）＝0， 则x＋1＝0或x﹣6＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝6， 故答案为：②④①③； （2）∵（x＋3）（x﹣1）＝12， ∴x2＋2x﹣15＝0， 则（x＋5）（x﹣3）＝0， ∴x＋5＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝﹣5，x2＝3. 【中考链接】阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法. （1）二次项系数； （2）常数项 验算：“交叉相乘之和”； ；；； （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：_________． 【答案】（x+3）（3x﹣4）． 【分析】根据题意利用十字相乘解题即可． 【详解】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）． 题型02 用换元法整体代换解方程 【典例1】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程中的x2+x用y进行替换，就可以得到y2+y=6，移项即可得解． 【详解】把x2+x整体代换为y， y2+y=6， 即y2+y−6=0. 故选:A. （1）考查方向：能否发现方程中反复出现的整体结构，并通过设元将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程。 （2）核心方法：换元法的本质是“整体代换、降次转化”；解出新未知数后，再代回原设元式继续求解；注意换元后要根据原整体的取值范围进行检验。 【变式1】解方程，令，则原方程变为_______． 【答案】 【分析】根据题意，将代入原方程即可求解． 【详解】解：由原方程，得 ， 将代入得，， 故答案为：． 【变式2】若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是__________． 【答案】， 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键； 把看成一个整体，根据方程的解，解方程即可． 【详解】令，则方程可化为， 关于的方程的解是，， 或， 解得，． 故答案为：，． 【变式3】我们在求解一元二次方程时将其降次转化为一次方程进行求解．降次的方法教科书中介绍了两种：一种是开平方，另一种是因式分解．其实，降次的方法不止这两种，例如：解方程时，通过设将方程化为，从而将一元四次方程转化为一元二次方程，通过解这个一元二次方程，求得原方程的解，这种方法称为换元法．利用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】（1）根据换元思想，设，则或，由此即可求解； （2）设，则或，由此即可求解． 【详解】（1）解：（1）设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴，， 当时，，此时方程无解， ∴原方程的解是，． （2）解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，． ∴原方程的解是，，，． 【中考链接1】在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案. 【详解】解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 【中考链接2】若，则_______． 【答案】6 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 题型03 选择适当方法解一元二次方程 【典例1】选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）先移项，再根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ． （2） ， ， 或， ． （1）考查方向：根据一元二次方程的结构特点，灵活选择直接开方法、配方法、公式法或因式分解法进行求解。 （2）核心方法：能直接开方则直接开方，能因式分解则因式分解，不易分解时用公式法或配方法。 【变式1】用两种方法求解方程： 方法一： 方法二： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．用直接开平方法和因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】解：方法一：， 原方程可变为：， 开平方得： 解得：，； 方法二：， 化为一般形式为：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 【变式2】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，； (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，根据方程的特点、选取合适的解法是解题的关键． （1）移项直接开方即可； （2）根据求根公式求解即可； （3）根据求根公式求解即可； （4）移项、提取公因式，再用因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ，，， ， ， 解得，； （3）解：， ，，， ， ， 解得，； （4）解：， ， 或， 解得，． 【中考链接】选择适当的方法解下列方程：； 【答案】， 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，熟悉配方法是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 题型04 解含绝对值的方程 【典例1】阅读下面的材料： 例：解方程． 解：分两种情况讨论： ①当时，原方程为． 解得，（不合题意，舍去）； ②当时，原方程为． 解得，（不合题意，舍去）． 综上，原方程的根是． 请参照例题，解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值的一元二次方程的解法；在方程中，分和两种情况，先去掉绝对值，再解一元二次方程并验证根即可； 【详解】解：当时，原方程化为， ， ， 解得，（不合题意，舍去）． 当时，原方程化为， ， 解得，（不合题意，舍去）． 综上，原方程的根是或． （1）考查方向：根据绝对值的意义，将含绝对值的一元二次方程转化为普通的一元二次方程求解。 （2）核心方法：分类去绝对值—解普通方程—代回检验—写出最终解。 【变式1】解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】依据题意，由，可得，结合，进而计算可以得解； 依据题意，由，则当时，方程成立；又当时，可得，进而计算可以得解． 本题主要考查了解一元二次方程-公式法、绝对值，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 【详解】（1）解：， 又， ； （2）解：， 当时，方程成立． 当时， 又由题意得，， 不合题意，舍去或， 综上，或． 【中考链接】“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x﹣＝0，就可利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题： （1）填空：若，则的值为　 　； （2）直接写出方程的根； （3）解方程：2﹣8＝0． 【答案】（1）0；（2），，，；（3）＝，＝ 【分析】（1）设进行换元，再解一元二次方程，根据的非负性确定解即可； （2）设进行换元，即可解出t的值，再根据绝对值的意义即可得出x的值； （3）设＝t，即可解出t的值，根据具有非负性确定t值，再解无理方程即可得． 【详解】解：（1）设，原方程转化为，解得，， 当t＝0时，；当时，（舍去）； 所以的值为0； 故答案为0； （2）设，原方程转化为，解得，， 当t＝1时，则，解得， 当t＝2时，则|x|＝2，解得， 所以原方程的解为，，，； （3）设＝t，原方程转化为，解得，， 当t＝﹣4时，＝﹣4，不合题意舍去； 当t＝2时，＝2，则，解得＝，＝， 经检验，原方程的解为＝，＝． 【点睛】本题考查了用换元法解绝对值方程、无理方程，利用代数式非负性去除增根；关键在于能理解题意，进行换元变形后解得的结果要进行验证． A组·基础过关 1．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 2．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 3．已知方程的解是或，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 4．新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 5．解方程：． 【答案】， 【分析】将提取公因式得到，再利用因式分解法解这个一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 或， ，． B组·能力提升 6．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择合适方法求解，整理一般的形式，可以因式分解就用因式分解法求解，无法直接因式分解，就选用求根公式法求解即可． 【详解】（1）解： 代入求根公式得 ∴， （2）解： 整理得 因式分解得 ∴或 解得， 7．我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， 解得：，． 8．等腰三角形的两条边长是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．14 C．10或14 D．不能确定 【答案】B 【分析】先解方程得到两个根，再分情况讨论腰长，结合三角形的三边长关系排除不符合的情况，计算得到周长. 【详解】解：∵ 方程因式分解得 ∴ ，，即方程的两个根为2和6. 分两种情况讨论： ① 若等腰三角形的腰长为2，底边长为6 ∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. ② 若等腰三角形的腰长为6，底边长为2 ∵ ，，满足三角形三边关系，可以构成三角形 ∴ 等腰三角形的周长为. 综上，这个等腰三角形的周长为14 9．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 10．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． C组·拓展延伸 11．已知实数，满足，，且，则的值是（ ） A．4 B．12 C．0 D．4或12 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过求解两个二次方程得到p和q的可能值，排除的组合后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或； ∵， ∴， ∴或； 又∵， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 若，则， 若，则， ∴． 故选：C． 12．已知是实数，且满足，则的值为（ ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 13．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题： （1）方程的解是，______，______； （2）求方程的解； 拓展： （3）用“转化”思想求方程的解． 【答案】（1），； （2），，． （3） 【分析】本题主要考查了解一元高次方程，解一元二次方程，解无理方程，解题时要能读懂题意，灵活运用分解因式是关键． （1）依据题意，解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，仿照例题分析即可得解； （3）依据题意，首先两边同时平方，然后解高次方程可以得解． 【详解】解：（1）由题意，解方程， ． ，． 故答案为：3，； （2）由题意，， ． ． ． ，，； （3）由题意，两边同时平方得， ． ． ． ． ，，． ， ，均不符合题意． 方程的解为． 14．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关键． （1）设，则可化为； （2）原方程可化为，设，则，解得，可得或（舍去），的值为5； （3）设，则化为，解得，得（无实数根），或，解得． 【详解】（1）解：设， 那么， 于是方程可变为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， ∴或（实数范围内无意义，舍去）， 故的值为5． （3）解：设，则可化为， 解得， ∴， ∴（无实数根）， 或， ∴， 解得． 15．阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0①，解得y1=1，y2=4． 当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2； ∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用什么方法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6=0． 【答案】（1）换元；（2）x1=，x2=． 【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程． （2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程． 【详解】解：（1）利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程， 答：换元； （2）设x2+3x=y，原方程可化为y2+5y－6=0， 解得y1=1，y2=－6． 由x2+3x=1，得x1=，x2=． 由x2+3x=－6，得方程x2+3x+6=0， △=9－4×6=－15<0，此方程无解． 所以原方程的解为x1=，x2=． 【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程，以及解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握换元思想的应用． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $