25.2.2公式法（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程公式法，核心内容包括求根公式推导、根的判别式应用及公式法解题步骤。课堂导入通过复习配方法解方程，引出对通用解法的需求，衔接新旧知识，搭建从特殊到一般的学习支架。 此资料以自主探究推导求根公式为主线，渗透特殊到一般的推理意识，通过根的判别式分类讨论培养严谨思维，结合中考真题和分层作业提升运算能力。助力学生理解公式本质，帮助教师高效落实教学重点。

25.2.2公式法（教学设计） 1.教学内容 本节课时是人教版2024版九年级上册第二十五章《一元二次方程》，第二节《降次----解一元二次方程》，25.2.2公式法.核心内容包括：基于配方法推导一元二次方程的求根公式；认识根的判别式，掌握判别式与一元二次方程实数根个数的对应关系；熟练掌握公式法解一元二次方程的完整步骤；能运用公式法求解各类简单的一元二次方程，区分方程有两个不等实数根、两个相等实数根、无实数根三种情况. 2.内容解析 公式法是继直接开平方法、配方法之后，解一元二次方程的通用、万能解法，是配方法的程序化、公式化升级。此前学生已掌握配方法解数字系数一元二次方程，本节课将配方法推广到一般字母系数方程，推导求根公式，是从特殊到一般的数学思维升华.本节课承接配方法，为后续因式分解法、一元二次方程的实际应用、二次函数与方程的关系等内容奠定核心基础，是本章解方程板块的重点核心内容，贯穿整个一元二次方程知识体系.通过公式推导，培养学生逻辑推理、代数运算、归纳概括能力；通过判别式的应用，建立分类讨论的数学思想，提升学生严谨的数学思维. 基于以上分析，本节课的教学重点为：一元二次方程求根公式的理解与记忆；根的判别式的应用，公式法解一元二次方程的规范步骤. 1. 教学目标 （1）理解一元二次方程求根公式的推导过程，熟记求根公式及根的判别式公式.掌握根的判别式与一元二次方程实数根的三种对应关系，能准确判断方程根的情况.熟练运用公式法规范解一元二次方程，掌握解题标准步骤，规避常见运算错误. （2）经历“配方法解一般式方程→推导求根公式→归纳解题步骤→应用解题”的完整过程，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想.通过分类讨论判别式的取值情况，培养分类探究、归纳总结的学习能力，提升代数推理和运算能力. （3）在公式推导的探究过程中，感受数学公式的严谨性、简洁性，体会数学的逻辑美感.养成规范解题、细致运算、严谨思考的良好学习习惯，增强学习数学的自信心. 2.目标解析 目标1学生在掌握配方法的基础上，突破字母系数方程配方难点，理解公式推导的每一步依据，不机械死记公式；能独立用判别式判断根的情况，精准套用公式解方程，实现解方程方法的系统化掌握. 目标2通过自主推导、小组探究，让学生掌握代数推导的基本方法，学会用分类讨论思想解决数学问题，摆脱配方法繁琐的配方过程，提升解题效率与准确性. 目标3依托公式推导的逻辑链条，渗透数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养；通过错题辨析、规范步骤训练，培养学生严谨的治学态度和自主探究的学习意识. 九年级学生已经掌握一元二次方程的一般形式，熟练运用配方法解数字系数的一元二次方程，具备基本的代数配方、根式运算能力，为本节课公式推导提供了知识支撑.学生具备初步的自主探究、小组合作能力，但对字母系数代数式的配方较为陌生，抽象推理能力较弱，容易混淆字母运算与数字运算的区别.学生解题时易忽略a≠0的前提、系数符号看错、判别式计算失误、忘记根据判别式判断根的情况，且解题步骤不规范，需要课堂针对性强化纠正. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为：一般形式的求根公式推导过程（字母配方、分母不为0、根式有意义的条件分析）；准确判断系数a、b、c的正负，规避代入公式、计算判别式时的符号错误. 创设情景，引入新课 师生互动：用配方法解方程. 两名学生板演，其余学生独立完成. 提出问题：配方法解题步骤繁琐，对于任意一个一元二次方程，能否推导一个通用公式，直接代入求解？ 引出课题：本节课我们通过配方法推导通用求根公式，学习更简便的公式法解一元二次方程. (设计意图：通过复习配方法解题，唤醒学生已有知识，让学生体会配方法的局限性，激发学生探究通用解法的求知欲，实现新旧知识的自然衔接.) 探究点1 自主探究，推导公式 活动1:对一元二次方程一般式进行配方推导. 学生讨论: 1. 移项：. 2.二次项系数化为1：. 3. 配方：两边加一次项系数一半的平方. 4. 整理完全平方式 5. 分析取值条件：因为a≠0，所以等式右边的符号由决定 当时，,方程有两个不相等的实数根,； 当时，,方程有两个相等的实数根； 当时，等式右边为负，无实数根. 师生归纳求根公式：当时，求根公式：. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. （设计意图：遵循“特殊到一般”的认知规律，师生分步推导公式，拆解字母配方难点，让学生理解公式的由来，而非机械记忆.） 探究点2 归纳公式法解题步骤 活动2：归纳公式法解方程五步步骤： 一化：将方程化为的一般形式； 二定：准确确定a、b、c的数值（包含正负符号）； 三求：计算判别式的值； 四判：根据的正负判断方程根的情况； 五解：时代入求根公式计算根，直接写无实数根. 及时巩固：用公式法解方程. 解：a=1，b=-3，c=2. ，方程有两个不等实数根 ∴ （设计意图：让学生理解公式的由来，会灵活应用求根公式法解一元二次方程.） 探究点3 根的判别式 活动3:不解一元二次方程判断方程的根 在一元二次方程中，把叫做一元二次方程的根的判别式. 当时，,方程有两个不相等的实数根；当时，,方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根. 及时练习：（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的意义判断根的情况． 【解答】解：A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×0＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0， ∴方程有无实数根，不符合题意； D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． （设计意图：通过对判别式的分类分析，渗透分类讨论思想，突破本节课难点.） 典型例题 例１.解方程：； 【分析】利用公式法即可求解.熟练掌握公式法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， 解得：，． 例2.（2025•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可得出5﹣4m≥0，解之即可得出实数m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（m+1）＝5﹣4m≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围是m． 故选：D． 例3.已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）由二次项系数和常数项的符号不同，可得，再由即可得出结论； （2）由一元二次方程的根的判别式，举出一个反例即可得到答案． 【详解】（1）证明：二次项系数和常数项的符号不同， ， ，， 该方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：不是，反例（答案不唯一）， 理由如下：方程有两个不相等的实数根， ，满足即可， 反例：，， 即，这个方程有两个不相等的实数根，该方程二次项系数和常数项的符号相同． （设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.） 课本课堂练习（P12）1、2、3、4、5、6. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 【详解】（1）解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∵是“凤凰”方程． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； （2）解：方程整理得：， ∵此方程是“凤凰”方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵两个实数根都是整数， ∴或， ∴或或或， ∴整数m的值为0或2或4或6． (设计意图:强化本节课核心知识的拓展．) 1.（2025•北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0且a≠0． ∴22﹣4a＝0且a≠0． ∴a＝1． 故选：C． 2．（2025•内江）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根， ∴， 解得：a≤2且a≠1， ∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1． 故选：C． 3．（2025•扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是　 　 ． 【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣1＝0， ∴Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0． ∴该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 5．（2025•山东）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝42+4m＞0， 解得m＞﹣4． 故答案为：m＞﹣4． 6.（2025·漯河校考）解下列方程：． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1. 知识与技能：（1）两个核心公式：根的判别式、求根公式当时,方程有两个不相等的实数根,；（2）判别式三种结论：两不等实根，两相等实根，无实数根.（3）公式法解题五步核心步骤：化一般式→定系数→求判别式→判根的情况→代入求解. 2. 思想方法：（1）特殊到一般：从数字系数方程配方，推广到字母系数一般方程，推导通用公式；（2）分类讨论思想：根据判别式的不同取值，分类讨论方程根的三种情况；（3）转化思想：将繁琐的配方法转化为程序化的公式法，简化运算过程. 3. 易错提醒：（1）确定a、b、c时，必须带符号，切勿遗漏负号；（2）必须先判断的取值<0)时无需代入公式，直接判定无实数根；（3）牢记前提条件：一元二次方程a≠0，含参数题型需优先验证；（4）计算判别式和公式代入时，注意平方、正负运算，避免基础计算失误；（5）最终结果需化为最简根式、最简分数，不可保留复杂分式. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题25.2第6（1、2、3、4）题. 探究性作业：课本习题25.2第8题.P18阅读与思考 （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 25.2.2 公式法解 一、核心公式 1. 根的判别式： 2. 求根公式： 二、判别式与根的关系 三、解题步骤 四、易错提醒 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $