3.3.1 抛物线及其标准方程（七大题型）训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦抛物线定义与方程应用，通过七类题型系统覆盖定义理解、轨迹求解、距离最值等核心考法，知识逻辑从概念到应用层层递进，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义理解|4题|直接应用定义判断焦准距关系|定义是后续应用的基础| |轨迹求解|4题|利用定义求方程，辨析轨迹类型|连接概念与方程的生成过程| |点到定点距离及最值|4题|坐标运算结合二次函数求最值|方程与代数运算的综合| |点到焦点距离和差最值|4题|定义转化距离，图形分析最值|体现几何直观与逻辑推理| |求焦点或准线|4题|由方程求参数，与圆、双曲线综合|方程特征的直接应用| |方程四种形式及位置特征|4题|辨析方程类型，结合图形应用|方程形式与位置关系的关联| |焦点半径公式|4题|应用公式求距离，与面积综合|公式的直接与拓展应用|

3.3.1 抛物线及其标准方程 题型一 抛物线定义的理解 1．抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．已知是抛物线的焦点，是C的准线，是l与坐标轴的交点，是C上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则 C．的最小值为4 D．若点的坐标为，则的最小值为6 3．若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 4．（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程． （2）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求． （3）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射后光线所在直线的方程． 题型二 利用抛物线定义求动点轨迹 5．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．下列结论正确的是（    ） A．若动点到两定点的距离之和为10，则动点P的轨迹方程为 B．若动点到两定点的距离之差为8，则动点P的轨迹方程为 C．若到定点的距离和到定直线的距离相等，则动点P的轨迹方程为 D．已知，若动点满足，则的轨迹方程是 7．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 8．曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 题型三 抛物线上的点到定点的距离及最值 9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 10．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（   ） A．的坐标为 B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 12．已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 题型四 抛物线上的点到焦点的距离的和、差最值 13．已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 14．圆以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切，为抛物线上的动点，则（   ） A． B． C．圆与圆相内切 D．点到点的距离与到点的距离之和的最小值为3 15．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 16．椭圆上有一点在抛物线的准线上，抛物线的焦点也是椭圆焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在抛物线上，过作准线的垂线，垂足为，求的最小值． 题型五 根据抛物线方程求焦点或准线 17．点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 18．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（   ） A．圆的圆心坐标为 B．当时，抛物线的焦点在圆上 C．当时，圆和圆相交的公共弦所在直线方程为 D．当时，若动圆与圆外切，与圆内切，则圆心的轨迹为双曲线的一支 19．已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 20．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，抛物线的焦点在双曲线上，过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积为定值． 题型六 抛物线方程的四种形式及位置特征 21．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．已知方程，则下列结论正确的是（   ） A．方程C表示椭圆的充要条件是 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．方程C不可能表示抛物线 23．小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点. 若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时，____. （结果保留2位小数）    24．已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：； (3)若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值. 题型七 抛物线的焦点半径公式 25．抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 26．已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 27．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 28．已知为抛物线的焦点，直线经过，且与相交于两点，过点的动直线与相交于两点． (1)求的值； (2)设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1 抛物线及其标准方程 题型一 抛物线定义的理解 1．抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义列方程，由此求得的值. 【详解】根据抛物线的定义，是其准线， 因为的准线方程为， 所以，解得. 2．已知是抛物线的焦点，是C的准线，是l与坐标轴的交点，是C上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则 C．的最小值为4 D．若点的坐标为，则的最小值为6 【答案】ABD 【分析】对于A，由条件可得，解方程求，即可判断，对于B，由条件可得，再由焦半径公式求结论，对于C，根据焦半径公式可得，结合的范围求的最小值即可判断，对于D，由抛物线定义可得等于点P到l的距离，结合平面几何知识求的最小值可得结论. 【详解】对于A，由，可得，解得，A正确； 对于B，因为，所以，则，故，B正确； 对于C，因为，，所以的最小值为2，C错误； 对于D，等于点到的距离，的最小值为点到的距离，且点到的距离为，D正确． 故选：ABD. 3．若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 【答案】6 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线为， 点到焦点的距离为9，即点到准线的距离为9， 所以，解得. 4．（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程． （2）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求． （3）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射后光线所在直线的方程． 【答案】（1）；（2）；或． 【分析】（1）根据题意双曲线方程可设为，可得关于的方程组，进而求出的数值即可求出双曲线的方程． （2）求出抛物线的准线方程并作出，过作准线的垂线，利用抛物线定义结合所给角即可作答． （3）设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求得斜率，得出方程． 【详解】（1）根据题意双曲线方程可设为，与椭圆有公共焦点， ∴，即得， 又双曲线的离心率，故，解得． 故双曲线的方程为． （2）抛物线的准线为，过作垂直于直线，垂足为， 作于，直线与轴交于点，如图： 则轴，即，四边形是矩形， 中，， 由抛物线定义知，而 ， 则，解得，所以． （3）点关于轴的对称点为，设反射光线的斜率为， 则可得出反射光线为，即， 因为反射光线与圆相切， 则圆心到反射光线的距离，即，解得或， 则反射直线的方程为或． 题型二 利用抛物线定义求动点轨迹 5．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 6．下列结论正确的是（    ） A．若动点到两定点的距离之和为10，则动点P的轨迹方程为 B．若动点到两定点的距离之差为8，则动点P的轨迹方程为 C．若到定点的距离和到定直线的距离相等，则动点P的轨迹方程为 D．已知，若动点满足，则的轨迹方程是 【答案】AC 【分析】根据题意，由椭圆，双曲线，抛物线，圆的定义可分别判断各个选项的正误，选出答案. 【详解】选项A：由椭圆定义可知，，，，焦点在轴上，， 所以动点P的轨迹方程为，A对； 选项B：由双曲线定义可知，， 所以，，， 所以动点P的轨迹方程为，，B错； 选项C：由抛物线定义可知，抛物线的开口向右，， 所以动点P的轨迹方程为，C对； 选项D：因为， 由圆的定义可知，圆心，半径， 所以动点P的轨迹方程为，D错； 故选：AC. 7．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】先将题设的距离关系转化为带绝对值的等式，通过平方消去根号后分类讨论去绝对值，验证后得到完整轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为， 由题意得， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 8．曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义可知曲线类型，然后可得方程； （2）直线方程联立抛物线方程消元，然后利用韦达定理，结合弦长求出直线方程. 【详解】（1）因为曲线上的点到的距离与到的距离相等， 所以轨迹为焦点在轴上，以为焦点的抛物线， 所以的方程为. （2）设，直线的方程为， 联立得， 所以. 所以， 解得， 所以直线的方程为. 题型三 抛物线上的点到定点的距离及最值 9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 10．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（   ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】CD 【分析】选项A：根据抛物线方程得焦点坐标及其准线方程判断；选项BC：根据抛物线定义判断；选项D：根据两点间距离公式判断. 【详解】对于A：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，故A错误； 对于BC：由抛物线定义可得 ， 所以 ，则，解得 ，故B错误，C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 【答案】 【分析】设，则由两点间距离公式及抛物线定义可得关于y的表达式，后由基本不等式可得答案. 【详解】设，由抛物线方程，得焦点，准线， 点为准线与轴的交点，作于点， 则．， 则 ，当且仅当，即时取等号. 则的最大值为. 12．已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 【答案】(1) (2)，最小距离为. 【分析】（1）假设的坐标，根据两点间的距离公式可以表示出的函数，进而利用二次函数求解最小值； （2）利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，再根据二次函数求解最小值 【详解】（1）设点， 所以当时，，所以. （2）点到直线的距离， 当时，，此时点的坐标为. 题型四 抛物线上的点到焦点的距离的和、差最值 13．已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 14．圆以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切，为抛物线上的动点，则（   ） A． B． C．圆与圆相内切 D．点到点的距离与到点的距离之和的最小值为3 【答案】BD 【分析】根据抛物线的定义与圆的方程求出半径和，判断A、B选项；根据两圆的位置关系判断C选项；根据抛物线定义等于点到准线的距离，问题转化为求的最小值，判断D选项. 【详解】因为，所以圆心为， 故抛物线的焦点， 由，得，所以A不正确，B正确． 因为圆与圆的圆心距，故两圆内含，所以C不正确． 因为为抛物线上的点，为焦点，. 由抛物线定义可知，等于点到准线的距离，记为， 因此，问题转化为求的最小值， 当点的纵坐标与点的纵坐标相等时，该和有最小值，最小值为点到准线的距离， 此时的纵坐标为，代入抛物线方程得，点在抛物线上， 所以最小值为点到直线的距离，即，故D正确. 故选：BD. 15．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和数形结合，求点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. 16．椭圆上有一点在抛物线的准线上，抛物线的焦点也是椭圆焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在抛物线上，过作准线的垂线，垂足为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在抛物线准线上求出的值，得到抛物线焦点坐标，根据抛物线的焦点也是椭圆焦点得到的值，结合点在椭圆上及求解即可. （2）根据抛物线的定义，结合两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）抛物线的准线的方程为：. 因为点在抛物线的准线上，所以，解得. 故抛物线方程为，焦点为. 因为抛物线的焦点也是椭圆焦点，所以. 因为点在椭圆上，所以， 又，所以. 整理得，即， 解得或（舍去），所以. 故椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，抛物线方程为，准线方程为，焦点.    根据抛物线的定义可知，，则. 根据几何性质，当，，三点共线时，取得最小值，即最小值为. 已知，， 根据两点间距离公式可得，， 因此的最小值为. 题型五 根据抛物线方程求焦点或准线 17．点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】焦点，准线方程为， 分别过作轴的垂线，垂足为， 则， 等号成立时三点共线， 故到轴的最短距离为 18．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（   ） A．圆的圆心坐标为 B．当时，抛物线的焦点在圆上 C．当时，圆和圆相交的公共弦所在直线方程为 D．当时，若动圆与圆外切，与圆内切，则圆心的轨迹为双曲线的一支 【答案】AC 【分析】对A，直接对照圆标准式得到圆心坐标判定；对 B，求出抛物线焦点，代入时圆方程验证不满足；对 C，时写出两圆一般方程，两式相减消去二次项得到公共弦直线；对D，根据内外切关系列出、表达式，相加得，符合椭圆定义而非双曲线. 【详解】对于A，由圆：可知圆的圆心坐标为，故A正确； 对于B，当时，圆：，又抛物线的焦点为， 由，可知抛物线的焦点不在圆上，故B错误； 对于C，当时，圆：，圆：， 作差可得：圆和圆的公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，当时，如图， 设圆半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 所以则又， 故的轨迹不是双曲线，故D错误． 19．已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，写出坐标，分别根据和列出两个等式，联立两个等式直接求出． 【详解】 设，则，， 由，得①， 由，得， 即②， 联立①②，解得，． 20．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，抛物线的焦点在双曲线上，过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积为定值． 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）由题意可得方程组，计算可解； （2）直线的方程为，，，直线与双曲线联立方程组，由韦达定理及斜率公式计算即可证明. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得， 所以双曲线的标准方程为； （2）∵过点，由题意可知的斜率不为0， 故可设直线的方程为，，， 则 ， ， ∴ ． 故直线与的斜率之积为定值． 题型六 抛物线方程的四种形式及位置特征 21．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 故选：D．    22．已知方程，则下列结论正确的是（   ） A．方程C表示椭圆的充要条件是 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．方程C不可能表示抛物线 【答案】BCD 【分析】根据已知方程，结合所表示的曲线或参数范围依次判断各项的正误. 【详解】当，即时，方程表示圆，故A错误； 当时，方程为且，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 当时，方程为，表示轴，故C正确； 方程中不含一次项，所以不可能表示抛物线，故D正确． 故选：BCD 23．小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点. 若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时，____. （结果保留2位小数）    【答案】 【分析】如图建系，设抛物线方程为，根据题意得到，将其代入抛物线得到，根据抛物线设，，利用导数求出，设直线的方程为，利用直线的方程求出和，求出，利用基本不等式求最小值即可得解. 【详解】如图建系，设抛物线方程为，    当点到的距离为4.5时，， 则，代入抛物线，解得， 则，即，设，则， 设，， ，，， 则直线的方程为， 令，解得，令，解得， 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，取最小值，此时. 故答案为： 24．已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：； (3)若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明：由题意可得过点的直线的斜率存在，设直线方程为， 设， 联立，消去可得， 则， 所以 ， 联立抛物线与直线方程，消去可得， 则， 所以， 所以 ， 所以. (3) 【分析】（1）由抛物线方程，即可得到结果； （2）根据题意，分别联立椭圆与直线方程以及抛物线与直线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为椭圆，则， 其上焦点与抛物线的焦点重合， 则，即，所以抛物线的方程为. （2）略 （3）设， 当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 则直线的方程为， 由（2）的计算过程可知，， 由，以替换，可得， 所以 ， 因为，所以，， ； 当直线的斜率不存在时，，， 所以； 综上所述，，所以四边形的面积的最小值为. 题型七 抛物线的焦点半径公式 25．抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，所以，点在上且横坐标为，所以， 所以. 26．已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用点求出，得到抛物线的方程，求出焦点坐标，得到直线轴，由点在抛物线上得到，利用抛物线的定义求出，由的范围得到的范围，从而得到的范围，继而求出，由得到，由得到，计算得到的范围，从而得到. 【详解】因为点在抛物线上， 所以， 解得，选项A正确. 则抛物线的标准方程为， 则焦点，，两点横坐标相等，纵坐标不同， 因此直线垂直于轴，平行于轴，选项B正确. 因为点在抛物线上，所以， 则， 因为，所以，则，即， 则， 因为，所以，选项C错误. 因为，所以， 因为，所以， 即，解得， 因为，所以， 则，即，选项D正确. 27．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 【答案】 【分析】根据抛物线定义求出点A的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标的绝对值，即为点到轴的距离. 【详解】对于抛物线，由标准形式得，即，其准线方程为，焦点. 设点的坐标为，由抛物线的定义得，解得. 将代入抛物线方程，得，故. 因此点到轴的距离为. 28．已知为抛物线的焦点，直线经过，且与相交于两点，过点的动直线与相交于两点． (1)求的值； (2)设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 【答案】(1) (2) 易得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 联立，得，则， ， ， 解得，当时，直线，令，则，即， 所以， 当时，直线，令，则，即， 所以， 综上，得证. 【分析】（1）由过焦点确定抛物线的方程，再与直线联立，由韦达定理结合抛物线的定义即可求解； （2）设出的方程，与抛物线联立后结合韦达定理，列出关于的表达式，解出的值后即可求得点的坐标，即可求证. 【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为， 若过点，则有，解得， 故抛物线，准线方程为， 联立，得，则， 所以. （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $