3.3 练习1　抛物线及其标准方程 课时练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习以抛物线及其标准方程为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到实际建模的知识进阶，培养数学抽象与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线定义、标准方程及焦点坐标|题1-4直接考查方程求参、焦点坐标等基础考点，夯实概念理解| |综合应用|距离最值、实际情境应用|题5-14结合最值问题（如d+|PA|最小值）及太阳灶、拱桥等实际模型，提升运算与应用能力| |拓展探究|跨知识综合与复杂情境建模|题15-16涉及圆锥曲线分类及公路选址等复杂情境，衔接阶段测评，发展模型意识与创新思维|

3.3 练习1　抛物线及其标准方程 1. 已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为(　C　) A. (1，0) B. C. D. (0，1) 【解析】 由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为. 2. 一动圆过点A(1，0)且与直线x＝－1相切，则该动圆圆心的轨迹为(　A　) A. 抛物线 B. 椭圆 C. 直线 D. 圆 【解析】 设动圆圆心的坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线. 3. (2024·河北沧衡八校联盟高二期中)若P为抛物线y2＝4x上一点，且P到焦点F的距离为9，则点P到y轴的距离为 (　C　) A. 7 B. 10 C. 8 D. 9 【解析】 根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线x＝－1的距离，∴P到y轴的距离为9－1＝8. 4. (2024·成都石室中学高二期中)若点P是抛物线y2＝4x上一点，P到该抛物线的焦点F的距离为4，则点P的横坐标为(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】 由题知F(1，0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|＝xP＋1＝4，解得xP＝3，∴点P的横坐标为3. 5. 设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值是(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，∴d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值是|AF|－1＝4－1＝3. 6. 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝|PF|，则△PMF的面积为(　B　) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【解析】 如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N.∵|PM|＝|PF|，|PF|＝|PN|，∴|PM|＝|PN|，∴|MN|＝|PN|.设P，则|t|＝2，解得t＝±4，∴△PMF的面积为·|t|·|MF|＝×4×4＝8. 7. (2024·嘉兴一中检测)为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈到集光板顶点的距离应是(　B　) A. 0.5 m B. 1 m C. 1.5 m D. 2 m 【解析】 若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图所示，画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，解得p＝2，∴抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1)，∴容器灶圈到集光板顶点的距离应是1 m. 8. (多选)(2024·云南玉溪高二期末)已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若|PO|＝，则(　AD　) A. F B. F(0，1) C. |PF|＝2 D. |PF|＝ 【解析】 ∵抛物线C：y＝4x2，即x2＝y，∴F，准线方程为y＝，A正确，B错误；设P(m，n)，则n＝4m2，由题意得，且n≥0，故n2＝0，解得n＝(舍去)，或n＝1，∴|PF|＝n，C错误，D正确. 9. (多选)已知△FAB，点F的坐标为(1，0)，点A，B分别在图中抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值可能是(　BCD　) A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【解析】 抛物线的准线l：x＝－1，焦点F(1，0)，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋1，∴△FAB的周长＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋1＋(xB－xA)＋2＝3＋xB，由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝4可得交点的横坐标为1，∴xB∈(1，3)，∴3＋xB∈(4，6). 10. 抛物线的方程为7x＋4y2＝0，则其焦点坐标为 　.  【解析】 抛物线方程化为y2＝x，∴抛物线开口向左，2p＝，故焦点坐标为. 11. 抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则点P的坐标为　(6，9)或(－6，9)　.  【解析】 设点P(x0，y0)，易知抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1，由抛物线的定义得y0＋1＝10，∴y0＝9，代入抛物线的方程，得x0＝±6，故点P的坐标为(6，9)或(－6，9). 12. 如图所示，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度AB＝10米，高度h＝5米(即桥拱顶到基座AB所在的直线的距离).由于河流上游降雨，河水从桥的基座A处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为　4　米.  【解析】 以桥拱顶为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，∵点A(－5，－5)在抛物线上，∴(－5)2＝－2p×(－5)，即2p＝5，故抛物线的方程为x2＝－5y.设河水上涨1米后，水面与桥的一个交点的坐标为(x0，－4)，则＝20，得x0＝±2，∴此时桥洞中水面的宽度为4米. 13. 根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)经过点(－3，－5)； (2)焦点在x轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6； (3)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积等于4. 解： (1)当抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)时，将(－3，－5)代入，得p＝，则所求抛物线的标准方程为y2＝x；当抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)时，将(－3，－5)代入，得p＝，则所求抛物线的标准方程为x2＝y.综上，抛物线的标准方程为y2＝x，或x2＝y. (2)由焦点到准线的距离为6，知p＝6，又焦点在x轴的负半轴上，∴抛物线的标准方程为y2＝－12x. (3)由题意可设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，则焦点F，直线l：x＝， ∴A，B两点的坐标为，∴|AB|＝2|a|.∵△OAB的面积为4，∴··2|a|＝4，∴a＝±2， 故所求抛物线的标准方程为y2＝4x，或y2＝－4x.　 14. (2024·东营一中检测)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点. (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值； (2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值. 解： (1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值.如图1所示，连接AF，交抛物线于点P，此时|PA|＋d最小，最小值是. 图1 图2 (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2，∵2＞2，∴点B在抛物线内部.过点B作BQ垂直于准线，垂足为Q，交抛物线于点P1(如图2所示). 由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值是4. 15. 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴所成的角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.记圆锥的轴截面半顶角为α，则截口曲线形状与θ，α有如下关系：当θ＞α时，截口曲线为椭圆；当θ＝α时，截口曲线为抛物线；当θ＜α时，截口曲线为双曲线.现有一定线段AB，其与平面β所成的角为φ(如图)，B为斜足，β上一动点P满足∠BAP＝γ，设点P在β内的运动轨迹是Γ，则(　D　) A. 当φ＝，γ＝时，Γ是抛物线 B. 当φ＝，γ＝时，Γ是双曲线 C. 当φ＝，γ＝时，Γ是圆 D. 当φ＝，γ＝时，Γ是椭圆 【解析】 ∵AB为定线段，∠BAP＝γ为定值，∴点P在以AB为轴的圆锥上运动，其中圆锥的轴截面半顶角为γ，β与圆锥的轴AB所成的角为φ.对于A，φ＜γ，∴平面β截圆锥得双曲线，A错误；对于B，φ＞γ，∴平面β截圆锥得椭圆，B错误；对于C，φ＝γ，∴平面β截圆锥得抛物线，C错误；对于D，φ＞γ，∴平面β截圆锥得椭圆，D正确. 16. 如图所示，A地在B地北偏东45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁路线(近似看成直线)l相距4 km. 已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁路线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电. (1)试建立适当的平面直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； (2)变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线的长度最短？请求出最短长度. 解： (1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系，则B(0，2)，A(2，4).∵曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，∴曲线形公路PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线.设抛物线的方程为x2＝2py(p＞0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. (2)如图所示，连接MA，MB，要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|的值最小.过点M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，∴|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值4＝6，即|MA|＋|MB|取得最小值6，此时M，故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 练习1　抛物线及其标准方程 1. 已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为( 　) A. (1，0) B. C. D. (0，1) 2. 一动圆过点A(1，0)且与直线x＝－1相切，则该动圆圆心的轨迹为( 　) A. 抛物线 B. 椭圆 C. 直线 D. 圆 3. (2024·河北沧衡八校联盟高二期中)若P为抛物线y2＝4x上一点，且P到焦点F的距离为9，则点P到y轴的距离为 ( 　) A. 7 B. 10 C. 8 D. 9 4. (2024·成都石室中学高二期中)若点P是抛物线y2＝4x上一点，P到该抛物线的焦点F的距离为4，则点P的横坐标为( 　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值是( 　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝|PF|，则△PMF的面积为( 　) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 7. (2024·嘉兴一中检测)为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈到集光板顶点的距离应是( 　) A. 0.5 m B. 1 m C. 1.5 m D. 2 m 8. (多选)(2024·云南玉溪高二期末)已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若|PO|＝，则( 　) A. F B. F(0，1) C. |PF|＝2 D. |PF|＝ 9. (多选)已知△FAB，点F的坐标为(1，0)，点A，B分别在图中抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值可能是( 　) A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 10. 抛物线的方程为7x＋4y2＝0，则其焦点坐标为 .  11. 抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则点P的坐标为 .  12. 如图所示，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度AB＝10米，高度h＝5米(即桥拱顶到基座AB所在的直线的距离).由于河流上游降雨，河水从桥的基座A处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为 米.  13. 根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)经过点(－3，－5)； (2)焦点在x轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6； (3)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积等于4. 14. (2024·东营一中检测)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点. (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值； (2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值. 15. 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴所成的角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.记圆锥的轴截面半顶角为α，则截口曲线形状与θ，α有如下关系：当θ＞α时，截口曲线为椭圆；当θ＝α时，截口曲线为抛物线；当θ＜α时，截口曲线为双曲线.现有一定线段AB，其与平面β所成的角为φ(如图)，B为斜足，β上一动点P满足∠BAP＝γ，设点P在β内的运动轨迹是Γ，则( 　) A. 当φ＝，γ＝时，Γ是抛物线 B. 当φ＝，γ＝时，Γ是双曲线 C. 当φ＝，γ＝时，Γ是圆 D. 当φ＝，γ＝时，Γ是椭圆 16. 如图所示，A地在B地北偏东45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁路线(近似看成直线)l相距4 km. 已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁路线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电. (1)试建立适当的平面直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； (2)变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线的长度最短？请求出最短长度. 学科网（北京）股份有限公司 $