2.2 第1课时 直接开平方法与配方法(1) 导学案 -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的解法，核心内容为直接开平方法（解形如(x+m)²=n(n>0)的方程）和配方法（二次项系数为1的一元二次方程）。以复习导入中梯子滑动问题为情境，从近似值过渡到精确值的探究，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料通过问题驱动式探究，设置思考交流、做一做等环节引导学生自主归纳方法，培养数学思维（推理意识、运算能力）和数学眼光（抽象能力）。典例精析与分层练习结合，助力学生用数学语言表达解法，提升解决问题的能力，符合新课标核心素养要求。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法与配方法(1) 【学习目标】 1. 会用直接开平方法解形如 (x + m)2＝n (n＞0)的方程. 2. 理解配方法的基本思路. 3. 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程. 学习重点：1. 会用直接开平方法解形如 (x + m)2＝n (n＞0)的方程. 2. 理解配方法的基本思路. 学习难点：会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程. 【复习导入】 在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 x2 + 12x - 15 = 0. 我们已经求出了 x 的近似值，你能设法求出它的精确值吗？ 【合作探究】 探究点1：用直接开平方法解一元二次方程 思考·交流 (1) 你能解哪些特殊的一元二次方程? x2 = 4； x2 = 0； x2 + 1 = 0. 【探究归纳】 一般的，对于可化为 x2 = n (I) 的方程， (2)你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x2 = 5， 2x2 + 3 = 5， (x + 6)2 + 72 = 102 x2 + 2x + 1 = 5. 【探究交流】 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 下列完全平方公式你还记得吗？试着填一填. (1) a2 + 2ab + b2 = ( )2； (2) a2 - 2ab + b2 = ( )2. 议一议 (3) 你能解方程 x2 + 12x - 15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流. 知识点3：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 做一做 填上适当的数或式，使下列各等式成立： （1）x2 + 12x + = ( x + 6)2； （2）x2 - 4x + = ( x - )2； （3）x2 + 8x + = ( x + )2； 你发现了什么规律？ 【归纳总结】 配方的方法： 填一填：x2 + px + ( )2 = ( x + )2 【典例精析】 例1 解方程 x2 + 8x - 9 = 0. 【要点归纳】 配方法的定义： 配方法解方程的基本思路： 练一练 1. 解方程： (1) x2 - 2x - 5 = 0； (2) x2 - 8x + 1 = 0. 2. 解下列方程： (1) x2 + 4x - 9 = 2x - 11； (2) x(x + 4) = 8x + 12； 当堂反馈 1.用直接开平方法解下列方程，其中无实数解的是(　　) A.x2＋3＝0 B.－2x2＝0 C.x2－4＝0 D.(x－2)2＝0 2.一元二次方程x2＋4x＋5＝0配方后得(x＋　　)2＝　　，由于方程右边是　　数，因此该方程　　实数根. 3.用直接开平方法解下列方程： (1)25(x－3)2－9＝0； 书写通关 解：方程整理得(　　　　)2＝　　. 开平方得　 　，或　 　. 解得x1＝　　，x2＝　 　. (2)(2y－3)2＝16； (3)t2＋4t＋4＝－2. 4.用配方法解下列方程： (1)x2＋6x－7＝0； (2)x2－5x＋5＝0. 参考答案 【合作探究】 探究点1：用直接开平方法解一元二次方程 思考·交流 你能解哪些特殊的一元二次方程？ x2 = 4；解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2. x2 = 0； 解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0. x2 + 1 = 0.解：移项，得 x2 = -1．∵ 负数没有平方根，∴ 原方程无解. 探究归纳：一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程， (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，； (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根； (3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. (2) x2 = 5， 解：直接开平方，得 2x2 + 3 = 5，解：移项，得 2x2 = 2. 系数化为 1，得 x2 = 1. 直接开平方，得 x = ± 1，∴ x1 = 1，x2 = -1. (x + 6)2 + 72 = 102.解：移项，得 (x + 6)2 = 51. 两边开平方，得 x + 6 = 即 x + 6 = 或 x + 6 = . 所以 x1 = ， x2 = . x2 + 2x + 1 = 5， 解：在解方程时，由方程 x2 = 5 得 x= . 由此想到： (x + 1)2 = 5 ， 于是，原方程的两个根为 探究交流 1.如果一个一元二次方程具有 x2 = n 或 (x＋m)2 = n (n≥0) 的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0. 探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 思考·交流(3) 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 12x = 15 ， 两边都加 62，得x2 + 12x + 62 = 15 + 62，即 (x + 6)2 = 51 . 两边开平方，得 x + 6 = ， 因此我们说方程 x2 + 12x = 15 的两个根 x1 = ， x2 = . 操作·思考 填上适当的数或式，使下列各等式成立： （1）x2 + 12x + 62 = ( x + 6)2； （2）x2 - 4x + 22 = ( x - 2 )2； （3）x2 + 8x + 42 = ( x + 4 )2； 典例精析 例1 解方程 x2 + 8x - 9 = 0. 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 8x = 9 ， 两边都加 42（一次项系数 8 的一半的平方）， 得 x2 + 8x + 42 = 9 + 42， 即 (x + 4)2 = 25 . 两边开平方，得 x + 4 = ± 5 ， 即 x + 4 = 5 或 x + 4 = -5. 所以 x1 = 1 ， x2 = -9. 练一练 1. 解方程： 解：(1) x2 - 2x -5 = 0，移项，得 x2 - 2x = 5. 配方，得 (x - 1)2 = 6. 由此可得 x - 1 = ±，x1 = 1+ ， x2 = . (2) x2 - 8x + 1 = 0，移项，得 x2 - 8x = -1. 配方，得 (x - 4)2 = 15. 由此可得 x - 4 = ±，x1 = 1+ ， x2 = . 2. 解：(1)移项，得 x2 + 2x + 2 = 0，配方，得 (x + 1)2 = -1. ∴ 此方程无解. (2) 整理移项，得 x2 - 4x - 12 = 0，配方，得 (x - 2)2 = 16. 由此可得 x - 2 = ±4，∴x1 = 6， x2 = -2. 当堂反馈 1.　A 2.　2　　－1　，　负　，　无　 3. (1) 解：方程整理得(　　x－3　　)2＝　　. 开平方得　x－3＝　，或　x－3＝－　. 解得x1＝　　，x2＝　　. (2)解：y1＝，y2＝－. (3)解：无实数解. 4.(1)解：x1＝1，x2＝－7. (2)解：x1＝，x2＝. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $