5.3 实际问题与一元一次方程（课时2）教学设计 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该教案聚焦销售盈亏问题，梳理进价、售价、利润、利润率的数量关系，引导学生用一元一次方程解决实际问题。通过购物折扣情境导入，制造“一赚一亏是否相抵”的认知冲突，连接前序方程解法与生活应用，搭建从数学工具到实际问题的学习支架。 此资料以生活情境激活经验，通过“估计—列方程—检验”的探究过程，用两件衣服同售价不同盈亏的实例培养推理能力（数学思维），分层练习从单件到多件巩固模型意识（数学语言）。帮助学生理解隐蔽等量关系，提升问题解决能力，为教师提供清晰教学路径和分层训练素材。

5.3实际问题与一元一次方程(课时2) 一、教学目标 1.经历销售盈亏实际问题的分析过程，理解进价、售价、利润、利润率之间的数量关联，掌握相关公式的推导逻辑，能依托等量关系列出一元一次方程并规范完成求解． 2.能分别对单件商品、多件组合商品开展盈亏分析，通过计算总进价与总售价判断整体盈亏情况，熟练完成销售类问题的建模与运算． 3.体会将复杂销售情境转化为一元一次方程的建模思想，提升生活经济类实际问题的数据分析、逻辑推理与问题解决能力． 二、教学重点及难点 重点：梳理销售问题里进价、售价、利润率的核心数量关系，依据等量关系列一元一次方程求解，能通过总进价、总售价判断整体盈亏． 难点：灵活运用利润率相关公式梳理隐蔽的等量关系，处理多件、多品类组合销售的综合盈亏问题，准确完成建模列式． 三、教学过程 【新知导入】 教师：日常购物时，折扣、加价随处可见，商家经营也离不开成本与收入的核算．生活中不少场景看似一赚一亏、得失相当，实际核算后收支却并不平衡．前面我们学会了解一元一次方程的各种计算方法，那方程只是用来做计算题吗？ 学生：方程还可以用来解决生活里的实际问题． 教师引出课题：方程是分析和解决问题很有用的数学工具．今天我们就利用一元一次方程，梳理成本、售价、利润率三者的数量关系，精准算出经营里真实的盈利与亏损．有些实际问题的数量关系藏得很深，直观判断容易出错，只有拆解分析，才能准确列出方程求解． 设计意图：从贴近学生的购物折扣情境切入，制造“直观判断可能出错”的认知冲突，点明本节课学习方向，建立方程作为解决实际问题工具的认知． 【探究新知】 探究：销售盈亏问题. 教师：生活中我们经常能在各种销售场合看到商品的优惠信息，例如“全场五折起”“低至4折”“全场满200减50”（如图），你知道它们的意思吗？ 下面我们先认清打折销售问题中的几个相关概念． 1．成本价（进价）：商家采购商品时付出的进货价格，是核算盈亏的基础成本； 2．标价：商品货架、标签上标注的售卖定价； 3．实际售价：顾客最终成交付款的商品实际卖出价格，常由标价打折得到； 4．利润：售价高出成本价的部分； 5．利润率：商品的利润与成本价（进价）的比值； 6．打折：打几折后的价格，就是标价乘十分之几． 教师追问：销售问题中的等量关系往往隐藏在下面几个关系里，谁能说一说？ 学生梳理，教师板书核心数量关系： （1）利润 = 售价 − 进价； （2）利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%； （3）商品售价 = 进价 ×（1 + 利润率）． 设计意图：借助生活中常见的优惠海报激活经验，系统梳理销售问题的基本概念与三条核心数量关系，为后续列方程找准“隐蔽的等量关系”打好基础，突出概念到公式的推导逻辑． 教师出示问题：一商店以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 教师提问：有同学认为，一件盈利25%、另一件亏损25%，合起来就是不盈不亏，这样判断对吗？ 学生（估计）：可能不盈不亏/可能亏损，说不太准． 教师点拨：是盈是亏，要看这家商店买进这两件衣服时一共花了多少钱．我们先大体估计盈亏，再通过准确计算检验判断．判断依据是 总售价 ＞ 总进价 → 盈利； 总售价 ＜ 总进价 → 亏损； 总售价 = 总进价 → 不盈不亏． 教师追问：题目中我们还不知道进价是多少，怎么办？能不能利用利润公式反过来求出进价？ 【学生活动】小组讨论，明确“利润 = 进价 × 利润率”，可以由售价和利润率反推进价． 答案预设： 设盈利25%的那件衣服进价为 x 元． 由“利润 = 进价 × 利润率 = 0.25x”，根据“进价 + 利润 = 售价”，列得方程： x + 0.25x = 60， 解得 x = 48．即盈利的衣服进价为48元． 设亏损25%的那件衣服进价为 y 元． 由“利润 = 进价 × 利润率 = −0.25y”，根据“进价 + 亏损（负利润）= 售价”，列得方程：y − 0.25y = 60， 解得 y = 80．即亏损的衣服进价为80元． 比较总进价与总售价： 总进价 = 48 + 80 = 128（元），总售价 = 60 + 60 = 120（元）． 因为 120 ＜ 128，所以卖这两件衣服总的是亏损，共亏损 8 元． 教师追问1：列、解方程后得出的结论与你先前的估计一致吗？ 学生：不一样．因为利润 = 进价 × 利润率，利润与售价无关，两件衣服售价相同但进价不同，不能简单相抵． 教师追问2：卖这两件衣服总的是盈利还是亏损？怎么算的？ 学生：总的是亏损，亏损了8元．可以用“总利润 = 总售价 − 总进价”计算，也可以用“总利润 = 盈利的利润 + 亏损的利润”计算． 设计意图：依托经典的“同售价、不同进价”盈亏问题，引导学生经历“先估计—再列方程—后检验”的完整过程，利用利润率公式反推进价，突破“一赚一亏必相抵”的直觉误区，深化对隐蔽等量关系与整体盈亏判断方法的理解，落实建模思想． 【课堂活动】 教师：同学们尝试下面的练习题，考查自己本节课知识掌握情况． 1．某商品进价为200元，标价为300元，若按标价的八折出售，此时的利润是多少元？利润率是多少？ 2．某种服装每件售价为150元，盈利率为25%，这件服装的进价是多少元？ 3．商店同时卖出两件商品，每件都卖120元，一件盈利20%，一件亏损20%，这次买卖是盈利还是亏损？盈亏多少元？ 【学生活动】独立思考后在练习本上写出答案，同桌之间互相检查． 设计意图：设置由单件到多件、由正向计算到反向求进价再到整体盈亏判断的分层练习，及时巩固核心数量关系与列方程的方法，排查“利润与售价无关”这一易错点，规范解题书写． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知． 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.销售问题中的等量关系：利润 = 售价 − 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%；商品售价 = 进价 ×（1 + 利润率）． 2.销售盈亏类问题列方程及判断盈亏的思路：当进价未知时，利用“利润 = 进价 × 利润率”由售价、利润率反推进价并列方程；求出各件商品进价后，比较总进价与总售价——总售价大于总进价为盈利，小于为亏损，相等为不盈不亏． 学科网（北京）股份有限公司 $