1.1 有理数的引入（讲义，知识点&14大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义围绕有理数核心知识，从相反意义的量引入正数负数概念，通过有理数分类建立数系认知，借助数轴实现数形结合，延伸至相反数、绝对值及大小比较，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以生活情境（如温度、微信收付款）培养数学眼光，通过分类辨析、数轴应用发展抽象能力与几何直观，分层题型（随学随练、迁移创新）助力数学思维与语言表达，课中辅助教学，课后帮助查漏补缺。

第一章 有理数 1.1 有理数的引入 课标要点 1.结合温度、海拔、收支等真实情境认识具有相反意义的量，掌握正数、负数的概念与符号表示方法，理解有理数的定义，能准确区分正整数、负整数、正分数、负分数等不同类别的数。 2.能独立完成相反意义的量的符号转化、有理数的归类辨析，准确判断一个数所属的数集，建立 “实际问题抽象为数学符号” 的认知逻辑。 3. 能基于正负数的概念解释生活场景中正负号的实际含义，解决有理数分类、数集判断等基础实际问题。 学习重难点 重点： 1.相反意义的量的表示方法，正数、负数的核心概念。 2. 有理数的定义与分类标准，整数、分数的范围界定。 难点： 1.基于数系扩展理解负数的意义，建立 “实际场景→数的概念→分类应用” 的思维模型，明确 0 既不是正数也不是负数的特殊属性。 2.有理数两种分类方式的梳理，规避分类时出现重复、遗漏的问题。 3. 陌生生活场景中正负数实际含义的解读与拓展应用。 知识点 具有相反意义的量 1．具有相反意义的量的含义 两个量意义相反，并且是同一类量，称这两个量是具有相反意义的量。 具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为具有相反意义的量． 2．具有相反意义的量的表示 为了区分具有相反意义的量，我们把其中的一个量前面添加符号＂+ ＂（读作＂正＂）表示，则另一个量前面添加符号＂- ＂（读作＂负＂）表示．具有相反意义的量，哪个量为正，哪个量为负，并没有严格的规定，可以视情况选择． 随学随练 1．如果元表示收入元，那么元表示________． 【答案】支出元 【详解】解：“正”和“负”表示一对相反意义的量， 因为规定元表示收入元， 所以元表示支出元． 2．我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 【答案】C 【详解】解：∵题目规定向南行走步记作， 又∵向南与向北是一对相反意义的方向， ∴表示向北行走步． 知识点 正数、负数的概念 像 这样，前面有＂+ ＂（正）号的数叫作正数；像 这样，前面有＂- ＂（负）号的数叫作负数。零既不是正数，也不是负数。零和正数统称为非负数． （1）正数前面的＂+ ＂号可以省略不写，而一旦写上，一般情况只是为了强调作用，读作＂正＂，不写时＂正＂可以不读出来。而负数前面的＂- ＂号必须写上，读作＂负＂，这里＂+ ＂＂- ＂叫作性质符号。 （2）相对正数的定义，可以理解为小于零的数是负数，也可以理解为正数前面加一个＂- ＂号则为负数． 随学随练 1．在，，，，，中，负数的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据负数“小于0”的定义，逐个判断给定的数，统计负数的个数即可得到结果． 【详解】解：∵ 负数是小于0的数，对给出的数逐个判断： ，是负数； 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ∴ 一共有3个负数． 2．在、、、0、、、1和这些数中，正数有( )个，负数有( )个． 【答案】 4 3 【分析】根据正负数的定义解答即可． 【详解】解：正数有：、、、1，共4个， 负数有：、、，共3个． 知识点 有理数的概念及分类 1．整数分类： 2．分数分类： 3．有理数：能够写成分数 是整数， 的数叫作有理数． （1）整数可以写成分母是 1 的分数形式，但整数不是分数． （2）所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数。 有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是有理数。如 是无限不循环小数，因此 不是有理数． 4．有理数2种分类： 5. 填写数集的两种方法 （1）依次分析所给的数，把它写入某个或某几个数集中． （2）从给出的数中找出属于每个分类的所有数． 填写数集的“两种方法” (1)依次分析所给的数，把它写入某个或某几个数集中，如-1是整数也是非正数，可以把-1写入这两个数集中; (2)从给出的数中找出属于每个分类的所有数,如填在整数中时，把给出的数 中的自然数和负整数全部填入其中即可. 随学随练 1．下列四个数中，是负整数的是（     ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【详解】是分数，是整数，其中5是正整数，0既不属于正数也不属于负数，是负整数． 2．在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【答案】，，，， 【详解】解：是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 既不是正数也不是负数，所以不是正有理数； 是大于的有限小数，有限小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 是大于的分数，分数属于有理数，所以是正有理数； 是大于的无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 综上可知，正有理数有：，，，，． 知识点 数轴 1．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴． 数轴定义三层含义 （1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸． （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可． （3）原点位置的选择，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向． 2．数轴的画法 （1）画：先画一条直线（一般画成水平的直线）。 （2）取：在直线的适当位置任取一点作为原点，并用这点表示数 0 ． （3）定：规定正方向（一般规定从原点向右为正方向），画上箭头． （4）标：选取适当长度作为单位长度，在直线上标出对应数字． 在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一。 数轴常见的四大错误 (1)没有原点; (2)没有标出正方向; (3)没有标出单位长度或是单位长度不统一; (4)数字排列顺序错误. 随学随练 1．下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． 2．关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 知识点 数轴上的点与有理数的关系 1．每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示． 2．用数轴上的点表示数，所有表示正数的点都在原点的右边，所有表示负数的点都在原点的左边。原点（表示 0 的点）是表示正数的点和表示负数的点的分界点． 随学随练 1．如图，数轴上点 表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由所给数轴可知，点A表示的数为， 所以点A表示的数的相反数是． 2．如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点，根据它在数轴上的位置估计即可． 【详解】数轴上点位于原点右侧一个单位距离， 点表示的数是， 由图可知：小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点， 小蘑菇所在点表示的数可能为． 知识点 相反数 1．相反数的概念 只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数． 0 的相反数是 0,它是唯一一个相反数与本身相同的数． 一般地， 和 互为相反数，这里 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是 0 ． 2．相反数的几何意义 互为相反数的两个数（ 0 除外）可以用数轴上的两个点表示，这两个点分别位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 数轴上到原点距离相等的两个点表示的两个数一定互为相反数． 3．相反数的性质 ①数的相反数是． ②若互为相反数，则． ③若，则互为相反数． ④正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4．相反数的求法 求一个数的相反数，只需要在其前面加上＂-＂即可． 5．多重符号的化简 多重符号化简的依据是相反数的定义。 化简规律： 化简结果由＂- ＂号的个数决定。当＂- ＂号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当＂- ＂号的个数是奇数时，化简的结果为负数，简称＂奇负偶正＂． ①结果的 与“ 号的个数无关，只与“ 号的个数有关． ②化简的结果为正数时，＂+ ＂号通常省略不写． 随学随练 1．的相反数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可直接得出结果. 【详解】解：的相反数是. 2．若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零． 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 知识点 绝对值 1．绝对值的几何意义 一般地，数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数的绝对值，记作，读作＂绝对值＂或＂的绝对值＂． （1）一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小． （2）从绝对值的几何意义上来理解，一个数的绝对值可以认为是两点间的距离（其中一点是原点），所以绝对值不可能是负数，也就是说一个数的绝对值不是正数就是0，即，它是一个非负数，只有当时，距离为零，即． 2．绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即： （1）如果，那么； （2）如果，那么； （3）如果，那么． 反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或0；如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或0．绝对值相等、符号不同的两个数互为相反数。 求一个数的绝对值的两种方法 (1)可以根据绝对值的几何意义求解.的代数意义确定结果， (2)求一个数的绝对值时，应先判断这个数是正数、负数还是零，再根据绝对值 随学随练 1．绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． 2．下列各数中，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义求出各选项数的绝对值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，， 绝对值最大的是． 知识点 有理数的大小比较 1．利用数轴比较有理数的大小 用数轴上的点表示有理数时，这些点从左到右的顺序，就是有理数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 2．利用法则比较有理数的大小 （1）正数大于零，零大于负数，正数大于负数； （2）比较两个负数的大小，绝对值大的那个数反而小。 利用数轴比较有理数大小的步骤 一是在数轴上描出表示各数的点；二是观察各点在数轴上的位置；三是根据在数轴上右边的数大于左边的数的规律进行比较． 两个负数比较大小 （1）求出两个数的绝对值； （2）比较两个数绝对值的大小； （3）根据＂两个负数比较大小，绝对值大的那个数反而小＂写出答案。 随学随练 1．数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，要找最接近原点的点，只需比较各数的绝对值，绝对值最小的即为所求． 【详解】解：∵ 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，，，， ∵ ∴对应的点到原点的距离最小，最接近原点． 2．在，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有理数大小比较规则：负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 因此四个数中最小的数是． 题型 正负数的定义 ▌例1 在下列有理数中，负数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了负数，把各数进行化简是解题的关键．首先把各个数进行化简，再根据在正数前面加上“”是负数即可得到答案． 【详解】解：，是负数，符合题意； ，是负数，符合题意； ，是正数，不符合题意； ，是负数，符合题意； ，是正数，不符合题意； ，是负数，符合题意； 故负数有个． 故选：C． ▌对点练1-1已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有___________；负数有___________． 【答案】 ，，6， ，， 【分析】本题主要考查正数与负数，属于基础题． 根据正数与负数的特征可判定求解． 【详解】解：在，，，0，，，6，中， 正数，，6，；负数有，，． 故答案为：，，6，，，， ▌对点练1-2如果把“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作______元． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作元， 故答案为：． 题型 相反意义的量 ▌例2 微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款50元记作元，那么向商家付款80元记作（    ） A． B． C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了相反意义的量，正负数表示具有相反意义的量，根据二维码收款记为正，向商家付款记为负求解即可． 【详解】解：∵二维码收款50元记作元， ∴向商家付款80元记作元， 故选：D， ▌对点练2-1我国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若温度上升记为，则温度下降记为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义．根据正负数表示相反意义的量，上升为正，则下降为负，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵温度上升记为， 则温度下降记为， 故选：B． ▌对点练2-2规定：表示向右移动3记作，则表示向左移动4记作_______________． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，据此求解即可． 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴表示向右移动3记作，则（←4）表示向左移动4记作． 故答案为：． 题型 正负数的实际应用 ▌例3 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果将“收入元记作元”，那么“支出元”应记作（ ） A．元 B．元 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际意义，明确相反关系是解题关键． 收入记为正数，则支出记为负数，直接根据数值和对应符号即可得出答案． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元应记作负数，即元． 故选：． ▌对点练3-1中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 盈利记为正数，则亏损记为负数． 【详解】解：∵盈利元记作元， 盈利记为正，则亏损用负数表示， ∴亏损元记作元， 故选：B． ▌对点练3-2如果规定逆时针旋转记作，那么顺时针旋转记作_______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查正数和负数的意义和它们在生活中的应用，根据规定，逆时针旋转记为正，则顺时针旋转记为负． 【详解】解：由于逆时针旋转记作，因此顺时针旋转记作． 故答案为：． 题型有理数的定义 ▌例4 在、0、、π、、中，有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数分为整数和分数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵是有限小数， ∴是有理数； ∵0是整数， ∴0是有理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵ π是无限不循环小数， ∴π不是有理数； ∵是整数， ∴是有理数； ∵是有限小数， ∴是有理数， ∴有理数有5个， 故选：D ▌对点练4-1在数轴上，位于和3之间的点表示的有理数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数和数轴的知识，能够掌握有理数所指的数的范围是解题的关键．根据有理数的定义，结合数轴解答即可． 【详解】解：∵有理数包括整数和分数， ∴在和3之间的有理数有无数个，如，0，1，，等等． 故选：D． ▌对点练4-2写出所有比3小的自然数__________． 【答案】2、1、0 【分析】本题考查了有理数的概念，根据自然数的定义即可求解． 【详解】解：比3小的自然数有2、1、0， 故答案为：2、1、0． 题型 有理数的分类 ▌例5下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的概念，有理数包括正有理数，负有理数和0，有理数是分数和整数的统称，0也是整数，1是最小的正整数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，原说法正确，不符合题意； B、负分数是有理数，原说法正确，不符合题意； C、有理数包括正有理数、负有理数和0，原说法错误，符合题意； D、1 是最小的正整数，原说法正确，不符合题意； 故选：C． ▌对点练5-1下列各数中，负有理数是（  ） A．0 B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数是小于零的有理数，需从选项中找出符合条件的数． 【详解】解：∵负有理数定义为小于零的有理数； A．0既不是正数也不是负数，∴不符合； B．且可表示为分数，∴是有理数且为负，∴符合； C．，∴不符合； D．，∴不符合． 故选：B． ▌对点练5-2在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在数；；；；；；；0；；中，属于负分数的，，，，，，， 共6个， 故答案为；6． 题型 用数轴上的点表示有理数 ▌例6 如图，数轴上表示的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，用数轴上的点表示有理数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：的相反数是2． 故选：D． ▌对点练6-1下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点距离越远的点，表示的数就越大 B．数轴上在原点左边离原点距离越远的点，表示的数就越小 C．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数 D．两个数的绝对值相等，则这两个数相等 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，正数和负数定义，相反数，数轴上在原点右边的点离原点距离越远的点表示的数越大，而在原点左边离原点越远的点表示的数越小，据此可判断A、B；正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可判断C、D． 【详解】解：A．数轴上在原点右边的点离原点距离越远的点表示的数越大，而在原点左边离原点越远的点表示的数越小，原说法错误，不符合题意； B．数轴上在原点左边离原点距离越远的点，表示的数就越小，原说法正确，符合题意； C．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数或0，原说法错误，不符合题意； D．两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，原说法错误，不符合题意； 故选：B． ▌对点练6-2数轴上原点右边4厘米处的点表示的有理数是32，那么数轴上原点左边10厘米处的点表示的有理数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴及有理数在数轴上的表示，熟练掌握数轴的知识是解答本题的关键．先求出单位长度，根据厘米表示个单位，求出这个数的绝对值，再根据原点左侧表示的是负数，即可求出这个有理数． 【详解】解：数轴上原点右边厘米处的点表示的有理数是， 数轴的单位长度是厘米， 厘米表示个单位， ， 数轴上原点左侧的数为负数， 该有理数为， 故答案为：． ▌对点练6-3如图，已知数轴上点表示的数是2026，且，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是2026， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故答案为：． 题型 相反数的定义 ▌例7 已知，是两个不为的不同有理数，且，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（    ） A．两点都在原点右侧 B．两点都在原点左侧 C．两点分别在原点两侧且到原点距离相等 D．其中一点为原点 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，由且，可知与互为相反数，因此在数轴上它们分别在原点两侧且到原点距离相等，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴，即与互为相反数， ∴在数轴上，互为相反数的两个点分别位于原点两侧，且到原点的距离相等， 故选：． ▌对点练7-1下列选项中所给的数字中互为相反数的一项是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，化简多重符号和求一个数的绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、和不互为相反数，不符合题意； C、和不互为相反数，不符合题意； D、和不互为相反数，不符合题意； 故选：A． ▌对点练7-2 的相反数是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行分析，即可作答． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． ▌对点练7-3（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数． 点表示的数是__________，点表示的数是__________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将、、、四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），； （2）见解析； （3） 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，相反数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）首先把0到1之间的长度平均分成3份，每份表示，所以点A表示的数是；然后把2到3之间的长度平均分成3份，每份表示，所以点B表示的数是； （2）先根据相反数的定义得到点表示的数是，然后根据在数轴上表示数的方法，在（1）中的数轴上分别画出点C、点D，并标明相应字母即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此将A、B、C、D四个点所表示的数从大到小排列即可． 【详解】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是； 故答案为：，； （2）由于点表示的数是的相反数，故点表示的数是， 如图所示： （3）根据题意得． 题型 化简多重符号 ▌例8 下列各数与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简多重符号和绝对值的概念，注意负号的处理和绝对值的非负性是解题的关键．通过计算每个选项的数值，判断是否等于，即可得解． 【详解】解：A：，故该选项不符合题意；   B：，故该选项不符合题意；   C：，故该选项不符合题意；   D：，故该选项符合题意；   故选：D． ▌对点练8-1比较大小：_____________．（填“”、“”或“ 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，化简绝对值和多重符号，先化简绝对值和多重符号，再比较有理数大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． ▌对点练8-2比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ 【答案】 【分析】先根据相反数和绝对值的定义化简各组中的数，再根据有理数大小比较法则判断：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；正数大于一切负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大． 【详解】解：，，， ∵， ∴，即； ∵，， ∴，， ∵， ∴； ，， ∵， ∴． 题型 相反数的应用 ▌例9 下列四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小的比较，还涉及到绝对值与相反数的意义,解题的关键是熟知有理数大小比较的法则． 将选项A与选项C分别计算再与选项B、选项D的数值作比较，按照从大到小的顺序排列起来，即可知最小的数． 【详解】，， ∵ ∴ 故最小的数是， 故选：D． ▌对点练9-1 、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，绝对值的意义，数形结合是解答本题的关键．观察数轴可知：，，从而得到，且，，即可得解． 【详解】解：由图可知，，， ，且，， ． 故选：C ． ▌对点练9-2如果与互为相反数，那么_____． 【答案】3 【分析】本题考查相反数和绝对值，根据相反数的定义，求出A的值，再代入绝对值计算即可． 【详解】解：因为 A 与互为相反数， 所以， 故； 故答案为：3． 题型 绝对值的几何意义 ▌例1 0下列说法正确的有（   ）个． 绝对值越大的数越大； 非负数是零和正数的统称； 如果表示向东前进了，那么就表示向南前进了； 在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的分类，相反意义的量，有理数与数轴，根据绝对值，有理数的分类，相反意义的量，有理数与数轴等知识逐一分析即可，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：绝对值越大的数不一定大，如，但，故错误，不符合题意； 非负数是零和正数的统称，故正确，符合题意； 表示向东，则应表示向西，而非向南，故错误，不符合题意； 数轴上与之间的有理数有无数个，故错误，不符合题意； ∴只有正确，正确的个数为个， 故选：． ▌对点练10-1数轴上，位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点所对应的数的绝对值（    ） A．逐渐增大； B．逐渐减小； C．先增大后减小； D．先减小后增大． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】解：∵位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点到原点的距离先减小后增大， ∴根据绝对值的几何意义可得，这个点所对应的数的绝对值先减小后增大， 故选：D． ▌对点练10-2如果，且，那么_________． 【答案】3 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解，再结合条件筛选符合的解． 【详解】解：由，得或， 解得或， 因为， 所以． 故答案为：3． ▌对点练10-3数轴上到原点距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点共有________个． 【答案】7 【分析】本题考查了数轴和有理数的绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键． 根据数轴和绝对值的定义即可判断． 根据数轴和绝对值的定义，到原点距离小于4个单位长度的点对应绝对值小于4的整数 【详解】解：数轴上到原点的距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点有，共7个； 故答案为：7． 题型 求一个数的绝对值 ▌例1 1下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，需先化简各选项中的数，再根据定义判断． 【详解】解：选项A：，与2相等，不是相反数； 选项B：，与2相等，不是相反数； 选项C：，2与绝对值相等、符号相反，互为相反数； 选项D：，，两数相等，不是相反数． 故选：C． ▌对点练11-1如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． ▌对点练11-2计算：_________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据一个数的绝对值，当a是负数时，，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练11-3比较大小：______（用“<”“>”或“=”表示）． 【答案】> 【分析】本题考查了有理数的比较，绝对值，熟知有理数比较的法则是解题的关键． 先算绝对值，根据两个负数比较绝对值大的反而小，即可解答， 【详解】解：∵， 又，，， ∴， 故答案为：>． 题型 有理数大小比较 ▌例1 2下列各数中，比小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小． 先比较各选项与的大小，根据负数比较大小的规则判断，正数和都大于负数． 【详解】解：A、，此选项符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：A． ▌对点练12-1比较大小：_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较有理数的大小，熟练掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． 先计算绝对值的值，得到正数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． ▌对点练12-2比较大小：______，______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】此题考查了比较有理数大小．根据正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为：， 题型 利用数轴比较有理数的大小 ▌例1 3如果点和点在数轴的一部分上的位置如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．点表示的数一定是负数： B．点表示的数一定小于点所表示的数； C．点表示的数与点所表示的数的和一定是正数； D．点表示的数的绝对值一定小于点所表示的数的绝对值； 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，由于不知道原点位置，故不能判断点A和点B所表示的数的正负，且不能判断二者所表示的数的绝对值的大小，而点A在点B左侧，则点A表示的数小于点B表示的数，据此可得答案． 【详解】解：∵不知道原点的位置， ∴点A表示的数不一定是负数，点A表示的数不一定是正数，点A表示的数的绝对值不一定小于点B所表示的数的绝对值， ∵点A在点B左侧， ∴点A表示的数一定小于点B表示的数， ∴四个选项中只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． ▌对点练13-1有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数：___________． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，解题的关键在于掌握数轴上数的大小特点，利用数轴找出，所在位置，再根据数轴上的数从左到右依次增大，即可解题． 【详解】解：结合数轴找出，所在位置，如下图所示： 利用数轴特点可知，， 故答案为：． ▌对点练13-2在数轴上表示、、，并将这些数用“”相连； 【答案】， 【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：数轴表示见答案， 则． ▌对点练13-3数轴上有A、B、C、D四个点，点A、点B的位置如图所示，点C表示的数是，点D表示的数是． (1)点A表示的数是______；点B表示的数是______； (2)在数轴上画出和所表示的点，分别用点C、点D表示； (3)将A、B、C、D四个点所表示的数用“<”连接：_______． 【答案】(1)， (2)作图见详解 (3) 【分析】本题考查了数轴的相关知识，包括数轴上点所表示数的确定，数轴上点的绘制以及数的大小比较．需根据数轴的刻度确定点所表示的数，依据数轴表示数的方法绘制点位，再根据数轴上数的大小关系比较数的大小即可． 【详解】（1）解：由数轴表示可知，点A的位置在和0之间，平均分成了5份，点A位于从右往左第3份处，即；点B的位置在1和2之间，平均分成了4份，点B位于从左往右第3份处，即， 故答案为：，． （2）解：如图，点C、点D即为所求： （3）解：将A、B、C、D四个点所表示的数用“<”连接如下： ． 题型 数轴上两点之间的距离 ▌例1 4如图，数轴上单位长度代表，点A、点B都在数轴上，A表示的数为，且点B与点A相距，则点B表示的数是_______． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，掌握数轴上两点间的距离公式是解答本题的关键． 分点B在点A的左侧和右侧两种情况，分别根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：当点B在点A的左侧时，点B所表示的数为， 当点B在点A的右侧时，点B所表示的数为． 故答案为：或2． ▌对点练14-1如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【答案】0.6/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． ▌对点练14-2数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式列式，根据绝对值的意义，进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，以及两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据绝对值的几何意义，进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和7之间时，的值最小，为和7之间距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）解：，即数轴上表示的点到表示2的点的距离为3， ∴或； 故答案为：或5； （3）解：当表示x的点在与5之间移动时，； （4）解：表示数轴上表示的点到表示的点以及到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点在与7之间移动时，的值最小，为． 题型 绝对值非负性 ▌例1 5如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性．绝对值具有非负性，对于任意有理数恒成立；而其他选项在取负值时可能小于零． 【详解】解：∵表示的绝对值，根据绝对值的定义，对于任何有理数，都有； 而A．、B．、C．在时均可能小于零， 例如当时，， 但当时，， ∴只有选项D的值一定不小于零． 故选：D． ▌对点练15-1已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． ▌对点练15-2若，则__________，__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据几个非负数的和为零，则每个非负数均为零，即可得出，，求解即可，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 基础通关 （25-26六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． ，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按由小到大的顺序排列为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，有理数在数轴上的表示，利用数轴比较有理数的大小；根据有理数a，b在数轴上的位置，可把有理数，表示的点在数轴上表示出来，利用数轴即可比较出大小． 【详解】解：把有理数，表示的点在数轴上表示出来，如下图所示， 则， 故选：C． （24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数的绝对值为正数 B．如果两数和为0，那么这两个数绝对值相等 C．只有正数和负数才有相反数 D．如果两个数绝对值相等，那么这两个数之和为0 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，正确理解相反数的定义和绝对值的定义是解题的关键．根据相反数的定义，绝对值的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、因为0的绝对值为0，不是正数，所以选项A错误，不符合题意； B、如果两数和为0，则它们互为相反数，而互为相反数的绝对值相等，所以选项B正确，符合题意； C、因为0的相反数是0，所以不是只有正数和负数才有相反数，所以选项C错误，不符合题意； D、因为绝对值相等的两数相等或互为相反数，但和不一定为0，所以选项D错误，不符合题意． 故选：B． （24-25六年级上·上海·阶段检测）用“”号连接：，，；________． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的大小比较，多重符号的化简，熟练掌握化简方法是解题关键． 先化简每个表达式，再比较数值大小． 【详解】解：，，， ， ， ∴， 故答案为：． 比较大小：______.（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小是解题的关键. 【详解】解：，， 故， 故答案为：． 数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是________． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点，掌握“右移加，左移减”是解题的关键． 根据平移时坐标的变化规律列式计算即可． 【详解】解：当点A在数轴上向右平移6个单位长度得到点B，则； 当点A在数轴上向左平移6个单位长度得到点B，则． 综上，点B表示的数是1或． 故答案为：1或． （25-26六年级上·上海·阶段检测）在数轴上表示下列各数：，0，2，，，并将这些数用“<”号顺次连接起来． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据正负数把各数表示在数轴上，再根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【详解】解：在数轴上表示各数如图所示： 这些数用“<”号顺次连接：． 素养提升 在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较，根据阅读材料得出两个分数大小比较方法是解答本题的关键． （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可． 【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“绝对值大的负数反而小”进行判断； 故答案为：；绝对值； （2）解：∵，， ∴， ∴． 迁移创新 【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 【答案】（1），；（2）或；（3）；或； 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离，关键是能分情况讨论，利用数轴列出算式或一元一次方程． （1）由两点间距离的定义可得，设表示的点与表示的点重合，且点到点和表示的点与点的距离相等，即可求得答案； （2）由，得到和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可得到答案； （3）根据点的位置化简绝对值求解即可求得及，分点在线段上和点位于点右侧两种情况列方程求解点的位置即可． 【详解】解：（1）由题意，得，点，之间的距离． 设表示的点与表示的点重合， 因为数轴上两点，表示的数分别为，， 所以，即点到点的距离和表示的点到点的距离相等， 所以或， 因为表示的点在点的左边， 所以点在点的右边， 即不合题意，舍去，所以， 即表示的点与表示的点重合． （2）因为， 所以和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 所以或， 故答案为或． （3）因为点在，两点之间， 所以， 所以． 因为， 所以点到点和点的距离之和等于． 因为，两点表示的数分别为，， 所以， 当点在点左侧时，如答图①， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为， 当点在点右侧时，如答图②， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 当在，两点之间时，点到，两点的距离之和最小，为， 因为表示的数为整数， 所以表示的数有，，，，，，，，，，共个． 故答案为；或；． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 1.1 有理数的引入 课标要点 1.结合温度、海拔、收支等真实情境认识具有相反意义的量，掌握正数、负数的概念与符号表示方法，理解有理数的定义，能准确区分正整数、负整数、正分数、负分数等不同类别的数. 2.能独立完成相反意义的量的符号转化、有理数的归类辨析，准确判断一个数所属的数集，建立 “实际问题抽象为数学符号” 的认知逻辑. 3. 能基于正负数的概念解释生活场景中正负号的实际含义，解决有理数分类、数集判断等基础实际问题. 学习重难点 重点： 1.相反意义的量的表示方法，正数、负数的核心概念. 2. 有理数的定义与分类标准，整数、分数的范围界定. 难点： 1.基于数系扩展理解负数的意义，建立 “实际场景→数的概念→分类应用” 的思维模型，明确 0 既不是正数也不是负数的特殊属性. 2.有理数两种分类方式的梳理，规避分类时出现重复、遗漏的问题. 3. 陌生生活场景中正负数实际含义的解读与拓展应用. 知识点 具有相反意义的量 1．具有相反意义的量的含义 两个量意义__________，并且是__________，称这两个量是具有相反意义的量. 具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为具有相反意义的量． 2．具有相反意义的量的表示 为了区分具有相反意义的量，我们把其中的一个量前面添加符号＂+ ＂（读作＂正＂）表示，则另一个量前面添加符号＂- ＂（读作＂负＂）表示．具有相反意义的量，哪个量为正，哪个量为负，并没有严格的规定，可以视情况选择． 随学随练 1．如果元表示收入元，那么元表示________． 2．我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 知识点 正数、负数的概念 像 这样，前面有＂+ ＂（正）号的数叫作__________； 像 这样，前面有＂- ＂（负）号的数叫作__________. 零既不是__________数，也不是__________数. 零和正数统称为__________数． （1）正数前面的＂+ ＂号可以省略不写，而一旦写上，一般情况只是为了强调作用，读作＂正＂，不写时＂正＂可以不读出来.而负数前面的＂- ＂号必须写上，读作＂负＂，这里＂+ ＂＂- ＂叫作性质符号. （2）相对正数的定义，可以理解为小于零的数是负数，也可以理解为正数前面加一个＂- ＂号则为负数． 随学随练 1．在，，，，，中，负数的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在、、、0、、、1和这些数中，正数有( )个，负数有( )个． 知识点 有理数的概念及分类 1．整数分类： 2．分数分类： 3．有理数：能够写成__________的数叫作有理数． （1）整数可以写成分母是 1 的分数形式，但整数不是分数． （2）所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数. 有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是__________数.如 是无限不循环小数，因此 不是有理数． 4．有理数2种分类： 5. 填写数集的两种方法 （1）依次分析所给的数，把它写入某个或某几个数集中． （2）从给出的数中找出属于每个分类的所有数． 填写数集的“两种方法” (1)依次分析所给的数，把它写入某个或某几个数集中，如-1是整数也是非正数，可以把-1写入这两个数集中; (2)从给出的数中找出属于每个分类的所有数,如填在整数中时，把给出的数 中的自然数和负整数全部填入其中即可. 随学随练 1．下列四个数中，是负整数的是（     ） A． B．0 C． D．5 2．在，，，，，，，中，正有理数有__________． 知识点 数轴 1．规定了__________、__________和__________的__________线叫作数轴． 数轴定义三层含义 （1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸． （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可． （3）原点位置的选择，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向． 2．数轴的画法 （1）画：先画一条直线（一般画成水平的直线）. （2）取：在直线的适当位置任取一点作为原点，并用这点表示数 0 ． （3）定：规定正方向（一般规定从原点向右为正方向），画上箭头． （4）标：选取适当长度作为单位长度，在直线上标出对应数字． 在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一. 数轴常见的四大错误 (1)没有原点; (2)没有标出正方向; (3)没有标出单位长度或是单位长度不统一; (4)数字排列顺序错误. 随学随练 1．下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 2．关于规范的数轴，下列说法正确的是（     ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 知识点 数轴上的点与有理数的关系 1．每一个有理数都可以用数轴上__________的一个点表示． 2．用数轴上的点表示数，所有表示正数的点都在原点的__________边，所有表示负数的点都在原点的__________边.原点（表示 0 的点）是表示正数的点和表示负数的点的分界点． 随学随练 1．如图，数轴上点 表示的数的相反数是（      ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（      ） A． B． C． D． 知识点 相反数 1．相反数的概念 只有__________不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数． 0 的相反数是__________,它是唯一一个相反数与本身相同的数． 一般地， 和 互为相反数，这里 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是 0 ． 2．相反数的几何意义 互为相反数的两个数（ 0 除外）可以用数轴上的两个点表示，这两个点分别位于原点的两侧，并且与原点的距离__________. 数轴上到原点距离相等的两个点表示的两个数一定互为相反数． 3．相反数的性质 ①数的相反数是． ②若互为相反数，则． ③若，则互为相反数． ④正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4．相反数的求法 求一个数的相反数，只需要在其前面加上＂-＂即可． 5．多重符号的化简 多重符号化简的依据是相反数的定义. 化简规律： 化简结果由＂-＂号的个数决定.当＂-＂号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当＂-＂号的个数是奇数时，化简的结果为负数，简称＂奇负偶正＂． ①结果的与“号的个数无关，只与“号的个数有关． ②化简的结果为正数时，＂+＂号通常省略不写． 随学随练 1．的相反数为（      ） A． B． C． D． 2．若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 知识点 绝对值 1．绝对值的几何意义 一般地，数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数的绝对值，记作，读作＂绝对值＂或＂的绝对值＂． （1）一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小． （2）从绝对值的几何意义上来理解，一个数的绝对值可以认为是两点间的距离（其中一点是原点），所以绝对值不可能是负数，也就是说一个数的绝对值不是正数就是0，即，它是一个非负数，只有当时，距离为零，即． 2．绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即： （1）如果，那么； （2）如果，那么； （3）如果，那么． 反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或0；如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或0．绝对值相等、符号不同的两个数互为相反数. 求一个数的绝对值的两种方法 (1)可以根据绝对值的几何意义求解.的代数意义确定结果， (2)求一个数的绝对值时，应先判断这个数是正数、负数还是零，再根据绝对值 随学随练 1．绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 2．下列各数中，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 知识点 有理数的大小比较 1．利用数轴比较有理数的大小 用数轴上的点表示有理数时，这些点从左到右的顺序，就是有理数从小到大的顺序，即右边的点表示的数__________左边的点表示的数． 2．利用法则比较有理数的大小 （1）正数__________零，零__________负数，正数__________负数； （2）比较两个负数的大小，绝对值大的那个数__________. 利用数轴比较有理数大小的步骤 一是在数轴上描出表示各数的点；二是观察各点在数轴上的位置；三是根据在数轴上右边的数大于左边的数的规律进行比较． 两个负数比较大小 （1）求出两个数的绝对值； （2）比较两个数绝对值的大小； （3）根据＂两个负数比较大小，绝对值大的那个数反而小＂写出答案. 随学随练 1．数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（     ） A． B． C． D． 2．在，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 题型 正负数的定义 ▌例1 在下列有理数中，负数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练1-1已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有___________；负数有___________． ▌对点练1-2如果把“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作______元． 题型 相反意义的量 ▌例2 微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款50元记作元，那么向商家付款80元记作（    ） A． B． C．元 D．元 ▌对点练2-1我国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若温度上升记为，则温度下降记为（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-2规定：表示向右移动3记作，则表示向左移动4记作_______________． 题型 正负数的实际应用 ▌例3 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果将“收入元记作元”，那么“支出元”应记作（ ） A．元 B．元 C． D． ▌对点练3-1中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 ▌对点练3-2如果规定逆时针旋转记作，那么顺时针旋转记作_______． 题型有理数的定义 ▌例4 在、0、、π、、中，有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练4-1在数轴上，位于和3之间的点表示的有理数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 ▌对点练4-2写出所有比3小的自然数__________． 题型 有理数的分类 ▌例5下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 ▌对点练5-1下列各数中，负有理数是（  ） A．0 B． C．2026 D． ▌对点练5-2在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有________个． 题型 用数轴上的点表示有理数 ▌例6 如图，数轴上表示的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 ▌对点练6-1下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点距离越远的点，表示的数就越大 B．数轴上在原点左边离原点距离越远的点，表示的数就越小 C．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数 D．两个数的绝对值相等，则这两个数相等 ▌对点练6-2数轴上原点右边4厘米处的点表示的有理数是32，那么数轴上原点左边10厘米处的点表示的有理数是_____． ▌对点练6-3如图，已知数轴上点表示的数是2026，且，则点表示的数是_______． 题型 相反数的定义 ▌例7 已知，是两个不为的不同有理数，且，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（    ） A．两点都在原点右侧 B．两点都在原点左侧 C．两点分别在原点两侧且到原点距离相等 D．其中一点为原点 ▌对点练7-1下列选项中所给的数字中互为相反数的一项是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 ▌对点练7-2 的相反数是________． ▌对点练7-3（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数． 点表示的数是__________，点表示的数是__________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将、、、四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 题型 化简多重符号 ▌例8 下列各数与相等的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练8-1比较大小：_____________．（填“”、“”或“ ▌对点练8-2比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ 题型 相反数的应用 ▌例9 下列四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． ▌对点练9-1 、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练9-2如果与互为相反数，那么_____． 题型 绝对值的几何意义 ▌例1 0下列说法正确的有（    ）个． 绝对值越大的数越大； 非负数是零和正数的统称； 如果表示向东前进了，那么就表示向南前进了； 在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有个． A．个 B．个 C．个 D．个 ▌对点练10-1数轴上，位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点所对应的数的绝对值（     ） A．逐渐增大； B．逐渐减小； C．先增大后减小； D．先减小后增大． ▌对点练10-2如果，且，那么_________． ▌对点练10-3数轴上到原点距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点共有________个． 题型 求一个数的绝对值 ▌例1 1下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 ▌对点练11-1如果，，那么的结果是（    ） A． B． C．或 D．或 ▌对点练11-2计算：_________________ ． ▌对点练11-3比较大小：______（用“<”“>”或“=”表示）． 题型 有理数大小比较 ▌例1 2下列各数中，比小的数是（   ） A． B． C．0 D． ▌对点练12-1比较大小：_______（填“”、“”或“”）． ▌对点练12-2比较大小：______，______．（填“”、“”或“”） 题型 利用数轴比较有理数的大小 ▌例1 3如果点和点在数轴的一部分上的位置如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．点表示的数一定是负数： B．点表示的数一定小于点所表示的数； C．点表示的数与点所表示的数的和一定是正数； D．点表示的数的绝对值一定小于点所表示的数的绝对值； ▌对点练13-1有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数：___________． ▌对点练13-2在数轴上表示、、，并将这些数用“”相连； ▌对点练13-3数轴上有A、B、C、D四个点，点A、点B的位置如图所示，点C表示的数是，点D表示的数是． (1)点A表示的数是______；点B表示的数是______； (2)在数轴上画出和所表示的点，分别用点C、点D表示； (3)将A、B、C、D四个点所表示的数用“<”连接：_______． 题型 数轴上两点之间的距离 ▌例1 4如图，数轴上单位长度代表，点A、点B都在数轴上，A表示的数为，且点B与点A相距，则点B表示的数是_______． ▌对点练14-1如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． ▌对点练14-2数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 题型 绝对值非负性 ▌例1 5如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练15-1已知，则_________，_________． ▌对点练15-2若，则__________，__________． 基础通关 （25-26六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按由小到大的顺序排列为（　　） A． B． C． D． （24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数的绝对值为正数 B．如果两数和为0，那么这两个数绝对值相等 C．只有正数和负数才有相反数 D．如果两个数绝对值相等，那么这两个数之和为0 （24-25六年级上·上海·阶段检测）用“”号连接：，，；________． 比较大小：______.（填“”、“”或“”） 数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是________． （25-26六年级上·上海·阶段检测）在数轴上表示下列各数：，0，2，，，并将这些数用“<”号顺次连接起来． 素养提升 在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是_____． 请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． 迁移创新 【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $