专题1.5 有理数的混合运算（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，同级从左往右，有括号先算括号）及运算律（交换律、结合律、分配律）的应用，承接小学算术平稳过渡初中代数思维，构建从分步计算到综合列式的学习支架。 资料亮点在于分层题型设计（典例、变式、易错提醒）与实际应用案例（樱桃采摘、工程问题），融入程序框图、进制转换等新题型，培养运算能力、推理意识与模型意识，课中辅助教师突破符号确定等难点，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

专题1.5 有理数的混合运算 教学目标 1. 熟记有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左往右；有括号先小、再中、后大。 2. 熟练结合有理数加、减、乘、除、乘方法则进行综合计算。 3. 灵活运用运算律（交换律、结合律、分配律）简便运算。 4. 能利用有理数的运算解决实际问题。 教学重难点 1.重点 有理数混合运算 2.难点 混合运算的顺序及符号的确定。 知识点01 有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算顺序 ①同级运算——从左往右； ②四则运算——先乘除、后加减，有括号的先算括号里的； ③三级运算——先乘方、再乘除、最后加减； 2. 简便计算 ①加法交换律—— ②加法结合律—— ③乘法交换律—— ④乘法结合律——bc ⑤乘法分配律—— 【即学即练】 1.计算： (1)1-+-； (2) 24（-2）3×（- ）； 知识点02 有理数运算的实际应用 1. 具有相反意义的量 用正负数表示具有相反意义的量（收支、盈亏、海拔变化、位移距离），通过建模把实际问题抽象成有理数混合计算问题。 2. 分数应用题（工程问题） 工作效率，工作总量常用单位“1”表示。 【教学点睛】 本章节的应用题承接小学算术平稳过度初中代数思维的重任，所以要指导学生改变分布算术的习惯，逐步建立寻找数量关系，建立数学模型，列混合综合列式，向初中代数式、方程思维过渡。 【即学即练】 1. 每年6月是樱桃旺季．某樱桃农场安排5位员工进行樱桃采摘工作，规定：采摘数据以为标准，超出部分记作正数，不足部分记作负数．下表是5位员工某一天采摘樱桃的实际情况． 员工 员工1 员工2 员工3 员工4 员工5 采摘质量/ (1)员工2采摘樱桃_____，员工3比员工5多采摘樱桃_____； (2)该农场预计采摘樱桃，通过计算说明这5位员工樱桃采摘实际数量是否能够达到预计数量． 2. 一条公路需要8人用30天才能修完，照此进度，如果增加4人，那么修完这条公路需要多少天? 题型01 同级运算混合题 【典例1】计算： (1)（+5）+（-7）+（+）； (2)（-18）（+4）×（- ）； 【易错提醒】——第（2）题的错解 =（- =（- =7 本题解题过程中有两处错误:①不可以先乘后除，②带分数，而是. 【变式1】计算： (1)1-+-； (3) 24（-2）×（- ）； 【易错提醒】——第（2）题不可以先乘后除， 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】计算：． 【变式4】计算： 题型02 四则混合运算 【典例1】计算：． 【变式1】计算： 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【变式4】计算：． 题型03 含乘方的混合运算 【典例1】在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【变式1】计算：． 【易错提醒】注意的区别。 【变式3】计算：. 【变式4】计算：． 题型04 常见的简便计算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】．用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式2】．运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【变式3】．用运算律简便运算 (1) (2) 【变式4】请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 题型05 常见的错误 【典例1】．计算： (1) (2) 【错解】（1）先算，原始= （2）先算 【变式1】． 分析：常见的错解忽略了带分数的整数部分直接进行分数的约分。原式= 【变式2】计算：． 分析：负数的乘方与乘方的相反数容易混淆。原式= 【变式4】 分析：在使用乘法分配律当公因数是负数时，括号内各项都乘以一个负数，符号容易出错。 错解：原式= 题型06 新题型 【典例1】．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【典例2】．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【典例3】在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数，如二进制中的（注：），可以表示十进制中的．则二进制中的表示十进制中的（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 【变式2】图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【变式3】综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数当．同理，二进制数转换为十进制数为．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数转换为八进制数，因为，所以，所以转换为八进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)将十进制数转换为七进制数； (3)一个四进制数转换为十进制数为，其中为整数，且3，若能被整除，求的值． 题型07 有理数混合运算的实际应用 【典例1】．小华同学每学习完一个单元都会进行一次自我检测，他的四次数学测试成绩记录如下：（以分为标准，超出分的部分记为正数，不足分的部分记为负数） 测试次数 第1次 第2次 第3次 第4次 测试成绩与标准成绩的差值（分） (1)小华同学在计算上很粗心，但学习自觉，主动性很强，每次测试只要低于分，每低一分，就主动找2道计算题加强训练，以提高自己的计算能力．请问：根据这四次数学测试的成绩，小华一共找了多少道计算题进行训练？ (2)求小华这四次数学测试成绩的平均分． 【典例2】．．修一条长3600米的公路，甲工程队单独修需要12天完成，乙工程队单独修需要18天完成，两队合修，多少天可以修完这条公路的？ 【变式1】超市最近新进了一批百香果，每千克16元，第一周试行机动价格，卖出时每千克以20元为标准，超出20元的部分记为正，不足20元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每千克价格相对于标准价格（元） +1 -2 +3 -1 +2 +5 -4 售出千克数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期______． (2)这一周超市出售此种百香果的销售额多少元？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过3千克百香果，每千克22元，超出3千克的部分，每千克打8折；方式二：每千克售价20元．王老师决定买15千克百香果，请通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 【变式2】有一项工程，甲乙两队合作10天可以完成，甲队单独做15天可以完成，今两队合作7天后，所余工程由乙队单独做．求乙队还需要几天才能完成？ 【变式3】一项工程，甲工程队单独修，需要8天完成，乙工程队单独修，需要10天完成．甲、乙两工程队合修，要完成这项工程的，需要多少天？ 1．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 3．下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．计算：___________． 6．规定一种运算：，则的值为__________． 7．若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则_____． 8．小红与小亮两名同学计算的过程如图所示． 小红： ． 小亮： ． 请判断他们的解法是否正确（在相应的方框内打“√”或“×”），并写出你的解答过程． 9．小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是 ． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：），请另写出一种符合要求的运算式子 ． 10．计算: (1) (2) (3) (4) 11. 科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．某乡镇把枇杷放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减．下表是该乡镇第一周枇杷的销售情况（超过计划销售量的千克数记为正数，不足计划销售量的千克数记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 枇杷的销售情况/千克 (1)该乡镇第一周销售枇杷最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)该乡镇第一周销售枇杷的总量是多少千克？ (3)该乡镇按7元/千克销售枇杷，平均运费为3元/千克，则该乡镇第一周销售枇杷一共收入多少元?（收入=销售额-运费） 12．两辆汽车分别从A、B两地同时相向出发，在距离中点35千米处相遇，甲每小时行全程的，乙行全程需15小时，求A、B两地距离多少千米． 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 2．是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 3．对于任意有理数a、b，定义新运算．例如．则的值为（    ） A． B．17 C． D．1 4．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 6．将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 7．计算：_______． 8．计算_________． 9．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 9．计算： (1) (2) (3)； (4)； (5)． 10. 对于任意有理数、，规定一种新运算法则※．a※．例如：1※2＝． (1)求2※（－5）的值； (2)求的值． 11．一项工程，甲、乙两组合作，每天完成全工程的，两组合作8天后，甲组调离工地，由乙组继续做6天完成．问甲组单独做多少天能完成全工程？ 12．有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲多少小时？帮乙多少小时？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 有理数的混合运算 教学目标 1. 熟记有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左往右；有括号先小、再中、后大。 2. 熟练结合有理数加、减、乘、除、乘方法则进行综合计算。 3. 灵活运用运算律（交换律、结合律、分配律）简便运算。 4. 能利用有理数的运算解决实际问题。 教学重难点 1.重点 有理数混合运算 2.难点 混合运算的顺序及符号的确定。 知识点01 有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算顺序 ①同级运算——从左往右； ②四则运算——先乘除、后加减，有括号的先算括号里的； ③三级运算——先乘方、再乘除、最后加减； 2. 简便计算 ①加法交换律—— ②加法结合律—— ③乘法交换律—— ④乘法结合律——bc ⑤乘法分配律—— 【即学即练】 1.计算： (1)1-+-； (2) 24（-2）3×（- ）； 【详解】（1）解：1-+-； =（用了结合律，把前两个数结合，后两个数结合） = （2）24（-2）3×（- ） = = = 知识点02 有理数运算的实际应用 1. 具有相反意义的量 用正负数表示具有相反意义的量（收支、盈亏、海拔变化、位移距离），通过建模把实际问题抽象成有理数混合计算问题。 2. 分数应用题（工程问题） 工作效率，工作总量常用单位“1”表示。 【教学点睛】 本章节的应用题承接小学算术平稳过度初中代数思维的重任，所以要指导学生改变分布算术的习惯，逐步建立寻找数量关系，建立数学模型，列混合综合列式，向初中代数式、方程思维过渡。 【即学即练】 1. 每年6月是樱桃旺季．某樱桃农场安排5位员工进行樱桃采摘工作，规定：采摘数据以为标准，超出部分记作正数，不足部分记作负数．下表是5位员工某一天采摘樱桃的实际情况． 员工 员工1 员工2 员工3 员工4 员工5 采摘质量/ (1)员工2采摘樱桃_____，员工3比员工5多采摘樱桃_____； (2)该农场预计采摘樱桃，通过计算说明这5位员工樱桃采摘实际数量是否能够达到预计数量． 【详解】（1）解：员工2采摘樱桃，员工3比员工5多采摘樱桃， 故答案为：，； （2）解：（）， ∵， ∴这5位员工樱桃采摘实际数量能够达到预计数量． 2. 一条公路需要8人用30天才能修完，照此进度，如果增加4人，那么修完这条公路需要多少天? 【分析】(1)假设这条公路的总长度为“1”,根据条件“8人用30天修完”,可知每人每天修1÷8÷30= (2)要求人数增加4人后完成的天数，根据工作总量、工作效率和工作时间之间的关系，可知增加4人后的工作时间=工作总量(1)÷工作效率×(4+8)]. 【详解】解：根据题意，每人每天修1÷8÷30= 增加4人后的工作时间=1÷[×(4+8)]=1÷=20 (天) 答：修完这条公路需要20天. 题型01 同级运算混合题 【典例1】计算： (1)（+5）+（-7）+（+）； (2)（-18）（+4）×（- ）； 【详解】（1）解：（+5）+（-7）+（+）； =5-7+ （省略成“和”的形式） =+ （从左往右） = （2）（-28）（+4）×（- ） = （统一成“乘”的形式） =6 （先定符号再算绝对值的乘积） 【易错提醒】——第（2）题的错解 =（- =（- =7 本题解题过程中有两处错误:①不可以先乘后除，②带分数，而是. 【变式1】计算： (1)1-+-； (3) 24（-2）×（- ）； 【详解】（1）解：1-+-； =（用了结合律，把前两个数结合，后两个数结合） = （2）24（-2）×（- ） = = = 【易错提醒】——第（2）题不可以先乘后除， 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题为同级乘除运算，所以按照从左到右的顺序计算，再将除法转化为乘法，统一为分数乘法运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题也可先将除法转化为乘法，使用乘方结合律计算。 【变式4】计算： 【答案】36 【分析】本题为同级乘除运算，先将除法转化为乘法，统一为分数乘法运算即可． 【详解】解： . 题型02 四则混合运算 【典例1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算小括号内的式子，再计算中括号，最后计算加法即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算： 【答案】38 【分析】有绝对值符号的要优先计算绝对值和去括号，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘除法，再计算减法即可； （2）先计算乘除法，再计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）有多种括号的要先化简； （2）先计算乘除，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式4】计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型03 含乘方的混合运算 【典例1】在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【答案】运算顺序为：先算乘方和括号内的减法，接着算除法和乘法，最后从左到右计算加减． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式1】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】计算： 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 【易错提醒】注意的区别。 【变式3】计算：. 【答案】 【详解】解： ． 【变式4】计算：． 【答案】0 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，先计算乘法，绝对值，再计算乘除法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 题型04 常见的简便计算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，需要根据运算法则，先处理括号和负号，然后进行计算． （1）正数与正数结合、负数与负数结合 （2）凑整法是常见方法。 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式1】．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 【变式2】．运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】．用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4】请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 题型05 常见的错误 【典例1】．计算： (1) (2) 【错解】（1）先算，原始= （2）先算 【正解】（1）解： （2）解： 【变式1】． 分析：常见的错解忽略了带分数的整数部分直接进行分数的约分。原式= 【正解】解：原式， ， ， ． 【变式2】计算：． 分析：负数的乘方与乘方的相反数容易混淆。原式= 【正解】解： ． 【变式4】 分析：在使用乘法分配律当公因数是负数时，括号内各项都乘以一个负数，符号容易出错。 错解：原式= 【正解】解：原式； 题型06 常见的新题型 【典例1】．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 【典例2】．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 【典例3】在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数，如二进制中的（注：），可以表示十进制中的．则二进制中的表示十进制中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方运算，需根据二进制转十进制的规则，将二进制数按位展开为的整数次幂的和，计算得到对应十进制数． 【详解】解：二进制中的转化为十进制为：． 故选：A． 【变式1】如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，算24点，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算即可； （2）根据运算法则和运算顺序，设计出一个算式即可． 【详解】（1）解：乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算，故最小值是； （2）解：（答案不唯一）． 【变式2】图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 【变式3】综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数当．同理，二进制数转换为十进制数为．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数转换为八进制数，因为，所以，所以转换为八进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)将十进制数转换为七进制数； (3)一个四进制数转换为十进制数为，其中为整数，且3，若能被整除，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解二进制转换十进制数的方法，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为七进制的方法列式计算即可； （3）先将四进制数转十进制得到的表达式，再利用“能被 3 整除”的数的性质求解． 【详解】（1）解： ； 将二进制数转换为十进制数为； （2）解：∵， ∴， ∴将十进制数转换为七进制数为； （3）解：由题意得，， ∵，为整数， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵为整数，且， ∴， ∴． 题型07 有理数混合运算的实际应用 【典例1】．小华同学每学习完一个单元都会进行一次自我检测，他的四次数学测试成绩记录如下：（以分为标准，超出分的部分记为正数，不足分的部分记为负数） 测试次数 第1次 第2次 第3次 第4次 测试成绩与标准成绩的差值（分） (1)小华同学在计算上很粗心，但学习自觉，主动性很强，每次测试只要低于分，每低一分，就主动找2道计算题加强训练，以提高自己的计算能力．请问：根据这四次数学测试的成绩，小华一共找了多少道计算题进行训练？ (2)求小华这四次数学测试成绩的平均分． 【答案】(1)小华一共找了道计算题进行训练． (2)小华这四次数学测试成绩的平均分为分． 【分析】本题考查有理数的实际应用，正确掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据题意，计算即可求解； （2）根据题意，计算即可求解． 【详解】（1）解：（道）， 答：小华一共找了道计算题进行训练； （2） （分） 答：小华这四次数学测试成绩的平均分为分． 【典例2】．．修一条长3600米的公路，甲工程队单独修需要12天完成，乙工程队单独修需要18天完成，两队合修，多少天可以修完这条公路的？ 【答案】两队合修，天可以修完这条公路的． 【分析】此题考查了简单的工程问题．本题已知具体工作总量（3600米），可先算甲、乙的实际工作效率（每天修的长度），再按“总量效率和”计算合修时间． 【详解】解：甲队每天修：（米），乙队每天修：（米）； 两队合修每天的工作效率：（米）； 合修时间：（天）； 答：两队合修，天可以修完这条公路的． 【变式1】超市最近新进了一批百香果，每千克16元，第一周试行机动价格，卖出时每千克以20元为标准，超出20元的部分记为正，不足20元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每千克价格相对于标准价格（元） +1 -2 +3 -1 +2 +5 -4 售出千克数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期______． (2)这一周超市出售此种百香果的销售额多少元？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过3千克百香果，每千克22元，超出3千克的部分，每千克打8折；方式二：每千克售价20元．王老师决定买15千克百香果，请通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)六 (2)3105 (3)用方式一购买更省钱 【分析】本题考查正负数的应用，有理数混合运算的应用，理解正负号的意义是解题的关键． （1）通过看图表的每千克价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）先计算这7天每一天的销售额，再相加可得结果； （3）计算两种购买方式所需金额，比较可得结论． 【详解】（1）解：由题意知，这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，为元． 故答案为：六． （2）解：星期一：元； 星期二：元； 星期三：元； 星期四：元； 星期五：元； 星期六：元； 星期日：元； 元． 答：这一周超市出售此种百香果的销售额3105元． （3）解：按照方式一购买时，所需金额为元； 按照方式二购买时，所需金额为元； ， 所以用方式一购买更省钱． 【变式2】有一项工程，甲乙两队合作10天可以完成，甲队单独做15天可以完成，今两队合作7天后，所余工程由乙队单独做．求乙队还需要几天才能完成？ 【答案】9 【分析】本题主要考查了分数乘除法和分数减法的实际应用，通过工作效率之和与甲的工作效率求出乙的工作效率，再计算合作完成的工作量和剩余工作量，最后求乙单独完成剩余工作量所需的天数． 【详解】解：设总工程量为1． 甲队单独做15天完成，则甲队的工作效率为． 甲乙两队合作10天完成，则两队的工作效率之和为． 所以乙队的工作效率为． 两队合作7天，完成的工作量为． 剩余的工作量为． 剩余工程由乙队单独做，所需时间为天． 答：乙队还需要9天才能完成． 【变式3】一项工程，甲工程队单独修，需要8天完成，乙工程队单独修，需要10天完成．甲、乙两工程队合修，要完成这项工程的，需要多少天？ 【答案】4天 【分析】本题考查了分数运算在实际生活中的应用．甲乙合作的工作效率甲的工作效率乙的工作效率，据此即可求解． 【详解】解：由题意，甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为． 则 （天）， 答：需要4天． 1．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，结果为负数； 选项B：，结果为正数； 选项C：，结果为正数； 选项D：，结果为正数． 2．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：． 3．下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据有理数乘方和乘法的运算法则，分别计算每个选项中两个式子的值，再比较是否相等即可． 【详解】解：，， ，该选项符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； 综上，答案选A． 4．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘3 、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，， ， 所以输出的值为7． 5．计算：___________． 【答案】1 【详解】解： ． 6．规定一种运算：，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据新定义代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 7．若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则_____． 【答案】1 【分析】根据相反数及倒数的定义得到，进而代入计算即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数， ∴， ∴． 8．小红与小亮两名同学计算的过程如图所示． 小红： ． 小亮： ． 请判断他们的解法是否正确（在相应的方框内打“√”或“×”），并写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】先根据乘方运算的优先级，计算出的值，再利用乘法分配律计算后面的乘法部分，最后进行减法运算，判断小红和小亮的解法是否正确． 【详解】解： 小红： ．× 小亮： ．× 解答过程如下： 原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的，正确运用运算律是解题的关键． 9．小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是 ． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：），请另写出一种符合要求的运算式子 ． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）找出与，使其乘积最大即可； （2）找出与，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可． 【详解】（1）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是6； （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是； （3）解：． 10．计算: (1) (2) (3) (4) 【分析】 （1）利用加法交换律，将正数和负数分别合并计算即可． （2）利用乘法分配律计算即可； （3）先计算绝对值和乘方，再算乘除，最后算加减即可； （4）先算乘除，再算加减即可； 【详解】 （1）解： （2）解： （43）解： （4）解： 11. 科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．某乡镇把枇杷放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减．下表是该乡镇第一周枇杷的销售情况（超过计划销售量的千克数记为正数，不足计划销售量的千克数记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 枇杷的销售情况/千克 (1)该乡镇第一周销售枇杷最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)该乡镇第一周销售枇杷的总量是多少千克？ (3)该乡镇按7元/千克销售枇杷，平均运费为3元/千克，则该乡镇第一周销售枇杷一共收入多少元?（收入=销售额-运费） 【答案】(1)千克 (2)千克 (3)元 【分析】本题考查了正负数的实际应用及有理数混合运算的应用，正确列式计算是解题的关键． （1）根据表格列出，即可求解； （2）根据表格列出，即可求解； （3）列出即可求解． 【详解】（1）解：（千克）， 答：该乡镇第一周销售枇杷最多的一天比最少的一天多销售千克． （2）（千克）， 答：该乡镇第一周销售枇杷的总量是千克． （3）（元）， 答：该乡镇第一周销售枇杷一共收入元． 12．两辆汽车分别从A、B两地同时相向出发，在距离中点35千米处相遇，甲每小时行全程的，乙行全程需15小时，求A、B两地距离多少千米． 【答案】350千米 【分析】本题考查了行程问题中速度、时间、路程的关系以及分数运算的应用，解题的关键是确定两车的速度比、相遇时的路程差与全程的关系． 先求出甲、乙的速度比，再根据相遇时的路程差对应全程的比例，计算出、两地的距离． 【详解】解：设A、B两地的距离为千米， 甲的速度为千米／小时， 乙的速度为千米／小时， 甲、乙的速度比为， 相遇时，时间相同，路程与速度成正比，故甲、乙的路程比为， 甲行驶了全程的，乙行驶了全程的， 甲比乙多行驶的路程为千米， 多行驶的路程占全程的， 则全程千米． 答：A、B两地距离350千米． 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方运算及四则混合运算，需按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序逐一计算各选项，判断结果是否正确． 【详解】解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵，∴C选项正确． ∵，∴D选项错误． 故选：C． 2．是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【详解】解：，，且， 是的倍． 3．对于任意有理数a、b，定义新运算．例如．则的值为（    ） A． B．17 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算的计算．将对应数值代入给定的新运算公式，依据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：∵新运算定义为， ∴把，代入公式得： ， 故选：C． 4．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 5．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 6．将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 【答案】 19 10111 【分析】（1）根据题中给出的示例，二进制数转化为十进制数的方法是将每一位上的数字乘以对应的2的幂次方，然后相加即可； （2）将十进制数转化为二进制数，可采用“除2取余法”，即不断用2去除该数，直到商为0为止，然后将余数倒序排列即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ∴将二进制数10011转化成十进制数为19； （2）， ， ， ， ， 将余数从下往上排列，得到：10111， 经检验：， ∴将十进制数23转化成二进制数为10111． 7．计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 8．计算_________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照先算乘方，再算乘法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】 ． 9．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由图可得， ， ∴他一共捞得的鱼的数量为条， 故答案为：． 9．计算： (1) (2) (3)； (4)； (5)． 【分析】主要考查了乘法的分配律求解及有理数混合运算法则； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 10. 对于任意有理数、，规定一种新运算法则※．a※．例如：1※2＝． (1)求2※（－5）的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义运算法则，有理数的混合运算顺序和法则，是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据新运算定义，先计算中括号内的运算，再与中括号外的运用新定义运算． 【详解】（1）解：（1） （2）解：∵※4 ； ∴ 11．一项工程，甲、乙两组合作，每天完成全工程的，两组合作8天后，甲组调离工地，由乙组继续做6天完成．问甲组单独做多少天能完成全工程？ 【答案】甲组单独做36天能完成全工程 【详解】解： ， ，    （天） 答：甲组单独做36天能完成全工程． 12．有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲多少小时？帮乙多少小时？ 【答案】丙帮甲小时，帮乙小时 【分析】三人同时开始同时结束，共完成两个仓库的工作，根据工作总量和三人效率和算出总工作时间，再分别计算丙帮甲、丙帮乙的工作时间． 【详解】解：设每个仓库的工作总量为单位，则两个仓库总工作总量为， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为． ∴三人效率和为：，总工作时间为：（小时）， ∴甲完成的工作量为：， ∴丙帮甲完成的工作量为， ∴丙帮甲的时间为：（小时）， 丙帮乙的时间为：（小时）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $