1.3 有理数的乘法与除法（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘）、多个有理数相乘的符号规律（负因数奇负偶正）、乘法运算律（交换律、结合律、分配律），以及除法法则（除以非0数等于乘倒数，符号法则）、倒数概念与乘除混合运算顺序，构建从单一运算到综合应用的学习支架。 资料配套思维导图助力知识结构化，分题型设计练习题（如乘法符号判断、运算律应用、倒数与相反数结合题），培养学生抽象能力与运算能力。针对基础薄弱学生设计梯度内容，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生针对性练习，查漏补缺提升成绩。

1.3有理数的乘法与除法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 2. 多个有理数相乘：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，如果其中有因数为0，积就为0。 3. 有理数乘法的运算律： · 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即(a×b = b×a)。 · 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即((a×b)×c = a×(b×c))。 · 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即(a×(b + c)=a×b + a×c)。 有理数的除法 1. 有理数除法法则（一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为：(a÷b = a×(b≠0))。 2. 有理数除法法则（二）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 3. 与除法相关的运算： · 分数的化简：分数可以理解为分子除以分母，其符号法则与有理数除法的符号法则相同，即分子、分母同号得正，异号得负。 · 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。0没有倒数。求一个数（不为0）的倒数，就是用1除以这个数。 有理数的乘除混合运算 1. 运算顺序：在没有括号的情况下，同级运算（只有乘法和除法）从左到右依次进行。 2. 运算技巧：可以先将除法转化为乘法，再利用乘法的运算律（交换律、结合律）进行简便运算。 型 习 练 题 有理数的乘法运算 1．4个均不为0的有理数相乘，积为负数．下列关于这4个有理数的描述，可能正确的是（　　） A．2个正数，2个负数 B．1个正数，3个负数 C．都是负数 D．都是正数 2．已知a，b，c，d都是有理数，且．若a与b同号，则c与d（    ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．一定同号 3．若三个有理数，5，a的积是一个正数，则a的值可以是（    ） A．8 B．0 C． D． 4．下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 5．张同学在计算时，因印刷问题，□里的数无法看清，老师告知此算式的结果为正数，则□里的数可能是（  ） A．4 B． C． D．0 倒数 6．若a与b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D． 7．a是非零的自然数，a和它的倒数相比（　　） A． B． C． D． 8．若的相反数是，则的值为（    ） A．2022 B． C． D． 9．下列各组数中，互为倒数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．的相反数的倒数是(      ) A． B．3 C． D． 有理数乘法运算律 11．下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 12．计算 的结果是（   ） A．6 B．8 C． D． 13．下列式子中，与的结果相同的是（   ） A． B． C． D． 14．式子中，运用的运算律是（    ）． A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 15．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 有理数的除法运算 16．下列算式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 17．下列运算有错误的是（   ） A． B． C． D． 18．在下列算式中，运算结果为0的是（   ） A． B． C． D． 19．若有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 20．下列算式中，计算的结果是正数的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 有理数四则混合运算 21．小明设置了一个有理数的运算程序：，． (1)求的值； (2)求的值． 22．对于有理数、规定一种新运算：．其中为常数，等式右边是乘法和加法运算，已知． (1)求常数的值； (2)求的值． 23．计算：． 24．计算： (1)； (2)． 25．计算： (1) (2) 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3有理数的乘法与除法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 2. 多个有理数相乘：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，如果其中有因数为0，积就为0。 3. 有理数乘法的运算律： · 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即(a×b = b×a)。 · 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即((a×b)×c = a×(b×c))。 · 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即(a×(b + c)=a×b + a×c)。 有理数的除法 1. 有理数除法法则（一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为：(a÷b = a×(b≠0))。 2. 有理数除法法则（二）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 3. 与除法相关的运算： · 分数的化简：分数可以理解为分子除以分母，其符号法则与有理数除法的符号法则相同，即分子、分母同号得正，异号得负。 · 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。0没有倒数。求一个数（不为0）的倒数，就是用1除以这个数。 有理数的乘除混合运算 1. 运算顺序：在没有括号的情况下，同级运算（只有乘法和除法）从左到右依次进行。 2. 运算技巧：可以先将除法转化为乘法，再利用乘法的运算律（交换律、结合律）进行简便运算。 型 习 练 题 有理数的乘法运算 1．4个均不为0的有理数相乘，积为负数．下列关于这4个有理数的描述，可能正确的是（　　） A．2个正数，2个负数 B．1个正数，3个负数 C．都是负数 D．都是正数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，正确的推理是解题的关键． 根据有理数乘法法则，多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：若负因数个数为奇数，则积为负数；若负因数个数为偶数，则积为正数。本题中积为负数，故负因数个数必为奇数． 【详解】∵ 4个非零有理数相乘，积为负数， ∴ 负因数的个数为奇数（即1或3）， 选项A：2个负数，负因数个数为偶数（2），积应为正数，不符合； 选项B：3个负数，负因数个数为奇数（3），积为负数，符合； 选项C：4个负数，负因数个数为偶数（4），积应为正数，不符合； 选项D：0个负数，负因数个数为偶数（0），积应为正数，不符合． 故选：B． 2．已知a，b，c，d都是有理数，且．若a与b同号，则c与d（    ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．一定同号 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键；由a与b同号，得；结合，推出，然后问题可求解． 【详解】解：∵a与b同号， ∴． ∵， ∴． ∴c与d异号； 故选C． 3．若三个有理数，5，a的积是一个正数，则a的值可以是（    ） A．8 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，由题意，三个有理数的积为正数，已知一个负数和一个正数，因此第三个数必须为负数，才能使积为正，据此即可得出答案． 【详解】解：∵三个有理数，5，a的积是一个正数， ∴a的值是负数， ∴a的值可以是， 故选：C． 4．下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法法则，计算各选项的积，判断其符号即可. 【详解】解： A、，不是负数，不符合题意； B、，不是负数，不符合题意； C、，是负数，符合题意； D、 ，不是负数，不符合题意； 故选C. 5．张同学在计算时，因印刷问题，□里的数无法看清，老师告知此算式的结果为正数，则□里的数可能是（  ） A．4 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据“几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”判断即可． 【详解】解：∵计算的结果为正数， ∴□里的数是负数， 观察四个选项，只有选项C符合题意， 故选：C． 倒数 6．若a与b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的相关知识点．熟记相关结论是解题关键．由a与b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2，得出，，，代入计算即可． 【详解】解：与b互为相反数， ． 和d互为倒数， ． 的绝对值是2， ． 故选：B． 7．a是非零的自然数，a和它的倒数相比（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查倒数和有理数的大小比较，熟练掌握倒数及有理数的大小比较是解题的关键；a是非零自然数，即，比较a和的大小关系，需考虑和两种情况，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 当时，； 当时，； ∴； 故选：C． 8．若的相反数是，则的值为（    ） A．2022 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，倒数，掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义求出a的值，再求其倒数． 【详解】解：∵a的相反数是， ∴， ∴． 故选：C 9．下列各组数中，互为倒数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】此题主要考查了倒数的定义，根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，掌握以上知识是解答本题的关键；根据倒数的定义，逐选项进行计算，再判断，然后即可求解． 【详解】解：A、，选项不符合题意； B、，选项不符合题意； C、，选项符合题意； D、，选项不符合题意． 故选：C． 10．的相反数的倒数是(      ) A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是按“化简原式→求相反数→求倒数”的顺序逐步计算． 先化简得到具体数值，再求出该数值的相反数，最后计算相反数的倒数，对照选项得出答案． 【详解】解：， 的相反数是， 的倒数是， 故选：A． 有理数乘法运算律 11．下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法运算及乘法分配律的应用，解题的关键是正确运用乘法分配律计算． 嘉淇将带分数拆分为整数与分数的差，运用了乘法分配律，但第二步计算时符号出现错误，导致结果错误． 【详解】解：第一步：将写成，这一步是正确的，利用了带分数的拆分，为后续用乘法分配律计算做准备， 第二步：根据乘法分配律，正确计算应为： 但嘉淇计算成了，所以从第二步开始出错． 故选：C． 12．计算 的结果是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先根据有理数的乘法运算律计算，再计算减法即可． 【详解】解： 故选：A 13．下列式子中，与的结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘法分配律，利用乘法分配律进行计算，即可解答． 【详解】解：， 则与的结果相同的是． 故选：D． 14．式子中，运用的运算律是（    ）． A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法运算律的应用，区分交换律（改变顺序）和结合律（改变分组）是关键；等式右边通过改变因数的顺序和分组方式进行计算，使用了乘法的交换律和结合律，没有涉及分配律． 【详解】解：∵ 原式 中，将 与 3 交换位置，使 2 和 相邻，再分组为 ， ∴ 使用了乘法交换律和乘法结合律， 故选：A． 15．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 利用乘法分配律将36分别与括号内的数相乘，再进行加减运算即可． 【详解】解： ， 故选：． 有理数的除法运算 16．下列算式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，需逐一验证每个选项的计算是否正确． 【详解】解：A、，错误； B、，错误； ∵C、，正确； D、，错误． 计算正确的是C． 故选：C． 17．下列运算有错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算，熟记有理数相关运算法则是解决问题的关键． 根据有理数的除法和减法运算法则，逐一验证选项的运算是否正确即可得到答案． 【详解】解：A：，选项中式子运算错误，符合题意； B：，选项中式子运算正确，不符合题意； C：，选项中式子运算正确，不符合题意； D：，选项中式子运算正确，不符合题意； 故选：A． 18．在下列算式中，运算结果为0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 通过直接计算每个算式的值，判断其结果是否为0即可． 【详解】对于选项A：∵，∴运算结果为0，符合题意． 对于选项B：∵，∴结果不为0，不符合题意． 对于选项C：∵，∴结果不为0，不符合题意． 对于选项D：∵，∴结果不为0，不符合题意． 因此，运算结果为0的是选项A． 故选A． 19．若有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，再由有理数的除法计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故选：C． 20．下列算式中，计算的结果是正数的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，正负数的定义，先计算每个算式的结果，根据正负数的定义判断是否为正数． 【详解】解：∵ ① ，是正数； ② ，是负数； ③ ，是负数； ④ ，是正数， ∴ 计算结果为正数的有①和④，共2个． 故选：B． 有理数四则混合运算 21．小明设置了一个有理数的运算程序：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算涉及有理数的混合运算，解决本题的关键是按照所给的公式计算解决问题． （1）将，，代入公式计算即可； （2）将，，代入公式计算，求出结果然后再代入公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 22．对于有理数、规定一种新运算：．其中为常数，等式右边是乘法和加法运算，已知． (1)求常数的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义下的计算．理解题意，正确运用是解答本题的关键． （1）根据新运算，将转化为关于a的等式解答； （2）根据（1）中所求的a的值，根据新定义规定的运算，转化为一般运算解答． 【详解】（1）解：由， 所以，解得， 所以常数的值为； （2）由（1）知， 所以． 23．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键，根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先计算绝对值，再将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法，最后由有理数加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数混合运算的优先级，先计算括号里的，再计算括号外的即可求解． （2）根据有理数混合运算的优先级，先计算括号里的，再根据同级运算符，从左到右顺序计算即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 学科网（北京）股份有限公司 $