专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（2个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年六年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版五四制2024）

专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 有理数幂的相关概念 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方的逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 有理数的四则混合运算 题型六 程序流程图与有理数计算 题型七 算24点 题型八 含乘方的有理数混合运算 题型九 乘方的应用 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 二进制问题 拓展训练三 幻方问题 拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合 知识点一：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）若，则的值为（　　） A． B．6 C．10 D．16 2．（2025·上海宝山·模拟预测）计算： ． 知识点二：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）定义，则 ． 【经典例题一 有理数幂的相关概念】 【例1】（24-25六年级上·上海金山·期中）可表示为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）对乘积记法正确的是（       ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）一种细胞每60分钟便由1个分裂成2个．经过6小时，这种细胞由1个分裂成了 个 3．（2025六年级上·上海宝山·专题练习）（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 4．（24-25六年级上·上海宝山·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例2】（2025·上海·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）对于任意数m，下列各式一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）若，则 ． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期末）“洛书”是我国文化中最古老、神秘的事物之一，相传洛书以九个格子为基础结构，每个格子都包含着1个数字，横、竖、斜数字之和均为15．表中的值为 ． 4 m n 5 1 4．（24-25六年级上·上海长宁·期中）观察下列三行数 ① ② ③ (1)第①行中第9个数与第③行中第9个数的和为___________，第①行中第9个数与第③行中第9个数的差为___________． (2)将第③行中的每个数替换为它的倒数，再取替换后三行数中每行的第15个数，求这三个数的积． 【经典例题三 有理数乘方的逆运算】 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 1．（2025六年级上·上海宝山·专题练习）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（　　） A．A1 B．B1 C．A2 D．B3 2．（24-25六年级上·上海宝山·单元测试）如果，那么 ． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）若，则 ． 4．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是37，a是多少？ 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例4】（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）观察下列一行数：，…，则第16个数与第17个数的和为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）下列说法：①若，则；②若，则；③，则；④的最大值为5；⑤若三个有理数满足，则．其中正确的有 ．（填序号） 4．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； (2)第②行的第n个数是__________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【经典例题五 有理数的四则混合运算】 【例5】（2025六年级上·上海宝山·专题练习）若“！”是一种运算符号，且，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上上海静安·期中）对于有理数a，b定义一种新运算，规定，则的值为（  ） A． B． C． D．2 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）计算： ． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入一个固定的循环圈，这就是“冰雹猜想”．例如，数对经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推，则经过次运算后得到数对 ． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）先阅读下列式子的变形规律： 然后再解答下列问题【注：第（1）小题直接写出结果，不用写过程】 (1)类比计算：____________，_________________ 猜想归纳：若n为正整数，那么猜想_________________ (2)知识运用，选用上面的知识计算的结果 (3)知识拓展：试着写出的结果 【经典例题六 程序流程图与有理数计算】 【例6】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）一个数值运算程序如图所示，当输入的值为时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海虹口·期末）定义一种对正整数的“”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示；若，则第“”的运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．7 D．8 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 3．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）如图是一个数值转换机，输入数值后按三个方框中的程序运算，若第一次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数只要“算一遍”；若第一次运算无法输出结果，且第二次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数需要“算两遍”，以此类推：当输入数为时，则输出的结果为 ． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 【经典例题七 算24点】 【例7】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 1．（24-25六年级上·上海金山·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）有一种叫做“24点”的游戏，其游戏规则是这样的：将4个绝对值为1至13之间的数进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可以加括号），使其结果为24．例如，1，2，3，4可做运算．现有4个有理数3，4，，10，运用上述规则，写出一个的算式 ，使其结果为24． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）小明有5张写着以下数字的卡片，,从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子 ． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【经典例题八 含乘方的有理数混合运算】 【例8】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）将七进制转化成十进制是 ． 3．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 【经典例题九 乘方的应用】 【例9】（24-25六年级上·上海长宁·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 1．（24-25六年级上·上海虹口·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）因为工作忙，人小杰给他儿子留下今天的早餐钱元，请用十进制表示为 ． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 4．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈次方”； 一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：__________；__________； （2）关于除方，下列说法错误的是__________． A．任何非零数的圈次方都等于    B．对于任何大于等于的整数， C．                  D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方乘方幂的形式． （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：__________，__________； （4）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为__________． 【经典例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例10】（24-25六年级上·上海普陀·期中）一台电视机的原价是3200元，先提价，再打九折销售，这台电视机现在的价格是（   ）元． A．3520 B．3168 C．3210 D．3028 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）有一批资料要复印，单独复印，甲机要11小时完成，乙机要12小时完成．现在两机同时复印，相互有些干扰，每小时两机一共少印28张，结果用了6小时完成任务．这批资料共有 张． 2．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）L国向Y国连续进行了五天的弹道导弹攻击：第一天发射200枚，第二天发射100枚，第三天发射70枚，第四天发射50枚，第五天发射30枚．Y国在前三天的导弹拦截成功率为，而在第四天与第五天的导弹拦截成功率则下降为．那么L国这五天发射的导弹中，未被拦截的有多少枚？ 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）学校要买48个相同的排球，甲、乙、丙三个商场出售这种排球，每个都是40元，但每个商场的促销方法不同（如下）．请问：到哪家商场购买最省钱？为什么？ 甲商场∶买十送二． 乙商场∶每个优惠． 丙商场∶每100元返还现金15元，不足百元部分不返还． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）阅读下列材料，回答问题． 小丽计划游玩十里蓝山的4个景点，这4个景点之间的路线如图1所示．景区内有一班观光车匀速在花海和雨林漂流之间来回载客． 小丽在游玩花海后，乘坐观光车前往彩虹滑道，在彩虹滑道游玩40分钟，接着乘坐观光车到欢乐谷，在欢乐谷游玩60分钟．图2呈现的是从开始，小丽和观光车离花海的路程（米）与时间（分）的情况（乘客上下车时间忽略不计）． 如果小丽需在之前返回花海，并且想在雨林漂流尽可能游玩更多时间，她接下来的游玩方案如下： 在欢乐谷乘坐 ① （时间点）的观光车前往雨林漂流， 在雨林漂流最多游玩 ② 分钟，再乘坐观光车直接回到花海． (1)这辆观光车的速度是多少？ (2)补全①②所缺的内容，并写出①的解答过程． 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）（1）计算下列各式并且填空： （    ）； （    ）； （    ）； （    ）； …… （2）细心观察上述运算和结果，你会发现什么规律？ （3）你能很快算出等于多少吗？ 2．（24-25六年级上·上海宝山·课堂例题）求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【拓展训练二 二进制问题】 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，三进制中的表示的是十进制中的（   ） A．54 B．60 C．61 D．73 2．（24-25六年级上·上海长宁·期中）在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【拓展训练三 幻方问题】 1．（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 2．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 3．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图1是一个“和幻方”，则a=______，b=______； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值； (3)如图3是一个“和幻方”，求x的值． 【拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合】 1．（2025·上海虹口·模拟预测）某工厂的计时钟走慢了，使得标准时间每70分钟分针和时针重合一次，李师傅按照这慢钟工作8小时，工厂规定超时工资要比原工资多3.5倍，李师傅原工资每小时3元，这天工厂应付给李师傅超时工资多少元？ 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 3．（24-25六年级上·上海长宁·期末）最近几年，我国新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量大幅增加，小王的新能源汽车上周日行驶里程为75千米，如下表是该新能源汽车本周行驶里程的变化情况（正号表示里程比前一天多，负号表示里程比前一天少）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 里程变化（千米） (1)本周哪一天该新能源汽车行驶里程最多？这一天该新能源汽车行驶了多少千米？ (2)本周该新能源汽车的行驶里程共为多少千米？ (3)已知该新能源汽车满电续航里程（汽车充满电时可以行驶的总路程）为550千米，当续航里程不足满电续航里程的时需要为汽车充电，本周一早上出发时该新能源汽车为满电状态，请通过计算说明，本周日小王使用完该新能源汽车后，是否需要为该新能源汽车充电？ 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 4．（24-25六年级上·上海普陀·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25六年级上·上海静安·期末）2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松现场氛围热烈．某学校9人组成的啦啦队在站点表演三个助威节目，候场时间为从首个节目开始至参演节目开始前的时间间隔（不考虑换场等因素），各节目参与人数及表演时长（单位：）如下表所示： 节目 甲 乙 丙 人数 3 4 2 时长 6 4 2 若节目按丙乙甲的顺序表演，则9位学生的候场时间之和是（　　） A．6 B．20 C．26 D．44 6．（24-25六年级上·上海宝山·期中）的底数是 ． 7．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）已知，那么 ； 的立方等于． 8．（24-25六年级上·上海长宁·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 9．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 10．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，将一个边长为2的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为2的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则图中阴影部分以外的面积是 ． 11．（24-25六年级上·上海虹口·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 13．（24-25六年级上·上海松江·期中）阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 14．（24-25六年级上·上海宝山·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 15．（24-25六年级上·上海静安·期末）“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 有理数幂的相关概念 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方的逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 有理数的四则混合运算 题型六 程序流程图与有理数计算 题型七 算24点 题型八 含乘方的有理数混合运算 题型九 乘方的应用 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 二进制问题 拓展训练三 幻方问题 拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合 知识点一：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）若，则的值为（　　） A． B．6 C．10 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的平方，掌握有理数的平方是解本题的关键． 根据指数运算的性质，将已知条件转化为和的值，再代入求解． 【详解】已知，因为，所以， 又已知，因为，所以， 因此，，则． 故选：D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）计算： ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点二：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ； 故选：A 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）定义，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题一 有理数幂的相关概念】 【例1】（24-25六年级上·上海金山·期中）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据有理数乘法的定义可得出结论． 【详解】解：可表示为， 故选：D． 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）对乘积记法正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义：求几个相同因数积的运算，叫做乘方．根据乘方的意义，可知4个相乘，可记为． 【详解】解：． 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）一种细胞每60分钟便由1个分裂成2个．经过6小时，这种细胞由1个分裂成了 个 【答案】64 【分析】根据题意列出算式，利用乘方的意义计算即可得答案. 【详解】60分钟=1小时， ∵细胞每1小时便由1个分裂成2个， ∴经过6小时，这种细胞由1个分裂成了26=64(个)， 故答案为64 【点睛】本题考查有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题关键. 3．（2025六年级上·上海宝山·专题练习）（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 【答案】 3 5 2 5的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．在中，a是底数，n是指数．利用乘方的意义即可得到结果． 【详解】解：（1）在中，底数是，指数是3； （2）在中，底数是，指数是2，意义是5的平方的相反数； 故答案为：，3；，2，5的平方的相反数． 4．（24-25六年级上·上海宝山·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则； （3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可； （4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）（m、n都是正整数）， 故答案为； （3），， 故答案为，； （4）∵， ∴． 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例2】（2025·上海·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘方、乘法的定义，列代数式，熟练掌握乘方的定义是解题的关键． 利用乘方的定义，乘法的定义列出代数式，即可解答． 【详解】，，∴． 故选A． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）对于任意数m，下列各式一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的非负性及正数的判断．逐一分析各选项是否恒为正数即可． 【详解】选项A：，平方数非负，当时，值为0，非正数，排除． 选项B：，当时（如），结果为负数，排除． 选项C：，绝对值非负，当时，值为0，非正数，排除． 选项D：，因，故，无论取何值，结果恒为正数． 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，根据非负性求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期末）“洛书”是我国文化中最古老、神秘的事物之一，相传洛书以九个格子为基础结构，每个格子都包含着1个数字，横、竖、斜数字之和均为15．表中的值为 ． 4 m n 5 1 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意先求得第一行最中间的数，再求得m，进而求得n的值，最后计值． 【详解】解：由题意得第一行最中间的数为， 则， 解得∶， 则左下角的数为， 则， 解得∶， 则， 故答案为∶8． 4．（24-25六年级上·上海长宁·期中）观察下列三行数 ① ② ③ (1)第①行中第9个数与第③行中第9个数的和为___________，第①行中第9个数与第③行中第9个数的差为___________． (2)将第③行中的每个数替换为它的倒数，再取替换后三行数中每行的第15个数，求这三个数的积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律的探索，有理数的加减，乘方运算，找到规律是解题的关键． （1）找出规律第①行第个数为，第③行第个数为，即可求解； （2）原先三行数中的第15个数分别为：，，，替换后第③行数中第15个数分别为，再相乘即可． 【详解】（1）解：第①行数排排列：， ∴第①行第个数为，那么第①行中第9个数为； 第③行数排排列：， ∴第③行第个数为，那么第③行中第9个数为， ∴第①行中第9个数与第③行中第9个数的和为； 第①行中第9个数与第③行中第9个数的差为， 故答案为：； （2）解：原先三行数中的第15个数分别为：，， 替换后第③行数中第15个数为， 那么这三个数的积为． 【经典例题三 有理数乘方的逆运算】 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 1．（2025六年级上·上海宝山·专题练习）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（　　） A．A1 B．B1 C．A2 D．B3 【答案】B 【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断． 【详解】由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789， 整理得：2n＝260， 则n不是整数，故A1的值不可以等于789； A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789， 整理得：2n＝254， 则n不是整数，故A2的值不可以等于789； B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789， 整理得：2n＝256＝28， 则n是整数，故B1的值可以等于789； B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789， 整理得：2n＝252， 则n不是整数，故B3的值不可以等于789； 故选：B． 【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子． 2．（24-25六年级上·上海宝山·单元测试）如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】由可得，然后将之代入，然后运用有理数乘法运算得出规律，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则 ＝ ＝ ＝ ．．． ＝ ＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值非负性的应用，根据有理数乘方逆运算得出算式的规律是解本题的关键． 4．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是37，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)a是或 【分析】此题主要考查根据题意规定的运算法则列式求解，解题的关键是正确理解题意规定的运算法则． （1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：根据题意可得： ， ， 解得：， ∴a是或． 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例4】（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 1．（2025·上海闵行·模拟预测）观察下列一行数：，…，则第16个数与第17个数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得第16个数与第17个数，然后将它们相加即可． 【详解】∵，… ∴这列数的第偶数个数都是1，第奇数个数是， ∴当n=16时，这个数为1， 当n=17时，这个数为， ∴第16个数与第17个数的和为：， 故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化特点，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求数字的和． 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）下列说法：①若，则；②若，则；③，则；④的最大值为5；⑤若三个有理数满足，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】根据绝对值的意义以及乘方的意义进行解答即可． 【详解】解：①若，则，原结论错误； ②若，则，原结论错误； ③，则；原结论正确； ④∵， ∴的最小值为5，原结论错误； ⑤若三个有理数满足， 则有一个负数或两个负数， 当有一个负数时，， 当有两个负数时，， ∴，故结论正确； 故答案为：③⑤． 【点睛】本题考查了绝对值的意义以及乘方的意义，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键． 4．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； (2)第②行的第n个数是__________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）观察可得从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； （2）观察可得第②行每个数等于第①行对应的数减去2，据此求解即可； （3）观察可得第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； 【详解】（1）解：第①行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第①行的第n个数可以表示为：， 第①行的第8个数是， 第①行的第n个数是， 故答案为：，； （2）解：观察可得，第②行每个数等于第①行对应的数减去2， ∴第②行的第n个数是； （3）解：第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第③行的第n个数可以表示为：， 第①行的第10个数是，第②行的第10个数是，第③行的第10个数， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的乘方和探究数的规律，找到并表示出数列的规律是解题的关键． 【经典例题五 有理数的四则混合运算】 【例5】（2025六年级上·上海宝山·专题练习）若“！”是一种运算符号，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，由题意得，据此即可求解； 【详解】． 故选：A． 1．（24-25六年级上上海静安·期中）对于有理数a，b定义一种新运算，规定，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的有理数运算． 根据新定义，先计算括号内的，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，先进行乘除运算，再进行减法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：2． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入一个固定的循环圈，这就是“冰雹猜想”．例如，数对经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推，则经过次运算后得到数对 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义和点的规律的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：数对经过第1次运算得到点， 经过第2次运算得到点， 经过第3次运算得到点， 经过第4次运算得到点， 经过第5次运算得到点， 经过第6次运算得到点， 经过第7次运算得到点， 经过第8次运算得到点， 经过第9次运算得到点， 经过第次运算得到点， 经过第11次运算得到点， 经过第次运算得到点， 通过计算发现规律：点经过第6次运算得到点，然后点、点和点，每3次就进行一个循环， ∴， ∴经过次运算后得到数对， 故答案为：； 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）先阅读下列式子的变形规律： 然后再解答下列问题【注：第（1）小题直接写出结果，不用写过程】 (1)类比计算：____________，_________________ 猜想归纳：若n为正整数，那么猜想_________________ (2)知识运用，选用上面的知识计算的结果 (3)知识拓展：试着写出的结果 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的混合运算，解题的关键是根据找规律． （1）找规律，类比总结即可求解； （2）根据所得规律，对式子进行变形，按有理数的加减进行计算即可； （3）根据所得规律，对式子进行变形，按有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解：，，， 故答案为：，，． （2）解： （3）解： 【经典例题六 程序流程图与有理数计算】 【例6】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）一个数值运算程序如图所示，当输入的值为时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据运算程序的要求进行计算，到符合要求时输出结果． 【详解】解：第一次输入，可得：， ， 把输入计算，可得：， ， 把输入计算，可得：， ， 应输出， 输出结果为． 故选：A ． 1．（24-25六年级上·上海虹口·期末）定义一种对正整数的“”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示；若，则第“”的运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．7 D．8 【答案】A 【分析】据提供的“”运算，对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算，由于为奇数应先进行运算，再按照新定义进行计算即可求解．本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键． 【详解】解：：， ：，，即， ：， ：，即，计算结果为1， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 【详解】解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 3．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）如图是一个数值转换机，输入数值后按三个方框中的程序运算，若第一次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数只要“算一遍”；若第一次运算无法输出结果，且第二次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数需要“算两遍”，以此类推：当输入数为时，则输出的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算．熟练掌握有理数加减运算，有理数大小比较，是解题的关键． 根据流程图，列出算式，进行计算即可，需要“算两遍”，． 【详解】， ， 输出3． 故答案为：3． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 【答案】(1)①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． (2)49 (3)169 (4)1，169 【分析】本题主要考查了程序流程图、有理数的混合运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据题意直接补全流程图即可； （2）按照流程图进行列式计算即可； （3）根据流程图进行列式计算即可； （4）分别输入111，222并根据流程图进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． 故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． （2）解：第1次：123是3的倍数，； 第2次：41不是3的倍数，； 第 3 次：25不是3的倍数，， 所以操作第3次后得到的数是49． （3）解：第4次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，， ∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169， 故答案为：，． （4）解：当输入111时， 第1次：111是3的倍数，； 第2次：37不是3的倍数，； 第3次：100不是3的倍数，； 第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1． 当输入222时， 第1次：222是3的倍数，； 第2次：74不是3的倍数，； 第3次：121不是3的倍数，； 第4次：25不是3的倍数，； 第5次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169． 故答案为：1，169． 【经典例题七 算24点】 【例7】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 1．（24-25六年级上·上海金山·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）有一种叫做“24点”的游戏，其游戏规则是这样的：将4个绝对值为1至13之间的数进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可以加括号），使其结果为24．例如，1，2，3，4可做运算．现有4个有理数3，4，，10，运用上述规则，写出一个的算式 ，使其结果为24． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意写出符合题意的算式，本题答案不唯一； 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的法则和运算顺序． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）小明有5张写着以下数字的卡片，,从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子 ． 【答案】（﹣2）3×[﹣（2+1）]=24 【分析】利用“24点”游戏规则写出符合要求的式子即可． 【详解】解：由题意可得，符合要求的运算式子为：（﹣2）3×[﹣（2+1）]=24， 故答案为（﹣2）3×[﹣（2+1）]=24. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题八 含乘方的有理数混合运算】 【例8】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法即可． 【详解】解： 故选 D． 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）将七进制转化成十进制是 ． 【答案】129 【分析】此题考查了含乘方的有理数混合运算．把七进制数转化为含乘方的有理数混合运算即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：129 3．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能找出分子及分母的公因数是解题的关键． 将分子和分母分别提取和，再进行计算即可． 【详解】解：由题知，原式 ． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 【答案】（1）；4；（2）C；（3）， ；（4）；（5） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． （1）分别按除方公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）把除法化为乘法，根据幂的乘方进行计算； （4）根据幂的乘方进行计算即可得到答案 （5）先根据新运算代入，再根据积的乘方与幂的乘方直接计算即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：；4； （2）由题意可得， A选项任何非零数的圈2次方都等于1； 所以选项A正确， B选项因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1， 所以选项B正确， C选项，，则； 所以选项C错误， D选项负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确， 本题选择说法错误的，故选C； （3）由题意可得， ，， 故答案为：， ； （4）由题意可得， ； （5）由题意可得， 原式 【经典例题九 乘方的应用】 【例9】（24-25六年级上·上海长宁·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 1．（24-25六年级上·上海虹口·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据题意归纳总结得到第n次捏合，可拉出根面条，结合可得到结果． 【详解】第一次捏合，可拉出2根面条；第二次捏合，可拉出根面条；第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第n次捏合，可拉出根面条， 又， 第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）因为工作忙，人小杰给他儿子留下今天的早餐钱元，请用十进制表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查进位制，本题解题的关键是找出题目给出的运算顺序，按照有理数混合运算的顺序进行计算即可，括号里的数字从左开始，按照有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握二进制数转化为十进制数的方法是解答本题的关键． 根据二进制数转化为十进制数的方法，可以将表中“坎”用十进制数表示． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为： 2． 4．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈次方”； 一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：__________；__________； （2）关于除方，下列说法错误的是__________． A．任何非零数的圈次方都等于    B．对于任何大于等于的整数， C．                  D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方乘方幂的形式． （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：__________，__________； （4）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为__________． 【答案】（1），；（2）C；（3），；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （4）根据（3）中的计算方法求解即可． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）A、，即任何非零数的圈次方都等于，故该选项正确； B、，故该选项正确； C、，， ，故该选项错误； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项正确， 故选：C； （3）， ， 故答案为：，； （4）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为 故答案为：． 【经典例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例10】（24-25六年级上·上海普陀·期中）一台电视机的原价是3200元，先提价，再打九折销售，这台电视机现在的价格是（   ）元． A．3520 B．3168 C．3210 D．3028 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用．先计算提价后的价格，再计算打九折后的价格，据此求解即可． 【详解】解：（元）， （元）， 这台电视机现在的价格是3168元， 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）有一批资料要复印，单独复印，甲机要11小时完成，乙机要12小时完成．现在两机同时复印，相互有些干扰，每小时两机一共少印28张，结果用了6小时完成任务．这批资料共有 张． 【答案】3696 【分析】此题是考查学生对于稍复杂的分数除法应用题的理解和掌握，在解答时要先找出单位“1”，求单位“1”，要用具体数量除以对应分率来解答，本题就要求出28张对应的分率，再用除法解答． 首先理解题目中的信息，然后通过计算找到这批资料的总数即可． 【详解】解： （张） 故答案为：3696． 2．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）L国向Y国连续进行了五天的弹道导弹攻击：第一天发射200枚，第二天发射100枚，第三天发射70枚，第四天发射50枚，第五天发射30枚．Y国在前三天的导弹拦截成功率为，而在第四天与第五天的导弹拦截成功率则下降为．那么L国这五天发射的导弹中，未被拦截的有多少枚？ 【答案】未被拦截的有61枚 【分析】前三天共发射枚，未被拦截率为，后两天共发射枚，未被拦截率为，列式计算即可． 本题考查了有理数混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 前三天未被拦截导弹数：（枚）， 后两天未被拦截导弹数：（枚）， 一共有：（枚） 答：未被拦截的有61枚． 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）学校要买48个相同的排球，甲、乙、丙三个商场出售这种排球，每个都是40元，但每个商场的促销方法不同（如下）．请问：到哪家商场购买最省钱？为什么？ 甲商场∶买十送二． 乙商场∶每个优惠． 丙商场∶每100元返还现金15元，不足百元部分不返还． 【答案】到甲商场购买最省钱，理由见解析 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据三种促销方法，分别求出到三个商场购买所需费用，进行判断即可． 【详解】解：到甲商场购买最省钱，理由如下： 由题意，到甲商场购买需花费：（元）； 到乙商场购买需花费：（元）； 到丙商场购买需花费：（元），（元）； ∵， ∴到甲商场购买最省钱． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）阅读下列材料，回答问题． 小丽计划游玩十里蓝山的4个景点，这4个景点之间的路线如图1所示．景区内有一班观光车匀速在花海和雨林漂流之间来回载客． 小丽在游玩花海后，乘坐观光车前往彩虹滑道，在彩虹滑道游玩40分钟，接着乘坐观光车到欢乐谷，在欢乐谷游玩60分钟．图2呈现的是从开始，小丽和观光车离花海的路程（米）与时间（分）的情况（乘客上下车时间忽略不计）． 如果小丽需在之前返回花海，并且想在雨林漂流尽可能游玩更多时间，她接下来的游玩方案如下： 在欢乐谷乘坐 ① （时间点）的观光车前往雨林漂流， 在雨林漂流最多游玩 ② 分钟，再乘坐观光车直接回到花海． (1)这辆观光车的速度是多少？ (2)补全①②所缺的内容，并写出①的解答过程． 【答案】(1)400米/分 (2)①，过程见解析；②80 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用路程除以时间即可； （2）①计算观光车的时间加上小丽游玩的时间即可； ②由图可知观光车在10分钟时第一次到达雨林漂流，然后每在20分钟一次到达雨林漂流，小丽要在前返回花海，则最晚乘坐分的观光车，据此求解即可． 【详解】（1）依题意，得 观光车一个往返耗时20分钟， 行驶的路程为（米）． 则观光车的速度为：（米/分）． 答：观光车的速度为400米/分； （2）①小丽在彩虹滑道游玩40分钟， （分钟） 小丽到达欢乐谷的时间是． 小丽在欢乐谷游玩60分钟， 小丽在欢乐谷乘坐的观光车前往雨林漂流． ②从到共用时200分钟， 次余10分钟， ∴小丽想在雨林漂流尽可能游玩更多时间需乘坐的观光车， ∴小丽在返回前共用时分钟， ∴小丽在雨林漂流最多游玩分钟． 故答案为：80 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）（1）计算下列各式并且填空： （    ）； （    ）； （    ）； （    ）； …… （2）细心观察上述运算和结果，你会发现什么规律？ （3）你能很快算出等于多少吗？ 【答案】（1）  （2）见解析  （3） 【分析】本题考查数字规律问题，观察发现上述运算的结果和加数首尾两个数的和的一半的平方有关是解题的关键． （1）直接运算即可解题； （2）根据（1）得计算结果得到结论即可； （3）运用结论计算解题． 【详解】解：（1）； ； ； ； 故答案为：； （2）规律：上述运算和结果，规律是首，尾两个加数和的一半的平方； （3） 2．（24-25六年级上·上海宝山·课堂例题）求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 【答案】见解析 【分析】先分别求出各个式子，再根据结果即可总结出规律，然后根据规律即可得出答案． 【详解】解：（1）． （2），，． （3），． （4），． 由上述可得，两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即 (m为正整数)． ∴． 【点睛】本题考查了有理数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 【拓展训练二 二进制问题】 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，三进制中的表示的是十进制中的（   ） A．54 B．60 C．61 D．73 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据三进制与十进制的数的转化方法计算即可． 【详解】解：， 故三进制中的表示的是十进制中的61， 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海长宁·期中）在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：13；． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【答案】(1)11 (2)采集到的野果数量为个 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是： （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． 【详解】（1）解：1011转化为十进制数是： ； （2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 【拓展训练三 幻方问题】 1．（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】根据题意，分别列出等式，然后表示出代数式的值，整体代入计算即可． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等，如图1中，，则， 即：相邻两个三角形中非公共点的两个顶点数字之和相等， ∴在图2中，，解得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值问题，理解题意，准确求出各代数式的值以及掌握有理数乘方运算法则是解题关键． 2．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、乘方及代数式求值，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由题意可得到关于m、n的两个方程，解方程即可求出的值，再把m、n的值代入计算即可求解． 【详解】解：设右上角数字为x，右下角数字为y， 由题意可得，， 解得，， ， 故答案为： ． 3．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图1是一个“和幻方”，则a=______，b=______； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值； (3)如图3是一个“和幻方”，求x的值． 【答案】(1)9，1； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的加减运算及乘法运算，乘方运算，根据幻方特点，利用和或积相等是解题的关键． （1）根据表知，每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均为15，则由第一横行的和为15，可求得a的值；由第二竖列的和为15，可求得b的值； （2）由表可求得第一横行三个数字的积为8，根据两斜对角线的三个数的积为8可分别求得n与m的值，从而求得结果． （3）设最中间的数为y，则，从而可求得y的值；设右下角的数为t，则，则可得t；设第三行第二列的数为c，则，求得的值，从而得到第二列的三个数，最后可求得x的值． 【详解】（1）解：由，得； 由于，得； 故答案为：9，1； （2）解：第一横行的积为， 则，； 则，． ∴； （3）解：如图，设最中间的数为y，则，解得， 设右下角的数为t，则，． 设第三行第二列的数为c，则，解得． 则第二列3个数的和为． 所以，解得． 3 8 x y 5 c t 【拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合】 1．（2025·上海虹口·模拟预测）某工厂的计时钟走慢了，使得标准时间每70分钟分针和时针重合一次，李师傅按照这慢钟工作8小时，工厂规定超时工资要比原工资多3.5倍，李师傅原工资每小时3元，这天工厂应付给李师傅超时工资多少元？ 【答案】元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用．先求出12小时多干的时间，再列式计算应付超时工资即可． 【详解】解：根据题意可得，12小时多干的时间为（分钟）， 应付超时工资：（元）， 答：这天工厂应付给李师傅超时工资元． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的南方，距离公司千米 (2)若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油升 (3)在这过程中该驾驶员共收到车费元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、正负数的意义、有理数加法的实际应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）计算这5个数的和，再根据符号判断方向，根据绝对值判断距离即可； （2）求出行驶的总路程，再求燃油量即可； （3）求出每送一批顾客的收费，再求和即可． 【详解】（1）解：， 接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的南方，距离公司千米； （2）解：（升）， 若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油升； （3）解：送第批顾客收费为：（元）， 送第批顾客收费为：10（元）， 送第批顾客收费为：（元）， 送第批顾客收费为：10（元）， 送第批顾客收费为：（元）， 总共收费为：（元）， 在这过程中该驾驶员共收到车费元． 3．（24-25六年级上·上海长宁·期末）最近几年，我国新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量大幅增加，小王的新能源汽车上周日行驶里程为75千米，如下表是该新能源汽车本周行驶里程的变化情况（正号表示里程比前一天多，负号表示里程比前一天少）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 里程变化（千米） (1)本周哪一天该新能源汽车行驶里程最多？这一天该新能源汽车行驶了多少千米？ (2)本周该新能源汽车的行驶里程共为多少千米？ (3)已知该新能源汽车满电续航里程（汽车充满电时可以行驶的总路程）为550千米，当续航里程不足满电续航里程的时需要为汽车充电，本周一早上出发时该新能源汽车为满电状态，请通过计算说明，本周日小王使用完该新能源汽车后，是否需要为该新能源汽车充电？ 【答案】(1)本周日该汽车行驶里程最多，这一天该汽车行驶了86千米 (2)本周该汽车的行驶里程为534千米 (3)本周日小王使用完该新能源汽车后，需要为该新能源汽车充电 【分析】本题考查有理数混合运算及正数和负数的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义分别求得本周每天的实际行驶里程，据此即可求得答案； （2）将每天的行驶里程相加并计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算并与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得，本周每天的实际行驶里程如下： 周一：（千米）； 周二：（千米）， 周三：（千米）， 周四：（千米）， 周五：（千米）， 周六：（千米）， 周日：（千米）， 则本周日该汽车行驶里程最多，这一天该汽车行驶了86千米； （2）解：本周该新能源汽车行驶里程共为：（千米） 即本周该汽车的行驶里程为534千米； （3）解：（千米），（千米）， 因为，， 所以，本周日小王使用完该新能源汽车后，需要为该新能源汽车充电． 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，需明确负号是否参与指数运算． 根据运算顺序，指数运算优先于乘法．题目中的表达式应理解为先计算，再取负数． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式． 【详解】解：，， 它们的和为：， 故选：A． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 5．（24-25六年级上·上海静安·期末）2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松现场氛围热烈．某学校9人组成的啦啦队在站点表演三个助威节目，候场时间为从首个节目开始至参演节目开始前的时间间隔（不考虑换场等因素），各节目参与人数及表演时长（单位：）如下表所示： 节目 甲 乙 丙 人数 3 4 2 时长 6 4 2 若节目按丙乙甲的顺序表演，则9位学生的候场时间之和是（　　） A．6 B．20 C．26 D．44 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据节目表演顺序，计算每个节目的候场时间，再乘以对应人数求和． 【详解】解： 确定各节目候场时间： 丙作为第一个节目，候场时间为0分钟（无需等待）； 乙作为第二个节目，需等待丙表演结束，候场时间为丙的时长2分钟； 甲作为第三个节目，需等待丙和乙表演结束，候场时间为丙时长+乙时长分钟； 计算各节目候场时间之和： 丙：2人分钟； 乙：4人分钟； 甲：3人分钟； 总和； 因此，9位学生的候场时间之和为26， 故选：C． 6．（24-25六年级上·上海宝山·期中）的底数是 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方的有关定义即可解答． 【详解】解：的底数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解本题的关键．求n个相同,因数的积的运算叫乘方,乘方的结果叫做幂，在a的n次方中。a叫做底数,n叫做指数． 7．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）已知，那么 ； 的立方等于． 【答案】 【分析】本题考查的是乘方运算的逆运算，由平方与立方的逆运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的立方等于； 故答案为：， 8．（24-25六年级上·上海长宁·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解题的关键． （）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出，的值然后解题即可． 【详解】解：（）∵， ∴， 故答案为： （）∵，， ∴（负值舍去），， ∴， 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【详解】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 10．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，将一个边长为2的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为2的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则图中阴影部分以外的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化以及乘方的应用，根据题意和图形中的数据，可以得到阴影部分的面积，并计算出空白的面积． 【详解】解：部分①是边长为2的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半， 阴影部分的面积是， ． 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海虹口·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，再进行乘除法计算，最后进行减法计算； （2）利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 【详解】（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． 13．（24-25六年级上·上海松江·期中）阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）仿照例题，设，将等式两边同时乘2得到，作差求解即可； （2）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； （3）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； 【详解】（1）解：设①， 将等式两边同时乘2，得②， 得，， 即； （2）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即； （3）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即． 14．（24-25六年级上·上海宝山·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 15．（24-25六年级上·上海静安·期末）“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 【答案】(1)该商店本周一共销售了1450条 (2)该商场本周共盈利667元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）用7天的标准销量加上7天销量的出入数量即可； （2）用盈利的金额减去亏损的金额即可． 【详解】（1）解：由题意可知 （条） 答：该商店本周一共销售了1450条． （2）解：由题意可知 ＝667（元） 答：该商场本周共盈利667元． 学科网（北京）股份有限公司 $$