1.2 有理数的加法与减法（讲义，知识点&8大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法，从温度变化等真实情境出发，构建“相反意义的量→运算规则→符号与绝对值分步运算”的认知逻辑，系统梳理加法法则、运算律、减法转化加法及加减混合运算步骤。 以真实情境为载体引导学生自主推导法则，培养运算能力与推理意识，通过温差计算等实际问题提升模型意识与应用意识。随学随练与分层题型设计，课中助力教师教学，课后帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

第一章 有理数 1.2 有理数的加法与减法 课标要点 1.结合温度变化、收支结余、海拔升降等真实情境理解有理数加法、减法的实际意义，掌握有理数加法法则、减法法则，理解减法可转化为加法的算理，能准确完成有理数加减运算与加减混合运算，掌握加法交换律、结合律并用于简便运算。 2. 能借助数轴、生活实例自主推导有理数加减法则，规范书写运算步骤，能基于运算规则理解符号判断的依据，建立 “相反意义的量→运算规则→符号与绝对值分步运算” 的认知逻辑。 3. 能基于有理数加减运算解决生活中的温差计算、路程统计、收支核算等实际问题，能运用运算律简化复杂加减混合运算，解释运算结果的实际含义。 学习重难点 重点： 1.有理数加法法则、减法法则的核心内容，以及 “减法转化为加法” 的转化运算方法。 2.有理数加减混合运算的规范步骤，加法运算律的简便应用与符号处理。 难点： 1.异号两数相加的符号判断与绝对值运算逻辑，理解减法转加法的算理，建立 “先定符号、再算绝对值” 的运算思维模型。 2.有理数加减混合运算中符号的准确处理，以及运算律的灵活选用与简便运算设计。 3. 复杂实际情境中加减数量关系的梳理，多步实际问题的列式与结果解读。 知识点 有理数的加法 1．有理数的加法法则 （1）同号两数相加，取原来加数的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，绝对值相等时和为 0 ；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）任何一个数与 0 相加，仍得这个数． 若互为相反数，则 ．反过来也成立，即若 ，则互为相反数． 2．利用有理数的加法法则计算的步骤 （1）判断加法类型（是同号还是异号）； （2）确定和的符号； （3）绝对值相加或相减； （4）得出最后结果． 有理数加法运算的两个关键 （1）确定和的符号； （2）确定两数的绝对值是相加还是相减． 随学随练 1．如果两个数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．至少有一个负数 B．至少有一个正数 C．至少有一个为 D．均不为 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，两个数的和为负数，则两个数不可能都是非负数，因此至少有一个是负数，据此即可求解，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：∵ 两个数的和为负数， ∴ 两个数不可能都是非负数， ∴ 至少有一个数是负数， 选项：． 2．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查分数的加法运算． 需要将整数转化为分数形式，通分后计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 知识点 有理数的加法运算律 1．加法交换律 两个有理数相加时，交换加数的位置，和不变，即 ．其中 a, b 表示有理数． 2．加法结合律 三个有理数相加时，先把前两个数相加再与第三个数相加，或者先把后两个数相加再与第一个数相加，和不变，即 ．其中 a, b, c 表示有理数． 用加法交换律运算时，一定要连同加数的符号一起交换，即符号跟着数字走． 有理数加法运算律中的常用规律 （1）互为相反数的两个数可以先相加； （2）符号相同的数可以先相加； （3）分母相同的数可以先相加； （4）几个数相加能得到整数的可以先相加． 随学随练 1．嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查加法运算律的应用，需根据变形过程判断所使用的运算律． 根据加法交换律和加法结合律进行变形即可得解． 【详解】原式为变为， 将原式中的和交换位置，使同分母分数与相邻，属于交换加法的位置； 将与相结合，与相结合，属于加法结合律； 综上，变形过程中运用了加法交换律和结合律； 故选． 2．计算：_______ 【答案】111092 【分析】根据凑整法简算即可． 【详解】解： 故答案为：111092． 【点睛】解答此题，应仔细观察，认真分析式中数据，运用运算技巧或运算定律合理简算． 知识点 有理数的减法 1．有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 ． 2．有理数减法的运算 把减法转化为加法，借助加法进行计算，因此，掌握有理数的减法的关键是正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则计算． 注意两个＂变＂ （1）改变运算符号；（2）改变减数的性质符号（变为相反数）． 牢记一个＂不变＂，被减数与减数的位置不能互换，也就是说，减法运算没有交换律． 说明：有理数减法的意义与小学阶段的减法的意义完全相同，即已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，可以看成是加法的逆运算。在转变成加法时，减数也相应变成其相反数． 随学随练 1．下列说法中，正确的是（   ） A．两个有理数的和一定大于其中一个加数 B．两个有理数的和可能比这两个加数都小 C．两个有理数的差一定小于被减数 D．一个较大的数减去一个较小的数结果可能为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法以及正数和负数，熟记运算法则是解题的关键．根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：． 【详解】A 选项：例如，和不大于加数0，所以该选项错误； B 选项：例如，比和都小，该选项正确； C 选项：例如，差7大于被减数5，所以该选项错误； D 选项：较大数减较小数，结果一定是正数，所以该选项错误． 故选：B． 2．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法运算，需要先通分，将异分母分数转化为同分母分数后再计算． 【详解】解： 故答案为：． 知识点 有理数的加减混合运算 进行有理数的加减混合运算时，先根据有理数的减法法则，把其中的减法运算转化为加法运算，从而把加减混合运算转化为加法运算，再利用加法运算法则或加法运算律进行运算． 有理数加减混合运算的步骤 第一步：把有理数的减法运算统一成加法运算； 第二步：应用加法法则或加法运算律进行计算． 随学随练 1．不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减，熟知有理数的加减运算法则是解题的关键； 根据有理数加减混合运算法则即可解答. 【详解】解：； 故选：C. 2．________； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减运算、绝对值，掌握相关知识是解题的关键．先计算绝对值，再进行有理数加减运算． 【详解】解：， 故答案为：． 题型 有理数加法运算 ▌例1如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，两个有理数的和为负数，说明它们的总和小于零，如果两个数都是非负数（即正数或零），则它们的和必然大于或等于零，与和为负数矛盾，因此，至少有一个数是负数，由此即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：设两个有理数为和，且， 如果且，则，与矛盾， 故和不能同时为非负数， ∴那么这两个数至少有一个是负数， 故选：C． ▌对点练1-1 如表，算筹是我国古代的计算工具，采用纵、横两种摆法表示数字，规则为“一纵十横，百立千僵”，即个位纵式、十位横式、百位纵式、千位横式，依此类推．古人在个位数字上划斜线表示该数为负数．例如：“”表示数字“”． 纵式 横式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 现有算筹“”和“”，将它们所表示的数求和，得到的数是（   ） A．564 B． C．742 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据题干信息列出算式，进行计算即可． 【详解】 解：根据题意得算筹“”和“”为：和， ∴， 故选：B． ▌对点练1-2 计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解： ． 故答案为：． ▌对点练1-3 若，的相反数是，则的相反数为______ 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，根据绝对值的意义求出x的值，根据相反数的定义求出 y的值，然后计算的值，再求的相反数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的相反数是， ∴， ∴当时，，则的相反数是， 当时，，则的相反数是， 综上所述，的相反数为或， 故答案为：或． 题型有理数加法运算律 ▌例2不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的减法和加法计算，减去一个数，等于加上这个数的相反数，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加，据此可得结论． 【详解】解：用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是加法结合律；同号两数相加，符号不变，绝对值相加；减去一个数等于加上这个数的相反数；不能用乘法对加法的分配律解释， 故选：C． ▌对点练2-1 下列变形，运用加法运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数加法的交换律与结合律逐项判断即可得． 【详解】解：A．，则此项错误，不符合题意； B．，则此项正确，符合题意； C．，则此项错误，不符合题意； D．，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键． ▌对点练2-2 _______ 【答案】222185 【分析】利用数字的拆分，将每个加数都拆成两个数的差，再利用加法交换律与结合律进行简便计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数加法的简便计算，解题关键是发现规律，找出简便计算的方法． 题型有理数加法中的符号问题 ▌例3把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． ▌对点练3-1 如果两个数的和是正数，那么（　　） A．这两个加数都是正数 B．一个加数为正数，另一个加数为0 C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上皆有可能 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则分析判断即可． 【详解】解：如果两个数的和是正数，可能这两个加数都是正数，如； 一个数为正数，另一个加数为0，两个数的和是正数，如； 一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则两个数的和为正数，如． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法法则，理解并熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． ▌对点练3-2 用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 题型有理数加法在生活中的应用 ▌例4上海某公司2026年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的实际应用，正负数的应用． 将盈利记为正数，亏损记为负数，计算四个季度的和即可． 【详解】解：∵第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万， ∴全年盈亏（万）． 故选：B． ▌对点练4-1 纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间快的时数，负数表示同一时刻比北京时间慢的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 当北京1月8日23时，悉尼、纽约的时间分别是（   ） A．1月9日1时；1月7日10时 B．1月9日1时；1月8日10时 C．1月8日21时；1月8日10时 D．1月8日21时；1月9日12时 【答案】B 【分析】本题考查的是正负数的应用，根据时差定义，悉尼比北京快2小时，纽约比北京慢13小时，直接计算悉尼和纽约的时间即可． 【详解】解：由题意可得：悉尼时间1月8日23时2小时1月9日1时； 纽约时间1月8日23时13小时1月8日10时； 故选：B ▌对点练4-2小明的晨跑计划是每次跑1000米，训练后记录“里程偏差”，规定：实际多跑的里程记为正数，少跑的里程记为负数（需要后续补跑）．6次训练的偏差记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 偏差（米） 根据表格数据，这6次训练中，所有偏差的总里程（即实际多跑的里程需要补跑的里程）是________米． 【答案】490 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法的应用，根据题意，总里程为实际多跑的里程与需要补跑的里程之和，即所有偏差的绝对值之和，由此计算即可得出结果，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故所有偏差的总里程为米， 故答案为：． 题型有理数的减法运算 ▌例5下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B ▌对点练5-1下列说法中，正确的是（    ） A．表示的数一定是负数 B．小数都是有理数 C．有理数包括正有理数、零和负有理数 D．两个数的差一定小于被减数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，注意带负号的数不一定是负数． 【详解】解：A、时，是正数，故A错误，不符合题意； B、无限不循环小数是无理数，故B错误，不符合题意； C、有理数包括正有理数、0、负有理数，故C正确，符合题意； D、减数是负数时，差大于被减数，故D错误，不符合题意． 故选C． ▌对点练5-2如果一个数加上所得的和是7，那么这个数是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的减法运算法则，根据有理数的减法运算法则，用和减去加数即可求出这个数． 【详解】解：由题意知，这个数为． 故答案为：． ▌对点练5-3全班数学测试平均成绩为76分，某同学考80分，记作分，得分74分记作_____分． 【答案】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数的减法运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再进行有理数的减法运算，进而得出答案． 【详解】解：全班数学测试平均成绩为76分，某同学考80分，记作分，得分74分记作：分， 故答案为：． 题型有理数减法的实际应用 ▌例6某质监部门抽查了一批盒装牛奶，检测报告上标明净含量为，则下列产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减运算的应用．根据“净含量：”的含义求出净含量的合格范围后再比较即可． 【详解】解：由条件得标准净含量的最小值为， 最大值， ∴只有选项不符合要求； 故选：A． ▌对点练6-1某商品包装袋上标注净含量：克，下列选项中表示净含量范围正确的是（    ） A．497克克 B．497克克 C．500克克 D．497克或503克 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数加法和减法的应用，根据“克”表示净含量以500克为基准，允许有克的误差，因此范围是从500减3克到500加3克． 【详解】解：∵净含量标注为克， ∴ 最小值为克，最大值为克， ∴净含量范围是497克克． 故选A． ▌对点练6-2已知甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米，则丙地的海拔高度是______米． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算的实际应用，根据题意列式求解即可． 【详解】∵甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米， ∴（米） ∴丙地的海拔高度是米． 故答案为：． 题型有理数的加减混合运算 ▌例7在数轴上，点表示的数为，一个动点从点出发，先向左移动2.5个单位长度，再向右移动3个单位长度后到达点，那么点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了数轴上点的移动，根据数轴上点的移动规则，向左移动减，向右移动加，计算移动后点B表示的数即可． 【详解】解：∵点A表示的数为， 先向左移动2.5个单位，再向右移动3个单位， ∴点B表示的数为：． 因此，点B表示的数为， 故选：C． ▌对点练7-1计算：________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数减法法则，减去一个负数等于加上它的相反数，即可解答． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． ▌对点练7-2________； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，掌握相关知识是解题的关键．将小数化为分数，再与通分后相加即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型有理数加减混合运算的应用 ▌例8某大米包装袋上的标识：，表示此袋大米的重量有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际应用，根据标识，确定重量范围，再判断各选项是否在此范围内，即可． 【详解】解：标识表示重量最小值为，最大值为； A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B ▌对点练8-1“蛟龙”号载人潜水器是一艘我国自行设计、自主集成研制的载人潜水器．如果“蛟龙”号载人潜水器以下潜深度为标准，某次下潜深度达到记作，那么下潜深度为记作________m． 【答案】 【分析】本题考查了正负数及有理数的加减法在实际生活中的应用，要熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 根据题意，以为标准，低于标准记为负，高于标准记为正即可求解． 【详解】解：根据题意得：，下潜深度达到记作， ∴下潜深度为记作：， 故答案为：． ▌对点练8-2为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 【答案】(1)米；米 (2)米 (3)累计跑步米 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算解决实际问题，读懂题意，准确得到每天跑步距离是解决问题的关键． （1）按照每日距离变化表，直接计算即可得到答案； （2）按照每日距离变化表，直接计算这5天跑步距离即可得到答案； （3）由（2）中各天跑步距离直接求和即可得到答案． 【详解】（1）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 答：小明在9月21日跑步米、22日跑步米； （2）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 9月23日：（米）， 9月24日：（米）， 9月25日：（米）， 9月25日是跑步最多的一天，是（米）； （3）解：由（2）中各天跑步距离可得，（米） 答：累计跑步米． ▌对点练8-3某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的西方，距离A地千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【分析】此题考查正数和负数的应用，解题的关键在于结合实际运用相关定义． （1）将所记录的数据求和，和为正数则在A地的东方，如果为负数则在西方，其绝对值是距A的距离； （2）求出所记录数据的绝对值的和即为所行的所有的路程． 【详解】（1）解：（千米）， ， 答：收工时该检修小组在A地的西方，距离A地千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 基础通关 （25-26六年级上·上海·期中）若已知有理数，满足：，，则下列说法中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定不小于0 C．一定是正数 D．一定是非负数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加法与减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据绝对值的性质可得一定是非负数，一定是非正数，再根据有理数的加法与减法法则进行判断即可得． 【详解】解：∵，， ∴一定是非负数，一定是非正数，则选项A错误；选项D正确； 不一定不小于0，如：，此时，则选项B错误； 不一定是正数，如：，此时，则选项C错误； 故选：D． （    ）中的括号里应填（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法，根据减法运算的性质，将原式转化为求减数的问题，通过移项和符号处理即可求解 【详解】解：选项A：，等式不成立，不符合题意； 选项B：，等式成立，符合题意； 选项C：，等式不成立，不符合题意； 选项D：，等式不成立，不符合题意. 故答案为：B. 某品牌乒乓球的产品标准中规定：直径为的乒乓球是合格品，则下列经测量得到的数据中，不合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．计算有理数的加减法可得该品牌乒乓球的产品直径在（含）与（含）之间是合格品，由此即可得． 【详解】解：，， 则该品牌乒乓球的产品直径在（含）与（含）之间是合格品， 观察四个选项可知，不合格的是， 故选：C． （25-26六年级上·上海·期中）下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记水位比前一日下降数）．则本周星期（    ）水位最低 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 0.12 0.02 0.33 0.20 0.08 0.02 0.32 A．二 B．三 C．五 D．六 【答案】B 【分析】本题考查正负数的应用．通过计算每天结束时的累计水位变化（以上周末水位为0基准），比较得出水位最低的日期． 【详解】解：假设上周末水位为0， 星期一累计：（米） 星期二累计：（米） 星期三累计：（米） 星期四累计：（米） 星期五累计：（米） 星期六累计：（米） 星期日累计：（米） ∴星期三累计水位米为最低，故本周星期三水位最低． 故选：B． 计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，将带分数和小数转换为分数形式，然后根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． （24-25六年级上·上海浦东新·期中）已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数，点B距离点A为个单位长度，则点B表示的数是 ______． 【答案】 或 【分析】本题考查了异分母分数的加减法计算，分类讨论是解答本题的关键． 分点B在点A的左侧和右侧两种情况求解即可． 【详解】解：点A表示数为，点B与点A的距离为． 当点B在点A右侧时，点B表示的数为； 当点B在点A左侧时，点B表示的数为． 故答案为或． 把写成省略括号的和的形式是________________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，属于应知应会题型，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； 根据有理数的加减运算法则解答即可． 【详解】解：把写成省略括号的和的形式是； 故答案为：． 减去与的和，所得的差是__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式，先计算两个数的和，再求与这个和的差即可． 【详解】解：根据题意，列式计算： ． 故答案为：． （25-26六年级上·上海虹口·期中）一家商店一周七天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：元、1000元、1500元、元、1800元、元、800元． 问：这家商店这一周共盈亏多少元？ 【答案】盈利3900元 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 先分别计算正数之和、负数之和，再求总和即可． 【详解】解：正数之和：（元）． 负数之和：（元）． 总和：（元）． 答：这家商店这一周共盈利3900元． “十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日 期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 (1)10月2日的游客人数是 _____万人 ． (2)这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． (3)请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 【答案】(1)3.2 (2)3，3.6 (3)19.4万人 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减运算的应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据正负数的意义列式计算即可得解； （2）分别求出这7天的游客人数，然后解答即可； （3）将这七天游客人数相加即可． 【详解】（1）解：10月2日的游客人数是：（万人）． 故答案为：． （2）解：1日游客数为：（万人）， 2日游客数为：（万人）， 3日游客数为：（万人）， 4日游客数为：（万人）， 5日游客数为：（万人）， 6日游客数为：（万人）， 7日游客数为：（万人）， 所以，游客人数最多的是3日，游客数为万人． 故答案为：． （3）解：七天游客总数：（万人）． 答：这七天总共有万人游客去麦积山风景区． 素养提升 运用加法的运算律计算（+6）+（-18）+（+4）+（-6.8）+18+（-3.2）最适当的是（　　） A．[（+6）+（+4）+18]+[（-18）+（-6.8）+（-3.2）] B．[（+6）+（-6.8）+（+4）]+[（-18）+18+（-3.2）] C．[（+6）+（-18）]+[（+4）+（-6.8）]+[18+（-3.2）] D．[（+6）+（+4）]+[（−18）+18]+[（−3.2）+（−6.8）] 【答案】D 【分析】根据互为相反数的两数之和为0以及同分母的分数相加、同号相加的原则进行计算即可． 【详解】解：（+6）+（−18）+（+4）+（−6.8）+18+（−3.2） ＝[（+6）+（+4）]+[（−18）+18]+[（−3.2）+（−6.8）]； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数加减法运算，熟练掌握有理数加法运算律是解题的关键． 下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 【答案】A 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解． 【详解】解：A、巴黎与北京的时差为，， 故巴黎此时时间为2025年元月6日，而不是，故选项A符合题意； B、纽约与北京的时差为，， 故纽约此时时间为：2025年元月6日，故选项B不符合题意； C、东京与北京的时差为，， 故东京此时时间为2025年元月6日，故选项C不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日，故选项D不符合题意； 故选：A． 根据下侧流程图计算：如果输入，那么输出的数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴输出：． 故答案为： ． 定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为______. 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算．解题关键是理解新定义的含义和有理数的运算法则． 根据新定义，即可求出的值． 【详解】解：∵时，，时，， ∴． 故答案为：3． （25-26六年级上·上海·期中）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） 根据上表回答问题： (1)星期二收盘时，该股票每股______元？ (2)本周内该股票收盘时的最高价是______元，最低价是______元？ (3)已知买入股票与卖出股票均需支付交易费．交易费的计算方式是：成交金额乘以0.005．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1) (2)； (3)小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他会赚元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键， （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义分别求得每天的实际股票价格后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：（元）， 即星期二收盘时，该股票每股元， 故答案为：； （2）解：周一实际的股票价格：（元）， 周二实际的股票价格：（元）， 周三实际的股票价格：（元）， 周四实际的股票价格：（元）， 周五实际的股票价格：（元）， 则本周内该股票收盘时的最高价是元，最低价是元， 故答案为：；； （3）解： （元）， 即小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他会赚1740元． 迁移创新 （25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 【答案】(1)A、D (2)距出发地30米，在出发地的东面 (3)能 【分析】（1）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； （2）将行走记录数据相加，根据正负数的意义判断即可； （3）将行走记录数据的绝对值相加，求出总路程，再求出油的剩余量，比较从收工位置到B处耗油与余油量即可判断． 本题考查正负数的实际应用、正负数的加减法、绝对值的应用． 【详解】（1）解：若A为原点，，当时，， 同理D也可为原点， 若B为原点，则，即B不可能为原点， 同理C也不可能为原点， 故可能作为出发地（数轴的原点）的是A、D； 故答案为：A、D； （2）解：， 故收工时，距出发地30米，在出发地的东面； （3）解：检修走的总路程为， 总耗油（升）， 剩余油量（升）， 收工时，在A的东面30米D处，千米， 从D到B需耗油（升）， ∵， ∴检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 1.2 有理数的加法与减法 课标要点 1.结合温度变化、收支结余、海拔升降等真实情境理解有理数加法、减法的实际意义，掌握有理数加法法则、减法法则，理解减法可转化为加法的算理，能准确完成有理数加减运算与加减混合运算，掌握加法交换律、结合律并用于简便运算。 2. 能借助数轴、生活实例自主推导有理数加减法则，规范书写运算步骤，能基于运算规则理解符号判断的依据，建立 “相反意义的量→运算规则→符号与绝对值分步运算” 的认知逻辑。 3. 能基于有理数加减运算解决生活中的温差计算、路程统计、收支核算等实际问题，能运用运算律简化复杂加减混合运算，解释运算结果的实际含义。 学习重难点 重点： 1.有理数加法法则、减法法则的核心内容，以及 “减法转化为加法” 的转化运算方法。 2.有理数加减混合运算的规范步骤，加法运算律的简便应用与符号处理。 难点： 1.异号两数相加的符号判断与绝对值运算逻辑，理解减法转加法的算理，建立 “先定符号、再算绝对值” 的运算思维模型。 2.有理数加减混合运算中符号的准确处理，以及运算律的灵活选用与简便运算设计。 3. 复杂实际情境中加减数量关系的梳理，多步实际问题的列式与结果解读。 知识点 有理数的加法 1．有理数的加法法则 （1）同号两数相加，取__________的符号，并把绝对值__________； （2）异号两数相加，绝对值__________时和为 0 ；绝对值不相等时，取绝对值__________的加数的符号，并用较大的绝对值__________较小的绝对值； （3）任何一个数与__________相加，仍得这个数． 若互为相反数，则 ．反过来也成立，即若 ，则互为相反数． 2．利用有理数的加法法则计算的步骤 （1）判断加法类型（是同号还是异号）； （2）确定和的符号； （3）绝对值相加或相减； （4）得出最后结果． 有理数加法运算的两个关键 （1）确定和的符号； （2）确定两数的绝对值是相加还是相减． 随学随练 1．如果两个数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．至少有一个负数 B．至少有一个正数 C．至少有一个为 D．均不为 2．计算：______． 知识点 有理数的加法运算律 1．加法交换律 两个有理数相加时，交换__________的位置，__________不变，即 ．其中 a, b 表示有理数． 2．加法结合律 三个有理数相加时，先把__________相加再与第__________个数相加，或者先把__________相加再与第__________个数相加，__________不变，即 ．其中 a, b, c 表示有理数． 用加法交换律运算时，一定要连同加数的符号一起交换，即符号跟着数字走． 有理数加法运算律中的常用规律 （1）互为相反数的两个数可以先相加； （2）符号相同的数可以先相加； （3）分母相同的数可以先相加； （4）几个数相加能得到整数的可以先相加． 随学随练 1．嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 2．计算：_______ 知识点 有理数的减法 1．有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的__________，即 ． 2．有理数减法的运算 把减法转化为__________，借助__________进行计算，因此，掌握有理数的减法的关键是正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则计算． 注意两个＂变＂ （1）改变运算符号；（2）改变减数的性质符号（变为相反数）． 牢记一个＂不变＂，被减数与减数的位置不能互换，也就是说，减法运算没有交换律． 说明：有理数减法的意义与小学阶段的减法的意义完全相同，即已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，可以看成是加法的逆运算。在转变成加法时，减数也相应变成其相反数． 随学随练 1．下列说法中，正确的是（   ） A．两个有理数的和一定大于其中一个加数 B．两个有理数的和可能比这两个加数都小 C．两个有理数的差一定小于被减数 D．一个较大的数减去一个较小的数结果可能为负数 2．计算：_______． 知识点 有理数的加减混合运算 进行有理数的加减混合运算时，先根据有理数的减法法则，把其中的减法运算转化为加法运算，从而把加减混合运算转化为加法运算，再利用加法运算法则或加法运算律进行运算． 有理数加减混合运算的步骤 第一步：把有理数的减法运算统一成加法运算； 第二步：应用加法法则或加法运算律进行计算． 随学随练 1．不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（   ） A． B． C． D． 2．________； 题型 有理数加法运算 ▌例1如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 ▌对点练1-1 如表，算筹是我国古代的计算工具，采用纵、横两种摆法表示数字，规则为“一纵十横，百立千僵”，即个位纵式、十位横式、百位纵式、千位横式，依此类推．古人在个位数字上划斜线表示该数为负数．例如：“”表示数字“”． 纵式 横式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 现有算筹“”和“”，将它们所表示的数求和，得到的数是（   ） A．564 B． C．742 D． ▌对点练1-2 计算：______． ▌对点练1-3 若，的相反数是，则的相反数为______ 题型有理数加法运算律 ▌例2不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． ▌对点练2-1 下列变形，运用加法运算律正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 _______ 题型有理数加法中的符号问题 ▌例3把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． ▌对点练3-1 如果两个数的和是正数，那么（　　） A．这两个加数都是正数 B．一个加数为正数，另一个加数为0 C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上皆有可能 ▌对点练3-2 用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 题型有理数加法在生活中的应用 ▌例4上海某公司2026年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 ▌对点练4-1 纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间快的时数，负数表示同一时刻比北京时间慢的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 当北京1月8日23时，悉尼、纽约的时间分别是（   ） A．1月9日1时；1月7日10时 B．1月9日1时；1月8日10时 C．1月8日21时；1月8日10时 D．1月8日21时；1月9日12时 ▌对点练4-2小明的晨跑计划是每次跑1000米，训练后记录“里程偏差”，规定：实际多跑的里程记为正数，少跑的里程记为负数（需要后续补跑）．6次训练的偏差记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 偏差（米） 根据表格数据，这6次训练中，所有偏差的总里程（即实际多跑的里程需要补跑的里程）是________米． 题型有理数的减法运算 ▌例5下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-1下列说法中，正确的是（    ） A．表示的数一定是负数 B．小数都是有理数 C．有理数包括正有理数、零和负有理数 D．两个数的差一定小于被减数 ▌对点练5-2如果一个数加上所得的和是7，那么这个数是_______． ▌对点练5-3全班数学测试平均成绩为76分，某同学考80分，记作分，得分74分记作_____分． 题型有理数减法的实际应用 ▌例6某质监部门抽查了一批盒装牛奶，检测报告上标明净含量为，则下列产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练6-1某商品包装袋上标注净含量：克，下列选项中表示净含量范围正确的是（    ） A．497克克 B．497克克 C．500克克 D．497克或503克 ▌对点练6-2已知甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米，则丙地的海拔高度是______米． 题型有理数的加减混合运算 ▌例7在数轴上，点表示的数为，一个动点从点出发，先向左移动2.5个单位长度，再向右移动3个单位长度后到达点，那么点表示的数为（   ） A． B． C． D． ▌对点练7-1计算：________． ▌对点练7-2________； 题型有理数加减混合运算的应用 ▌例8某大米包装袋上的标识：，表示此袋大米的重量有可能是（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-1“蛟龙”号载人潜水器是一艘我国自行设计、自主集成研制的载人潜水器．如果“蛟龙”号载人潜水器以下潜深度为标准，某次下潜深度达到记作，那么下潜深度为记作________m． ▌对点练8-2为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ ▌对点练8-3某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 基础通关 （25-26六年级上·上海·期中）若已知有理数，满足：，，则下列说法中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定不小于0 C．一定是正数 D．一定是非负数 （    ）中的括号里应填（    ） A． B． C． D． 某品牌乒乓球的产品标准中规定：直径为的乒乓球是合格品，则下列经测量得到的数据中，不合格的是（    ） A． B． C． D． （25-26六年级上·上海·期中）下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记水位比前一日下降数）．则本周星期（    ）水位最低 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 0.12 0.02 0.33 0.20 0.08 0.02 0.32 A．二 B．三 C．五 D．六 计算：______． （24-25六年级上·上海浦东新·期中）已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数，点B距离点A为个单位长度，则点B表示的数是 ______． 把写成省略括号的和的形式是________________． 减去与的和，所得的差是__________． （25-26六年级上·上海虹口·期中）一家商店一周七天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：元、1000元、1500元、元、1800元、元、800元． 问：这家商店这一周共盈亏多少元？ “十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日 期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 (1)10月2日的游客人数是 _____万人 ． (2)这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． (3)请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 素养提升 运用加法的运算律计算（+6）+（-18）+（+4）+（-6.8）+18+（-3.2）最适当的是（　　） A．[（+6）+（+4）+18]+[（-18）+（-6.8）+（-3.2）] B．[（+6）+（-6.8）+（+4）]+[（-18）+18+（-3.2）] C．[（+6）+（-18）]+[（+4）+（-6.8）]+[18+（-3.2）] D．[（+6）+（+4）]+[（−18）+18]+[（−3.2）+（−6.8）] 下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 根据下侧流程图计算：如果输入，那么输出的数是_______． 定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为______. （25-26六年级上·上海·期中）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） 根据上表回答问题： (1)星期二收盘时，该股票每股______元？ (2)本周内该股票收盘时的最高价是______元，最低价是______元？ (3)已知买入股票与卖出股票均需支付交易费．交易费的计算方式是：成交金额乘以0.005．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 迁移创新 （25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $