第03讲 有理数的乘法与除法（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年六年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

第03讲 有理数的乘法与除法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.有理数的乘法法则 2.有理数的乘法运算律 3.多个有理数相乘 4.倒数的概念 5.有理数除法法则 6.有理数的乘除混合运算 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（6） 三、解答题（13） 知识梳理 知识点1.有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点3.多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点4.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点5.有理数除法法则 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）根据算式，，，，不能得到的结论是（   ） A．两个有理数相乘时，同号得正，异号得负； B．两个有理数相乘时，交换乘数的位置，积不变； C．两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积； D．两个有理数相乘时，其中一个乘数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末） ． 3．（24-25六年级上·上海·期中）从数，1，，5，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 题型二、多个有理数的乘法运算 4．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 5．（2024六年级·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 8．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 9．（24-25六年级上·上海虹口·期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 题型四、倒数 10．（24-25六年级上·上海宝山·期末）的倒数是（　　） A． B． C． D．3 11．（24-25六年级上·上海·期中）若是，则的倒数是 ． 12．（24-25六年级上·上海·期末）如果 和 互为倒数，那么 ． 题型五、有理数乘法运算律 13．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）计算：． 14．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算： 15．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 16．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： 17．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用简便方法计算：． 题型六、有理数的除法运算 18．（23-24六年级·上海徐汇·期末）计算： ． 19．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 20．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：； 21．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ． 题型七、有理数除法的应用 22．阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 23． “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 题型八、有理数乘除混合运算 24．（23-24六年级·上海·阶段练习） ． 25．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： 26．（24-25六年级上·上海·期末）计算： 27．（24-25六年级上·上海松江·期末）计算：． 分层强化 一、单选题 1．的倒数是（   ） A．2023 B． C． D． 2．利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）现规定一种新运算“*”：，如，计算（    ） A．5 B．1 C． D． 4．（2024六年级上·上海·专题练习）计算的结果为（   ） A．1 B． C．7 D．343 5．（24-25六年级上·上海·期末）如果两个数的积是正数，而它们的和是负数，那么这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．不能确定 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D．6 7．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25六年级上·上海青浦·期中）若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 二、填空题 9．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 10．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的是 （填序号）． 11．一把刻度尺在数轴上的摆放位置如图①所示，它的左端点A的刻度为“”，刻度“”和“”分别与数轴上表示数和0的点重合；如图②，刻度尺沿数轴向右移动6个单位，恰使它的右端点B与数轴上表示数7的点重合，则该刻度尺的长度为 ． 12．（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算： ． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则 ． 14．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是 ．（写编号） ①几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数； ②已知为有理数，若，则； ③已知为有理数，若，则； ④已知为有理数，若，则． 三、解答题 15．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 16．（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算：． 17．计算：． 18．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 19．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 20．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算： 21．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 22．（24-25六年级上·上海·阶段练习）简便计算： 23．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 24．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 25．计算： 26．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 27．（24-25六年级上·上海长宁·期中）一辆公交车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公交车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车的人数．该次公交车从起点站出发，到终点站全体下车．已知中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，回答以下问题： 停靠 起点站 中间第一站 中间第二站 中间第三站 中间第四站 中间第五站 中间第六站 终点 上下车人数 (1)中间第二站上车人数是_______，下车人数是_______，中间第二站开车时车上人数是_______； (2)请问的值是_______； (3)到达终点站时的人数比起点站的人数多了还是少了？此时的人数比起点站的人数多了（或少了）几分之几？ (4)如果每人次的车票价格是2元，请问这一趟公交车票价总收入为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 有理数的乘法与除法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.有理数的乘法法则 2.有理数的乘法运算律 3.多个有理数相乘 4.倒数的概念 5.有理数除法法则 6.有理数的乘除混合运算 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（6） 三、解答题（13） 知识梳理 知识点1.有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点3.多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点4.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点5.有理数除法法则 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）根据算式，，，，不能得到的结论是（   ） A．两个有理数相乘时，同号得正，异号得负； B．两个有理数相乘时，交换乘数的位置，积不变； C．两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积； D．两个有理数相乘时，其中一个乘数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 根据有理数的乘法法则解题即可． 【详解】解：A：观察已知条件中的4个算式可知：两个有理数相乘时，同号得正，异号得负，故此选项不符合题意； B：观察算式可知：没有两个有理数相乘时交换乘数的位置的算式，故此选项符合题意； C：观察算式得到两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积，故此选项不符合题意； D：观察，可得两个有理数相乘时，其中一个乘数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数，故此选项不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末） ． 【答案】/ 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海·期中）从数，1，，5，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算即可求解，解题的关键是几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 【详解】解：积的最大值是， 积的最小值为， 故答案为：，． 题型二、多个有理数的乘法运算 4．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】． 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 5．（2024六年级·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律． （1）首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可； （2）首先确定乘积的符号，再计算； （3）首先确定乘积的符号，再计算； （4）首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)60 (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法交换律，结合律计算即可； （2）利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)周三收盘时股价为元 (2)本周内最高股价是每股元，最低价是每股元 (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及正负数表示一对具有相反意义的量，解题关键在于认真的阅读题目，分析题意，认真的进行计算． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （3）分别求出卖出时的受益，买进的费用即可解决问题； 【详解】（1）解：周三收盘时股价为： (元)． 答：周三收盘时股价为元； （2）解：周一股价为：(元)； 周二股价为：(元)； 周三股价为：(元)； 周四股价为：(元)∶ 周五股价为：(元)； 答：本周内最高股价是每股元，最低价是每股元； （3）解：根据题意得∶（元） 答：如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元． 8．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 9．（24-25六年级上·上海虹口·期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 【答案】(1)①99，100；②99，101 (2)①；② 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查的是找规律，根据题目意思找出对应的规律是解决本题的关键． （1）①根据题目中的式子特点，即可得出答案；②根据题目中的式子特点，即可得出答案； （2）①根据（1）中的结论即可得出答案；②对所求式子进行变形即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意可知，； 故答案为：99，100； ②， 故答案为：99，101； （2）解：① ． ② ， 故答案为：． 题型四、倒数 10．（24-25六年级上·上海宝山·期末）的倒数是（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．利用倒数的定义，即相乘等于1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 11．（24-25六年级上·上海·期中）若是，则的倒数是 ． 【答案】/ 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 12．（24-25六年级上·上海·期末）如果 和 互为倒数，那么 ． 【答案】 【知识点】倒数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了倒数的定义，理解倒数的定义是解题的关键．根据乘积为的两个数互为倒数，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得 ，即， 解得：； 故答案为：． 题型五、有理数乘法运算律 13．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 14．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算： 【答案】0 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法分配律进行求解 【详解】解：原式 15．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解：原式 16．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】 ． 17．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用简便方法计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的运算，变形后利用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 题型六、有理数的除法运算 18．（23-24六年级·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查除法运算，掌握运算法则是解题关键．先将小数和带分数转换为假分数，再按照除法法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 20．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：； 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算，将原式化为，然后利用乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． 21．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键．取异号两数相除，商绝对值较大． 【详解】解：∵， ∴商最小的是：． 故答案为：． 题型七、有理数除法的应用 22．阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 【答案】(1)一 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）在利用分配律计算时，除法需要先变成乘法，才能够使用，并且需要连同其前面的正负号带上，通过观察三种解法即可得到答案； （2）通过观察可得到解法三最简便，所以利用解法三的方法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在利用分配律的时候，除法需要先变成乘法，才能够使用，且解法一的计算结果与其它两种不同， ∴解法一不正确； 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故原式． 23． “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的除法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 题型八、有理数乘除混合运算 24．（23-24六年级·上海·阶段练习） ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，直接根据有理数的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 25．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．根据有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 26．（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【详解】解： 27．（24-25六年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】1 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， 先确定结果的符号，再将除法变为乘法，按照顺序计算即可． 【详解】解：原式 ． 分层强化 一、单选题 1．的倒数是（   ） A．2023 B． C． D． 【答案】D 【知识点】倒数 【分析】本题考查了求一个数的倒数，掌握倒数的意义是解题的关键．根据倒数定义即可求解． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 2．利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】把带分数化成假分数即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确把带分数化成假分数是解题的关键． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）现规定一种新运算“*”：，如，计算（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】倒数、有理数的减法运算 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的减法运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． 根据“*”的含义，以及有理数的减法运算的运算方法，求出的值是多少即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．（2024六年级上·上海·专题练习）计算的结果为（   ） A．1 B． C．7 D．343 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，根据有理数的运算法则和运算顺序进行计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：D． 5．（24-25六年级上·上海·期末）如果两个数的积是正数，而它们的和是负数，那么这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．不能确定 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法, 有理数的加法，根据同号为正，异号为负可知：两个有理数的积为正数，则这两个数为同号；根据同号相加，取相同符号，并把绝对值相加，则这两个数一定都是负数，即可求解． 【详解】解：如果两个有理数的积为正数，则这两个数为同号，且和是负数，那么这两个数一定都是负数． 故选：B． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，由此计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是熟练使用运算法则进行计算．根据几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正． 【详解】解：①个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管正因数有多少个，积为0，故原说法错误； ②个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管负因数有多少个，积为0，故原说法错误； ③个不为0有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，故原说法错误； ④个有理数相乘，当积为负时，则负因数一定有奇数个，故原说正确； ⑤个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； ⑥个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； 故正确的有④共1个， 故选：A． 8．（24-25六年级上·上海青浦·期中）若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据，可判断a，b同号，再根据，可得都是负数． 【详解】解：， a，b同号， 又， 都是负数， 故选B． 二、填空题 9．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】/ 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键．将带分数化为假分数，再求倒数即可． 【详解】解：， 的倒数是， 即的倒数是， 故答案为：． 10．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的加减混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，正确得到，，是解题的关键，根据数轴上点的位置得到，，据此求解即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可知，， ∴，，，，， ∴， 故②③④正确，①⑤不正确． 故答案为：②③④． 11．一把刻度尺在数轴上的摆放位置如图①所示，它的左端点A的刻度为“”，刻度“”和“”分别与数轴上表示数和0的点重合；如图②，刻度尺沿数轴向右移动6个单位，恰使它的右端点B与数轴上表示数7的点重合，则该刻度尺的长度为 ． 【答案】30 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数除法的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了数轴与刻度尺，根据刻度“”和“”分别与数轴上表示的数0和的点重合，可求出数轴上一个单位是，再根据向右平移6个单位得出点B表示的数，就可求出刻度尺的长，解题的关键是求出一个单位长度代表多少厘米． 【详解】解：∵刻度“”和“”分别与数轴上表示数0和的点重合， ∴数轴上一个单位长度为， 将该刻度尺沿数轴向右平移6个单位，如图2，恰使它的右端点B与数轴上表示数7的点重合， 图①点B表示的数是， 图①点B到原点的距离为， 刻度尺长为． 故答案为：30． 12．（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算： ． 【答案】4 【知识点】有理数的除法运算 【分析】该题主要考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则． 根据除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值、数轴、有理数的加减混合运算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． 先去绝对值，再根据题意得出，，，即可得出，，，然后将值代入即可得出答案． 【详解】解： ，，， ，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧， ，，， ，，， ． 故答案为：． 14．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是 ．（写编号） ①几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数； ②已知为有理数，若，则； ③已知为有理数，若，则； ④已知为有理数，若，则． 【答案】②④/④② 【知识点】绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算、等式的性质2 【分析】本题考查多个有理数的乘法、绝对值的性质及等式的性质，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多个有理数的乘法、绝对值的性质及有理数除法的运算法则逐一判断即可得答案． 【详解】解：几个不等于的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故①说法错误， ∵， ∴ ∴已知为有理数，若，则，故②说法正确， 已知为有理数，若，则或；故③说法错误， ∵， ∴已知为有理数，若，则说法正确，故④说法正确， ∴正确的说法为②④． 故答案为：②④ 三、解答题 15．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为除法，再根据乘法法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 16．（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为乘法，再约分化简即可． 【详解】解： ． 17．计算：． 【答案】2 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除混合运算法则．先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 18．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： 19．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 20．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除运算法则即可得到本题答案． 【详解】解： ． 21．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．将带分数转化成假分数，再根据有理数的乘除法可以解答本题． 【详解】解： ． 22．（24-25六年级上·上海·阶段练习）简便计算： 【答案】13 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算律，准确计算．根据乘法运算律进行计算即可． 【详解】解： ． 23．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算乘法，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 24．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】9 【知识点】有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】解： ． 25．计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】此题考查了有理数的混合运算．利用乘法分配律进行展开计算即可． 【详解】解： 26．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 【答案】(1)二，运算顺序错误或者（先算了乘法）；三，两数相除同号得正，异号得负并把绝对值相除或者（有理数除法法则） (2)或 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， 对于（1），观察计算步骤，可知要按照顺序计算有理数的乘除法判断第一步，再根据有理数的除法法则计算判断第二步； 对于（2），先计算括号内的，再根据运算顺序计算有理数的乘除法． 【详解】（1）第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，并把绝对值相除； （2） ． 27．（24-25六年级上·上海长宁·期中）一辆公交车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公交车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车的人数．该次公交车从起点站出发，到终点站全体下车．已知中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，回答以下问题： 停靠 起点站 中间第一站 中间第二站 中间第三站 中间第四站 中间第五站 中间第六站 终点 上下车人数 (1)中间第二站上车人数是_______，下车人数是_______，中间第二站开车时车上人数是_______； (2)请问的值是_______； (3)到达终点站时的人数比起点站的人数多了还是少了？此时的人数比起点站的人数多了（或少了）几分之几？ (4)如果每人次的车票价格是2元，请问这一趟公交车票价总收入为多少元？ 【答案】(1)，， (2) (3)到达终点站时的人数比起点站的人数少了，此时的人数比起点站的人数少了 (4)这一趟公交车票价总收入为92元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减法的应用及有理数的乘除法的应用，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据表格数据根据正负数的意义，有理数的加减进行计算即可求解； （2）先计算出中间第三站开车时车上人数，再根据中间第四站上车人数结合中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，列式计算即可； （3）观察表格中数据，求出到达终点站时的人数，即可解答； （4）根据表格数据，求出所有上车的人数再加上起点站的人数，最后乘以票价即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知：中间第二站上车人数是4人，下车人数是6人， 中间第二站开车时车上人数是：（人）； 故答案为：4，6，21 （2）解：中间第三站开车时车上人数是：（人）， 中间第四站上车后人数：（人）， 根据题意：中间第四站开车时的人数为：（人） 则（人） 故； 故答案为： （3）解：到达终点站时的人数为：（人）， ， ， 到达终点站时的人数比起点站的人数少了，此时的人数比起点站的人数少了； （4）解： （元） 答：这一趟公交车票价总收入为92元． 学科网（北京）股份有限公司 $$