第02讲 有理数的加法与减法（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年六年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

第02讲 有理数的加法与减法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1：有理数的加法法则 2：有理数加法的运算律 3：有理数的减法 4：有理数的加减混合运算 5：数轴上两点之间的距离 题型巩 固 一、有理数加法运算 二、有理数加法运算律 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数的减法运算 五、有理数减法的实际应用 六、有理数的加减混合运算 七、有理数加减中的简便运算 八、有理数加减混合运算的应用 九、数轴上两点之间的距离 分层强 化 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 知识点2：有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点3：有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 知识点4：有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 知识点5：数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．计算： 2．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 题型二、有理数加法运算律 3．利用加法运算律计算各题． (1) (2) 4．计算：． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、有理数加法在生活中的应用 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）学校、家、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，学校在家的东边20米，书店在家的西边120米，张明同学从家里出发，向西走了50米，接着又向东走了70米，此时张明的位置在（   ） A．家 B．学校 C．书店 D．不在上述位置 7．（24-25六年级上·上海·期中）今年国庆假期放假7天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，上海某景点在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数；负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化(万人) (1)10月3日的人数为多少？ (2)七天假期里，游客人数最多的是哪一天？达到多少万人． 题型四、有理数的减法运算 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一个数与的差是：，求这个数． 题型五、有理数减法的实际应用 10．一种食品包装袋上标着：净含量200g（±3g），表示这种食品的标准质量是200g，这种食品净含量最少（    ）g为合格． A．200 B．198 C．197 D．196 11．（24-25六年级上·上海·期中）上海冬季某两天的气温如下表所示： 最高温度 最低温度 第一天 7 第二天 这两天中，第 天温差较大． 12.（24-25六年级上·上海金山·期中）新疆大部分地区夏天昼夜温差较大，故历来有“早穿皮祅午穿纱，围着火炉吃西瓜”之说．如果新疆某地某天的最低气温为，最高气温为，那么当天的温差是多少？ 题型六、有理数的加减混合运算 13．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 14．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． 题型七、有理数加减中的简便运算 15．（24-25六年级上·上海松江·期中）计算：． 题型八、有理数加减混合运算的应用 16．（24-25六年级上·上海长宁·期中）一个数减去，再加上等于，求这个数． 题型九、数轴上两点之间的距离 17．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 18．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是 ． 19．问题  （1）在数轴上，表示的点与原点的距离是多少？ （2）在数轴上，表示的点与原点的距离是多少？ （3）由此你能发现什么？ 分层强化 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期末）如果，，且，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．7 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）将、、0、1、2、3、4、5、6这9个数分别填入图中的9个空格里，使每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数的和都相等，其中 ． 3．下列变形，运用加法运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 4．一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． 5．不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 6．如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么m的值为（    ） A．13 B．10 C．9 D．无法确定 二、填空题 7．计算： ． 8． ． 9．已知，且，则 ． 10．在公元纪年法中，没有“公元0年”的概念，公元前1年的下一年是公元1年，即公元元年．如果公元前102年记作年，那么再过2125年是公元后的多少年呢？应记作 年． 11．在下图中点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为 ． 12．2022年12月12日，北京的气温为，这一天的温差是 ． 13．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 14．大家都知道，九点五十五分可以说成十点差五分．这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，198写成；7683写成，，总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算： ． 15．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》，如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的、分别表示一个数，则的值为 ． 16．济南市某天上午的温度是，中午又上升了，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了，则夜间的温度是 ． 17．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下面是乐乐家10月的全部收支情况，妈妈领工资8100元，缴纳水电煤共元，为乐乐买衣服用去了120元，全家去游乐场用去了600元，爸爸领工资10300元，妈妈买衣服用去230元，爸爸加油用去1200元，还房贷用去3500元，为爷爷过生日用去2300元，本月伙食费合计用去元，那么小闵家本月的结余为 元． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．计算：． 20．计算： 21．计算：． 22．十一黄金周期间，泰山7天中每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比9月30日多的人数，负数表示比9月30日少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 请判断7天内游客人数量最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ 23．银行的储蓄员小思在办理业务时，约定存入为正，取出为负． 某天上午，他先后办理了七笔业务：元，元，元，元，元，元，元． (1)若他早上领取备用金40000元，那么到时还有多少元？ (2)在这七笔业务中，请求出小思在第几笔业务办理后，手中的现金最多？第几笔业务办理后，手中的现金最少？ 24．小颖在超市买了一盒某种品牌的蛋糕（共计6个），她把6个蛋糕的质量称重后统计如下表（表一）： 表一 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 表二 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)为了简化运算，小颖选取了一个标准质量，依据标准质量把每个蛋糕质量超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（表二）．请把表格补充完整： (2)已知蛋糕包装盒标记的总质量为（420±2）克，小颖买的蛋糕在总质量方面是否合格？利用“表二”中的数据通过计算说明理由． 25．定义☆运算，观察下列运算： ①，②， ③，④ ⑤，⑥． 【类比归纳】 类比有理数运算法则的探究，先确定符号，再确定绝对值．由此归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________； 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的_________． 【应用法则】 计算：（1）____________； （2）___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 有理数的加法与减法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1：有理数的加法法则 2：有理数加法的运算律 3：有理数的减法 4：有理数的加减混合运算 5：数轴上两点之间的距离 题型巩 固 一、有理数加法运算 二、有理数加法运算律 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数的减法运算 五、有理数减法的实际应用 六、有理数的加减混合运算 七、有理数加减中的简便运算 八、有理数加减混合运算的应用 九、数轴上两点之间的距离 分层强 化 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 知识点2：有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点3：有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 知识点4：有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 知识点5：数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．直接根据有理数的加法法则计算即可得解． 【详解】解： ． 2．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，直接根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型二、有理数加法运算律 3．利用加法运算律计算各题． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用加法的运算律进行求解较简便； （2）利用加法的运算律进行求解较简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法； 根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 . 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数的加减混合运算、有理数加法运算律、求一个数的绝对值 【分析】本题考查有理数的加减混合计算， （1）根据有理数的加法运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） 题型三、有理数加法在生活中的应用 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）学校、家、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，学校在家的东边20米，书店在家的西边120米，张明同学从家里出发，向西走了50米，接着又向东走了70米，此时张明的位置在（   ） A．家 B．学校 C．书店 D．不在上述位置 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法的应用，设出正负方向，从而得出正确坐标． 由题意设向东为正，向西为负，则学校在家的东边20米记为米，书店在家的西边120米，记为米，张明同学从家里出发，向西走了50米记为米，向东走了70米记为米，张明所走的路程是：（米），从而求得． 【详解】解：设向东为正，向西为负，则学校在家的东边20米记为米，书店在家的西边120米，记为米，张明同学从家里出发，向西走了50米记为米，向东走了70米记为米， 由题意：张明所走的路程是：（米）， 可见张明到了学校， 故选：B． 7．（24-25六年级上·上海·期中）今年国庆假期放假7天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，上海某景点在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数；负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化(万人) (1)10月3日的人数为多少？ (2)七天假期里，游客人数最多的是哪一天？达到多少万人． 【答案】(1)10月3日的人数为6万人； (2)10月6日的游客人数最多，达到了为万人 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用： （1）用9月30日的人数加上前三天人数的变化情况即可得到答案； （2）分别求出这七天的人数，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：万人， 答：10月3日的人数为6万人； （2）解：10月1日的游客人数为万人， 10月2日的游客人数为万人， 10月3日的游客人数为万人，     10月4日的游客人数为万人， 10月5日的游客人数为万人， 10月6日的游客人数为万人， 10月7日的游客人数为万人， ∴10月6日的游客人数最多，达到了为万人． 题型四、有理数的减法运算 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先去括号，再通分计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一个数与的差是：，求这个数． 【答案】2 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，根据差加减数等于被减数列出算式计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 即这个数是2． 题型五、有理数减法的实际应用 10．一种食品包装袋上标着：净含量200g（±3g），表示这种食品的标准质量是200g，这种食品净含量最少（    ）g为合格． A．200 B．198 C．197 D．196 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】净含量200g（±3g），表示这种食品净含量最多是（200+3）g，最少是（200-3）g,据此计算． 【详解】解：200-3=197（g）． 答：这种食品净含量最少197g为合格． 故选：C． 【点睛】此题考查了运用正负数概念解决问题的能力．此题的关键是明确200g（±3g）表示的净含量范围，然后再进一步解答． 11．（24-25六年级上·上海·期中）上海冬季某两天的气温如下表所示： 最高温度 最低温度 第一天 7 第二天 这两天中，第 天温差较大． 【答案】一 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】先计算温差，再比较大小解答即可． 本题考查了温差的计算，有理数的大小比较，熟练掌握减法计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一天的温差为：， 第二天的温差为：， 又， 故第一天温差大， 故答案为：一． 12.（24-25六年级上·上海金山·期中）新疆大部分地区夏天昼夜温差较大，故历来有“早穿皮祅午穿纱，围着火炉吃西瓜”之说．如果新疆某地某天的最低气温为，最高气温为，那么当天的温差是多少？ 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法运算的实际应用，根据题意列出算式即可求解，理解题意是解题的关键 【详解】解：， 答：当天的温差是． 题型六、有理数的加减混合运算 13．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)11 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，关键是掌握有理数加减的运算法则． （1）先把减法化为加法，再用加法运算律计算即可； （2）先把减法化为加法，再用加法运算律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型七、有理数加减中的简便运算 15．（24-25六年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减，将式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 题型八、有理数加减混合运算的应用 16．（24-25六年级上·上海长宁·期中）一个数减去，再加上等于，求这个数． 【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，解题的关键是理解题意．根据题意列出式子计算即可． 【详解】解：根据题意得： 这个数是． 题型九、数轴上两点之间的距离 17．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 18．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是 ． 【答案】4 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，正确把握数轴上两点之间距离求法是解题关键． 直接利用数轴上两点之间距离求法进而得出答案． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴A，B两点间的距离是：， 故答案为：4． 19．问题  （1）在数轴上，表示的点与原点的距离是多少？ （2）在数轴上，表示的点与原点的距离是多少？ （3）由此你能发现什么？ 【答案】（1）2；（2）2；（3）互为相反数的两个点到原点的距离相等 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上表示两个互为相反数的点到原点的距离相等，是解题的关键．（1）在数轴上，表示的点与原点的距离是2个单位长度； （2）在数轴上，表示的点与原点的距离是2个单位长度； （3）由此能发现互为相反数的两个点到原点的距离相等． 【详解】（1）在数轴上，表示的点与原点的距离是2； （2）在数轴上，表示的点与原点的距离是2； （3）由此能发现互为相反数的两个点到原点的距离相等． 分层强化 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期末）如果，，且，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．7 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加法运算等知识点，深刻理解绝对值的意义并熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 先根据题意求出和的值，然后再计算的值即可． 【详解】解：，， ，， ， ，或，， 或， 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）将、、0、1、2、3、4、5、6这9个数分别填入图中的9个空格里，使每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数的和都相等，其中 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据有理数的加法计算后即可求得答案． 【详解】解：由题意可得，最中间的数为2， 则， 那么第一行的数分别为5，0，1， 第二行的数分别为，2，6， 第三行的数分别为3，4，， 则， 故答案为：． 3．下列变形，运用加法运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数加法的交换律与结合律逐项判断即可得． 【详解】解：A．，则此项错误，不符合题意； B．，则此项正确，符合题意； C．，则此项错误，不符合题意； D．，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键． 4．一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的意义、有理数的加减，计算出薯片的净含量范围，再结合题意即可得解． 【详解】解：∵薯片检测报告上注明净含量为， ∴净含量范围为：净含量，即净含量，故A不符合标准． 故选：A． 5．不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的减法和加法计算，减去一个数，等于加上这个数的相反数，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加，据此可得结论． 【详解】解：用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是加法结合律；同号两数相加，符号不变，绝对值相加；减去一个数等于加上这个数的相反数；不能用乘法对加法的分配律解释， 故选：C． 6．如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么m的值为（    ） A．13 B．10 C．9 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减法，由第一行可得每一行的和为39，继而可求出左边及下面的数，即能得出的值．求出下面的空格里面的数是关键． 【详解】解：由题意，得每一行（列或对角线）的和为， ∴方格中心位置的空格里面的数为， 下面的空格里面的数为， ∴的值为， 故选：C． 二、填空题 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，根据绝对值不相等的异号的两数相加的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 8． ． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：7． 9．已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则和性质并准确判断出m、n的对应情况是解题的关键．根据绝对值的性质和有理数的加法运算法则判断出m、n的对应情况，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴，时，， ，时，， 综上所述，的值是或． 故答案为：或． 10．在公元纪年法中，没有“公元0年”的概念，公元前1年的下一年是公元1年，即公元元年．如果公元前102年记作年，那么再过2125年是公元后的多少年呢？应记作 年． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算． 根据“公元前1年的下一年是公元1年”列式计算即可． 【详解】解：∵公元前1年的下一年是公元1年， ∴再过2125年是（年） 故答案为：． 11．在下图中点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、有理数的减法，理解题意是解题的关键．根据题意，点B在点A的左侧，且点A与点B的距离是5个单位长度，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，点B表示的数为． 故答案为：． 12．2022年12月12日，北京的气温为，这一天的温差是 ． 【答案】11 【分析】本题考查了有理数减法的应用，用最高气温减去最低气温即可求解． 【详解】解：． 故答案为：11． 13．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 14．大家都知道，九点五十五分可以说成十点差五分．这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，198写成；7683写成，，总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义并熟练加以运用．先根据新定义计算出，再计算可得答案． 【详解】解：由题意知 ， 故选：A． 15．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》，如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的、分别表示一个数，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了有理数的加法，减法运算，熟知题意，理解“横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等”是解题关键．根据题意先得到内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为，进而求出，小圆圈上空白圆圈上数字为，从而求出或2，即可求出答案． 【详解】解：由题意得， ∴内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为， ∴⊙， ∴小圆圈上空白圆圈上数字为， ∴或2， ∴或． 故答案为：或1． 16．济南市某天上午的温度是，中午又上升了，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了，则夜间的温度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，先根据题意列出算式，再根据有理数的加减法法则计算即可，读懂题意，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：这天夜间的温度是， 故答案为：． 17．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下面是乐乐家10月的全部收支情况，妈妈领工资8100元，缴纳水电煤共元，为乐乐买衣服用去了120元，全家去游乐场用去了600元，爸爸领工资10300元，妈妈买衣服用去230元，爸爸加油用去1200元，还房贷用去3500元，为爷爷过生日用去2300元，本月伙食费合计用去元，那么小闵家本月的结余为 元． 【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用小闵爸妈的工资和减去所有支出即可得到答案． 【详解】解：元， ∴小闵家本月的结余为元， 故答案为：． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据加法法则和运算律即可求解，熟练掌握有理数的加法计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．结合加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ． 21．计算：． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 22．十一黄金周期间，泰山7天中每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比9月30日多的人数，负数表示比9月30日少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 请判断7天内游客人数量最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ 【答案】游客人数量最多的是3日，最少的是5日，相差万人． 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的加减法的应用．熟练掌握正负数的意义，以及有理数的运算法则，是解题的关键．根据表格可知：3日的人数的最多，5日的人数的最少，两个数据的差值，即为它们相差的人数． 【详解】解：由表格可知：3日的人数的最多，5日的人数的最少， 它们相差：（万人）； 答：3日的人数的最多，5日的人数的最少，它们相差万人； 23．银行的储蓄员小思在办理业务时，约定存入为正，取出为负． 某天上午，他先后办理了七笔业务：元，元，元，元，元，元，元． (1)若他早上领取备用金40000元，那么到时还有多少元？ (2)在这七笔业务中，请求出小思在第几笔业务办理后，手中的现金最多？第几笔业务办理后，手中的现金最少？ 【答案】(1)44000元 (2)第五笔业务办理后，手中的现金最多；第七笔业务办理后，手中的现金最少 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加减的混合运算，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）计算七笔业务的代数和，再加上备用金40000元即可求解； （2）分别计算出每笔业务办理后的代数和，再结合题意即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，（元）． 答：若他早上领取备用金40000元，那么到时还有44000元． （2）解：第一笔业务办理后：（元）， 第二笔业务办理后：（元）， 第三笔业务办理后：（元）， 第四笔业务办理后：（元）， 第五笔业务办理后：（元）， 第六笔业务办理后：（元）， 第七笔业务办理后：（元）， 小思在第五笔业务办理后，手中的现金最多；第七笔业务办理后，手中的现金最少． 24．小颖在超市买了一盒某种品牌的蛋糕（共计6个），她把6个蛋糕的质量称重后统计如下表（表一）： 表一 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 表二 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)为了简化运算，小颖选取了一个标准质量，依据标准质量把每个蛋糕质量超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（表二）．请把表格补充完整： (2)已知蛋糕包装盒标记的总质量为（420±2）克，小颖买的蛋糕在总质量方面是否合格？利用“表二”中的数据通过计算说明理由． 【答案】(1)，，， (2)合格；理由见解析 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加法的应用，理解“正”与“负”的相对性，能用正负数表示一对具有相反相成意义的量是解题的关键． （1）根据题意可知，标准质量为70克，据此求解即可； （2）求出6次记录的和，判断其是否在与之间（包括）即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由题意可知，标准质量为70克， ∴， ， ， ， 故填表如下： 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量(克) （2）解：， ∵， ∴小颖买的蛋糕在总质量方面是合格的． 25．定义☆运算，观察下列运算： ①，②， ③，④ ⑤，⑥． 【类比归纳】 类比有理数运算法则的探究，先确定符号，再确定绝对值．由此归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________； 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的_________． 【应用法则】 计算：（1）____________； （2）___________． 【答案】【类比归纳】得正，得负，相加，相反数；【应用法则】（1）；（2）33 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 类比归纳：根据所给算式总结即可； 应用法则：（1）根据新定义即可作答． （2）结合新定义即可作答． 【详解】解：类比归纳：依题意，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的相反数； 故答案为：得正，得负，相加，相反数； 应用法则： （1）． 故答案为：； （2）． 故答案为：33． 学科网（北京）股份有限公司 $$