精品解析：浙江省温州市鹿城区实验中学2021-2022学年九年级上学期第二次返校综合检测数学试题

2021年暑假九年级数学综合 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．） 1. 在1，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用景，那么可减排二氧化碳吨，把数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为某套餐营养成分的扇形统计图，一份套餐中蛋白质有70克，则碳水化合物含量为（ ） A. 35克 B. 70克 C. 105克 D. 140克 4. 如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 为了解某校九年级学生的体能情况，随机抽查了若干名学生对1分钟仰卧起坐的次数进行测试，并将结果绘制成如图所示的频数分布直方图，则仰卧起坐的次数在次的学生人数占被调查学生人数的百分比为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 9. 如图，在正方形中，为对角线上一点，于点于点，连接，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知菱形的顶点在菱形内部，且，若，则菱形的面积为（ ） A. B. 20 C. D. 24 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 因式分解：_________． 12. 若分式的值为零，则x的值为_____． 13. 一名学生军训时连续射靶8次，命中的环数分别为，则这名学生射击环数的中位数是_________环． 14. 如图，在矩形中，点分别在边上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点．则的长是_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，两直线与交于点，两直线与轴分别交于点和点，将线段沿射线方向平移，当点落在轴上时，的平移距离为_________． 16. 如图，是等边三角形，点A在x轴的正半轴上，在第一象限，轴，点D为的中点，反比例函数的图象经过点C和点D，的延长线与反比例函数的图象相交于点E，连结．已知，，则_____，的值是________． 三、解答题（本题有8小题，共80分） 17. 计算与化简求值． （1）计算：． （2）化简并求值：，其中． 18. 如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接，过点作于． （1）求证：． （2）连接，若，求的长． 19. 车间有20名工人，某天他们生产的零件个数统计如下表． 车间20名工人某一天生产的零件个数统计表 生产零件的个数（个） 9 10 11 12 13 15 16 19 20 工人人数（人） 1 1 6 4 2 2 2 1 1 （1）求这一天20名工人生产零件的平均个数； （2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？ 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．已知都在格点上，请在所给网格中按要求画图，且顶点都在格点上． （1）在图甲中画出以为对角线的平行四边形，且． （2）在图乙中画出以为中位线的三角形，且． 21. 如图，已知点，点，以为边作正方形（两点均在第一象限），反比例函数的图象经过点，射线交该图象于点． （1）求点的坐标（用含的代数式表示）． （2）若点为的中点，求的值． 22. 如图矩形中，，，点分别在上，且． （1）当时， ①求证：四边形是菱形． ②求线段的长． （2）当平分时，的长是_________． 23. 某风景区有A、B、C三种型号的观光车供游客租赁，其收费标准如下表： 车型 A型 B型 C型 价格（元辆） 20 40 60 某单位组织员工到该景区游玩，共租赁辆观光车，其中B型观光车数量是A型的2倍． （1）①若A型观光车租用4辆时，共需花费元，则该单位一共租了_________辆观光车． ②若租车总辆数与①中的相同，请你设计一个租金总额最少的方案，并求出租金总额． （2）为了让更多员工享受福利，该单位负责人打算用元租赁这三种观光车，则最多能租多少辆？ 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交y轴于点B，一次函数与一次函数交于点A，将线段沿着方向平移得到线段，连接，点，过点D作直线轴． （1）求点A的坐标． （2）证明：四边形是矩形． （3）以点O为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A，B，C旋转后的对应点分别为，直线、直线分别与直线l相交于点P，Q．记旋转角为α． ①如图2，当矩形的顶点落在直线l上时，求点P的坐标． ②在四边形旋转过程中，当时，若，点P的坐标为_____（请直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年暑假九年级数学综合 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．） 1. 在1，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数大小比较，通过比较数的大小，负数小于零和正数，且绝对值越大的负数越小进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是． 故选：A． 2. 过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用景，那么可减排二氧化碳吨，把数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图，为某套餐营养成分的扇形统计图，一份套餐中蛋白质有70克，则碳水化合物含量为（ ） A. 35克 B. 70克 C. 105克 D. 140克 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形统计图中的数据，可知蛋白质占，所以用可以求得营养成分的总质量，然后再乘即可得到碳水化合物含量． 【详解】解： （克）， 即碳水化合物含量为140克． 4. 如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 5. 为了解某校九年级学生的体能情况，随机抽查了若干名学生对1分钟仰卧起坐的次数进行测试，并将结果绘制成如图所示的频数分布直方图，则仰卧起坐的次数在次的学生人数占被调查学生人数的百分比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出抽取的总人数，再由仰卧起坐的次数在次的学生人数除以总人数求解占比即可． 【详解】解：由频数分布直方图可知，抽取的总人数为人， 仰卧起坐的次数在次的学生人数为12人， ∴占比为 ． 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 7. 某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第一周之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+1，可得结果． 【详解】由题知： 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可． 8. 如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 9. 如图，在正方形中，为对角线上一点，于点于点，连接，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，由正方形的性质得出，得出，由矩形的性质得出，进而得出，利用，，求出，继而得出． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形，， ，，，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ． 10. 如图，已知菱形的顶点在菱形内部，且，若，则菱形的面积为（ ） A. B. 20 C. D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，易得四点共线，证明，得到，设，在中，勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵菱形和菱形， ∴垂直平分，垂直平分，，， ∴四点共线， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为. 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 12. 若分式的值为零，则x的值为_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：依题意，得 2x+4=0，且x-1≠0， 解得，x=-2． 故答案是：-2． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 13. 一名学生军训时连续射靶8次，命中的环数分别为，则这名学生射击环数的中位数是_________环． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大重新排列，数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数. 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为：. 这组数据共有个数据，个数为偶数，因此中位数是排序后中间两个数的平均数，即：. 14. 如图，在矩形中，点分别在边上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点．则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由可求出，的值，根据折叠的性质可知，，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可知，，， ， ． ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，两直线与交于点，两直线与轴分别交于点和点，将线段沿射线方向平移，当点落在轴上时，的平移距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得点的坐标为，根据平移的性质得到点的坐标为，根据题意得，据此计算即可求解． 【详解】解：令，则， 解得， ∴点的坐标为， ∵将线段沿射线方向平移，且射线的解析式为，且， ∴射线与轴的交角为， ∴在竖直方向和水平方程平移的距离相等， ∴设点平移后点的坐标为， ∵点落在轴上， ∴，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴的平移距离为． 16. 如图，是等边三角形，点A在x轴的正半轴上，在第一象限，轴，点D为的中点，反比例函数的图象经过点C和点D，的延长线与反比例函数的图象相交于点E，连结．已知，，则_____，的值是________． 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，连接、，作于M，设交y轴于点F，根据反比例函数系数k的几何意义得出，，由得出 ，由，得出，进一步求得，由等边三角形的性质得出，设，则，代入，即可求得m的值，进而求得，由得出，从而得出，求得，得出，代入，即可求得． 【详解】解：连接，作于M，设交y轴于点F， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点，是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，, 设，则，， ∴， 根据题意得四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴由中点坐标公式得，即， ∵反比例函数的图象经过点C和点D， ∴， 解得， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点E， ∴， ∴， 故答案为：4，． 三、解答题（本题有8小题，共80分） 17. 计算与化简求值． （1）计算：． （2）化简并求值：，其中． 【答案】（1） （2）；1 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接，过点作于． （1）求证：． （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质，可得，，即可证得，据此即可证明． （2）先在中用勾股定理算出长度，再借助全等结论得到、的长，求出，最后在中再次利用勾股定理计算的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 由（1）得， ， ， ∵， ∴， 在中， ． 19. 车间有20名工人，某天他们生产的零件个数统计如下表． 车间20名工人某一天生产的零件个数统计表 生产零件的个数（个） 9 10 11 12 13 15 16 19 20 工人人数（人） 1 1 6 4 2 2 2 1 1 （1）求这一天20名工人生产零件的平均个数； （2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？ 【答案】（1）这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；（2）定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的定义求解可得； （2）根据众数和中位数的定义求解，再分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论． 【详解】解：（1）（个） 答：这一天20名工人生产零件的平均个数为13个. （2）中位数为12个，众数为11个. 当定额为13个时，有8个达标，6人获奖，不利于提高工人的积极性. 当定额为12个时，有12个达标，8人获奖，不利于提高大多数工人的积极性. 当定额为11个时，有18个达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性. ∴当定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性. 【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数的意义，熟悉加权平均数的计算公式是解题的关键． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．已知都在格点上，请在所给网格中按要求画图，且顶点都在格点上． （1）在图甲中画出以为对角线的平行四边形，且． （2）在图乙中画出以为中位线的三角形，且． 【答案】（1）平行四边形如图所作， （2）三角形如图所作， 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知点，点，以为边作正方形（两点均在第一象限），反比例函数的图象经过点，射线交该图象于点． （1）求点的坐标（用含的代数式表示）． （2）若点为的中点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作轴交x轴于点F，证明，则，即可求出答案； （2）过点E作轴交x轴于点H，由（1）同理可得，再求出，由、E都在反比例函数图像上列方程并解方程即可． 【小问1详解】 解：过点D作轴交x轴于点F， 在正方形中，， ， 又 ∴， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点E作轴交x轴于点H， 由（1）同理可得 ∵，， ∴， ∴， 为中点， ∴， ∴， ， ∴， ， 又、E都在反比例函数图像上． ，得， （舍）． 22. 如图矩形中，，，点分别在上，且． （1）当时， ①求证：四边形是菱形． ②求线段的长． （2）当平分时，的长是_________． 【答案】（1）①证明：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ② （2）2或 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； ②过作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论； （2）过作于，设，证明，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 ①证明：略 ②解：过作于， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过作于，设， 则四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，， ∴的长是2或． 23. 某风景区有A、B、C三种型号的观光车供游客租赁，其收费标准如下表： 车型 A型 B型 C型 价格（元辆） 20 40 60 某单位组织员工到该景区游玩，共租赁辆观光车，其中B型观光车数量是A型的2倍． （1）①若A型观光车租用4辆时，共需花费元，则该单位一共租了_________辆观光车． ②若租车总辆数与①中的相同，请你设计一个租金总额最少的方案，并求出租金总额． （2）为了让更多员工享受福利，该单位负责人打算用元租赁这三种观光车，则最多能租多少辆？ 【答案】（1）①20；②租用A型车6辆，则租用B型车12辆，租用C型车2辆；720元 （2）60辆 【解析】 【分析】（1）①根据车辆数和价格列出方程并解方程即可；②设租用A型车x辆，则租用B型车辆，租用C型车辆，设总费用为y元．根据租金总额列出一次函数解析式，根据一次函数的性质进行解答即可； （2）根据题意列出二元一次方程，求出符合题意的整数解即可． 【小问1详解】 解：①若A型观光车租用4辆，则B型观光车租用辆，C型观光车租用辆， 由题意可得， 解得， 即该单位一共租了辆观光车． ②解：设租用A型车x辆，则租用B型车辆，租用C型车辆，设总费用为y元． 可得 ， 随x的增大而减小 当时，； 此时租用A型车6辆，则租用B型车12辆，租用C型车2辆； 【小问2详解】 由题意得， ， ，即， ， 又为4的倍数． 最大为． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交y轴于点B，一次函数与一次函数交于点A，将线段沿着方向平移得到线段，连接，点，过点D作直线轴． （1）求点A的坐标． （2）证明：四边形是矩形． （3）以点O为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A，B，C旋转后的对应点分别为，直线、直线分别与直线l相交于点P，Q．记旋转角为α． ①如图2，当矩形的顶点落在直线l上时，求点P的坐标． ②在四边形旋转过程中，当时，若，点P的坐标为_____（请直接写出答案）． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①（；②或 【解析】 【分析】（1）联立两个一次函数解析式构建方程组，解方程组即可得到点A的坐标； （2）先求出点B的坐标，利用两点间距离公式即可求出线段的长，再根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明即可证明结论； （3）①先证明得到，，设，则，然后在中，利用勾股定理求解即可；②分两种情况：如图3﹣1中，当点Q在线段上时，延长交直线于点T，证明可得；再证明可得，设，则，在中运用勾股定理求得x即可解答；当时，同法可得．再证可得，由，可得， 设，则， 运用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：解方程组，得， ∴点A的坐标是． 故答案是 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴点B的坐标是． ∴． 如图1，∵线段沿着方向平移得到线段， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平行四边形是矩形． 【小问3详解】 解： ①如图2， ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 设，则， 在中，， ∴． ∴． ∴点P的坐标是． ②如图3﹣1中，当点Q在线段上时，延长交直线于点T． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图3﹣2中，当时，同法可得． ∴， 由，可得， 设，则， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题属于函数与几何动点问题的综合题，主要考查了一次函数的交点问题、两点间距离公式，矩形的判定和性质、平移的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识、根据题意画出正确的图形并作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $