精品解析：浙江省温州市鹿城区第二中学2022-2023学年九年级上学期开学考数学试卷

2022学年九年级第一学期综合素养练习数学试题卷 （满分：120分，考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，根据已知条件可设，，代入到化简后直接得出结果. 【详解】解：∵， ∴设，， ∴. 故选：A 2. 如图，A为反比例函数图象上一点，轴于点B，若，则k的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k值的几何意义．利用反比例函数k值的几何意义，可知，再结合反比例函数的图象即可得解． 【详解】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则； 又由于，则． 故选：D 3. 用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 4. 如图是根据打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（ ） A. 平均数是6 B. 中位数是7 C. 众数是7 D. 方差是7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目要求算出平均数、众数、中位数、方差，再作出选择即可． 【详解】解：由题意知， 平均数为：， 5个数都是众数； 中位数为：7； 方差为：； 故选：B． 【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差的算法，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的算法是解题的关键． 5. 如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作于点C，于点D．已知，，，，若球手恰好能击中B球，则的长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. cm 【答案】C 【解析】 【分析】证明，再由对应边成比例可求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， 即的长为12cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是判断出，要求熟练掌握相似三角形的对应边成比例． 6. 已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（ ） A. 10 B. C. 10或8 D. 10或 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三角形最长边的性质计算即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得， 即直角三角形的两条边长为6和8， ∵直角三角形中斜边是最长边， ∴分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，斜边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，斜边长即为8； 综上，该直角三角形的斜边长为10或8． 7. 如图，将折叠，使点D，C分别落在点F，E处（点F，E都在所在的直线上），折痕为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证明，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由折叠得：， ∵在中，，且， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，证明是解答本题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，垂足为，，那么的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，先证明，，求出，的长，证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图： 过点作于． 矩形中，，， ， ， ， ， ， ，，． ． ． ， ，， 的面积是． 故选：C ． 9. 用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（　　） A. 6米 B. 8米 C. 12米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设AB的长为米，则米，表示出窗框ABCD的面积，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】解：设AB的长为米，则米， 这窗框ABCD的面积， ， ， ， ， 故当时，窗框ABCD的面积最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，表示出所需长度是解题的基础，列出函数关系式是关键． 10. 由四个正方形相框拼成的照片墙如图1所示，图2是其平面几何图，其中正方形，正方形，正方形的面积分别为4分米2，4分米2，16分米2，则正方形的面积为（ ） A. 5分米2 B. 6分米2 C. 6.25分米2 D. 8分米2 【答案】B 【解析】 【分析】通过添加辅助线，结合题中给的面积反求边长，再利用等角的三角函数值相等以及勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：作于点，作交的延长线于点， ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为4平方分米，4平方分米，16平方分米， ， ， 又， ， 设， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 解得，， ∴正方形的面积为： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角函数值以及勾股定理，熟练掌握正方形的性质以及通过添加辅助线列勾股方程是解决本题的关键． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若二次根式 有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，3﹣4x≥0， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 12. 如图，，如果，那么线段的长是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理结合比例解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴． 故答案为6． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活应用平行线分线段成比例定理列出比例式是解答本题的关键． 13. 三角形的三条中位线长是3cm，4cm，5cm，则这个三角形的周长为__________ ． 【答案】24cm 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可得原三角形的周长等于中位线三角形的周长的2倍，列式计算求解即可． 【详解】∵三条中位线组成的三角形的周长cm， ∴原三角形的周长为：cm 故答案为：24cm． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质．解题的关键在于熟练掌握三角形中位线的性质． 14. 已知一组数据50，60，70，80，90，则这组数据的方差是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：这组数据的平均数为， ∴ ． 15. 如图，，，，，则的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据图形发现，代入已知条件得的值，再根据条件，，结合三角形相似判定定理可证明，根据相似三角形的性质求出的长，再根据，代入数据计算即可求出的长. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为4. 16. 函数的图象如图所示，则结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时， ； ③当时， ； ④当逐渐增大时， 随着的增大而增大， 随着的增大而减小． 其中正确结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【解析】 【详解】解：①由一次函数与反比例函数的解析式得， 解得，或（舍去）， ∴A（2，2），故①正确； ②由图象得x＞2时，y1＞y2；故②错误； ③当x=1时，B（1，3），C（1，1），∴BC=3，故③正确； ④一次函数是增函数，y随x的增大而增大，反比例函数k＞0，y随x的增大而减小．故④正确． ∴①③④正确． 故答案为：①③④. 17. 如图，坐标原点为菱形的中心，轴，点坐标为，则点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，连接，，由菱形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求点坐标，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 菱形的对称中心为坐标原点， ， 设与轴交点为，，则， 在中，， 在中，， 在中，， 即， 解得， 点， 点， 故答案为：． 18. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，由大正方形与小正方形的面积之比为5，可推出，设，，则，利用勾股定理和多项式的因式分解推出；延长交于点N，利用平行线分线段成比例定理可证N是的中点以及，设，则，证得，同理得，由此可推出；由，得，可求得与的长，最后由求出a的值即可． 【详解】解：设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P， ∵大正方形与小正方形的面积之比为5， ∴， ∴， 设，，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，因式分解等知识，灵活运用平行线分线段成比例定理和勾股定理求出线段之间的关系是解答本题的关键． 三、解答题（本题有6小题，共58分） 19. 计算或解方程 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）6 （2）， 【解析】 【分析】（1）先化简原式中的、，再根据平方差公式计算即可得答案. （2）把题目原方程常数项移项到右边，再利用直接开方法开方后得两个一元一次方程，分别解出即可得答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 移项得： 开平方得： ∴或 ∴， 20. 如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）． （2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角 为 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用菱形的性质得出符合题意的图形； （2）直接利用平行四边形的性质得出符合题意的图形． 【详解】（1）满足条件的菱形ABCD如图1所示； （2）满足条件的平行四边形ABCD如图2所示． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定的和性质，平行四边形的判定和性质等知识，正确把握平行四边形以及菱形的性质是解题关键． 21. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B，C都在反比例函数的图象上，且轴，点C在下方．设点B的横坐标为． （1）点A的坐标为 （用含a的代数式表示）． （2）当时，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得点B的坐标，进而利用即可求得点A的坐标； （2）利用等腰直角三角形的性质得到，代入即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵点B的横坐标为． ∴， ∵轴， ∴A点的纵坐标为， 代入得， ∴， ∴点A的坐标为， 【小问2详解】 解：∵， ∴， 过点作于点，交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴，， ∵，， ∴根据中点坐标公式得到， ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， a的值为． 22. 某毕业班将学办同学会，特为参会同学购买文化衫，据文化衫销售商家介绍，则买不超过10件，每件价格为140元：若超出10件，每超出1件，文化衫单价就降低1元，若购买数量不少于60件时，一律每件80元． （1）若购买件（）文化衫，总费用为___________元（用的代数式表示）； （2）由于同学会筹备组没有统一协调好，导致分两次一共购买了100件文化衫已知第一次购买的数量超过30件，但不超过40件，且两次购买文化衫一共支付了9200元，求第一次购买的文化衫数量． 【答案】（1） （2）第一次购买了40件文化衫 【解析】 【分析】（1）由题意得单价为元，利用单价乘以数量即可表示出总费用； （2）设第一次购买了x（30＜x≤40）件，则第二次购买件，由题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得： , 故答案为：； 【小问2详解】 设第一次购买了x（30＜x≤40）件，则第二次购买件， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：第一次购买了40件文化衫． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解决问题的关键． 23. 如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． （1）求直线的解析式． （2）用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． （3）是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴点， 设直线的解析式为：， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 延长，交于点G，可得出， ∵动点运动t秒后， ∴， ∴， ∵点A，C的坐标分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴P点的坐标为； 【小问3详解】 当时，且，则， ∴， ∴ ∴， 当时，且，则， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 24. 如图1，正方形的边长为6，E是边上一点（不含端点），连结，P是D点关于的对称点，连结平分交于点H，G为中点，连结．设的长为a． （1）①求的度数． ②当时， ． （2）如图2，当点P恰好落在线段上时，求证：． （3）是否存在a的值，使得与的一边平行，若存在，求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②2 （2）证明：根据（1），得到， ∴三点共线， ∵G为中点， ∴， ∴， ∵P是D点关于的对称点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （3）存在，当或时，与的一边平行． 【解析】 【分析】（1）①根据折叠的性质，正方形的性质，得到，再证明得到即可．②在两对三角形全等的基础上，可得点H、P、E在同一条直线上，设，，，在中，由勾股定理得，解方程即可解答； （2）根据，得到三点共线，根据G为中点，结合P是D点关于的对称点，得到，得到即即可得证，即可得到结论． （3）分三种情况，利用三角函数，相似知识求解即可． 【小问1详解】 解：①∵P是D点关于的对称点，四边形是正方形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ②由对称可得，由①得， ∴， ∴，即点H、P、E在同一条直线上， 设， ∵， ∴，，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时， ∴， ∵G为中点， ∴， ∴， ∵P是D点关于的对称点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得． 当时， ∴， ∵G为中点， ∴， ∴， ∵P是D点关于的对称点，平分， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴与重合， ∴，， ∴， 解得， 故． 当时， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 延长交于点M， ∴， ∵， ∴不存在， 故不成立． 综上所述，当或时，与的一边平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022学年九年级第一学期综合素养练习数学试题卷 （满分：120分，考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，A为反比例函数图象上一点，轴于点B，若，则k的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. D. 6 3. 用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是根据打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（ ） A. 平均数是6 B. 中位数是7 C. 众数是7 D. 方差是7 5. 如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作于点C，于点D．已知，，，，若球手恰好能击中B球，则的长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. cm 6. 已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（ ） A. 10 B. C. 10或8 D. 10或 7. 如图，将折叠，使点D，C分别落在点F，E处（点F，E都在所在的直线上），折痕为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，垂足为，，那么的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（　　） A. 6米 B. 8米 C. 12米 D. 米 10. 由四个正方形相框拼成的照片墙如图1所示，图2是其平面几何图，其中正方形，正方形，正方形的面积分别为4分米2，4分米2，16分米2，则正方形的面积为（ ） A. 5分米2 B. 6分米2 C. 6.25分米2 D. 8分米2 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若二次根式 有意义，则x的取值范围是_____． 12. 如图，，如果，那么线段的长是__________． 13. 三角形的三条中位线长是3cm，4cm，5cm，则这个三角形的周长为__________ ． 14. 已知一组数据50，60，70，80，90，则这组数据的方差是_______． 15. 如图，，，，，则的长为_______． 16. 函数的图象如图所示，则结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时， ； ③当时， ； ④当逐渐增大时， 随着的增大而增大， 随着的增大而减小． 其中正确结论的序号是_______． 17. 如图，坐标原点为菱形的中心，轴，点坐标为，则点坐标为_________． 18. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为______． 三、解答题（本题有6小题，共58分） 19. 计算或解方程 （1）计算： （2）解方程： 20. 如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）． （2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角 为 21. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B，C都在反比例函数的图象上，且轴，点C在下方．设点B的横坐标为． （1）点A的坐标为 （用含a的代数式表示）． （2）当时，求a的值． 22. 某毕业班将学办同学会，特为参会同学购买文化衫，据文化衫销售商家介绍，则买不超过10件，每件价格为140元：若超出10件，每超出1件，文化衫单价就降低1元，若购买数量不少于60件时，一律每件80元． （1）若购买件（）文化衫，总费用为___________元（用的代数式表示）； （2）由于同学会筹备组没有统一协调好，导致分两次一共购买了100件文化衫已知第一次购买的数量超过30件，但不超过40件，且两次购买文化衫一共支付了9200元，求第一次购买的文化衫数量． 23. 如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． （1）求直线的解析式． （2）用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． （3）是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图1，正方形的边长为6，E是边上一点（不含端点），连结，P是D点关于的对称点，连结平分交于点H，G为中点，连结．设的长为a． （1）①求的度数． ②当时， ． （2）如图2，当点P恰好落在线段上时，求证：． （3）是否存在a的值，使得与的一边平行，若存在，求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $