精品解析：2022年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试卷7

2022年长沙市初中学业水平考试适应性测试卷 数学（七） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、班级和学号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、班级和学号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共三道大题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 下列各数中属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在攻击人类的病毒中，某类新型冠状病毒体积较大，直径约为0.0000000125米，含约3万个碱基，拥有RNA病毒中最大的基因组，比艾滋病毒和丙型肝炎的基因组大三倍以上，比流感的基因组大两倍．0.0000000125用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 新年伊始，虎年来临，大家都开始用上了虎的图腾与吉祥物．以下小老虎的表情设计没有利用轴对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的有（ ） ①数轴上的点和实数是一一对应的； ②若点Q（﹣2，﹣1），则Q关于x轴对称点的坐标为（2，﹣1） ③三角形的一个外角大于任何一个与其不相邻的内角； ④Rt△ABC中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 在方差计算公式s2[（x1﹣15）2+（x2﹣15）2+…+（x20﹣15）2]中，可以看出15表示这组数据的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 7. 如图，圆心角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C表示的实数介于（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 10. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 12. 如图，点A在双曲线上，轴于点B，若的面积是6，则________． 13. 为纪念中国人民抗日战争的胜利，9月3日，某校开展中国人民抗日战争胜利纪念日征文活动．为了解学生参加活动情况，从全校6000名学生中，随机抽取了120名学生进行调查．在这次抽样调查中，样本容量是____． 14. 抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是______． 15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE．若∠E＝65°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为 _____． 16. 小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“火箭图”，若正方形ABCD的边长为4cm，则图2中M与N两点之间的距离为_________ cm． 三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19小题每小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，第24、25小题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，然后选择一个合适的整数作为的值代入求值． 19. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． （1）在图中过点C作出于点D； （2）若点P在方格纸的格点上，且使得与的面积相等，则P点的个数有________个（点P异于A）． 20. 为深化课程改革，提高学生的综合素质，某学校开设了形式多样的校本选修课程．为了解哪门校本选修课程在学生中最受欢迎，学校随机抽取部分学生进行调查，从A．探索地球；B．人工智能机器人；C．拍案说法；D．思维训练四门课程中选你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）根据本次调查，估计该校500名学生中，最喜欢“人工智能机器人”的学生人数为多少？ （3）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形式，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，每个类型题目被抽到的概率一样，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳和小金组成一组，请用画树状图或列表法求他们同时抽到“探索地球”和“思维训练”类题目的概率． 21. 如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 22. 阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，即 又，∴① 同理得：② 由得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为非负数． （1）求a的取值范围； （2）已知，且，求的取值范围； （3）已知（m是大于1的常数），且，求最大值．（用含m的代数式表示） 23. 如图所示，在中，，点在上，以为直径的与相交于点，与相交于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积； （3）若，，求． 24. 定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”． （1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是　 　． （2）如图1，在“完美四边形”ABCD中，AB＝AD＝CD＝2，BC＝，AC＝3，求线段BD的长． （3）如图2，⊙O内接四边形EFGH，GE为⊙O的直径． ①求证：四边形EFGH为“完美四边形”． ②若EF＝6，FG＝8，FH是否存在一个值使四边形EFGH的面积最大？若存在，求出FH的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年长沙市初中学业水平考试适应性测试卷 数学（七） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、班级和学号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、班级和学号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共三道大题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 下列各数中属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义逐一分析即可. 【详解】解： 是有理数，是有理数， 是无理数， 故选D 【点睛】本题考查的是无理数的识别，掌握“无理数的定义”是解本题的关键. 2. 在攻击人类的病毒中，某类新型冠状病毒体积较大，直径约为0.0000000125米，含约3万个碱基，拥有RNA病毒中最大的基因组，比艾滋病毒和丙型肝炎的基因组大三倍以上，比流感的基因组大两倍．0.0000000125用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】解：0.0000000125=， 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 新年伊始，虎年来临，大家都开始用上了虎的图腾与吉祥物．以下小老虎的表情设计没有利用轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，结合各选项的特点即可作出判断． 【详解】． 解：根据对称轴两旁的部分能完全重合可知，B、C、D都利用了轴对称，A没有利用轴对称， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除运算法则、合并同类项、二次根式的加减运算法则逐项计算并验证，进而可得答案． 【详解】解：A、，故选项A中运算错误； B、，故选项B中运算错误； C、，故选项C中运算正确，符合题意； D、，故选项D中运算错误． 5. 下列命题是真命题的有（ ） ①数轴上的点和实数是一一对应的； ②若点Q（﹣2，﹣1），则Q关于x轴对称点的坐标为（2，﹣1） ③三角形的一个外角大于任何一个与其不相邻的内角； ④Rt△ABC中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数与数轴的关系即可判断①；根据关于x轴对称的点的坐标特征即可判断②；根据三角形外角的性质即可判断③；根据勾股定理即可判断④． 【详解】解：①数轴上的点和实数是一一对应的，说法正确，是真命题，不符合题意； ②若点Q（﹣2，﹣1），则Q关于x轴对称点的坐标为（-2，1），说法错误，是假命题，不符合题意； ③三角形的一个外角大于任何一个与其不相邻的内角，说法正确，是真命题，符合题意； ④Rt△ABC中，已知两边长分别是3和4，若边长为4的边是直角边，则第三条边长为，若边长为4的边为斜边，则第三边的长为，说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，实数与数轴，三角形外角的性质，关于x轴对称的点的坐标特征，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 6. 在方差计算公式s2[（x1﹣15）2+（x2﹣15）2+…+（x20﹣15）2]中，可以看出15表示这组数据的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差公式得出数15表示这组数据的平均数． 【详解】解：在方差计算公式s2= [（x1-15）2+（x2-15）2+…+（x20-15）2]中，数15表示这组数据的平均数； 故选：B． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．正确理解方差公式是解题的关键． 7. 如图，圆心角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点P是优弧上的一点，连接，，先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求的度数即可． 【详解】解：如图，设点P是优弧上的一点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质． 8. 在中，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得：AC＝＝， ∴sinB＝＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一个角的正弦值，求出AC的长，正确理解正弦的定义是解题关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C表示的实数介于（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点A，B的坐标求出OA，OB的长度，再根据勾股定理求出AB的长，即可得出OC的长，再比较无理数的大小确定点C表示的实数介于哪个区间即可． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴ ， ∴， ∴点C的坐标为， ∵即， ∴， 即点C的表示的实数介于2和3之间， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标轴上表示无理数的方法及勾股定理，无理数大小比较的方法，熟练掌握无理数的表示及比较大小的方法是解题关键． 10. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒， ∴BC=BE=5， ∴AD=BE=5，故①小题正确； 又∵从M到N的变化是2， ∴ED=2， ∴AE=AD-ED=5-2=3， 在Rt△ABE中，AB=， ∴cos∠ABE=，故②小题错误； 过点P作PF⊥BC于点F， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠PBF， ∴sin∠PBF=sin∠AEB=， ∴PF=PBsin∠PBF=t， ∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确； 当秒时，点P在CD上，此时，PD=-BE-ED=-5-2=， PQ=CD-PD=4-=， ∵，， ∴， 又∵∠A=∠Q=90°， ∴△ABE∽△QBP，故④小题正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是读懂题中的两个函数图像中的信息. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，点A在双曲线上，轴于点B，若的面积是6，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数值的几何意义，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 由图象可知：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查已知图形面积求值．熟练掌握反比例函数值的几何意义，是解题的关键． 13. 为纪念中国人民抗日战争的胜利，9月3日，某校开展中国人民抗日战争胜利纪念日征文活动．为了解学生参加活动情况，从全校6000名学生中，随机抽取了120名学生进行调查．在这次抽样调查中，样本容量是____． 【答案】120 【解析】 【分析】由题意根据样本容量是样本中包含的个体的数目进行分析可得答案． 【详解】解：本次调查的样本是被随机抽取的120名学生，所以样本容量是120． 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查样本容量，注意掌握样本容量只是个数字，没有单位． 14. 抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律求出平移后抛物线的表达式，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式是， 所以平移后抛物线的顶点坐标是． 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE．若∠E＝65°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为 _____． 【答案】75° 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝50°，∠E＝∠ACB＝65°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，由此即可求解． 【详解】解：∵将 △ABC 绕点A逆时针旋转50°得 △ADE ， ∠E=65° ， ∴∠BAD＝50°，∠E＝∠ACB＝65°， ∵AD⊥BC， ∴∠AFC＝90°， ∴∠DAC＝90°－∠ACB＝25°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°． 故答案为：75° 【点睛】本题考查了旋转的性质以及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键． 16. 小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“火箭图”，若正方形ABCD的边长为4cm，则图2中M与N两点之间的距离为_________ cm． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作MP⊥6的斜边延长线于P，利用七巧板的特征，求出MP、NP长，再由勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点M作MP⊥6的斜边延长线于P， ∵正方形ABCD的边长为4cm， ∴6的斜边为2cm，5 的对角线长为2cm，1的斜边为4cm，3的斜边上的高为1cm， ∴PN=2++4+1=8 (cm)，MP=2cm， ∴MN=(cm)， 故答案为：． 【点睛】本题考查七巧知识，正方形的性质，勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形和掌握七巧板的特征，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19小题每小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，第24、25小题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键． 18. 先化简，然后选择一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，6（答案不唯一） 【解析】 【分析】括号里面通分化简得到 ，分解因式得到 ，约分得到，和时，原式无意义，取，当m=0时，原式 ． 【详解】解：原式 ， 和时，原式无意义， 取，当m=0时， 原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解决问题的关键是熟练运用分式的运算法则将分式化简，选使分式有意义的一个m值代入求分式的值 19. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． （1）在图中过点C作出于点D； （2）若点P在方格纸的格点上，且使得与的面积相等，则P点的个数有________个（点P异于A）． 【答案】（1）解：如图，即为所求， （2）4 【解析】 【分析】（1）利用网格的特点作图即可； （2）根据与的面积相等得出点到的距离等于点到的距离，然后根据网格的特点解答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 根据网格特征知：， ∴和是同底等高的三角形， ∴， 此时经过的格点有4个（点除外）． ∴在图中能使的格点的个数有4个． 20. 为深化课程改革，提高学生的综合素质，某学校开设了形式多样的校本选修课程．为了解哪门校本选修课程在学生中最受欢迎，学校随机抽取部分学生进行调查，从A．探索地球；B．人工智能机器人；C．拍案说法；D．思维训练四门课程中选你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）根据本次调查，估计该校500名学生中，最喜欢“人工智能机器人”的学生人数为多少？ （3）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形式，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，每个类型题目被抽到的概率一样，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳和小金组成一组，请用画树状图或列表法求他们同时抽到“探索地球”和“思维训练”类题目的概率． 【答案】（1）补图如下： （2）100人 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出调查总人数，再计算喜欢“人工智能机器人”的人数，然后补全条形图即可； （2）根据喜欢某项人数=总人数×该项所占的百分比，计算即可； （3）画树状图得，共种结果，满足条件有两种，根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：被调查总人数为（人）， 喜欢人工智能机器人的人数为（人）， 补图见答案； 【小问2详解】 解：（人）， 答：最喜欢“人工智能机器人”的学生人数为100人； 【小问3详解】 解：画树状图如图所示， 共有12种等可能的结果数，其中抽到“探索地球”和“思维训练”类题目的结果数为2， ∴他们抽到“探索地球”和“思维训练”类题目的概率是＝. 21. 如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，根据等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，求解线段长，解题的关键根据题意找到长度相等的线段． （1）欲证明四边形为矩形，先根据中位线的性质得到，再根据“垂直同一条直线的两直线平行”得到，从而证明为平行四边形，最后根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”即可证得； （2）先根据“直角三角形斜边上中线的性质”求得，然后在利用勾股定理得到的长度，最后结合求解即可． 【小问1详解】 证明：，， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ． ，， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形为矩形； 【小问2详解】 解：，点是的中点，， 在中，， 由（1）知，四边形为矩形，则． 在中，由勾股定理得：． ， ． 22. 阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，即 又，∴① 同理得：② 由得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为非负数． （1）求a的取值范围； （2）已知，且，求的取值范围； （3）已知（m是大于1的常数），且，求最大值．（用含m的代数式表示） 【答案】（1） （2） （3）最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的应用． (1)首先求出方程组的解，然后根据解为非负数得出a的取值范围； (2)根据题意得出，然后根据a的取值范围得出b的取值范围，从而得出答案； (3)根据以及a的取值范围得出b的取值范围，然后得出最值． 【小问1详解】 因为关于x、y的方程组的解都为非负数， 解得：， 可得：， 解得：； 【小问2详解】 由， 可得：， 即：， 解得：， 所以； 【小问3详解】 ， 所以， 可得：， 可得：， 同理可得：， 所以可得： 最大值为． 23. 如图所示，在中，，点在上，以为直径的与相交于点，与相交于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积； （3）若，，求． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠EAD，根据等腰三角形的性质得到∠EAD＝∠OEA根据平行线的性质得到∠OEB＝∠C＝90°，于是得到结论； （2）根据勾股定理得到BE＝，根据图形的面积即可得到结论； （3）连结DE，根据勾股定理求出DE长，证明△ACE∽△AED，求出AC，CE长，连结EF，证明△CEF∽△CAE，由比例线段可求出CF长，则AF的长可求出． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 平分， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ，， ， ． （3）如图所示，连接，， 为的直径， ， ， 平分， ， 又， ， ， ，， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，扇形的面积的计算，勾股定理等知识点，正确的识别图形，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 24. 定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”． （1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是　 　． （2）如图1，在“完美四边形”ABCD中，AB＝AD＝CD＝2，BC＝，AC＝3，求线段BD的长． （3）如图2，⊙O内接四边形EFGH，GE为⊙O的直径． ①求证：四边形EFGH为“完美四边形”． ②若EF＝6，FG＝8，FH是否存在一个值使四边形EFGH的面积最大？若存在，求出FH的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）正方形、矩形；（2）3；（3）存在，． 【解析】 【分析】（1）依次判断正方形、矩形、菱形是否满足定义条件即可； （2）根据“完美四边形”的定义，得到边和对角线之间的关系式，代入数据运算即可求解； （3）①做辅助线构造出两组相似三角形，得到四边形的边和对角线之间的关系，再利用等式的性质代换即可得到所需条件，进而得以求证； ②将四边形分成两部分，一部分是，得到它的面积为定值，另一部分为，它的面积随H点位置的变化而变化，当H点到GE的垂线段就是半径时为最大，此时的面积也最大，从而整个四边形的面积就最大；再利用勾股定理和“完美四边形”的定义等进行求解即可． 【详解】解：（1）正方形、矩形 理由如下：①如图，设正方形边长为a， ∴对角线长为， 所以对角线的积为， 因为两组对边的积的和为， ∴正方形为“完美四边形”． ②如图，设矩形的两邻边长分别为b和c， ∴矩形的对角线长为， ∵矩形的对角线长相等， ∴矩形对角线的积为， 又∵矩形对边的积分别为和， 则对边积的和为 ∴矩形为“完美四边形”． ③如图，设菱形的两条对角线长的一半分别为m和n， ∴菱形的边长为， ∵菱形的四条边相等， ∴菱形的对边的积的和为， ∵菱形的对角线的积为， 令， ∴ ∴只有当时，该菱形才为“完美四边形”， 当时，则它不是“完美四边形”， ∴菱形不是“完美四边形”． 综上可知：只有正方形和矩形是“完美四边形”． （2）由“完美四边形”的定义可知：， ∴． （3）①如图2，在GE上取一点M，使∠GFM=∠HFE， ∵∠FGM=∠FHE（同弧所对的圆周角相等）， ∴∽ ∴ ∴， ∵∠GFM=∠HFE， ∴∠GFH=∠MFE， 又∵∠GHF=∠MEF， ∴∽， ∴， ∴， ∴ ∴四边形EFGH为“完美四边形”． ②存在； 理由：如下面图①，∵GE是直径， ∴∠EFG=90°， ∴，的面积为 ∴要使四边形GFEH面积最大，则只需面积最大， 作HN⊥GE，垂足为N， 则HN的值最大时，面积就最大， 因为H点到直径DE的垂线段的长最大为半径，即垂足N点在原点时最大； 如下面图②，当O点与N点重合时， 由GE是直径， ∴∠GHE=90°， ∵HN垂直平分GE， ∴HG=HE， ∵ ∴； 由它是“完美四边形”， ∴ ∴， ∴存在，当时，面积最大． 【点睛】本题为新定义型试题，综合考查了圆、相似、勾股定理、四边形等内容，考查了学生对相关概念的理解与应用，本题属于压轴题，其中作辅助线是一个难点，对学生的综合分析与知识点运用的能力有着十分高的要求，本题蕴含了数形结合等思想． 25. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；见解析；（2）；见解析；（3）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣4）或（﹣，﹣）或（，）；详解解析． 【解析】 【分析】（1）＝0，则根据根与系数的关系有AB＝，即可求解； （2）设点E，点F，四边形EMNF的周长C＝ME+MN+EF+FN，即可求解； （3）分当点Q在第三象限、点Q在第四象限两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）依题意得：=0， 则， 则AB＝， 解得：a＝5或﹣3， 抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3， 则抛物线的表达式为：…①； （2）由得：点A、B、C的坐标分别为：、， 设点E，OA＝OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF∥AC， 直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3， 则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得： 直线EF的表达式为：y＝﹣x+…②， 联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m， 故点F，点M、N的坐标分别为：、， 则EF＝， 四边形EMNF的周长C＝ME+MN+EF+FN＝， ∵﹣2＜0，故C有最大值，此时m＝， 故点E的横坐标为：； （3）①当点Q在第三象限时，当QC平分四边形面积时， 则，故点Q； 当BQ平分四边形面积时， 则， 则， 解得：，故点Q； ②当点Q在第四象限时， 同理可得：点Q； 综上，点Q的坐标为：或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，其中（1）（3）都要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $