精品解析：2022年湖南省郴州市中考数学考前模拟冲刺试卷

2022年湖南省郴州市中考数学考前模拟冲刺试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国科学院微电子研究所微电子设备与集成技术领域的专家殷华湘说，他的团队已经研发出纳米（米纳米）晶体管.将纳米换算成米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于“明天是晴天的概率为90％”，下列说法正确的是（ ）． A. 明天一定是晴天 B. 明天一定不是晴天 C. 明天90％的地方是晴天 D. 明天是晴天的可能性很大 6. 解二元一次方程组，把②代入①，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 若，则_____． 10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过、两点，则______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 11. 为了庆祝中国共产党成立周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩（百分制）．小婷的三项成绩依次是，，，她的综合成绩是__________． 12. 如图是五边形的外角，且，则_____． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____． 14. 如图，AB∥CD∥EF，若AE=3CE，DF=2，则BD的长为________． 15. 如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，已知该扇形的面积为2π，则该扇形铁皮的半径为_____． 16. 如图，四边形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝45°，E是BD上一点，若∠ABD＝15°，则AE+BE的最小值为_____． 三．解答题（共10小题，满分82分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是________名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____； （4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 21. 学好数学，就是为能更好解决生活中遇到的问题，如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面处测得山顶的仰角为，，自沿着EC方向向前走，到达处，又测得山顶的仰角为，求山高．（结果保留根号） 22. 学校准备为运动会的某项活动购买两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多2元，用600元购进种奖品和用570元购进种商品的数量相同． （1）种商品和种商品的单价分别是多少？ （2）学校计划用不超过1555元的资金购进、两种奖品共40件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠3元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案． 23. 如图，是的直径，C点在上，平分交于D，过D作直线的垂线，交的延长线于E，连接． （1）求证：； （2）求证：直线是的切线； （3）若，，求的长． 24. 小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表： （1）如果在三月份出售这种植物，单株获利多少元； （2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本） 25. 已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M是CE的中点． （1）如图1，若点F与A重合，D在B，A延长线上时，直接写出BM，BD的数量关系 ． （2）如图2，若点F与A重合，且点C，E，D在同一直线上，连接BE，当AB＝AE＝2，求BD的长． （3）如图3，若等腰Rt△DEF的斜边EF在射线AC上运动时，AB＝2，DE，求BE+BD的最小值． 26. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标； （3）点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年湖南省郴州市中考数学考前模拟冲刺试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得，根据有理数的运算，可得答案． 【详解】解： ∴由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d， A、故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、故C不符合题意； D、故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，数轴上表示有理数，根据数轴上的点的位置得到是关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行求解即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 3. 中国科学院微电子研究所微电子设备与集成技术领域的专家殷华湘说，他的团队已经研发出纳米（米纳米）晶体管.将纳米换算成米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据科学记数法进行计算即可． 【详解】因为科学记数法的标准形式是 ，因此纳米=． 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不合题意． 5. 关于“明天是晴天的概率为90％”，下列说法正确的是（ ）． A. 明天一定是晴天 B. 明天一定不是晴天 C. 明天90％的地方是晴天 D. 明天是晴天的可能性很大 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的定义：概率表示事件发生可能性的大小，据此判断即可得． 【详解】解：明天是晴天的概率为90%，说明明天是晴天的可能性很大， 故选：D． 【点睛】题目主要考查概率的定义及对其的理解，深刻理解概率表示事件发生可能性的大小是解题关键． 6. 解二元一次方程组，把②代入①，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把②代入①即可得到答案． 【详解】解：， 把②代入①，得 ， 故选C． 【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式． 7. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看，如图： 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作轴于，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，根据三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：过作轴于， ，， ， 由勾股定理得：， ①当时，如图所示，，，； ②时，，，． 故选． 【点睛】本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想． ． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知：，即， ∴， ∴， ∴原式． 10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过、两点，则______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】求出和的值，进行比较即可． 【详解】解：已知双曲线经过、两点， 则，； 所以>； 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，解题关键是求出点的坐标，进行比较． 11. 为了庆祝中国共产党成立周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩（百分制）．小婷的三项成绩依次是，，，她的综合成绩是__________． 【答案】89 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：选手甲的综合成绩为（分， 故答案为：89分． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 12. 如图是五边形的外角，且，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：作出的外角，如图 ∵， ∴， ∴． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 14. 如图，AB∥CD∥EF，若AE=3CE，DF=2，则BD的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ，. 解得，BD=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 15. 如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，已知该扇形的面积为2π，则该扇形铁皮的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出AC，即可求得AB． 【详解】解：如图，连接， 从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，即， 为直径， （扇形的半径相等）， ． 阴影部分的面积是， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 16. 如图，四边形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝45°，E是BD上一点，若∠ABD＝15°，则AE+BE的最小值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】 过E作EH⊥BC于H，过A作AH'⊥BC于H'，交BD于E'，则由已知条件可得EH=，所以所求最小值即AE+EH的最小值，由图可知AE+EH的最小值即AH'的长度，而AH'可以根据正弦函数的意义得到解答． 【详解】解：如图，过E作EH⊥BC于H，过A作AH'⊥BC于H'，交BD于E'， ∵∠ABC=45°，∠ABD=15°， ∴∠EBH=30°， ∴EH=BE， ∴AE+， ∵点到直线垂线段最短， ∴AE'+E'H'<AE+EH， 即AE+的最小值为AH'， ∵∠ABC=45°， ∴AH'=AB×sin45°=6， 故答案为6 ． 【点睛】本题考查四边形的应用，熟练掌握直角三角形的性质、特殊角三角函数的意义和性质是解题关键． 三．解答题（共10小题，满分82分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂；非零数的0次幂等于1；特殊角三角函数值；绝对值的意义；化简求值即可； 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角三角函数值，负整数指数幂和零指数幂，掌握相关运算规则是解题关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】首先将括号内的式子通分，然后将除法统一为乘法运算，再约分、化简，最后代数求值即可． 【详解】原式 当时，原式 【点睛】分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值代入计算． 19. 在中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等边对等角，先根据直角三角形的性质和等边对等角证明，则，由此可得，再由三角形中位线定理证明，据此可证明结论． 【详解】略 20. 新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是________名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____； （4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 【答案】（1）40； （2）54°， 补充条形图如下； （3）75； （4）． 【解析】 【分析】（1）条形统计图中知B级12名，扇形统计图知B级占比30%，可得总人数； （2）计算出A级所占百分比，再乘以360°即可； （3）用A级所占百分比乘以全校总人数即可； （4）根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）∵条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%， ∴12÷30%＝40（名）； （2）∵A组的频数为6， ∴A级的扇形圆心角α的度数为：×360°＝54°． ∵C级频数为：40－6－12－8＝14（人）； （3）该校八年级学生中成绩为优秀的有： （4）画树状图得 ∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，∴选中小明的概率为＝ 【点睛】熟练掌握条形统计图，扇形统计图，及概率的运用公式，是解题的关键． 21. 学好数学，就是为能更好解决生活中遇到的问题，如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面处测得山顶的仰角为，，自沿着EC方向向前走，到达处，又测得山顶的仰角为，求山高．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】根据，得到．在中，由，，得到，由此求出山高． 【详解】解：根据题意如图可得：在中，， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 答：小山高AC为米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确掌握30度角及45度角的三角函数值是解题的关键． 22. 学校准备为运动会的某项活动购买两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多2元，用600元购进种奖品和用570元购进种商品的数量相同． （1）种商品和种商品的单价分别是多少？ （2）学校计划用不超过1555元的资金购进、两种奖品共40件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠3元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案． 【答案】（1）种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元 （2）最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设种商品的单价是元，则种商品的单价是元，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案； （2）设购买种商品件，则购买种商品件，根据题意列出一元一次不等式组并求解，结合实际即可获得答案． 【小问1详解】 解：设种商品的单价是元，则种商品的单价是元， 根据题意，可得， 解得 （元）， 经检验，是该分式方程的解， 所以（元）． 答：种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元； 【小问2详解】 设购买种商品件，则购买种商品件， 根据题意，可得， 解得， 根据题意，种商品的售价优惠3元，即实际售价为37元， 而种商品的售价不变，为38元， ∵， ∴种商品数量越多越省钱， 所以应购买种商品40件， 即最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件． 23. 如图，是的直径，C点在上，平分交于D，过D作直线的垂线，交的延长线于E，连接． （1）求证：； （2）求证：直线是的切线； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵在中，平分， ∴， ∴； （2）证明：连接半径，如图1所示： 则， ∴， ∵于E， 在中， 由（1）知 ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）2 【解析】 【分析】（1）证，根据圆中弧、弦、角的关系即可求解； （2）连接半径，可得；根据、即可求证； （3）过点D作于F，可得，在中求出可推出，，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点D作于F，如图2所示： ∵平分交于D，于E， ∴， ∵， ∴半径， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，． 24. 小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表： （1）如果在三月份出售这种植物，单株获利多少元； （2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本） 【答案】（1）每株获利为1元；（2）5月销售这种多肉植物，单株获利最大． 【解析】 【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），即可求解； （2）点（3，5）、（6，3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：y1＝﹣x+7；同理，抛物线的表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，故：y1﹣y2＝﹣x+7-（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，即可求解． 【详解】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元， 则每株获利为5﹣4＝1（元）， （2）设直线的表达式为：y1＝kx+b（k≠0）， 把点（3，5）、（6，3）代入上式得： ，解得：， ∴直线的表达式为：y1＝﹣x+7； 设：抛物线的表达式为：y2＝a（x﹣m）2+n， ∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2＝a（x﹣6）2+1， 把点（3，4）代入上式得： 4＝a（3﹣6）2+1，解得：a＝， 则抛物线的表达式为：y2＝（x﹣6）2+1， ∴y1﹣y2＝﹣x+7-（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+， ∵a＝﹣＜0， ∴x＝5时，函数取得最大值， 故：5月销售这种多肉植物，单株获利最大． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 25. 已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M是CE的中点． （1）如图1，若点F与A重合，D在B，A延长线上时，直接写出BM，BD的数量关系 ． （2）如图2，若点F与A重合，且点C，E，D在同一直线上，连接BE，当AB＝AE＝2，求BD的长． （3）如图3，若等腰Rt△DEF的斜边EF在射线AC上运动时，AB＝2，DE，求BE+BD的最小值． 【答案】（1）BD=BM； （2）； （3）BE+BD的最小值为． 【解析】 【分析】（1）连接AM，则CM=AM，可证明△BCM≌△BAM，可得，同理可得∠，则结论得证； （2）连接BD，过点C作CG⊥BD于点G，在Rt△ACD中，取AC中点P，连接DP，可证△ADP是等边三角形，得出，进而得出△ABE是等边三角形，证明BD垂直平分线段AE，得∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB， 进而得∠BCG=，CG=DG，再运用勾股定理知识即可求得结论； （3）作点B关于射线A C的对称点M，连接CM并延长至点G，使MG=DE，连接BG， EM， DG，先证明四边形ABCM是正方形，再证明四边形DEMG是平行四边形，根据BE+ BD=DG+BD，当且仅当B， D， G在同-条直线上时， DG+BD最小，即BE+ BD最小，再运用勾股定理求得答案． 【小问1详解】 解∶BD=BM；理由如下： 如图1，连接AM， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，， ∴∠BAC=∠EAD=45°， ∴， ∵M为CE中点． ∴CM=AM=EM， ∵BM= BM， BC= BA， ∴△BCM≌△BAM ( SSS)， ∴∠CBM=∠MBA， ∵， ∴∠CBM=∠MBA=45°， 同理可证：∠MDA=45°， ∴，∠MDA=∠MBA ∴，BM=DM， ∴BD=BM； 故答案为∶ BD=BM； 【小问2详解】 解：如图2，连接BD，过点C作CG⊥BD于点G，取AC中点P，连接DP， ∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，， AB=AE=2， ∴BC=AB=2， AD=DE=AE×=2×=，AC=AB=×2=2， ∵在Rt△ACD中，取AC中点P， ∴DP=AP==AD， ∴△ADP是等边三角形， ∴， ∴， ∵∠AED=∠ACD+∠CAE=， ∴∠CAE=， ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=， ∵AB=AE=2， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB= BE，∠ABE= ∵AD=DE， ∴BD垂直平分线段AE， ∴∠ABD=∠EBD=30°，∠ADB=∠EDB=45°， ∴∠CBD=，∠GCD==∠EDB ∴∠BCG=，CG=DG， ∵CG⊥BD， ∴BG=， ∴DG=CG =， ∴BD=BG+DG=； 【小问3详解】 解：如图3，作点B关于射线AC的对称点M，连接CM并延长至点G，使MG=DE，连接BG， EM， DG， ∵AB=AC=2，点B与点M关于C对称， ∴AB=BC=CM=AM=2， ∵， ∴四边形ABCM是正方形， ∴EM=BE，∠BCM=90°，∠ACM=， ∵△DEF是等腰直角三角形， DE=，∠EDF=90°， ∴∠DEF=45°=∠ACM， ∴， ∵DE= MG， ∴四边形DEMG是平行四边形， ∴， DG= EM， ∴DG=BE， ∴BE+BD=DG+BD，根据两点之间，线段最短．当且仅当B， D， G在同一条直线上时， DG + BD最小，即BE+ BD最小， 此时，， ∴BE+BD的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正方形判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，轴对称性质等，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 26. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标； （3）点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标． 【答案】（1） （2）的周长最大值为 ，； （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，进而求出点D坐标，可得直线解析式为：，则，证明，进而得到，则是等腰直角三角形，推出；设点F坐标，则点H坐标，则，则的周长，由二次函数的性质可得当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为； （3）先求出顶点M的坐标为，则；设，则，，由矩形的性质可得是直角三角形，故可分当时， 当时， 当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得： 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵D、C关于对称轴对称，点C坐标， ∴点D坐标， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点F坐标，则点H坐标， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为； 【小问3详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴顶点M的坐标为， ∴； 设， ∴，， ∵以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形， ∴是直角三角形， 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于根据矩形的性质得到是直角三角形，进而利用勾股定理建立方程求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $