精品解析：2022年湖南省长沙市重点中学中考数学模拟冲刺试卷

2022年湖南省长沙市重点中学中考数学模拟冲刺试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 脐橙是宁都县“兴国富民”的一项支柱产业．全县脐橙种植面积达14.3万亩，产量9万吨，有几个3万亩连片脐橙基地，30个千亩连片基地．种植面积14.3万用科学记数法表示为（　　） A. 14.3×104 B. 1.43×104 C. 1.43×105 D. 0.143×106 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 平行四边形的邻边相等 C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线互相平分 4. 某小组的一次数学检测成绩统计如下（单位：分）：76，90，64，100，84，64，73．则这组数据的众数和中位数分别是（） A. 64，76 B. 64，100 C. 76，64 D. 64，84 5. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点B在反比例函数的图象上，连接，，且，线段交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为（ ） A. B. C. D. 7. 将不等式组 的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=( ) A. -3 B. 3 C. -1 D. 1 9. 如图，为的直径，弦交于点E，过点C的切线，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论： ①当时，； ②当时，c的最大值为0； ③当时，y可以取到的最大值为7． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 分解因式：_______． 12. 关于的方程有一个根是3，那么实数的值是______ 13. 有5张卡片，上面分别画有：圆、正方形、等边三角形、正五边形、线段，将卡片画面朝下随意放在桌上，任取一张，那么取到卡片对应图形是中心对称图形的概率是​ ________ 14. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且 ，则坡面的长度为_________． 15. 已知直线，点P、Q分别在上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转． （1）若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______； （2）若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 16. 如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则_______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 新年晚会是我们最快乐的时候.会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形，多面体是其中的一部分，多面体中围成立体图形的每一个面都是平面，没有曲面，如棱柱、棱锥等多面体，如图. 请你数一下图中每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并把结果记入下表中，你会发现什么规律？ 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 20. 某中学五班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为，又知此次调查中捐款元和元的学生一共人． （1）他们一共调查了多少人？ （2）这组数据的众数、中位数各是多少？ （3）从该班任选一人，捐款数不低于元的概率是多少？ 21. 如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画一个以线段为一边的菱形，其面积为20，且各顶点均在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中以为腰画出等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且； （3）连接，请直接写出线段的长． 22. 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 23. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为，求线段的长． 24. 意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《算经》一书中提出了大量的分式方程问题．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若加上6人，再平分40元，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分钱的人数．请根据题中的叙述，求出第一次分钱的人数． 25. 如图抛物线经过两点，与y轴交于点，与x轴交于另一点B． （1）求此抛物线的解析式； （2）若直线将四边形面积二等分，求k的值； （3）如图过点作轴于点，将绕平面内某点旋转后得（点分别与点对应），使点在抛物线上，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年湖南省长沙市重点中学中考数学模拟冲刺试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2. 脐橙是宁都县“兴国富民”的一项支柱产业．全县脐橙种植面积达14.3万亩，产量9万吨，有几个3万亩连片脐橙基地，30个千亩连片基地．种植面积14.3万用科学记数法表示为（　　） A. 14.3×104 B. 1.43×104 C. 1.43×105 D. 0.143×106 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】种植面积14.3万用科学记数法表示为1.43×105． 故选C． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 平行四边形的邻边相等 C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误， B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误， C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误， D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 4. 某小组的一次数学检测成绩统计如下（单位：分）：76，90，64，100，84，64，73．则这组数据的众数和中位数分别是（） A. 64，76 B. 64，100 C. 76，64 D. 64，84 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数．把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数． 【详解】解：∵这组数据中64出现的次数最多， ∴这组数据的众数是64； ∵这组数据从小到大排列为：64、64、73、76、84、90、100，处于中间位置的数是76， ∴这组数据的中位数是76． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是众数以及中位数，掌握众数以及中位数的定义是解此题的关键． 5. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 6. 如图，点B在反比例函数的图象上，连接，，且，线段交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作轴于M，作，交延长线于N，求出，证明四边形是矩形，则，证明，得到，则，再根据反比例系数的几何意义求出答案即可． 【详解】解：过作轴于M，作，交延长线于N， ∵，的面积为， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵点在反比例函数的图象上， ∴ 解得 ∵图象在第四象限， .∴． 7. 将不等式组 的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接在数轴上表示两个不等式的解集即可． 【详解】解：不等式在数轴上向右画，用空心的点， 不等式也向右画，用实心的圆点， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式组的解集在数轴上表示的方法，解题的关键是把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 8. 如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=( ) A. -3 B. 3 C. -1 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数关系可知x1＋x2＝＝3． 故选B． 9. 如图，为的直径，弦交于点E，过点C的切线，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，求出，在中，，得到，，则，即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵过点C的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 10. 已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论： ①当时，； ②当时，c的最大值为0； ③当时，y可以取到的最大值为7． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质及不等式分析，注意二次函数定义中的条件；①当时，根据不等式的性质以及二次函数的定义即可得出结论；②当时，二次函数的对称轴为：，分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别利用二次函数的最值问题讨论证明即可得；③当，，，时，分别求出相应的y的范围，然后当时，可得即可判断③． 【详解】解：①当时， ， ∴， ∵， ∴， ，即， 又∵二次函数隐含， ∴且，故①错误； ②当时， 二次函数的对称轴为：， 当时，即时， 函数在处取得最小值，即 ， ， 函数在处取得最大值，即 ， ， 二者矛盾， ∴这种情况不存在； 当时，即时， ， 函数在处取得最小值，即， ， ∴， 当时，即时，， 时，；时，，不符合题意，舍去； 当时，即时，， 时，；时，， 不符合题意，舍去； ∴， 当时，即时， 函数在处取得最小值，即， ， 函数在处取得最大值，即， ， 二者矛盾， ∴这种情况不存在； ∴综上可得：； ∴当时，c的最大值为0； 故②正确； 对于结论③： ∵ 当时，，且； 当时，，且； 当时，，且； 当时，， ∴ ，，， ∴ ， ∴ 当时，可以取到的最大值为； 故③正确． ∴正确结论为②③． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解括号内的二次三项式，即可解题． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 关于的方程有一个根是3，那么实数的值是______ 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，根据一元二次方程的性质，将3代入到，通过求解一元一次方程，即可得到答案． 【详解】∵关于的方程有一个根是3， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 13. 有5张卡片，上面分别画有：圆、正方形、等边三角形、正五边形、线段，将卡片画面朝下随意放在桌上，任取一张，那么取到卡片对应图形是中心对称图形的概率是​ ________ 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念得到是中心对称图形的有圆，正方形，线段，再根据概率公式进行解答即可． 【详解】解：这五张卡片，任取一张有五种等可能结果，其中是中心对称图形的有圆，正方形，线段三种等可能结果，故取到卡片是中心对称图形的概率是． 14. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且 ，则坡面的长度为_________． 【答案】##10米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的含义是解题的关键．根据正弦三角函数的定义来求解即可． 【详解】解：由题知，，， ， 解得， 故答案为：． 15. 已知直线，点P、Q分别在上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转． （1）若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______； （2）若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 【答案】 ①. ②. 15或63或 【解析】 【分析】（1）求出旋转秒时，，，过作，根据平行线的性质求得，，进而得结论； （2）分三种情况讨论，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间． 【详解】（1）解：当旋转时间秒时，由已知得：，，如图1， 过作，则， ，， ， ， 故答案为：； （2）①设射线旋转的时间为秒； 第一次平行时，如图2， 则，， ，， ， 即， 解得：秒； ②第二次平行时，如图3，则，， ，， ， 即， 解得：秒； ③第三次平行时，如图4，则，， ，， ， 即， 解得：秒． 16. 如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意，得： ， 整理得： ∴ 解得：， 即：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用零指数幂和负整数指数幂计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 19. 新年晚会是我们最快乐的时候.会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形，多面体是其中的一部分，多面体中围成立体图形的每一个面都是平面，没有曲面，如棱柱、棱锥等多面体，如图. 请你数一下图中每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并把结果记入下表中，你会发现什么规律？ 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 【答案】见解析. 【解析】 【分析】根据实际图形即可填表，然后根据所填的数据即可写出规律. 【详解】解：填表如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 规律：顶点数+面数-棱数=2. 【点睛】此题主要考查正几何体的特点，解题的关键是根据图形写出顶点数，面数，棱数，再发现规律. 20. 某中学五班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为，又知此次调查中捐款元和元的学生一共人． （1）他们一共调查了多少人？ （2）这组数据的众数、中位数各是多少？ （3）从该班任选一人，捐款数不低于元的概率是多少？ 【答案】（1）人 （2）众数为元；中位数为元 （3） 【解析】 【分析】（1）设捐款元的有人，然后根据捐款元和元的学生一共人列方程解答； （2）根据众数、中位数的概念及求法可确定； （3）利用捐款元和元的学生共人除以总人数计算即可． 【小问1详解】 解：∵图中从左到右各长方形的高度之比为， ∴设捐款元的有人，则元的学生有人， 则， 得， 则捐款人数共有（人）； 【小问2详解】 解：由图象可知：众数为元； 由于本组数据的个数为，按大小顺序排列处于中间位置的两个数都是元， 故中位数为元； 【小问3详解】 解：P（不低于元）=． 21. 如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画一个以线段为一边的菱形，其面积为20，且各顶点均在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中以为腰画出等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且； （3）连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 如图，菱形即为所求． （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）四边相等的四边形是菱形，作出底为5，高为4的菱形即可； （2）作等腰直角三角形即可； （3）利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由勾股定理得． 22. 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【答案】(1) 甲商品每件进价为30元，乙商品每件进价为70元；(2) 最大的进货方程是购买甲种商品80件，乙种商品20件，最大利润为1200元． 【解析】 【分析】(1)设甲商品每件进价为x元，乙商品每件进价为y元，根据甲商品2件和乙商品3件共需270元，甲商品3件和乙商品2件共需230元，列出方程求解即可； (2)根据题意可以得到利润与甲种商品的关系，由甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，可以得到甲种商品的取值范围，从而可以求得获利最大的进货方案，以及最大利润． 【详解】解：(1)设甲商品每件进价为x元，乙商品每件进价为y元， 解得： ∴甲商品每件进价为30元，乙商品每件进价为70元． (2)设购买甲种商品a件，获利为w元， ∵， 解得：， 当a=80时，w取得最大值，所以w=1200， ∴最大的进货方程是购买甲种商品80件，乙种商品20件，最大利润为1200元． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用、二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件． 23. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．利用矩形的性质和勾股定理，求出，证明，得到，即可求出线段的长． 【详解】解：在矩形中，，是边的中点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《算经》一书中提出了大量的分式方程问题．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若加上6人，再平分40元，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分钱的人数．请根据题中的叙述，求出第一次分钱的人数． 【答案】2人 【解析】 【分析】根据题意可列分式方程，求解即可； 【详解】设第一次分钱有人， 根据题意得，解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：第一次分钱有2人． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，准确列式求解是解题的关键． 25. 如图抛物线经过两点，与y轴交于点，与x轴交于另一点B． （1）求此抛物线的解析式； （2）若直线将四边形面积二等分，求k的值； （3）如图过点作轴于点，将绕平面内某点旋转后得（点分别与点对应），使点在抛物线上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把已知坐标代入解析式求出抛物线解析式； （2）作辅助线过点C作于点得出四边形是等腰梯形，由矩形的中心对称性得出过P点且与相交的任一直线将梯形的面积平分； （3）由中心旋转的性质可设，代入抛物线解析式求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过，，代入得： ∴ 解得 ∴抛物线解析式； 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点， ，令得： ， 令，得， ∴，， 又∵， ∴． 由抛物线的对称性得四边形是等腰梯形， ∴， 设矩形的对称中心为则， 由矩形的中心对称性知：过P点任一直线将它的面积平分． ∴过P点且与相交的任一直线将梯形的面积平分． 当直线经过点P时， 得 ∴； 【小问3详解】 解：如图由题意知， ∵绕平面内某点旋转后得， ∴设绕点I旋转，连接， 则必过点，且， ∴四边形为平行四边形， ∴且， ∵，， ∴设则， ∵M、N在抛物线上， ∴ 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $