精品解析：山西吕梁市汾阳市2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025－2026学年度七年级第二学期期末学业水平测试卷 数学 满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中是无理数的数是（ ） A. B. 3.1415926 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 为助力山西乡村电商发展，下列调查工作中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 统计某村所有农户种植沁州黄小米的亩数 B. 检测一批平遥牛肉的蛋白质含量 C. 登记本次农博会所有参展晋味特产的种类 D. 核对本地合作社全部订单的发货地址 4. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（ ） A. 与互余 B. 与是同旁内角 C. 与是内错角 D. 与是内错角 6. 如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．数学书和语文书共有90本，恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本？设书架上数学书有本，语文书有本，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 某数码店购进一款每个进价为40元的蓝牙耳机，每个标价55元出售，为吸引顾客，现在搞降价促销活动，若店家规定利润率不能低于，则这款耳机最多可以降（ ）元． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 汾阳市交警大队推进“一盔一带”安全守护专项行动，在某社区随机抽查部分电动自行车驾乘人员，统计他们一个月内规范佩戴安全头盔的次数，整理数据绘制频数分布直方图如下（分组含左端点、不含右端点），下列说法正确的是（ ） A. 本次抽样调查的样本容量为70 B. 分组的组距为5 C. 样本中当月规范佩戴不足20次的有14人 D. 样本中当月规范佩戴不足30次的人数多于次总人数 9. 如图，点在内，，，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中，点，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个单位长度，记点与点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________（填“”，“”或“”）． 12. 数学源于生活，用于生活．我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图所示，体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段的长度即可，这样做的数学道理是______． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限，轴且，则点的坐标为______． 14. 将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______． 15. 如图，，．若平分，且满足，则的度数为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算与解方程组： （1）计算：． （2）解方程组： 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图点E，F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． （1）求证：． （2）若，且，求的度数． 19. 结合全国2026年前4个月农产品网上零售额同比增长的电商背景，汾阳市电商部门抽样统计了本地特色农产品的线上销量，包含（A.汾州杂粮、B.汾州小米、C．汾州核桃、D.汾州酸枣、E.其他）特色农产品，绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图． （1）本次统计的样本容量为______；在扇形统计图中，汾州酸枣所占的百分比为______；汾州小米对应的扇形的圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若汾阳市该周期所有特色农产品线上总销量为40000单，请根据以上信息估计所有特色农产品中汾州小米的线上总销量． 20. 已知：如图，把向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． （1）画出三角形； （2）连接，那么线段与线段的关系是______； （3）求出的面积． 21. 阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 （1）不等式的解集是______； （2）不等式的解集是______； 【拓展探究】 （3）已知绝对值不等式的解集为，则______；______； （4）请求出绝对值不等式的解集 22. 综合与实践——项目化学习 根据以下信息，探索完成任务． 项目主题 智能分拣机器人采购方案设计 项目背景 2026年春晚武术节目《武》展现了我国人形机器人顶尖技术，中国智造广受世界瞩目．某快递企业为提高工作效率，计划采购A，B两款智能分拣机器人进行快递分拣，请结合以下数据完成采购测算与方案设计． 信息一（采购费用信息） A型机器人（台） B型机器人（台） 总费用（万元） 3 1 230 2 5 370 信息二（分拣能力信息） 机器人型号 单日分拣能力（万件／台） A型 20 B型 18 解决问题： （1）任务一：求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）任务二：企业计划购买A，B两种型号智能机器人共12台，要求总价低于670万元，并且每天分拣快递不少于224万件，求该企业所有符合条件的购买方案． 23. 综合与探究 【问题情境】 在七年级几何学习中，平行线的判定与性质是核心内容．现有直线，点在直线上，点在直线上，点是直线外一点，连接．请结合图形完成下列探究． 【初步探究】 （1）如图1，若点在直线的下方且在直线的上方，且满足，请判断直线与的位置关系，并写出完整的证明过程． 【深入思考】 （2）如图2，在（1）的条件下，平分交的延长线于点平分，交的反向延长线于点．当时，请求出的度数． 【拓展延伸】 （3）在（1）的条件下，若点在直线的上方且不在直线上，分别连接，平分平分，两条角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度七年级第二学期期末学业水平测试卷 数学 满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中是无理数的数是（ ） A. B. 3.1415926 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是整数，属于有理数，不符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、是无限不循环小数，因此也是无理数，符合题意； D、，是整数，属于有理数，不符合题意． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点在第二象限， 故选：B． 3. 为助力山西乡村电商发展，下列调查工作中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 统计某村所有农户种植沁州黄小米的亩数 B. 检测一批平遥牛肉的蛋白质含量 C. 登记本次农博会所有参展晋味特产的种类 D. 核对本地合作社全部订单的发货地址 【答案】B 【解析】 【详解】解：A. 统计某村所有农户种植沁州黄小米的亩数，调查范围小，适用全面调查； B. 检测一批平遥牛肉的蛋白质含量，检测具有破坏性，适宜采用抽样调查； C. 登记本次农博会所有参展晋味特产的种类，调查数量有限， 适用全面调查； D. 核对本地合作社全部订单的发货地址，需准确结果，适用全面调查． 4. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 由，则，不符合题意． B． 由，则，不符合题意． C． 由，则，即，符合题意． D． 由，则，即，不符合题意． 5. 如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（ ） A. 与互余 B. 与是同旁内角 C. 与是内错角 D. 与是内错角 【答案】C 【解析】 【详解】解：与互补，故A错误； 与不是同旁内角，故B错误； 与是内错角，故C正确； 与是同位角，故D错误． 6. 如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．数学书和语文书共有90本，恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本？设书架上数学书有本，语文书有本，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设书架上数学书有本，语文书有本， ． 7. 某数码店购进一款每个进价为40元的蓝牙耳机，每个标价55元出售，为吸引顾客，现在搞降价促销活动，若店家规定利润率不能低于，则这款耳机最多可以降（ ）元． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】要使降价最多需售价最低，结合最低利润率要求求出最低售价后计算最大降价额． 【详解】解：这款耳机可以降元， 由题意得， 解得， ∴这款耳机最多可以降元． 8. 汾阳市交警大队推进“一盔一带”安全守护专项行动，在某社区随机抽查部分电动自行车驾乘人员，统计他们一个月内规范佩戴安全头盔的次数，整理数据绘制频数分布直方图如下（分组含左端点、不含右端点），下列说法正确的是（ ） A. 本次抽样调查的样本容量为70 B. 分组的组距为5 C. 样本中当月规范佩戴不足20次的有14人 D. 样本中当月规范佩戴不足30次的人数多于次总人数 【答案】C 【解析】 【详解】解：本次抽样调查的样本容量为，故A错误； 分组的组距为，故B错误； 样本中当月规范佩戴不足20次的有（人），故C正确； 样本中当月规范佩戴不足30次的有（人）， 次的人数有（人）， 则样本中当月规范佩戴不足30次的人数少于次总人数，故D错误． 9. 如图，点在内，，，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，得出，即，再根据平行线的性质求出，即可解答； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴． 10. 如图，平面直角坐标系中，点，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个单位长度，记点与点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点坐标计算长方形的周长为，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出四次相遇一循环，再用的余数即可求出第2001次相遇点的坐标． 【详解】解：长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P、Q第一次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第二次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第三次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第四次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第五次相遇，此时相遇点坐标为， ∴四次相遇一循环， ∵， ∴的坐标为． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数比较大小方法是解题的关键．将变形为，然后比较被开方数的大小即可． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：． 12. 数学源于生活，用于生活．我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图所示，体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段的长度即可，这样做的数学道理是______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【详解】解：测量线段的长度即可，这样做的数学道理是垂线段最短． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限，轴且，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等确定点的纵坐标，结合得到横坐标的两种可能，再根据点在第二象限确定最终坐标． 【详解】解：∵，轴， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴点的横坐标为或， ∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 14. 将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，正方形的边长为， ∵数轴上点对应刻度尺上的“4”， 以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 ∴点在刻度尺上对应的数为． 15. 如图，，．若平分，且满足，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，再根据平行线的性质求解即可； 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算与解方程组： （1）计算：． （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ①②得， 解得， 把代入①式解得， 该方程组的解为． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：0，1，2，3． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3 18. 如图点E，F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． （1）求证：． （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，进而等量代换推出，由此即可证明； （2）先根据垂直的定义得到，再由平行线的性质得到，则可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 19. 结合全国2026年前4个月农产品网上零售额同比增长的电商背景，汾阳市电商部门抽样统计了本地特色农产品的线上销量，包含（A.汾州杂粮、B.汾州小米、C．汾州核桃、D.汾州酸枣、E.其他）特色农产品，绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图． （1）本次统计的样本容量为______；在扇形统计图中，汾州酸枣所占的百分比为______；汾州小米对应的扇形的圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若汾阳市该周期所有特色农产品线上总销量为40000单，请根据以上信息估计所有特色农产品中汾州小米的线上总销量． 【答案】（1）5000；； （2）B组有（单）， 补全的条形统计图如图所示： （3）14400单 【解析】 【分析】（1）由题可知C组有单，占可得样本容量，再求汾州酸枣所占的百分比及汾州小米对应的扇形的圆心角度数即可； （2）求出B组有单，再作图即可； （3）根据样本所占百分比求总量即可． 【小问1详解】 解：由题可知C组有单，占， 本次统计的样本容量为 汾州酸枣所占的百分比为， 汾州小米对应的扇形的圆心角度数为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（单） 答：估计所有特色农产品中汾州小米的线上总销量为14400单． 20. 已知：如图，把向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． （1）画出三角形； （2）连接，那么线段与线段的关系是______； （3）求出的面积． 【答案】（1） （2）平行且相等 （3） 【解析】 【分析】（1）先将各顶点坐标按照向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后的对应点即为对应各顶点的坐标，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质即可得出结论； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 由平移可知且， 即线段与线段的关系是平行且相等； 【小问3详解】 解：的面积为． 21. 阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 （1）不等式的解集是______； （2）不等式的解集是______； 【拓展探究】 （3）已知绝对值不等式的解集为，则______；______； （4）请求出绝对值不等式的解集 【答案】（1） （2）或 （3）5；7 （4）或 【解析】 【分析】（1）（2）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）先利用绝对值的几何意义进行求解，再列方程组求解即可； （4）先对不等式进行整理，再利用绝对值的几何意义进行求解即可； 【小问1详解】 解：不等式的解集是； 【小问2详解】 解：不等式的解集是或； 【小问3详解】 解：绝对值不等式， ，解得， ，解得； 【小问4详解】 解：，则， 或， 解得或． 22. 综合与实践——项目化学习 根据以下信息，探索完成任务． 项目主题 智能分拣机器人采购方案设计 项目背景 2026年春晚武术节目《武》展现了我国人形机器人顶尖技术，中国智造广受世界瞩目．某快递企业为提高工作效率，计划采购A，B两款智能分拣机器人进行快递分拣，请结合以下数据完成采购测算与方案设计． 信息一（采购费用信息） A型机器人（台） B型机器人（台） 总费用（万元） 3 1 230 2 5 370 信息二（分拣能力信息） 机器人型号 单日分拣能力（万件／台） A型 20 B型 18 解决问题： （1）任务一：求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）任务二：企业计划购买A，B两种型号智能机器人共12台，要求总价低于670万元，并且每天分拣快递不少于224万件，求该企业所有符合条件的购买方案． 【答案】（1）A，B两种型号智能机器人的单价分别为60万元，50万元 （2）共有3种方案；方案一：购买A种型号智能机器人4台，B种型号智能机器人8台；方案二：购买A种型号智能机器人5台，B种型号智能机器人7台；方案三：购买A种型号智能机器人6台，B种型号智能机器人6台． 【解析】 【分析】（1）根据信息一列二元一次方程组，解二元一次方程组即可； （2）根据信息二和任务二列一元一次不等式组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种型号智能机器人的单价分别为万元． ，解得 答：A，B两种型号智能机器人的单价分别为60万元，50万元． 【小问2详解】 解：设购买A种型号智能机器人台，B种型号智能机器人（）台． ，解得：． 为正整数， ． ∴共有3种方案； 方案一：购买A种型号智能机器人4台，B种型号智能机器人8台； 方案二：购买A种型号智能机器人5台，B种型号智能机器人7台； 方案三：购买A种型号智能机器人6台，B种型号智能机器人6台． 23. 综合与探究 【问题情境】 在七年级几何学习中，平行线的判定与性质是核心内容．现有直线，点在直线上，点在直线上，点是直线外一点，连接．请结合图形完成下列探究． 【初步探究】 （1）如图1，若点在直线的下方且在直线的上方，且满足，请判断直线与的位置关系，并写出完整的证明过程． 【深入思考】 （2）如图2，在（1）的条件下，平分交的延长线于点平分，交的反向延长线于点．当时，请求出的度数． 【拓展延伸】 （3）在（1）的条件下，若点在直线的上方且不在直线上，分别连接，平分平分，两条角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）． 证明如下：过点P作， （两直线平行，内错角相等）， ，且 ， （内错角相等，两直线平行）， 又， ． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点P作，则，进而可得，则，再由平行的传递性即可； （2）由可得，进而可得，然后得到，再由求解． （3）分在线段上和在的延长线上两种情况进行讨论，结合角平分线的定义及平行线的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于， ， （两直线平行，同位角相等）， 又平分， ，， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 又平分， ， ； 【小问3详解】 解：当在线段上时， 又（2）知，， ， 又，，， ， 又，， , 即； 当在的延长线上时， 由知， 又，， ， 即 整理得； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $