精品解析：山西省吕梁市汾阳市2024-2025学年下学期期末测试七年级数学试卷

标2024—2025学年第二学期期末教学质量检测 七年级数学（人教版A） （本试卷共6页，满分120分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．） 1. 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）得出即可． 【详解】为有理数、为无理数、为无理数、为有理数、为有理数、为无理数，其中无理数的个数为3个； 故选B． 【点睛】本题考查了无理数，能理解无理数的定义是解此题的关键． 2. 冰壶是在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被喻为冰上的“国际象棋”．右图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先找到最靠近原点的壶所在方位,然后指出其所在的象限即可． 【详解】解：根据题意可得，最靠近原点的壶在原点的右下方 ∴胜方最靠近原点的壶所在位置位于第四象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点所在象限的确定，找到胜方壶所在的位置成为解答本题的关键． 3. 下列各式中，正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，直接根据平方根，算术平方根、立方根的意义进行判断即可． 【详解】解：选项A、．故选项A错误，不符合题意． 选项B、．故选项B错误，不符合题意． 选项C、．故选项C正确，符合题意． 选项D、．故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行，进行逐项分析，即可作答． 详解】解：∵（内错角相等，两直线平行）， ∴，故A选项不符合题意； ∵（内错角相等，两直线平行）， ∴，故C选项不符合题意； ∵， ∴不一定平行，故C选项符合题意， ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故D选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，真假命题的判断，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质逐一判断即可解答； 【详解】解：A、两边同时加上2得，，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意； B、两边同时乘以得，，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意； C、若，当时，，原说法不正确，假命题，故选项符合题意； D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意． 故选：C． 6. 要了解全区初中学生课外作业负担情况，以下抽样方式中比较合理的是（ ） A. 对全区100名女生课外作业情况进行调查 B. 对全区100名七年级学生课外作业情况进行调查 C. 对全区100 名九年级学生课外作业情况进行调查 D. 对各中学七、八、九年级各30 名学生课外作业情况进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查的合理性，根据题意逐项进行判断即可. 【详解】A. 对全区100名女生课外作业情况进行调查，抽样方式不具有代表性，不合理； B. 对全区100名七年级学生课外作业情况进行调查，抽样方式不具有代表性，不合理； C. 对全区100 名九年级学生课外作业情况进行调查，抽样方式不具有代表性，不合理； D. 对各中学七、八、九年级各30 名学生课外作业情况进行调查，抽样方式具有代表性，比较合理. 故选：D 7. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据∠1＝50°，∠FEG＝90°，求得∠3的度数，再根据平行线的性质，求得∠2的度数即可． 【详解】解：如图，∵∠1＝50°，∠FEG＝90°， ∴∠3＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝40°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来即可．解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线；②一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：D． 9. 某班有48位同学，在一次数学检测中，分数只取整数，统计其成绩，绘制出频数直方图．如图所示，从左到右的小长方形的高度比是1∶3∶6∶4∶2，则由图可知，其中分数在70.5～80.5之间的人数是(　　) A. 18 B. 9 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】小长方形的高度比等于各组的人数比，即可求得分数在70.5到80.5之间的人数所占的比例，乘以总数48即可得出答案． 【详解】解：分数在70.5到80.5之间的人数是：， 故答案为：A． 【点睛】此题考查了频率分布直方图，了解频数分布直方图中小长方形的高度比与各组人数比的关系是解答问题的关键． 10. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，解答即可． 本题考查了方程组的应用，正确理解题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，列方程组得， 故选：A． 二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果用有序数对表示七年级3班，那么八年级6班可写为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有序数对的定义，直接求解即可． 【详解】∵表示七年级3班， ∴八年级6班可写为． 故答案为： 【点睛】此题考查有序数对，解题关键看题干如何定义有序数对，照例写出即可． 12. 已知a、b为两个连续的整数，且，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法确定，可得，，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b为两个连续的整数， ∴，， ∴， 故答案为：5． 13. 将30个数据分成4组，第一、二、三组的频数分别是8，4，12，则第四组的频数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】用数据总和减去前三组的频数即可求解． 【详解】解：由题意，第四组的频数是30－8－4－12=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查频数，熟知频数是指每个对象出现的次数是解答的关键． 14. 某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打__________折出售． 【答案】8##八 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设打折出售，根据单件利润不低于24元，列出不等式进行求解即可． 详解】解：设打折出售，由题意，得：， 解得：， 答：最低可打8折出售． 故答案为：8． 15. 用8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，也可以拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3cm的小正方形，则一个小长方形的面积是 _____cm2． 【答案】135 【解析】 【分析】设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组得出小长方形的长和宽，即可解决问题． 【详解】解：设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm， 依题意得：， 解得：， 则每个小长方形的面积=15×9=135（）． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． （1） （2） 【答案】（1）；数轴表示见解析 （2）；数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组），掌握不等式的解法和公共解集的取法是解决此题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后取公共解集即可，再在数轴上表示解集即可． 【小问1详解】 解：， 移向，得：， 合并同类项，得：， 系数化为 1 ，得：， 在数轴上表示： 【小问2详解】 解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 17. 下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得． 第一步 把③代入②，得． 第二步 整理得． 第三步 解得，即． 第四步 把代入③，得． 则方程组的解为 第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 【答案】（1）①代入 ②三；去括号时没有变号 （2） （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法解二元一次方程组是关键． （1）①根据把③代入②可知运用了代入消元法； ②根据去括号法则可知小林在第三步出现错误； （2）更正错误的步骤并继续完成小林的解题步骤即可得出答案； （3）本题小林出现的错误是去括号出现的错误，根据去括号法则可给出建议． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，小林用了代入消元法， 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时没有变号，把整理得应该为． 故答案为：三，去括号时没有变号； （2）解：，由①，得． 把③代入②，得． 整理得． 解得，即． 把代入③，得． 则方程组的解为 故答案为： （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可）． 18. 如图是小明所在学校的平面示意图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知实验楼的位置是，行政楼的位置是． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别用坐标表示出餐厅、艺术楼的位置； （3）若学校宿舍楼的位置是，音乐楼的位置是，在图中标出它们的位置． 【答案】（1）见解析 （2）餐厅，艺术楼 （3）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． （1）根据实验楼和行政楼的坐标，确定原点，再画出平面直角坐标系即可； （2）根据（1）中建立的平面直角坐标系，即可解答； （3）根据坐标，再图中标出即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由图可知：餐厅，艺术楼； 【小问3详解】 解：宿舍楼和音乐楼的位置如图所示． 19. 随着旅游旺季的来临，某酒店入住客人不断增多．现酒店需要订购一批两种规格的洗漱用品，经理计划采购A，B两款洗漱用品共24箱（采购数量只能为整箱）．已知某公司报价A款洗漱用品1700元/箱，B款洗漱用品1300元/箱．若本次采购预算最高为32400元，则共有几种采购方案？并写出具体方案． 【答案】有三种方案，详见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，先设该酒店购买A款洗漱用品箱，B款洗漱用品箱，再结合某公司报价A款洗漱用品1700元/箱，B款洗漱用品1300元/箱，本次采购预算最高为32400元，则，解出，结合实际情况进行分析，即可作答． 【详解】解：设该酒店购买A款洗漱用品箱，B款洗漱用品箱， 根据题意可得：， 解得：， ∵为箱数， ∴为整数， ∴，2，3 ∴共有三种方案，分别为： 方案一：购买A款洗漱用品1箱，B款洗漱用品23箱； 方案二：购买A款洗漱用品2箱，B款洗漱用品22箱； 方案三：购买A款洗漱用品3箱，B款洗漱用品21箱． 20. 完成下面的证明过程． 已知：如图，点在上，与交于点． 求证：． 证明：（已知）， （____________） （已知）， ______（______）， ______（____________）， （____________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据过程进行作答即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等） （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 21. “典耀中华，赓续文脉”是2024年5月山西省第六届中华经典诵写讲大赛的主题．某中学为参加山西省第六届中华经典诵写讲大赛，组织全校1600名学生参加诵读大赛，并从中随机抽取部分学生的成绩进行分组统计分析（每个分组包括左端点，不包括右端点）． 分组 频数 百分数 16 30 80 24 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全频数分布直方图． （2）若把抽取的学生成绩绘制成扇形统计图，求所在组对应的扇形圆心角的度数． （3）若抽取的样本具有较好的代表性，且成绩不低于80分为优秀，请估计该校学生中诵读能力优秀的有多少人？ 【答案】（1）图见解析 （2） （3）832人 【解析】 【分析】本题考查了求样本容量、求圆心角度数、补全频数分布直方图、由样本估计总体，熟练掌握样本容量、圆心角度数、由样本估计总体的计算方法，是解题的关键． （1）由组的频数以及所占的百分比即可求得本次抽样调查的样本容量，由样本容量即可得到的值，补全频数分布直方图即可； （2）由所在组对应百分比乘以进行计算即可得到答案； （3）由成绩超过8（0分）的同学所占的百分比乘以1600，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 本次抽样调查的样本容量为：（名， ， 补全频数分布直方图如图所示： ， 【小问2详解】 解：根据题意可得： 所在组对应的扇形圆心角的度数是：； 【小问3详解】 解：根据题意可得： （人， 答：估计该校学生中阅读能力优秀的约在832人． 22. 《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将于2022年9月正式实施，在第四学段（年级）中要求：“独立制作午餐或晚餐中道菜”．某厂根据委托开始生产两种型号的炒锅．王师傅在该厂工作．每月工作22天，每天工作8小时，工厂按计件的方式给工人发工资．王师傅每小时可以生产4个型炒锅或6个型炒锅．已知王师傅生产3个型炒锅和2个型炒锅可得工资23元，生产4个型炒锅和3个型炒锅可得工资32元． （1）王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得多少工资？ （2）工厂规定每个人生产的型炒锅的数量不得低于型炒锅数量的2倍，那么王师傅每个月至少应该生产多少个型炒锅？ 【答案】（1）王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得5元、4元工资 （2）王师傅每个月至少应该生产528个型炒锅 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题意列出式子求解是解题的关键． （1）设王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得元、元工资，然后根据生产3个型炒锅和2个型炒锅可得工资23元，生产4个型炒锅和3个型炒锅可得工资32元列出方程组求解即可； （2）设王师傅每个月工作小时生产型炒锅，则每个月工作小时生产型炒锅，根据题意列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：设王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得元、元工资， 由题意得， 解得， ∴王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得5元、4元工资， 答：王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得5元、4元工资； 【小问2详解】 解：设王师傅每个月工作小时生产型炒锅，则每个月工作小时生产型炒锅， 由题意得， ， 则王师傅每个月至少工作小时生产型炒锅． ∴王师傅每个月至少应该生产个型炒锅． 23. 问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1直线，直线分别交于点，的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）点是射线上不与重合的一点，过点作交于点，连接． ①如图2，当点在点右侧时，为探究，与之间的数量关系，小文过点作，请根据他的思路，写出，与之间的数量关系，并说明理由； ②当的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，直接写出的度数． 【答案】（1）见详解；（2）①，理由见详解；②或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，角平分线的定义等知识，熟知两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得，依据得，等量代换即可得出结论； （2）①过点作，根据平行线的性质得，根据平行公理得，得出，利用等量代换即可得出结论； ②分点D在点C左侧时或右侧时，两种情况讨论，根据平行线的性质及三角形外角性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵的平分线交于点， ， ， ， ． （2）①，理由如下： 过点作， ， ， ， ， ， ． ②当点D在点C左侧时，如图所示： 平分， ， ， ， ， 的平分线交于点， ， ， ． 当点D在点C右侧时，如图所示： 平分， ， ， ， ， 的平分线交于点， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 标2024—2025学年第二学期期末教学质量检测 七年级数学（人教版A） （本试卷共6页，满分120分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．） 1. 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 冰壶是在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被喻为冰上的“国际象棋”．右图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件中，不能判断直线是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 要了解全区初中学生课外作业负担情况，以下抽样方式中比较合理的是（ ） A. 对全区100名女生课外作业情况进行调查 B. 对全区100名七年级学生课外作业情况进行调查 C. 对全区100 名九年级学生课外作业情况进行调查 D 对各中学七、八、九年级各30 名学生课外作业情况进行调查 7. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 9. 某班有48位同学，在一次数学检测中，分数只取整数，统计其成绩，绘制出频数直方图．如图所示，从左到右的小长方形的高度比是1∶3∶6∶4∶2，则由图可知，其中分数在70.5～80.5之间的人数是(　　) A 18 B. 9 C. 6 D. 12 10. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果用有序数对表示七年级3班，那么八年级6班可写为__________． 12. 已知a、b为两个连续的整数，且，则________． 13. 将30个数据分成4组，第一、二、三组的频数分别是8，4，12，则第四组的频数是______． 14. 某移动手环进价200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打__________折出售． 15. 用8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，也可以拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3cm的小正方形，则一个小长方形的面积是 _____cm2． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． （1） （2） 17. 下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得． 第一步 把③代入②，得． 第二步 整理得． 第三步 解得，即． 第四步 把代入③，得． 则方程组的解为 第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 18. 如图是小明所在学校的平面示意图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知实验楼的位置是，行政楼的位置是． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别用坐标表示出餐厅、艺术楼的位置； （3）若学校宿舍楼的位置是，音乐楼的位置是，在图中标出它们的位置． 19. 随着旅游旺季的来临，某酒店入住客人不断增多．现酒店需要订购一批两种规格的洗漱用品，经理计划采购A，B两款洗漱用品共24箱（采购数量只能为整箱）．已知某公司报价A款洗漱用品1700元/箱，B款洗漱用品1300元/箱．若本次采购预算最高为32400元，则共有几种采购方案？并写出具体方案． 20. 完成下面的证明过程． 已知：如图，点在上，与交于点． 求证：． 证明：（已知）， （____________） （已知）， ______（______）， ______（____________）， （____________）． 21. “典耀中华，赓续文脉”是2024年5月山西省第六届中华经典诵写讲大赛的主题．某中学为参加山西省第六届中华经典诵写讲大赛，组织全校1600名学生参加诵读大赛，并从中随机抽取部分学生的成绩进行分组统计分析（每个分组包括左端点，不包括右端点）． 分组 频数 百分数 16 30 80 24 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全频数分布直方图． （2）若把抽取的学生成绩绘制成扇形统计图，求所在组对应的扇形圆心角的度数． （3）若抽取的样本具有较好的代表性，且成绩不低于80分为优秀，请估计该校学生中诵读能力优秀的有多少人？ 22. 《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将于2022年9月正式实施，在第四学段（年级）中要求：“独立制作午餐或晚餐中的道菜”．某厂根据委托开始生产两种型号的炒锅．王师傅在该厂工作．每月工作22天，每天工作8小时，工厂按计件的方式给工人发工资．王师傅每小时可以生产4个型炒锅或6个型炒锅．已知王师傅生产3个型炒锅和2个型炒锅可得工资23元，生产4个型炒锅和3个型炒锅可得工资32元． （1）王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得多少工资？ （2）工厂规定每个人生产的型炒锅的数量不得低于型炒锅数量的2倍，那么王师傅每个月至少应该生产多少个型炒锅？ 23. 问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1直线，直线分别交于点，的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）点是射线上不与重合的一点，过点作交于点，连接． ①如图2，当点在点右侧时，为探究，与之间的数量关系，小文过点作，请根据他的思路，写出，与之间的数量关系，并说明理由； ②当的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $