第二章 一元二次方程质量评估 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元核心，通过乒乓球赛、停车场设计等真实情境题，融合根的判别式、动态几何等知识，考查运算能力与模型意识，适配单元复习巩固与应用提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|定义、解法、根的判别式|第5题以球赛场次构建方程，体现数学眼光观察现实| |填空题|5/15|方程根、根与系数关系|第12题红包问题，强化数学语言表达实际数量关系| |计算题|1/9|多种解法应用|分层考查配方、公式法等运算能力| |解答题|4/52|证明、项目式学习、利润问题、动态几何|第16题“设计广场花坛”项目式任务，融合几何直观与模型意识；第18题动态几何最值，发展推理能力与创新意识|

第二章一元二次方程质量评估 一、选择题：本大题共8小题，共24分。 1.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是 A. B. C. D. 2.用配方法解方程时，原方程应变形为    A. B. C. D. 3.已知m是关于x的一元二次方程的一个根，则代数式的值等于     A. 1 B. 0 C. D. 2 4.一元二次方程的根是 A. B. C. ， D. 无实数根 5.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是(    ) A. B. C. D. 6.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 A. B. 且 C. D. 且 7.某小区利用一块长方形空地建一个停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，要使停车位占地面积为，则通道宽应为多少米?设通道宽为x米，则可列方程为 A. B. C. D. 8.如图，在正方形ABCD中，，动点P以的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动.设P，Q两点移动的时间为在P，Q两点移动的过程中，当PQ的长度为时，t的值为 A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 3或4 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 9.方程的根为          . 10.已知是关于x的一元二次方程，则          . 11.已知m，n是方程的两个根，则          . 12.在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，则这个微信群共有          人. 13.对于实数m，n，先定义一种运算“”如下：若，则实数x的值为          . 三、计算题：本大题共1小题，共9分。 14.用适当的方法解下列方程： 四、解答题：本大题共4小题，共52分。 15.已知关于x的方程 求证：此方程有两个不相等的实数根； 设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 16.项目式学习：设计广场花坛. 规划 为营造美丽的校园，学校计划在教学楼前30米米的矩形广场上建一个矩形花坛，如图所示. 设计要求 ①花坛的面积需达到30平方米； ②考虑到广场空间布局的美观，花坛的长比宽多1米； ③花坛四周需预留一定相同宽度的鹅卵石廊道，廊道与花坛整体形成的大矩形占用整个广场的 任务1 求出花坛的长和宽 任务2 求出廊道的宽度. 17.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同. 求该种商品每次降价的百分率; 若该种商品的进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，则第一次降价后至少要售出该种商品多少件? 18.阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解： ， 当时，，因此有最小值1，即的最小值为 通过阅读、理解材料的解题思路，解答以下问题： 【理解探究】已知代数式，求A的最小值． 【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由． 【拓展升华】如图，在中，，，，M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从点A出发以的速度向点C运动；同时点N从点C出发以的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大？最大值为多少？ 答案和解析 1.【答案】A  2.【答案】B  3.【答案】A  【解析】解：把代入一元二次方程可得：， 即， 故选： 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，将m代入原方程即可求的值． 此题应注意把当成一个整体，利用了整体的思想． 4.【答案】C  5.【答案】D  【解析】解：设有x个球队参加比赛， 依题意得…， 即 故选： 设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和余下的球队打场，以此类推可以知道共打…场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 6.【答案】B  7.【答案】B  8.【答案】C  9.【答案】，  10.【答案】  11.【答案】2026  12.【答案】9  13.【答案】3  14.【答案】【小题1】 ， 【小题2】 ， 【小题3】 ，   15.【答案】【小题1】 证明：根据题意，可知， 方程有两个不相等的实数根． 【小题2】 解：由题意，得， ， 解得   【解析】  根据根的判别式即可验证．   利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 16.【答案】任务花坛的宽为5米，长为6米 任务米   17.【答案】【小题1】 【小题2】 23件   18.【答案】【小题1】 解： ， 当时，， 因此有最小值， 即A的最小值为 【小题2】 理由如下： ， 【小题3】 依题意，得，， ， 当时，有最大值，最大值为   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $