精品解析：2021年浙江省杭州市下城区采荷中学中考数学四模试卷

2021年浙江省杭州市下城区采荷中学中考数学四模试卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 计算下列各式，值最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据实数的加法、减法、乘法法则和绝对值的意义求解得出结果，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：A．； B．； C．； D．； ， 值最小的是B选项， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是掌握有理数的加、减、乘、运算法则及实数的大小比较． 2. 在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于x轴对称，则（　　） A. m＝3，n＝2 B. m＝﹣3，n＝2 C. m＝3，n＝﹣2 D. m＝﹣3，n＝﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数．由此即可求解． 【详解】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于x轴对称， ∴n＝2，m＝﹣3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点的特征是解题的关键． 3. 下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可得． 【详解】A、是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称． 4. 若△ABC的一个外角等于其中一个内角，则（ ） A. 必有一个内角等于30° B. 必有一个内角等于45° C. 必有一个内角等于60° D. 必有一个内角等于90° 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质、邻补角的概念计算即可． 【详解】解：∵三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角， ∴△ABC的一个外角等于其中一个内角时，这个外角等于它的邻补角， ∴这个三角形必有一个内角等于90°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键． 5. 在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（　　） A. 400m B. 400dm C. 400cm D. 400km 【答案】A 【解析】 【分析】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x＝1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一． 【详解】解：设AB的实际距离为xcm， ∵比例尺为1：10000， ∴4：x＝1：10000， ∴x＝40000cm＝400m． 故选：A． 【点睛】考查了比例线段，用到的知识点是比例线段的性质，关键是根据比例线段的性质列出算式，注意单位的统一． 6. 如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则 的度数为（ ） A. 50° B. 25° C. 80° D. 65° 【答案】A 【解析】 【分析】连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出∠DOE＝50°，可得结论． 【详解】解：连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥CB， ∵AB＝AC， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝25°， ∴∠DOE＝2∠DAC＝50°， ∴的度数为50°， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 7. 已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体x（kg）之间的函数解析式分别是y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，图象如图所示，当所挂物体质量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为 A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1<y2 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵点（0，4）和点（1，12）在y1=k1x+b1上， ∴得到方程组：， 解得：， ∴y1=8x+4． ∵点（0，8）和点（1，12）代入y2=k2x+b2上， ∴得到方程组为， 解得：． ∴y2=4x+8． 当x=2时，y1=8×2+4=20，y2=4×2+8=16， ∴y1＞y2． 故选A． 8. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　） A. 800sinα米 B. 800tanα米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题. 【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=， ∴AB=， 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 9. 已知函数，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，随的增大而减小；③若、两点在该图象上，且，则．其中说法正确的是（ ） A. ①③ B. ② C. ③ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：， ， 该函数的图象在第一、二象限， 且该函数的图象关于轴对称， ①说法错误， ， 当时，随着的增大而减小， 又图象关于轴对称， 当时，随着的增大而增大， ②说法错误， 当时，、两点关于轴对称， ， ③说法正确， 故选：C． 10. 已知二次函数，当取任意实数时，都有，则（　　） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数的开口向上，当取任意实数时，都有，则关于的一元二次方程的根的判别式小于0，据此即可列不等式求解．熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：由题意可知，，且关于的一元二次方程的根的判别式小于0， 即， 解得， 综上，，且， 故选：D． 二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式分解因式即可得到答案 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了运用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 12. 一个圆锥，其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则侧面展开图圆心角度数是 ____． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】设圆心角为， 则， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 13. 如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据概率的求法，分别求出指针落在白色以及黑色区域的概率，进而即可得出答案． 【详解】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°， 故转动一次，指针落在白色区域的概率为． 故答案为． 【点睛】本题考查了几何概率的求法，正确求出转动一次指针指向某一区域的概率是解题关键． 14. 一列长a米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程是________米. 【答案】（a+60） 【解析】 【分析】由题意可知：这位同学走的路程=队伍1分钟走的路+队伍长，把相关的数值代入即可. 【详解】∵这位同学走的路程=队伍1分钟走的路+队伍长， ∴这位同学走的路程是:a+1×60=（a+60）米. 故答案是：（a+60）. 【点睛】本题主要考查列代数式，掌握追及问题的基本数量关系，是解题的关键. 15. 在直角三角形ABC中，若cosC＝，则＝________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义，设辅助未知数，由勾股定理和锐角三角函数的定义进行分类计算即可． 【详解】解：如图1，若∠A＝90°， 由于cosC＝＝，设AC＝k，则BC＝2k， ∴AB＝， ∴=； 如图2，若∠B＝90°， 由于cosC＝＝，设BC＝k，AC＝2k， ∴AB＝， ∴＝； 故答案为：或#或． 【点睛】本题考查了三角函数的定义和分类思想，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义，正确运用勾股定理是解题的关键． 16. 如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四边形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为________． 【答案】 【解析】 【分析】等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意，得，设，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 设， 根据题意，得， ， ， 解得或（负值舍去）， ， 正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的剪拼、等腰三角形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是利用转化思想． 三、解答题（本题有7个大题，共66分） 17. 化简：．小马的解答如下，小马的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 解： ． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的加减运算法则，先对原式进行通分，再合并、约分，即可求得答案． 【详解】小马的解答不正确，正确步骤如下： ． 【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则，熟练运用分式通分，合并、约分的步骤． 18. 安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表 类别 人数 68 245 510 177 合计 1000 （1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？ （2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数； （3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． 【答案】（1）51％（2）有效果 【解析】 【分析】（1）根据表格的人数得到抽取的市民中偶尔戴的人数最多，即可列式求解；（2）用30万乘以抽样中的“都不戴”安全帽的占比即可求解；（3）通过计算宣传活动前后“都不戴”安全帽的百分比即可比较得出结论. 【详解】（1）宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多， 占抽取人数：； 答：宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数的， （2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数：30万万（人）， 答：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数5.31万人； （3）宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：， 活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：， ， 因此交警部门开展的宣传活动有效果． 19. 如图，在中，以边为直径的交于，于，且与相切． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据平行线等分线段定理即可得到结论； （2）连接，由（1）知，，求得，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图： 与相切， ， ， ， ， ∴是的中位线， ； 【小问2详解】 解：连接，如图： 由（1）知，， ， ， 为的直径， ， ， ∴， ， ， ． 20. 在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度和时间的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到，此后浓度呈直线增加，在第6小时达到最高值发生爆炸，之后与成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题： （1）求爆炸前后与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； （2）当空气中浓度上升到时，井下深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少？ （3）矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？ 【答案】（1），此时自变量的取值范围是 （2） （3）9小时 【解析】 【分析】（1）根据图象可以得到函数关系式，再由图象所经过点的坐标，求出与的值，然后得出函数式，从而求出自变量的取值范围．再由图象知过点，求出的值，再由函数式求出自变量的取值范围． （2）结合以上关系式，当时，由得，从而求出撤离的最长时间，再由速度． （3）由关系式知，时，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：爆炸前浓度呈直线型增加， 可设与的函数关系式为， 由图象知过点，， ， 解得， ，此时自变量的取值范围是， 爆炸后浓度成反比例下降， 可设与的函数关系式为． 由图象知过点， ， ， ，此时自变量的取值范围是； 【小问2详解】 当时，由得： ， 解得， 撤离的最长时间为（小时）． 撤离的最小速度为； 【小问3详解】 当时， 由得，， （小时）． 矿工至少在爆炸后9小时才能下井． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，数形结合是解题的关键． 21. 如图，在边长为4的正方形中，为中点，为中点，与交于点． （1）求证：； （2）连结，记中点为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由“”可证； （2）由勾股定理可求的长，由全等三角形的性质可得，可证，由直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：（1）证明：四边形是正方形， ， 为中点，为中点， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 （2）解：，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ． 【点睛】本题考查了正方形，全等三角形，直角三角形，熟练掌握正方形的边角性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的斜边上中线的性质，是解决此类问题的关键． 22. 二次函数（b，c为实数）的图象经过点，点． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上． ①若，求点的坐标； ②当时，n的最大值是5，最小值是1，求m的取值范围． 【答案】（1）该二次函数的解析式，顶点坐标为； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法求得顶点坐标； （2）①将代入抛物线解析式，计算y的值即可； ②结合二次函数的最大值，令，求出对应的x 的值，根据题意即可得出结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式， ， 顶点坐标为． 【小问2详解】 ①当时， ， 点在该二次函数图象上， ． ②的顶点坐标为， 函数的最大值为5， n的最大值为5，点在该二次函数图象上， m的最大值为1， 令，则， 解得：，， m的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的极值，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键． 23. 如图，内接于，，为中点，与相交于点．过作，交延长线于． （1）求证：； （2）求证：； （3）延长交延长线于．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）利用等弧所对的圆周角相等可得，为公共角，结论可得； （）利用（）中的结论可得为等腰三角形，即，则；利用平行线的性质和对顶角的性质可得，结论可得； （）连接，利用已知条件可以判定，利用同角的余角相等，可得；连接，设与交于点，由垂径定理可得，利用平行线的性质可得，在中，利用直角三角形的边角关系可求得，设圆的半径为，利用勾股定理列出方程，解方程即可求得圆的半径；在中，解直角三角形即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，设与交于点，如图， ∵为中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设圆的半径为，则． 在中， ∵， ∴． 解得：， ∴， 在中， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，连接圆的半径，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年浙江省杭州市下城区采荷中学中考数学四模试卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 计算下列各式，值最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于x轴对称，则（　　） A. m＝3，n＝2 B. m＝﹣3，n＝2 C. m＝3，n＝﹣2 D. m＝﹣3，n＝﹣2 3. 下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 若△ABC的一个外角等于其中一个内角，则（ ） A. 必有一个内角等于30° B. 必有一个内角等于45° C. 必有一个内角等于60° D. 必有一个内角等于90° 5. 在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（　　） A. 400m B. 400dm C. 400cm D. 400km 6. 如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则 的度数为（ ） A. 50° B. 25° C. 80° D. 65° 7. 已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体x（kg）之间的函数解析式分别是y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，图象如图所示，当所挂物体质量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为 A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1<y2 D. 不能确定 8. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　） A. 800sinα米 B. 800tanα米 C. 米 D. 米 9. 已知函数，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，随的增大而减小；③若、两点在该图象上，且，则．其中说法正确的是（ ） A. ①③ B. ② C. ③ D. ①② 10. 已知二次函数，当取任意实数时，都有，则（　　） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：______． 12. 一个圆锥，其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则侧面展开图圆心角度数是 ____． 13. 如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是____． 14. 一列长a米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程是________米. 15. 在直角三角形ABC中，若cosC＝，则＝________． 16. 如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四边形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为________． 三、解答题（本题有7个大题，共66分） 17. 化简：．小马的解答如下，小马的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 解： ． 18. 安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表 类别 人数 68 245 510 177 合计 1000 （1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？ （2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数； （3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． 19. 如图，在中，以边为直径的交于，于，且与相切． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度和时间的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到，此后浓度呈直线增加，在第6小时达到最高值发生爆炸，之后与成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题： （1）求爆炸前后与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； （2）当空气中浓度上升到时，井下深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少？ （3）矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？ 21. 如图，在边长为4的正方形中，为中点，为中点，与交于点． （1）求证：； （2）连结，记中点为，求的长． 22. 二次函数（b，c为实数）的图象经过点，点． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上． ①若，求点的坐标； ②当时，n的最大值是5，最小值是1，求m的取值范围． 23. 如图，内接于，，为中点，与相交于点．过作，交延长线于． （1）求证：； （2）求证：； （3）延长交延长线于．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $