第二单元 三角形的再认识 （解决问题讲义）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过知识框架系统梳理第二单元“三角形的再认识”，涵盖按角与按边分类、内角和应用、三边关系及底高对应关系，突出按角分类关键看最大角、三边关系简便验证等重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于“典型例题+变式训练”分层设计，如等腰三角形菜地周长问题培养推理意识，40°角等腰三角形另两角计算发展几何直观，A/B/C级练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生数学思维与应用能力。

第二单元 三角形的再认识 1. 三角形分类问题： 按角分类：三个角都是锐角→锐角三角形；有一个直角→直角三角形；有一个钝角→钝角三角形。判断一个三角形按角分属于哪一类，关键看最大的角是什么角。按边分类：三条边都不相等→不等边三角形；有两条边相等→等腰三角形；三条边都相等→等边三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。 2. 三角形内角和的应用： 三角形三个内角的和等于 180°。已知两个角求第三个角，用 180° 减去已知两个角的度数和。直角三角形中两个锐角的和等于 90°；等边三角形每个角都是 60°；等腰三角形两个底角相等，求底角＝(180°－顶角)÷2，求顶角＝180°－底角×2。 3. 三角形三边关系的应用： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。判断三根小棒能否围成三角形，只需验证最短两边之和是否大于最长边（这是最简便的方法）。已知两边长求第三边取值范围：第三边大于两边之差，小于两边之和。 4. 三角形底和高的对应关系： 三角形有三条底和三条高，底和高是一一对应的。从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段就是高，这条对边就是底。锐角三角形的三条高都在三角形内；直角三角形的两条直角边互为底和高；钝角三角形有两条高在三角形外。画高用虚线，必须标直角符号。 类型 1 三角形的内角和 典型例题 1：张老师制作了一个直角三角形的学具，这个学具的一个锐角是35度，则这个学具的另一个锐角是多少度？ 变式训练：学校要举办体育节，需要剪一些等腰三角形来制作彩旗，这些等腰三角形的一个角是40°，另外两个角是多少度？ 类型 2 三角形的三边关系 典型例题 2：五月是育才学校的劳动月，为增强师生热爱生活、热爱劳动的意识，学校举行了“劳动为本，奉献最美”劳动月系列活动。劳动小组为了修整菜园，计划开辟一块等腰三角形菜地，菜地的周长是30米，其中一条边的长是6米，另外两条边分别是多少米？ 变式训练：用一根21厘米长的铁丝围成一个最大的等腰三角形。如果这个等腰三角形的其中一条边长是9厘米。这个等腰三角形的其余两条边长分别是多少厘米？ 类型3 多边形的内角和 典型例题3：将下面的五边形剪去一个角，剩下的多边形的内角和可能是多少度？ 变式训练：看图填空或画图。    （1）如图①，如果把五边形分成3个三角形，可以算出它的内角和是（    ）°，请在图①中分一分。 （2）如图②，如果把五边形分成5个三角形，内角和也可以这样算：180°×5－（    ）°＝（    ）°，请在图②中分一分。 A夯实基础 1．小明用三根小棒围成了一个三角形，第一根小棒长4厘米，第二根小棒长8厘米，他使用的第三根小棒可能是( )厘米。（取整厘米数，写出一种答案） 2．小雪用三根小棒围成了一个等腰三角形，其中两根小棒如下图，第三根小棒的长度是( )cm。 3．有两根小棒，长度分别是3分米和7分米，请再选一根整分米长的小棒和它们围成三角形，这根小棒的长度可以是( )分米。（写出一个答案即可） 4．小军用一根20厘米长的铁丝围一个三角形框架（边长取整厘米数），如果其中一条边为5厘米，那么另外两条边的长度可能是( )厘米和( )厘米，或者（__________）厘米和（__________）厘米。 5．制作三角形镇原香包剪纸支架，两根木条长5dm、2dm，第三根木条长度为整分米，这个三角形周长最小是( )dm，最大是( )dm。 6．如图，埃及金字塔的基底是一个正方形，四个侧面的形状都是等腰三角形，每个三角形的一个底角约是64°，另外两个角分别约是( )°和( )°。 B培优拔高 7．王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 8．一个三角形的两条边的长度分别是7厘米和10厘米，则它的第三条边的长度可能是多少厘米？（三条边的长度都是整厘米数） 9．如图，一块正方形的纸片，它的内角和是多少度？撕掉它的一个角后的图形的内角和又是多少度？ 10．强强用三根小棒首尾相接围成一个三角形，其中有两条边的长度相等。已知其中两根小棒的长度分别为12厘米和24厘米，则这个三角形的周长是多少厘米？ 11．在一个三角形中，其中一个内角是36°，比另一个内角少20°，第三个内角是多少度？这个三角形是什么三角形？ 12．王叔叔用钢材做了一个三角形的钢架，其中两个内角的度数分别是35度和45度，它的另一个角是多少度？ C思维拓展 13．小恒妈妈画了一个等腰三角形的园林规划图。在这个三角形中，一个角的度数是另一个角的4倍。这个等腰三角形的顶角是多少度？ 14．如图，在一个三角形纸板中，∠C＝90°，小宇将这个纸板沿线段DE剪去一个角后变成四边形ABED，那么图中∠1＋∠2是多少度？ 15．下图的大三角形是一个等腰三角形，已知∠2＝∠3，∠5＝∠6，∠1＝80°，那么∠4等于多少度？ 16．课堂上，高老师做了一个等腰三角形的教具，已知其中的两条边长分别是20厘米、9厘米，这个等腰三角形教具的周长是多少分米？ 17．聪聪将一张长方形纸对折后，按下图剪下，打开后得到一个底边是6厘米的等腰三角形，那么∠1是多少度？如果给这个三角形贴一圈装饰纸条，一共要用多少厘米？ 18．小明用三根铁丝作为一个三角形的三条边。第一根铁丝长10厘米，第二根铁丝长18厘米，第三根铁丝最短要多长才可以围成三角形？最长呢？你是怎样想的？（长度是整厘米数） 19．明明想做等腰三角形的风筝。风筝其中两条边的长度分别是4分米和8分米。那么60分米细竹条最多可以做多少个风筝？ 20．妈妈给小明买了一个等腰三角形的风筝。风筝的顶角是40°，请你分别计算出∠1和∠2的度数是多少？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 三角形的再认识 1. 三角形分类问题： 按角分类：三个角都是锐角→锐角三角形；有一个直角→直角三角形；有一个钝角→钝角三角形。判断一个三角形按角分属于哪一类，关键看最大的角是什么角。按边分类：三条边都不相等→不等边三角形；有两条边相等→等腰三角形；三条边都相等→等边三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。 2. 三角形内角和的应用： 三角形三个内角的和等于 180°。已知两个角求第三个角，用 180° 减去已知两个角的度数和。直角三角形中两个锐角的和等于 90°；等边三角形每个角都是 60°；等腰三角形两个底角相等，求底角＝(180°－顶角)÷2，求顶角＝180°－底角×2。 3. 三角形三边关系的应用： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。判断三根小棒能否围成三角形，只需验证最短两边之和是否大于最长边（这是最简便的方法）。已知两边长求第三边取值范围：第三边大于两边之差，小于两边之和。 4. 三角形底和高的对应关系： 三角形有三条底和三条高，底和高是一一对应的。从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段就是高，这条对边就是底。锐角三角形的三条高都在三角形内；直角三角形的两条直角边互为底和高；钝角三角形有两条高在三角形外。画高用虚线，必须标直角符号。 类型 1 三角形的内角和 典型例题 1：张老师制作了一个直角三角形的学具，这个学具的一个锐角是35度，则这个学具的另一个锐角是多少度？ 【答案】55度 【分析】三角形内角和是180度，直角三角形有一个角是直角90度，已知另一个角是35度，利用减法求出第三个角。 【详解】180－90－35 ＝90－35 ＝55（度） 答：这个学具的另一个锐角是55度。 变式训练：学校要举办体育节，需要剪一些等腰三角形来制作彩旗，这些等腰三角形的一个角是40°，另外两个角是多少度？ 【答案】当顶角是40°时，另外两个角分别是70°；70°； 当底角是40°时；另外两个角分别是40°；100° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°。题目中只给出一个角是40°，没有说明这个角是顶角还是底角，因此存在两种可能性：第一种情况，40°是顶角，则两个底角相等；第二种情况，40°是底角，则另一个底角也是40°，需计算顶角。 【详解】当顶角是40°时 （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 当底角是40°时 180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 答：当顶角是40°时，另外两个角分别是70°，70°； 当底角是40°时；另外两个角分别是40°，100°。 类型 2 三角形的三边关系 典型例题 2：五月是育才学校的劳动月，为增强师生热爱生活、热爱劳动的意识，学校举行了“劳动为本，奉献最美”劳动月系列活动。劳动小组为了修整菜园，计划开辟一块等腰三角形菜地，菜地的周长是30米，其中一条边的长是6米，另外两条边分别是多少米？ 【答案】12米、12米 【分析】等腰三角形有两条边长度相等，这两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底边。 三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 若底为6米：（等腰三角形周长一底）÷2＝腰； 若腰为6米：等腰三角形周长一腰×2＝底，再根据三角形两边之和一定大于第三边，去掉不可能的情况，得出另外两条边分别是多少米。 【详解】若底为6米，则腰为： （30－6）÷ 2 ＝24÷2 ＝ 12（米） 若腰为6米，则底为： 30－6×2 ＝30－12 ＝ 18（米） 6＋6＝12＜18，根据三角形两边之和一定大于第三边可知，三角形的腰不可能是6米。 所以底为6米，其他两边长都是12米。 答：另外两条边分别是12米、12米。 变式训练：用一根21厘米长的铁丝围成一个最大的等腰三角形。如果这个等腰三角形的其中一条边长是9厘米。这个等腰三角形的其余两条边长分别是多少厘米？ 【答案】9厘米、3厘米或6厘米、6厘米 【分析】如果把它围成一条边是9厘米的等腰三角形，如果9厘米是底，则用铁丝总长度21厘米减9厘米，即得到两条腰的总长度，因为等腰三角形两腰相等，再用21减9的差除以2即得到一条腰的长度；如果9厘米是一条腰的长度，那么另一条腰也是9厘米，用21厘米减2个9厘米，即得到底边的长度。最后根据三角形三边的关系，看最短两边相加的和是否大于第三边检验三条边是否符合三角形的特性。据此解答。 【详解】若这个等腰三角形的相同的两条边（腰长）是9厘米，则这个等腰三角形的第三条边长（底边）是21－9－9＝3（厘米），9＋3＞9，可以围成三角形； 若这个等腰三角形的一条边长（底边）是9厘米，则这个等腰三角形相同的两条边（腰长）是（21－9）÷2＝12÷2＝6（厘米），6＋6＞9，可以围成三角形。 答：这个等腰三角形的其余两条边长分别是9厘米、3厘米或6厘米、6厘米。 类型3 多边形的内角和 典型例题3：将下面的五边形剪去一个角，剩下的多边形的内角和可能是多少度？ 【答案】360°或540°或720° 【分析】一个五边形剪去一个角后，分三种情况：变为四边形，变为五边形，变为六边形。如图所示，分别求出它们的内角和即可。 【详解】情况一：沿对角线剪去一个角此时五边形的边数减少1，剩下的图形是四边形。可得内角和为 （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 情况二：经过一个顶点剪去一个角此时五边形的边数不变，剩下的图形还是五边形。可得内角和为 （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 情况三：不经过顶点剪去一个角此时五边形的边数增加1，剩下的图形是六边形。内角和为 （6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 答：将下面的五边形剪去一个角，剩下的多边形的内角和可能360°或540°或720°。 变式训练：看图填空或画图。    （1）如图①，如果把五边形分成3个三角形，可以算出它的内角和是（    ）°，请在图①中分一分。 （2）如图②，如果把五边形分成5个三角形，内角和也可以这样算：180°×5－（    ）°＝（    ）°，请在图②中分一分。 【答案】（1）540；图见详解 （2）360；540；图见详解 【分析】从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画虚线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的内角和。或者从多边形内一点向它的两个顶点画需线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°再减360°即是多边形的内角和。 【详解】（1）    180°×3＝540° 如果把五边形分成3个三角形，可以算出它的内角和是（540）° （2）    180°×5－360° ＝900°－360° ＝540° 如果把五边形分成5个三角形，内角和也可以这样算：180°×5－（360）°＝（540） 【点睛】边形的内角和公式是（n－2）×180°，n表示多边形的边数。 A夯实基础 1．小明用三根小棒围成了一个三角形，第一根小棒长4厘米，第二根小棒长8厘米，他使用的第三根小棒可能是( )厘米。（取整厘米数，写出一种答案） 【答案】 5 【分析】根据三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】根据分析可知： （8－4）厘米＜第三根小棒的长度＜（8＋4）厘米 即4厘米＜第三根小棒的长度＜12厘米 所以他使用的第三根小棒可能是5厘米。（答案不唯一） 2．小雪用三根小棒围成了一个等腰三角形，其中两根小棒如下图，第三根小棒的长度是( )cm。 【答案】6 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等，据此确定第三根小棒的长度有两种可能，即3cm或6cm；再利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）进行检验，排除不符合题意的情况。 【详解】情况一：假设第三根小棒长3cm。 此时三边长度分别为3cm、3cm、6cm。 两条较短边的和：3＋3＝6（cm） 因为6＝6，即两边之和等于第三边，不满足“大于”的条件，所以这三根小棒不能围成三角形。此情况舍去。 情况二：假设第三根小棒长6cm。此时三边长度分别为3cm、6cm、6cm。 两条较短边的和：3＋6＝9（cm）。 因为9＞6，满足任意两边之和大于第三边，可以围成三角形。 因此，第三根小棒的长度只能是6cm。 3．有两根小棒，长度分别是3分米和7分米，请再选一根整分米长的小棒和它们围成三角形，这根小棒的长度可以是( )分米。（写出一个答案即可） 【答案】5、6、7、8、9 【分析】根据三角形三边长度关系可知，三角形任意两条边的和必须大于第三边。第三边最大不能大于3分米加7分米的和，最小不能小于7分米减去3分米的差。 【详解】由分析可得： 3＋7＝10（分米），7－3＝4（分米） 第三边介于4分米和10分米之间，第三边的长度是5、6、7、8、9分米。 有两根小棒，长度分别是3分米和7分米，请再选一根整分米长的小棒和它们围成三角形，这根小棒的长度可以是5、6、7、8、9分米。 4．小军用一根20厘米长的铁丝围一个三角形框架（边长取整厘米数），如果其中一条边为5厘米，那么另外两条边的长度可能是( )厘米和( )厘米，或者（__________）厘米和（__________）厘米。 【答案】 7 8 6 9 【分析】先利用周长减去已知边长，求出另外两条边的长度和，再根据所学——任意两边之和大于第三边，对相加符合条件的整数边长组合逐一验证，排除不能围成三角形的组合，最终求出正确边长。 【详解】20－5＝15（厘米） 另外两条边可能是1厘米、14厘米，1＋5＜14，不能围成三角形； 另外两条边可能是2厘米、13厘米，2＋5＜13，不能围成三角形； 另外两条边可能是3厘米、12厘米，3＋5＜12，不能围成三角形； 另外两条边可能是4厘米、11厘米，4＋5＜11，不能围成三角形； 另外两条边可能是5厘米、10厘米，5＋5＝10，不能围成三角形； 另外两条边可能是6厘米、9厘米，6＋5＞9，能围成三角形； 另外两条边可能是7厘米、8厘米，7＋5＞8，能围成三角形； 另外两条边可能是8厘米、7厘米，7＋5＞8，能围成三角形； 另外两条边可能是9厘米、6厘米，6＋5＞9，能围成三角形； 另外两条边可能是10厘米、5厘米，5＋5＝10，不能围成三角形； 另外两条边可能是11厘米、4厘米，4＋5＜11，不能围成三角形； 另外两条边可能是12厘米、3厘米，3＋5＜12，不能围成三角形； 另外两条边可能是13厘米、2厘米，2＋5＜13，不能围成三角形； 另外两条边可能是14厘米、1厘米，1＋5＜14，不能围成三角形。 因此，另外两条边的长度可能是7厘米和8厘米，或者6厘米和9厘米。 5．制作三角形镇原香包剪纸支架，两根木条长5dm、2dm，第三根木条长度为整分米，这个三角形周长最小是( )dm，最大是( )dm。 【答案】 11 13 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和。已知两条边长为5分米、2分米，第三边取整分米数；周长＝三边长度和，因此第三边数值越小，周长越小；第三边数值越大，周长越大。 【详解】先计算两边和与两边差： 5−2＝3（分米），5＋2＝7（分米） 可得第三边取值范围：3＜第三边＜7 因为第三边是整分米，所以第三边最小为4分米，最大为6分米。 最小周长：5＋2＋4＝11（分米） 最大周长：5＋2＋6＝13（分米） 所以，这个三角形周长最小是11分米，最大是13分米。 6．如图，埃及金字塔的基底是一个正方形，四个侧面的形状都是等腰三角形，每个三角形的一个底角约是64°，另外两个角分别约是( )°和( )°。 【答案】 64/52 52/64 【分析】本题需利用等腰三角形的两个底角相等，且三角形的内角和为180°，进行解题。 【详解】根据题意一个底角约是64°，另一个底角也为64°，顶角为180°－64°－64°＝52°，故另外两个角分别约是64°和52°。 B培优拔高 7．王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 【答案】最短米，最长米 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边的长度，通过计算两边之和、两边之差，就能确定第三条边的取值范围；题目要求取整米数，在取值范围内找出最小、最大整数即为答案。 【详解】根据三角形三边关系：第三边＞两边之差，第三边＜两边之和。 两边之和：（米） 两边之差：（米） 因此第三条边长度范围：3米＜第三边＜21米。 因为篱笆长度取整米数， 最短长度：（米） 最长长度：（米） 答：第三条边最短要用米长的篱笆，最长要用米长的篱笆才能围成三角形菜地。 8．一个三角形的两条边的长度分别是7厘米和10厘米，则它的第三条边的长度可能是多少厘米？（三条边的长度都是整厘米数） 【答案】4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米、13厘米、14厘米、15厘米、16厘米 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三条边，若第三条边是最长边，则它的长度要小于其余两边之和，即小于7＋10＝17（厘米）；若第三条边是最短边，则它与其余两边中较短边的长度和要大于最长边的长度，即它的长度要大于10－7＝3（厘米）。 【详解】由分析可得： 10＋7＝17（厘米） 第三边应小于17厘米；    10－7＝3（厘米）     第三边应大于3厘米； 答：第三条边的长度可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米、13厘米、14厘米、15厘米、16厘米。 9．如图，一块正方形的纸片，它的内角和是多少度？撕掉它的一个角后的图形的内角和又是多少度？ 【答案】360度；540度 【分析】根据题意，正方形的四个角都是直角，结合直角为90度即可得到正方形的内角和； 撕掉一个角后的图形是五边形，以五边形任意一个顶点作对角线（如图），然后数出三角形的个数，结合三角形的内角和，即可解答。 【详解】根据分析可得： 90×4＝360（度） 180×3＝540（度） 答：一块正方形的纸片，它的内角和是360度，撕掉它的一个角后的图形的内角和又是540度。 10．强强用三根小棒首尾相接围成一个三角形，其中有两条边的长度相等。已知其中两根小棒的长度分别为12厘米和24厘米，则这个三角形的周长是多少厘米？ 【答案】60厘米 【分析】有两条边的长度相等，所以第三边可能是12厘米，也可能是24厘米，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，判断出第三条边的长度，再将三边相加则可求出周长。 【详解】12＋12＝24，第三条边不能是12厘米。 12＋24＞24，第三天边是24厘米。 周长：12＋24＋24＝60（厘米） 答：这个三角形的周长是60厘米。 11．在一个三角形中，其中一个内角是36°，比另一个内角少20°，第三个内角是多少度？这个三角形是什么三角形？ 【答案】88°；锐角三角形 【分析】三角形的内角和为180°。由题意得，三角形的一个内角是36°，比另一个内角少20°，那么另一个内角的度数比36°多20°，直接用36°加上20°算出另一个内角的度数，接着用180°减去两个角的度数即可算出第三个内角的度数。最后根据三个内角的大小来判断三角形的类型即可。 【详解】36°＋20°＝56° 180°－56°－36° ＝124°－36° ＝88°，所以三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 答：第三个内角是88°，这个三角形是锐角三角形。 12．王叔叔用钢材做了一个三角形的钢架，其中两个内角的度数分别是35度和45度，它的另一个角是多少度？ 【答案】100度 【分析】三角形内角和为180度，用180度减去两个已知角的度数，即可求出它的另一个角是多少度。 【详解】180－35－45 ＝145－45 ＝100（度） 答：它的另一个角是100度。 C思维拓展 13．小恒妈妈画了一个等腰三角形的园林规划图。在这个三角形中，一个角的度数是另一个角的4倍。这个等腰三角形的顶角是多少度？ 【答案】20°或120° 【分析】由题意可知，本题存在两种可能的情况。第一种情况，如果底角是顶角的4倍。把顶角看作1份，底角相当于这样的4份，另一个底角也相当于这样的4份，那么180°相当于这样的1＋4＋4＝8＋1＝9（份），直接用180°除以9即可算出顶角的度数；第二种情况，顶角是一个底角的4倍。把一个底角看作1份，另一个底角也看作1份，那么顶角相当于这样的4份，180°相当于这样的4＋1＋1＝5＋1＝6（份），直接用180°除以6先算出底角的度数，然后再乘上4即可算出顶角的度数。 【详解】如果底角是顶角的4倍：1＋4＋4＝5＋4＝9（份） 180°÷9＝20° 如果顶角是底角的4倍：4＋1＋1＝5＋1＝6（份） 180°÷6＝30° 30°×4＝120° 答：这个等腰三角形的顶角是20°或者120°。 14．如图，在一个三角形纸板中，∠C＝90°，小宇将这个纸板沿线段DE剪去一个角后变成四边形ABED，那么图中∠1＋∠2是多少度？ 【答案】270° 【分析】根据三角形内角和为180°，在三角形ABC中，由于∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°；在四边形ABDE中，根据四边形内角和为360°，∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°，将∠A＋∠B＝90°代入到∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°中，得到∠1＋∠2＝360°－90°＝270°；据此解答即可。 【详解】因为三角形内角和为180°，∠C＝90°， 所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°， 因为∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°， 所以∠1＋∠2＝360°－90°＝270°。 答：图中∠1＋∠2是270°。 15．下图的大三角形是一个等腰三角形，已知∠2＝∠3，∠5＝∠6，∠1＝80°，那么∠4等于多少度？ 【答案】130° 【分析】在大三角形里，根据三角形内角和是180°，用180°减∠1，再除以2，可以求出一个底角的度数，也就是∠2＋∠3或∠5＋∠6，又因为∠2＝∠3，∠5＝∠6，所以∠3＋∠5就是小三角形里一个底角的度数，在小三角形里用180°减去∠3＋∠5即为∠4。 【详解】180°－80°＝100°    100°÷2＝50° 180°－50°＝130° 答：∠4等于130°。 16．课堂上，高老师做了一个等腰三角形的教具，已知其中的两条边长分别是20厘米、9厘米，这个等腰三角形教具的周长是多少分米？ 【答案】4.9分米 【分析】等腰三角形的两腰相等，三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此确定出这个等腰三角形教具的腰长，再计算出这个等腰三角形教具三条边的总长度即可。 1分米＝10厘米，将厘米转化成分米除以进率10，即小数点向左移动一位。据此解答。 【详解】当腰长为9厘米时，9＋9＝18（厘米），18厘米＜20厘米，因此腰长不能为9厘米； 当腰长为20厘米时，20＋9＝29（厘米），20－9＝11（厘米），29厘米＞20厘米，11厘米＜20厘米，因此腰长为20厘米。 20＋20＋9 ＝40＋9 ＝49（厘米） 49÷10＝4.9（分米） 答：这个等腰三角形教具的周长是4.9分米。 17．聪聪将一张长方形纸对折后，按下图剪下，打开后得到一个底边是6厘米的等腰三角形，那么∠1是多少度？如果给这个三角形贴一圈装饰纸条，一共要用多少厘米？ 【答案】∠1＝30°；18厘米 【分析】有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等。三条边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形的三个内角都相等。由题意得，等腰三角形的一个底角是60°，那么另一个底角的度数也为60°，直接用180°减去两个底角的度数即可算出顶角的度数。其中，顶角是展开后得到的，所以顶角里面有两个∠1，那么直接用顶角的度数除以2即可算出∠1的度数；要给这个三角形贴一圈装饰纸条，求一共要用多少厘米的纸条，就是求三角形的周长是多少厘米，直接把三条边的长度加起来即可。 【详解】180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° ∠1＝60°÷2＝30° 60°＝60°＝60°，三个内角的度数都相等，所以这个三角形是等边三角形，它三条边的长度相等。 6×3＝18（厘米） 答：∠1是30度。如果给这个三角形贴一圈装饰纸条，一共要用18厘米纸条。 18．小明用三根铁丝作为一个三角形的三条边。第一根铁丝长10厘米，第二根铁丝长18厘米，第三根铁丝最短要多长才可以围成三角形？最长呢？你是怎样想的？（长度是整厘米数） 【答案】9厘米；27厘米 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。 【详解】两边之差＜第三条边的长度＜两边之和 18－10＜第三条边的长度＜18＋10 8＜第三条边的长度＜28 第三条边的长度是整厘米数，所以第三条最短是9厘米，最长是27厘米。 答：第三根铁丝最短要9厘米才可以围成三角形，最长要27厘米才可以围成三角形。 19．明明想做等腰三角形的风筝。风筝其中两条边的长度分别是4分米和8分米。那么60分米细竹条最多可以做多少个风筝？ 【答案】3个 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等； 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。根据三角形的三边关系，先确定这个等腰三角形的三条边分别是多少，然后再计算出三角形的周长，最后再用60分米除以三角形的周长，即可算出能做多少个这样的风筝。据此解答。 【详解】如果这个三角形的腰是4分米，则4＋4＝8（分米），8＝8，与第三边相等，所以这个等腰三角形的两条腰是8分米，底边是4分米。 4＋8＋8＝20（分米） 60÷20＝3（个） 答：60分米细竹条最多可以做3个风筝。 20．妈妈给小明买了一个等腰三角形的风筝。风筝的顶角是40°，请你分别计算出∠1和∠2的度数是多少？ 【答案】70°；110° 【分析】已知这个风筝是等腰三角形的，等腰三角形的特点即是两条腰相等，并且所对应的两个底角也相等，三个内角和度数是180°，顶角是40°，180°减40°得140°，两个底角和是140°，两个底角和除以2，即可求出∠1的度数，由图可知，∠1、∠2和另外两个直角是在一个四边形中，四边形的内角和是360°，用四边形的内角和依次减去两个90°，再减去∠1的度数，即可求出∠2的度数，据此解答即可。 【详解】（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 所以∠1的度数为70°。 360°－90°－90°－70° ＝270°－90°－70° ＝180°－70° ＝110° 所以∠2的度数是110°。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $