第二单元 三角形的再认识（3种类型30道专项练习 ）数学北师大版五年级上册（新教材）

第二单元 三角形的再认识 （3种类型30道） 目录 题型一：三角形的内角和 1 题型二：三角形的三边关系 6 题型三：多边形的内角和 11 题型一：三角形的内角和 1．若等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形的顶角是( )°。 【答案】30 【分析】当30°是等腰三角形的顶角时或当30°是等腰三角形的底角时，结合三角形的内角和是180°进行计算。 【详解】当30°是等腰三角形的顶角时，那么这个等腰三角形的顶角是30°； 当30°是等腰三角形的底角时，那么这个等腰三角形的顶角： 2．如图所示，∠1＝( )°。 【答案】70 【分析】观察图形底部是一条直线，这就形成了一个平角，度数是180°。这个平角由三部分组成：左边的60°角、中间三角形的内角、右边的45°角。据此用平角的总度数减去左右两个已知角的度数，就能算出中间那个内角的度数；再根据“三角形的内角和是180°”，用180°减去上一步求出的内角度数和已知的35°，剩下的就是∠1的度数。 【详解】180°－60°－45° ＝120°－45° ＝75° 180°－35°－75° ＝145°－75° ＝70° 3．如下图中AB＝AC，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 102 39 39 【分析】∠1与一个78°的角组成一个平角，所以用180°－78°可算出∠1，因为AB＝AC，三角形ABC是等腰三角形，∠2＝∠3，根据三角形的内角和为180°，用（180°－∠1）÷2可算出∠2和∠3。 【详解】∠1＝180°－78°＝102° （180°－∠1）÷2 ＝（180°－102）÷2 ＝78°÷2 ＝39° 4．如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，原来这块纸片的形状是( )三角形，也是( )三角形。 【答案】 等腰 锐角 【分析】三角形内角和等于180°，用180°减去这两个角的度数即可求出第三个角的度数。三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形，有两个底角度数相等的三角形是等腰三角形。据此解答即可。 【详解】180°－67°－46° ＝113°－46° ＝67° 这个三角形的两个角相等，三个角都是锐角，则它是一个等腰三角形，也是一个锐角三角形。 5．研学手工课搭建等腰三角支架，这个等腰三角形的一个角是70°，它的另两个角可能是( )°和( )°，或可能是( )°和( )°。 【答案】 55 55 70 40 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是。题目中已知一个角是，这个角可能是顶角，也可能是底角，所以需要分两种情况进行讨论计算。 【详解】情况一：当的角是顶角时。 根据三角形内角和是，先求出两个底角的度数和：，因为等腰三角形的两个底角相等，所以每个底角的度数为：，此时，另两个角分别是和。 情况二：当的角是底角时。 因为等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是。 根据三角形内角和是，求出顶角的度数：，此时，另两个角分别是和。 综上所述，它的另两个角可能是和，或可能是和。 6．用一根长36厘米的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是( )厘米，每个内角是( )°。 【答案】 12 60 【分析】根据等边三角形的定义，其三条边长度相等，三个内角也相等。铁丝的长度即为三角形的周长，用周长除以3，即可求出边长；三角形的内角和是180°，用180°除以3，即可求出每个内角的度数。 【详解】36÷3＝12（厘米） 180°÷3＝60° 7．刘奶奶家有一块三角形的菜地，最大角是最小角的3倍，另外一个角是最小角的2倍，求这块三角形菜地每个角的度数？ 【答案】 、、 【分析】把最小角看作1份，则最大角是3份，另一个角是2份。已知三角形内角和是，用内角和除以总份数，求出1份的度数，即最小角的度数，再分别乘倍数，求出最大角和另一个角的度数。 【详解】总份数：1＋3＋2 ＝4＋2 ＝6（份） 最小角： 最大角： 另一个角： 答：这块三角形菜地每个角的度数分别是、、。 8．手工课上，小丽要做一个等腰三角形的书签，书签的顶角度数是一个底角度数的3倍。这个书签的顶角是多少度？ 【答案】 【分析】解题关键在于利用等腰三角形两个底角相等的性质，结合顶角与底角的倍数关系，将角度计算转化为份数计算。把底角看作份，顶角是份，利用三角形内角和求出份的度数，进而求出顶角的度数。 【详解】总份数： 底角度数： 顶角度数： 答：这个书签的顶角是。 9．“又是一年三月三，风筝飞满天。”放风筝是民间传统游戏之一。爸爸给明明制作了一个等腰三角形风筝，它的一个底角是64°，则它的顶角是多少？ 【答案】52° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，一个三角形的内角和是180°，用180°减去两个底角的度数，就能求出顶角的度数。 【详解】180°－64°×2 ＝180°－128° ＝52° 答：它的顶角是52°。 10．红领巾是少先队员的标志，象征着革命的胜利和无数英雄的心血。少先队员佩戴的红领巾展开后是一个等腰三角形，其中两个内角都是30°，它的另外一个内角是多少度？ 【答案】120° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，这个等腰三角形的两个底角都是30°，根据三角形内角和为180°，用180°减2个30°可算出另一个内角的度数。 【详解】180°－30°－30° ＝150°－30° ＝120° 答：它的另一个内角是120°。 题型二：三角形的三边关系 11．一个三角形（三条边长都为自然数），其中两条边分别为4厘米和9厘米。这个三角形的周长最短为( )厘米。 【答案】19 【分析】三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。先根据“两条边分别为4厘米和9厘米”求出这两条边的差与和，则第三边的长度比差大，比和小，又知三条边长都为自然数，据此确定比差大的自然数中最小的自然数，最后将已知的两条边和第三边相加求出三角形的周长。 【详解】（厘米） （厘米） 所以，5＜第三边＜13。 符合条件的自然数有：6、7、8、9、10、11、12，其中最小的是6，所以第三边最短是6厘米。 求三角形周长最短是多少厘米： （厘米） 12．一个等腰三角形的两条边分别是0.3分米和0.7分米，这个三角形的周长是( )分米。按角分类，它应该是一个( )三角形。（可以画一画，想一想） 【答案】 1.7 锐角 【分析】因为三角形任意两边的和大于第三边，有两条边相等的三角形是等腰三角形。据此判断等腰三角形的腰长是多少，然后将三条边加一起即为周长；钝角三角形是有一个角是钝角的三角形，直角三角形是有一个角是直角的三角形，锐角三角形三个角都是锐角。 【详解】如果腰长是0.3分米，0.3＋0.3＝0.6（分米），0.6＜0.7，所以无法构成三角形； 腰长是0.7分米，0.7＋0.3＝1（分米），1＞0.7，可以构成三角形； 0.7＋0.7＋0.3＝1.7（分米） 0.7分米＞0.3分米，说明腰长，底边短。 如图锐角三角形，，底边最长； 如图直角三角形， ，两条直角边短，斜边最长； 如图锐角三角形，腰长，底边短。所以是锐角三角形。 13．一个三角形的两条边分别是13厘米和9厘米，这个三角形的第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。（边长取整厘米数） 【答案】 21 5 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【详解】（厘米），第三边必须小于，满足条件最大整数是； （厘米），第三边必须大于，满足条件最小整数是。 这个三角形的第三条边最长是21厘米，最短是5厘米。（边长取整厘米数） 14．把一个三角形的3个内角剪下来可以拼成一个( )角；如果这个三角形是一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是( )°；若它的两条边分别是6cm和12cm，那么它的周长是( )厘米。 【答案】 平 80 30 【分析】三角形的内角和是180°，所以3个内角剪下来可以拼成一个180°的角；180°的角是平角。 等腰三角形两个底角相等，三角形内角和180°，180°减去两个底角的度数，即可算出顶角的度数。 三角形两边之和大于第三边。如果腰是6cm，6＋6＝12，不满足两边之和大于第三边，所以腰只能是12cm，这个三角形三条边的长度分别是：6cm、12cm、12cm。 【详解】180°-50°×2 ＝180°-100° ＝80° 6＋12＋12 ＝30（cm） 把一个三角形的3个内角剪下来可以拼成一个平角；如果这个三角形是一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是80°；若它的两条边分别是6cm和12cm，那么它的周长是30厘米。 15．有5根小棒，长度分别是3厘米、3厘米、5厘米、5厘米、6厘米，选其中3根小棒搭一个三角形。可以搭成( )个不同大小的三角形，其中有( )个等腰三角形。 【答案】 4 3 【分析】先列举所有可能的3根小棒的组合，再根据三角形的三边关系进行筛选即可； 等腰三角形是有两条边相等的三角形，据此解答即可。 【详解】①3、3、5 ，可以搭成三角形且是等腰三角形 ②3、3、6 ，不可以搭成三角形 ③3、5、5 ，可以搭成三角形且是等腰三角形 ④3、5、6 ，可以搭成三角形 ⑤5、5、6 ，可以搭成三角形且是等腰三角形 故可以搭成4个不同大小的三角形，其中有3个等腰三角形。 16．2026年是建党105周年，某校开展红色主题教育活动，请完成填空。制作三角形宣传展板，两条边长分别是5分米和9分米，第三条边一定大于( )分米。 【答案】4 【分析】根据第三条边一定大于两边之差，据此得出答案。 【详解】（分米） 第三条边一定大于分米。 17．社区开展“垃圾分类志愿服务”活动，志愿者用彩色胶带装饰分类垃圾桶。制作一个等腰三角形造型的装饰边框，三角形一条边长0.7分米，另一条边长1.4分米。这个等腰三角形边框的周长可能是多少分米？ 【答案】 分米 【分析】已知等腰三角形的两条边长，需分两种情况讨论哪条边是腰：第一种情况腰长是分米，第二种情况腰长是分米。根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”进行验证，排除不能组成三角形的情况，最后计算符合情况的三角形周长。 【详解】情况一：假设腰长是分米，则三条边长分别为分米、分米、分米。 ，两边之和等于第三边，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以这种情况不能围成三角形。 情况二：假设腰长是分米，则三条边长分别为分米、分米、分米。 ，，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以这种情况能围成三角形。 （分米） 答：这个等腰三角形边框的周长可能是分米。 18．一个三角形的两条边分别是7厘米和13厘米，那么第三条边的长最短是多少厘米？最长是多少厘米？（取整厘米数） 【答案】最短：7厘米；最长：19厘米 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。 【详解】两边之差＜第三条边＜两边之和 13－7＜第三条边＜13＋7 6＜第三条边＜20 第三条边的长度是整厘米数，那么第三条边最短是7厘米，最长是19厘米。 答：第三条边的长最短是7厘米，最长是19厘米。 19．一个等腰三角形的一条边长9厘米，另一条边长11厘米，它的周长可能是多少厘米？ 【答案】29厘米或者31厘米 【分析】根据等腰三角形的性质，‌等腰三角形至少有两边相等，‌又根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，三角任意两边之差小于第三边，所以第三边长可能是9厘米也可能是11厘米，等腰三角形的周长＝腰长×2＋底边长度，分别代入数值，即可解答。 【详解】9＋9＞11 11＋11＞9 所以第三边长可能是9厘米也可能是11厘米， 两边为9厘米： 9×2＋11 ＝18＋11 ＝29（厘米） 两边为11厘米： 11×2＋9 ＝22＋9 ＝31（厘米） 答：它的周长可能是29厘米或者31厘米。 20．妈妈身高1.68米，体重55千克，腿长约0.98米。妈妈说她一步能迈2米，妈妈说的话对吗？请你从数学的角度作出判断，并用你喜欢的方式说明理由。 【答案】不对；因为妈妈两条腿的长度之和小于妈妈一步的距离，所以妈妈说的不对。 【分析】依据三角形的任意两边之和大于第三边，腿长约0.98米，走一步两腿和地面形成一个三角形，两腿的长度和要大于一步的距离，据此解答即可。 【详解】0.98＋0.98＝1.96（米） 1.96＜2 答：妈妈说的不对，因为妈妈两条腿的长度之和小于妈妈一步的距离，所以妈妈说的不对。 题型三：多边形的内角和 21．连接四边形的一条对角线，四边形被分割成( )个三角形，因为三角形的内角和是( )，所以四边形的内角和是( )。 【答案】 2/两/二 180°/180度 360°/360度 【分析】对角线可以把四边形分割成2个三角形，利用三角形内角和等于180°的已知结论来推导四边形的内角和，所以四边形的内角和等于这两个三角形的内角和之和＝180°×2＝360°。 【详解】连接四边形的一条对角线，四边形被分割成2个三角形，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°。 22．平行四边形的内角和是( )，正六边形的内角和是( )。 【答案】 360°/360度 720°/720度 【分析】根据多边形的内角和＝180°×（边数－2）（其中边数≥3）计算。 【详解】180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 23．按照下图的方法将三角形进行折叠，那么∠2＝______°。 【答案】70 【分析】根据三角形内角和等于180°，用180°－90°－55°＝35°，求出∠1的度数，∠1与四边形的一个内角组成一个平角，平角等于180°，用180°－∠1，求出四边形一个内角的度数，再根据四边形内角和等于360°，用360°－90°－55°－四边形一个内角的度数，即可求出∠2的度数。 【详解】180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° ∠1＝35° 180°－35°＝145° 360°－90°－55°－145° ＝270°－55°－145° ＝215°－145° ＝70° 将三角形进行折叠，∠2＝70°。 24．如图，从一个大三角形中沿虚线剪下一个小三角形，剪下的小三角形的内角和是( )°，剩余的四边形的内角和是( )°。 【答案】 180 360 【分析】三角形的内角和是180°，不管三角形的大小、形状如何，内角和始终是180°，四边形的内角和是360°，据此填空即可。 【详解】剪下的小三角形的内角和是180°，剩余的四边形的内角和是360°。 25．如图，三角形ABC是一个等边三角形，如果把三角形沿虚线剪去∠B，在剩下的四边形中，∠1＋∠2＝( )°。 【答案】240 【分析】根据题意，已知三角形ABC是一个等边三角形，根据等边三角形的特征，其三个角都是60°，即∠A和∠C为60°。如果把三角形沿虚线减去∠B，那么∠1＋∠2＝四边形内角和－∠A－∠C，即可解答。 【详解】已知四边形内角和为360°，即∠1＋∠2＝360°－∠A－∠C，且三角形ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°，即∠1＋∠2＝360°－60°－60°＝300°－60°＝240°。 如图，三角形ABC是一个等边三角形，如果把三角形沿虚线剪去∠B，在剩下的四边形中，∠1＋∠2＝（240）°。 26．三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是( )条。 【答案】10 【分析】三角形的内角和为180°，那么一个多边形的内角和就等于180°乘8，即180°×8＝1440°，根据公式（n－2）×180°，用多边形的内角和除以180°，再加上2，即可求出这个多边形的边数是多少条，据此解答即可。 【详解】180°×8＝1440° 1440°÷180°＋2 ＝8＋2 ＝10（条） 所以这个多边形的边数是10条。 27．把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是( )。 【答案】 180° 360° 【分析】根据三角形的内角和是180°可知，把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°；把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和就是两个三角形内角的度数总和，即180°＋180°＝360°。据此解答。 【详解】根据分析可知： 把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是360°。 28．把梯形的四个角剪下来拼在一起，拼成的一定是一个( )角。 【答案】周 【分析】因为可以把一个梯形分成两个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以梯形的四个内角和是180°×2＝360°；把梯形的四个角剪下来拼在一起，拼成的角等于360°，也就是周角。据此解答。 【详解】根据分析可知： 把梯形的四个角剪下来拼在一起，拼成的一定是一个周角。 29．把长方形剪掉一个角（如图），那么新图形①的内角和是( )。 【答案】540°/540度 【分析】由图可知，长方形剪掉一个角后，变为了一个五边形。 如图，这个五边形可以分割成3个三角形，三角形的内角和为180°，那么五边形的内角和就等于3个三角形的内角之和。据此解答。 【详解】180°×3＝540° 故新图形①的内角和是540°。 30．观察下面求出六边形内角和的三组图形，回答后面的问题。 （1）说一说其中一组用什么办法求出六边形内角和的。 （2）你能想办法求出七边形的内角和吗？先画一画，再算一算。 【答案】（1）把六边形的一个顶点和相对的顶点连接起来，可以把六边形分成4个三角形，每个三角形的度数是180°，六边形的内角和就是4个三角形内角的总和，所以，六边形内角和是180°×4＝720°。（答案不唯一） （2）；900° 【分析】（1）从图中可以看出：第一组把六边形分成了4个三角形，每个三角形的内角和是180°，则六边形的内角和就是4个三角形内角的总和，即180°×4＝720°；第二组把六边形分成了2个四边形，每个四边形内角和是360°，则六边形的内角和就是2个四边形内角的总和，即360°×2＝720°；第三组把六边形分成了2个三角形和1个四边形，六边形的内角和等于2个三角形的内角和加1个四边形的内角和，即180°×2＋360°＝720°；……。据此选择其中一组的方法进行说明即可。 （2）可以从七边形的任意一个顶点连接相对的顶点，即把七边形分成5个三角形，每个三角形的内角和是180°，则七边形的内角和就是5个三角形内角的总和，即180°×5。据此画图并解答。 【详解】（1）例如第一组的方法： 把六边形的一个顶点和相对的顶点连接起来，可以把六边形分成4个三角形，每个三角形的度数是180°，六边形的内角和就是4个三角形内角的总和，所以，六边形内角和是180°×4＝720°。 （2）根据分析，画图如下： 180°×5＝900° 所以，七边形的内角和是900°。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 三角形的再认识 （3种类型30道） 目录 题型一：三角形的内角和 1 题型二：三角形的三边关系 3 题型三：多边形的内角和 4 题型一：三角形的内角和 1．若等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形的顶角是( )°。 2．如图所示，∠1＝( )°。 3．如下图中AB＝AC，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 4．如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，原来这块纸片的形状是( )三角形，也是( )三角形。 5．研学手工课搭建等腰三角支架，这个等腰三角形的一个角是70°，它的另两个角可能是( )°和( )°，或可能是( )°和( )°。 6．用一根长36厘米的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是( )厘米，每个内角是( )°。 7．刘奶奶家有一块三角形的菜地，最大角是最小角的3倍，另外一个角是最小角的2倍，求这块三角形菜地每个角的度数？ 8．手工课上，小丽要做一个等腰三角形的书签，书签的顶角度数是一个底角度数的3倍。这个书签的顶角是多少度？ 9．“又是一年三月三，风筝飞满天。”放风筝是民间传统游戏之一。爸爸给明明制作了一个等腰三角形风筝，它的一个底角是64°，则它的顶角是多少？ 10．红领巾是少先队员的标志，象征着革命的胜利和无数英雄的心血。少先队员佩戴的红领巾展开后是一个等腰三角形，其中两个内角都是30°，它的另外一个内角是多少度？ 题型二：三角形的三边关系 11．一个三角形（三条边长都为自然数），其中两条边分别为4厘米和9厘米。这个三角形的周长最短为( )厘米。 12．一个等腰三角形的两条边分别是0.3分米和0.7分米，这个三角形的周长是( )分米。按角分类，它应该是一个( )三角形。（可以画一画，想一想） 13．一个三角形的两条边分别是13厘米和9厘米，这个三角形的第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。（边长取整厘米数） 14．把一个三角形的3个内角剪下来可以拼成一个( )角；如果这个三角形是一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是( )°；若它的两条边分别是6cm和12cm，那么它的周长是( )厘米。 15．有5根小棒，长度分别是3厘米、3厘米、5厘米、5厘米、6厘米，选其中3根小棒搭一个三角形。可以搭成( )个不同大小的三角形，其中有( )个等腰三角形。 16．2026年是建党105周年，某校开展红色主题教育活动，请完成填空。制作三角形宣传展板，两条边长分别是5分米和9分米，第三条边一定大于( )分米。 17．社区开展“垃圾分类志愿服务”活动，志愿者用彩色胶带装饰分类垃圾桶。制作一个等腰三角形造型的装饰边框，三角形一条边长0.7分米，另一条边长1.4分米。这个等腰三角形边框的周长可能是多少分米？ 18．一个三角形的两条边分别是7厘米和13厘米，那么第三条边的长最短是多少厘米？最长是多少厘米？（取整厘米数） 19．一个等腰三角形的一条边长9厘米，另一条边长11厘米，它的周长可能是多少厘米？ 20．妈妈身高1.68米，体重55千克，腿长约0.98米。妈妈说她一步能迈2米，妈妈说的话对吗？请你从数学的角度作出判断，并用你喜欢的方式说明理由。 题型三：多边形的内角和 21．连接四边形的一条对角线，四边形被分割成( )个三角形，因为三角形的内角和是( )，所以四边形的内角和是( )。 22．平行四边形的内角和是( )，正六边形的内角和是( )。 23．按照下图的方法将三角形进行折叠，那么∠2＝______°。 24．如图，从一个大三角形中沿虚线剪下一个小三角形，剪下的小三角形的内角和是( )°，剩余的四边形的内角和是( )°。 25．如图，三角形ABC是一个等边三角形，如果把三角形沿虚线剪去∠B，在剩下的四边形中，∠1＋∠2＝( )°。 26．三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是( )条。 27．把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是( )。 28．把梯形的四个角剪下来拼在一起，拼成的一定是一个( )角。 29．把长方形剪掉一个角（如图），那么新图形①的内角和是( )。 30．观察下面求出六边形内角和的三组图形，回答后面的问题。 （1）说一说其中一组用什么办法求出六边形内角和的。 （2）你能想办法求出七边形的内角和吗？先画一画，再算一算。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $