第五单元 比的认识 （解决问题讲义）数学北师大版六年级上册（新教材）

该小学数学“比的认识”单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了比的意义、按比分配、单量与比、连比及综合应用五大模块，以“基础概念-典型问题-变式训练”的递进逻辑呈现知识脉络，清晰标注重难点及与分数、除法的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，A层夯实基础如“按比分配求部分量”，B层培优如“比在行程问题中的应用”，C层拓展如“连比转化与调整问题”，培养抽象能力与运算能力。典型例题配详细分析，助力学生掌握解题模型，教师可据此实施精准分层教学，提升复习效率。

第五单元 比的认识 1.比的意义与基础应用： ---- 理解比的意义，两个数相除又叫两个数的比；掌握比与分数、除法的关系，能将比转化为分率或除法算式，是解决比的实际问题的基础。 2.按比分配基础问题： ---- 已知总量和各部分量的比，求各部分量。解题关键是先求出总份数，再算出每份对应的量，最后乘各部分对应的份数；也可转化为求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 3.已知单量与比的实际问题： ---- 已知其中一个部分量和两个量的比，求另一个量或总量。先根据已知量和对应份数求出每份的量，再乘所求量对应的份数；也可转化为分数乘除法求解。 4.连比与复合比应用： ---- 涉及三个及以上量的比时，先统一各量的份数关系，求出连比，再结合总量或单量，按比分配求解各部分数量。 5.比的综合实际应用： ---- 结合行程、工程、几何、浓度等生活场景，灵活运用比的性质、按比分配、比与分数的转化，解决复杂的实际问题，提升数量关系分析能力。 类型 1 按比分配基础问题 典型例题 1：学校把 120 本课外书按分给五、六年级，两个年级各分得多少本？ 【分析】已知总数量和两个年级的本数比，属于按比分配基础题。先求总份数，再算每份的数量，分别乘两个年级对应的份数；也可转化为求总数的几分之几来计算。 【变式训练】一个长方形的周长是 40 厘米，长与宽的比是，这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 类型 2 已知单量与比，求总量或另一量 典型例题 2：果园里苹果树和梨树的棵数比是，苹果树有 120 棵，梨树有多少棵？两种树一共有多少棵？ 【分析】已知苹果树的数量和对应份数，先求出每份的棵数，再乘梨树对应的份数得到梨树棵数，最后求和得到总棵数。 【变式训练】小明和小红的零花钱数之比是，小明比小红多 40 元，两人各有多少元零花钱？ 类型 3 连比的应用 典型例题 3：学校科技组、美术组、音乐组的人数比是，三个组一共有 135 人，三个组各有多少人？ 【分析】三个量的连比，先求总份数，用总人数除以总份数得到每份人数，再分别乘各组对应的份数。 【变式训练】甲、乙、丙三个数的比是，乙数是 20，甲数和丙数各是多少？ 类型 4 比在行程与工程中的应用 典型例题 4：甲、乙两车同时从两地相对开出，相遇时所行路程比是，甲车每小时行 80 千米，乙车每小时行多少千米？（行驶时间相同，速度比等于路程比） 【分析】行驶时间相同时，路程比等于速度比，因此甲乙速度比也是；已知甲车速度和对应份数，求出每份速度再乘乙车份数。 【变式训练】一项工程，甲、乙两队的工作效率比是，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做需要多少天完成？ 类型 5 比的变化与调整问题 典型例题 5：甲、乙两筐苹果的质量比是，如果从甲筐拿出 12 千克放入乙筐，两筐苹果质量相等。原来两筐苹果各有多少千克？ 【分析】先根据 “从甲筐拿 12 千克放入乙筐后相等”，得出甲筐比乙筐多 2 个 12 千克，再结合质量比求出每份质量，最后求两筐原质量。 【变式训练】小明和小刚的邮票张数比是，如果小明给小刚 8 张，两人邮票数就同样多。两人原来各有多少张邮票？ A夯实基础 1．六（1）班男生和女生的人数比是，全班有 45 人，男生有（ ）人。 A．20 B．25 C．5 D．9 2．一个三角形三个内角的度数比是，这个三角形是（ ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 3．把 20 克糖放入 100 克水中，糖与糖水的质量比是（ ）。 4．甲、乙两数的比是，甲数是 24，乙数是 ( )。 5．一个长方形的长与宽的比是，长是 12 厘米，宽是 () 厘米，周长是 () 厘米。 6．一种药水是用药粉和水按配制而成，要配制 505 千克药水，需要药粉 ( ) 千克。 7．学校把植树任务按分配给五、六年级，六年级比五年级多植 24 棵，两个年级一共植树多少棵？ 8．水泥、沙子、石子按配制混凝土，要配制 20 吨这样的混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少吨？ B培优拔高 9．甲、乙、丙三个数的平均数是 30，三个数的比是，这三个数分别是多少？ 10．一批货物按分配给甲、乙、丙三个运输队，甲队比丙队少运 12 吨，这批货物一共有多少吨？ 11．甲、乙两车分别从相距 420 千米的两地同时出发，相向而行，3 小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是，两车的速度各是多少？ 12．一本书，已看的页数和未看的页数比是，如果再看 20 页，已看和未看的页数比就变成。这本书一共有多少页？ 13．甲、乙两个班的人数比是，如果从甲班调 3 人到乙班，两班人数就相等。甲、乙两班原来各有多少人？ 14．一个等腰三角形，顶角与一个底角的度数比是，这个三角形的顶角和底角各是多少度？ 15．加工一批零件，师傅和徒弟的工作效率比是，师傅单独做 15 天完成，师徒两人合作，多少天可以完成？ C思维拓展 16．甲、乙、丙三人共有 120 元钱，甲和乙的钱数比是，乙和丙的钱数比是，甲、乙、丙各有多少元？ 17．两根绳子一共长 27 米，第一根用去，第二根用去 3 米，剩下的两根绳子长度相等。原来两根绳子各长多少米？（用比的方法解） 18．大小两个圆的半径比是，它们的直径比是（ ），周长比是（ ），面积比是（ ）。 19．甲、乙两个仓库原有粮食吨数比是，甲仓库运走 36 吨后，甲、乙两仓库的粮食吨数比是。甲仓库原来有多少吨粮食？ 20．某校六年级参加数学竞赛的男、女生人数比是，后来又有 2 名女生加入，这时女生人数是男生的。原来参加竞赛的男、女生各有多少人？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 比的认识 1.比的意义与基础应用： ---- 理解比的意义，两个数相除又叫两个数的比；掌握比与分数、除法的关系，能将比转化为分率或除法算式，是解决比的实际问题的基础。 2.按比分配基础问题： ---- 已知总量和各部分量的比，求各部分量。解题关键是先求出总份数，再算出每份对应的量，最后乘各部分对应的份数；也可转化为求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 3.已知单量与比的实际问题： ---- 已知其中一个部分量和两个量的比，求另一个量或总量。先根据已知量和对应份数求出每份的量，再乘所求量对应的份数；也可转化为分数乘除法求解。 4.连比与复合比应用： ---- 涉及三个及以上量的比时，先统一各量的份数关系，求出连比，再结合总量或单量，按比分配求解各部分数量。 5.比的综合实际应用： ---- 结合行程、工程、几何、浓度等生活场景，灵活运用比的性质、按比分配、比与分数的转化，解决复杂的实际问题，提升数量关系分析能力。 类型 1 按比分配基础问题 典型例题 1：学校把 120 本课外书按分给五、六年级，两个年级各分得多少本？ 【分析】已知总数量和两个年级的本数比，属于按比分配基础题。先求总份数，再算每份的数量，分别乘两个年级对应的份数；也可转化为求总数的几分之几来计算。 【答案】五年级 45 本，六年级 75 本 【详解】 方法一：份数法 总份数： 每份数量：（本） 五年级：（本） 六年级：（本） 方法二：分数法 五年级占总数的，六年级占 五年级：（本） 六年级：（本） 答：五年级分得 45 本，六年级分得 75 本。 【变式训练】一个长方形的周长是 40 厘米，长与宽的比是，这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 【答案】长 12 厘米，宽 8 厘米 【详解】 先求长与宽的和：（厘米） 总份数： 每份：（厘米） 长：（厘米） 宽：（厘米） 答：长是 12 厘米，宽是 8 厘米。 类型 2 已知单量与比，求总量或另一量 典型例题 2：果园里苹果树和梨树的棵数比是，苹果树有 120 棵，梨树有多少棵？两种树一共有多少棵？ 【分析】已知苹果树的数量和对应份数，先求出每份的棵数，再乘梨树对应的份数得到梨树棵数，最后求和得到总棵数。 【答案】梨树 210 棵，一共 330 棵 【详解】 每份棵数：（棵） 梨树：（棵） 总棵数：（棵） 答：梨树有 210 棵，两种树一共有 330 棵。 【变式训练】小明和小红的零花钱数之比是，小明比小红多 40 元，两人各有多少元零花钱？ 【答案】小明 100 元，小红 60 元 【详解】 份数差： 每份钱数：（元） 小明：（元） 小红：（元） 答：小明有 100 元，小红有 60 元。 类型 3 连比的应用 典型例题 3：学校科技组、美术组、音乐组的人数比是，三个组一共有 135 人，三个组各有多少人？ 【分析】三个量的连比，先求总份数，用总人数除以总份数得到每份人数，再分别乘各组对应的份数。 【答案】科技组 30 人，美术组 45 人，音乐组 60 人 【详解】 总份数： 每份人数：（人） 科技组：（人） 美术组：（人） 音乐组：（人） 答：科技组有 30 人，美术组有 45 人，音乐组有 60 人。 【变式训练】甲、乙、丙三个数的比是，乙数是 20，甲数和丙数各是多少？ 【答案】甲数 15，丙数 25 【详解】 每份数： 甲数： 丙数： 答：甲数是 15，丙数是 25。 类型 4 比在行程与工程中的应用 典型例题 4：甲、乙两车同时从两地相对开出，相遇时所行路程比是，甲车每小时行 80 千米，乙车每小时行多少千米？（行驶时间相同，速度比等于路程比） 【分析】行驶时间相同时，路程比等于速度比，因此甲乙速度比也是；已知甲车速度和对应份数，求出每份速度再乘乙车份数。 【答案】60 千米 【详解】 速度比 = 路程比 = 每份速度：（千米 / 时） 乙车速度：（千米 / 时） 答：乙车每小时行 60 千米。 【变式训练】一项工程，甲、乙两队的工作效率比是，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做需要多少天完成？ 【答案】25 天 【详解】 工作总量相同时，工作效率与工作时间成反比，时间比为 每份时间：（天） 乙队时间：（天） 答：乙队单独做需要 25 天完成。 类型 5 比的变化与调整问题 典型例题 5：甲、乙两筐苹果的质量比是，如果从甲筐拿出 12 千克放入乙筐，两筐苹果质量相等。原来两筐苹果各有多少千克？ 【分析】先根据 “从甲筐拿 12 千克放入乙筐后相等”，得出甲筐比乙筐多 2 个 12 千克，再结合质量比求出每份质量，最后求两筐原质量。 【答案】甲筐 60 千克，乙筐 36 千克 【详解】 甲筐比乙筐多：（千克） 份数差： 每份质量：（千克） 甲筐：（千克） 乙筐：（千克） 答：原来甲筐有 60 千克，乙筐有 36 千克。 【变式训练】小明和小刚的邮票张数比是，如果小明给小刚 8 张，两人邮票数就同样多。两人原来各有多少张邮票？ 【答案】小明 48 张，小刚 32 张 【详解】 相差：（张） 份数差： 每份：（张） 小明：（张） 小刚：（张） 答：小明原来有 48 张，小刚原来有 32 张。 A夯实基础 1．六（1）班男生和女生的人数比是，全班有 45 人，男生有（ ）人。 A．20 B．25 C．5 D．9 【答案】B 【分析】按比分配问题，先求总份数，算出每份人数，再乘男生对应份数。 【详解】总份数：，每份：人，男生：人。 2．一个三角形三个内角的度数比是，这个三角形是（ ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【答案】B 【分析】三角形内角和为 180°，按比分配求出最大角的度数，即可判断三角形类型。 【详解】总份数：，最大角：，是直角三角形。 3．把 20 克糖放入 100 克水中，糖与糖水的质量比是（ ）。 【答案】 【分析】糖水质量 = 糖的质量 + 水的质量，先求糖水总质量，再写糖与糖水的比并化简。 【详解】糖水：克，糖糖水。 4．甲、乙两数的比是，甲数是 24，乙数是 ( )。 【答案】40 【分析】已知甲数和对应份数，先求出每份的数值，再乘乙数对应份数即可。 【详解】每份：，乙数：。 5．一个长方形的长与宽的比是，长是 12 厘米，宽是 () 厘米，周长是 () 厘米。 【答案】9；42 【分析】先根据长和长宽比求出宽，再根据长方形周长公式计算周长。 【详解】每份：厘米，宽：厘米，周长：厘米。 6．一种药水是用药粉和水按配制而成，要配制 505 千克药水，需要药粉 ( ) 千克。 【答案】5 【分析】按比分配，药水总份数为份，药粉占 1 份，用总质量除以总份数得每份质量。 【详解】总份数：，药粉：千克。 7．学校把植树任务按分配给五、六年级，六年级比五年级多植 24 棵，两个年级一共植树多少棵？ 【答案】96 棵 【分析】先求份数差，用多植的棵数除以份数差得到每份棵数，再乘总份数得到总棵数。 【详解】 份数差： 每份：（棵） 总棵数：（棵） 答：两个年级一共植树 96 棵。 8．水泥、沙子、石子按配制混凝土，要配制 20 吨这样的混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少吨？ 【答案】水泥 4 吨，沙子 6 吨，石子 10 吨 【分析】连比按比分配，先求总份数，算出每份质量，分别乘各材料对应份数。 【详解】 总份数： 每份：（吨） 水泥：（吨） 沙子：（吨） 石子：（吨） 答：需要水泥 4 吨，沙子 6 吨，石子 10 吨。 B培优拔高 9．甲、乙、丙三个数的平均数是 30，三个数的比是，这三个数分别是多少？ 【答案】15、30、45 【分析】先根据平均数求出三个数的总和，再按比分配求出三个数分别是多少。 【详解】 总和： 总份数： 每份： 甲：，乙：，丙： 答：三个数分别是 15、30、45。 10．一批货物按分配给甲、乙、丙三个运输队，甲队比丙队少运 12 吨，这批货物一共有多少吨？ 【答案】54 吨 【分析】先求甲比丙少的份数，用少运的质量除以少的份数得到每份质量，再乘总份数得总质量。 【详解】 份数差： 每份：（吨） 总质量：（吨） 答：这批货物一共有 54 吨。 11．甲、乙两车分别从相距 420 千米的两地同时出发，相向而行，3 小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是，两车的速度各是多少？ 【答案】甲车 80 千米 / 时，乙车 60 千米 / 时 【分析】先根据相遇路程和相遇时间求出速度和，再按速度比分配求出两车各自的速度。 【详解】 速度和：（千米 / 时） 总份数： 每份：（千米 / 时） 甲车：（千米 / 时） 乙车：（千米 / 时） 答：甲车速度是 80 千米 / 时，乙车是 60 千米 / 时。 12．一本书，已看的页数和未看的页数比是，如果再看 20 页，已看和未看的页数比就变成。这本书一共有多少页？ 【答案】420 页 【分析】总页数不变，把总页数看作单位 “1”，先求出 20 页对应总页数的分率差，用除法求出总页数。 【详解】 原来已看占总数的 后来已看占总数的 20 页对应分率： 总页数：（页） 答：这本书一共有 420 页。 13．甲、乙两个班的人数比是，如果从甲班调 3 人到乙班，两班人数就相等。甲、乙两班原来各有多少人？ 【答案】甲班 42 人，乙班 36 人 【分析】先求出两班的人数差，再结合人数比求出每份人数，最后计算两班原有人数。 【详解】 人数差：（人） 份数差： 每份：（人） 甲班：（人） 乙班：（人） 答：甲班原来有 42 人，乙班原来有 36 人。 14．一个等腰三角形，顶角与一个底角的度数比是，这个三角形的顶角和底角各是多少度？ 【答案】顶角 90°，底角 45° 【分析】等腰三角形两个底角相等，因此三个角的度数比是，结合内角和 180° 按比分配即可。 【详解】 三个角的比： 总份数： 顶角： 底角： 答：顶角是 90°，底角是 45°。 15．加工一批零件，师傅和徒弟的工作效率比是，师傅单独做 15 天完成，师徒两人合作，多少天可以完成？ 【答案】天 【分析】工作总量一定时，工作时间与工作效率成反比，先求出徒弟单独完成的时间，再求两人效率和，用工作总量除以效率和得到合作时间。 【详解】 时间比 师傅徒弟 徒弟单独完成时间：（天） 师傅效率：，徒弟效率： 效率和： 合作时间：（天） 答：天可以完成。 C思维拓展 16．甲、乙、丙三人共有 120 元钱，甲和乙的钱数比是，乙和丙的钱数比是，甲、乙、丙各有多少元？ 【答案】甲 32 元，乙 48 元，丙 40 元 【分析】先统一乙的份数，将两个单比合成连比，再按总钱数进行按比分配。 【详解】 甲乙，乙丙，因此甲乙丙 总份数： 每份：（元） 甲：（元） 乙：（元） 丙：（元） 答：甲有 32 元，乙有 48 元，丙有 40 元。 17．两根绳子一共长 27 米，第一根用去，第二根用去 3 米，剩下的两根绳子长度相等。原来两根绳子各长多少米？（用比的方法解） 【答案】第一根 15 米，第二根 12 米 【分析】先求出第一根剩下的分率，结合剩下长度相等，推导两根绳子原长的比，再按比分配求解。 【详解】 第一根剩下全长的： 第一根第二根 第二根减少 3 米后，总长：米 此时第一根第二根 总份数： 每份：（米） 第一根原长：（米） 第二根原长：（米） 答：第一根原来长 15 米，第二根原来长 12 米。 18．大小两个圆的半径比是，它们的直径比是（ ），周长比是（ ），面积比是（ ）。 【答案】；； 【分析】圆的直径比、周长比都等于半径比，面积比等于半径平方的比。 【详解】半径比，直径比 = 半径比 =，周长比 = 半径比 =，面积比 =。 19．甲、乙两个仓库原有粮食吨数比是，甲仓库运走 36 吨后，甲、乙两仓库的粮食吨数比是。甲仓库原来有多少吨粮食？ 【答案】90 吨 【分析】乙仓库粮食数量不变，统一乙的份数，求出甲减少的份数对应 36 吨，算出每份吨数，再求甲仓库原有吨数。 【详解】 原来甲乙，后来甲乙 甲减少的份数： 每份：（吨） 甲原有：（吨） 答：甲仓库原来有 90 吨粮食。 20．某校六年级参加数学竞赛的男、女生人数比是，后来又有 2 名女生加入，这时女生人数是男生的。原来参加竞赛的男、女生各有多少人？ 【答案】男生 32 人，女生 24 人 【分析】男生人数不变，把男生人数看作单位 “1”，求出 2 名女生对应男生人数的分率差，先求男生人数，再求原来女生人数。 【详解】 原来女生人数是男生的 加入 2 名女生后，女生人数是男生的 男生人数：（人） 原来女生：（人） 答：原来参加竞赛的男生有 32 人，女生有 24 人。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $