第二单元 圆（解决问题讲义）数学北师大版六年级上册（新教材）

该小学数学“圆”单元复习讲义通过知识框架系统梳理了圆的核心内容，涵盖圆的周长与面积基础应用、圆环及特殊图形计算、组合图形分析、实际综合应用五大模块，以公式推导、易错点对比（如半圆周长与面积的区别）呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“生活情境化”练习设计，如典型例题1结合比例尺求实际面积、变式训练分析跑道起跑线前移距离，培养数学眼光观察现实世界。方法指导注重转化思想（割补法、平移法），分层设置夯实基础、培优拔高、思维拓展练习，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第二单元 圆 1.圆的周长基础应用 ---- 掌握圆的周长公式：（为直径，为半径，通常取 3.14）。已知直径 / 半径求周长用乘法；已知周长求直径 / 半径，用周长除以（或），常用于车轮滚动、围栏、绕线等生活场景。 2.圆的面积基础应用 ---- 核心公式：。解题关键是先确定圆的半径：已知直径先除以 2 得半径，已知周长先通过求出半径，再计算面积。 3.圆环与特殊图形面积问题 ---- 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积，公式：（为外圆半径，为内圆半径）。 ---- 注意半圆的周长≠圆周长的一半，半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径，即；半圆面积 = 圆面积的一半，即。 4.组合图形周长与面积 ---- 求组合图形周长：先分析周长由哪些线段、曲线组成，分别计算再求和，注意区分 “周长” 和 “面积”，避免把内部线段算入周长。 ---- 求组合图形面积：常用割补法、平移法、整体减空白法，将不规则图形转化为规则的圆、长方形、正方形等图形的和或差。 5.圆的实际综合应用 ---- 结合钟表指针、跑道、植树、压路等生活场景，先判断所求量是周长还是面积，再找准对应的半径 / 直径，灵活运用公式解决问题。 类型 1 圆的周长解决问题 典型例题 1：在一幅比例尺为1∶500的新建公园平面图上，一个圆形花坛周长12.56厘米，这个花坛实际的占地面积是多少平方米？ 【答案】 314平方米 【分析】根据圆的周长公式，利用图上周长求出图上半径。再利用“实际距离图上距离比例尺”求出实际半径。 注意单位换算，题目要求实际占地面积为平方米，需将实际半径的单位由厘米换算成米。 根据圆的面积公式求出实际占地面积。 【详解】解： 图上半径： （厘米） 实际半径： （厘米） 1000厘米＝10米 （平方米） 答：这个花坛实际的占地面积是314平方米。 【变式训练】同学们和体育老师筹备运动会。下图是一圈400米的标准跑道，数据如图所示，为保证第2道同学和第1道的同学跑的路程同样长，第2道同学的起跑线应该往前移多少米？ 【答案】9.42米 【分析】观察图片可知：跑道左右两边的半圆合起来是一个整圆，第一跑道的长度包括半径为36.3米的圆的周长和2条长度为85.96米的直跑道，第二跑道的长度包括半径为（36.3＋1.5）米的圆的周长和2条长度为85.96米的直跑道，那么第2道同学和第1道的同学跑的路程之差就是两个圆的周长之差，根据圆的周长＝2πr，分别代入数据求出两个圆的周长，再把它们相减，即可求出第2道同学的起跑线应该往前移多少米。 【详解】2×3.14×（36.3＋1.5）－2×3.14×36.3 ＝2×3.14×（36.3＋1.5－36.3） ＝2×3.14×1.5 ＝9.42（米） 答：第2道同学的起跑线应该往前移9.42米。 类型 2 圆的面积解决问题 典型例题 2：刮痧是通过刺激人体的相关经络、穴位从而达到健康养生的效果。一个直径为8厘米的半圆形刮痧板的面积是多少平方厘米？ 【答案】25.12平方厘米 【分析】已知圆的直径为8厘米，用圆的直径÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14），代入圆的半径，求出整圆的面积。半圆面积等于整圆面积的一半，用整圆的面积÷2，求出半圆的面积。 【详解】8÷2＝4（厘米） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 答：一个直径为8厘米的半圆形刮痧板的面积是25.12平方厘米。 【变式训练】某休闲农庄修建了一个月牙形的鱼塘（如图），已知钓鱼区的半径是20米，沿着鱼塘的外围走一圈，需要走188.4米。 （1）鱼塘所在的大圆的半径是多少米？ （2）月牙形鱼塘的面积是多少平方米？ 【答案】（1）30米 （2）1570平方米 【分析】（1）根据圆的周长＝，用鱼塘的外围长188.4米除以3.14再除以2即可求出鱼塘所在的大圆的半径是多少米。 （2）根据圆的面积＝，用鱼塘所在的大圆的面积减去钓鱼区圆的面积即可求出月牙形鱼塘的面积是多少平方米。 【详解】（1）188.4÷3.14÷2＝30（米） 答：鱼塘所在的大圆的半径是30米。 （2）3.14×302－3.14×202 ＝3.14×900－3.14×400 ＝2826－1256 ＝1570（平方米） 答：月牙形鱼塘的面积是1570平方米。 类型 3 圆环的面积解决问题 典型例题3：一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】人行道的面积相当于求圆环面积，用外圆面积减去内圆面积。内圆（草坪）直径是12米，根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）计算解答。 【详解】12÷2＝6（米） 6＋2＝8（米） 3.14×（82－62） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） ​答：这条人行道的面积是87.92平方米。 【变式训练】安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 【答案】0.628平方米 【分析】求红色油漆的面积，就是求圆环的面积；根据半径＝直径÷2，据此求出指示牌的半径；再用指示牌的半径－油漆圈的宽度，求出小圆的半径，即不刷红色油漆的面积，根据圆环面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答，注意单位换算。 【详解】120÷2＝60（厘米） 60－20＝40（厘米） 3.14×（602－402） ＝3.14×（3600－1600） ＝3.14×2000 ＝6280（平方厘米） 6280平方厘米＝0.628平方米 答：红色油漆的面积是0.628平方米。 类型 4 含圆的组合图形的面积解决问题 典型例题 4：下图是小枫家的一扇窗户，上面是一个半圆，下面是一个长方形（长1.6米，宽1.2米）。这扇窗户的面积大约是多少平方米？（结果保留一位小数） 【答案】2.5平方米 【分析】由图可知：这个窗户由一个长方形和一个半圆组成，先根据长×宽求出长方形的面积。半圆的直径即长方形的宽是1.2米，半圆的半径则为1.2÷2＝0.6米，再根据半圆的面积＝求出半圆的面积，最后再把长方形的面积加上半圆的面积即可。 【详解】1.2÷2＝0.6（米） 1.2×1.6＋ ＝1.92＋1.57×0.36 ＝1.92＋0.5652 ＝2.4852 ≈2.5（平方米） 答：这扇窗户的面积大约是2.5平方米。 【变式训练】红星制造厂用下图所示的长方形铁皮做了2个啤酒瓶的瓶盖，剩下的边角料的面积是多少平方厘米？ 【答案】27.52平方厘米 【分析】看图可知，剩下的边角料的面积＝长方形面积－2个圆的面积，长方形的长＝宽×2，圆的直径＝长方形的宽，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式解答。 【详解】 （平方厘米） 答：剩下的边角料的面积是27.52平方厘米。 类型 5 方中圆和圆中方的面积问题 典型例题 5：奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】98平方厘米 【分析】圆周长＝2r＝d，那么将圆周长除以3.14可求出圆的直径，再除以2可求出圆的半径。画出中间的最大的正方形的一条对角线，发现这条对角线将正方形平均分成两个三角形。每个三角形的底和圆的直径相等，高和圆的半径相等。三角形面积公式＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即圆中间最大正方形的面积。 【详解】如图： 43.96÷3.14＝14（厘米） 14÷2＝7（厘米） 14×7÷2×2 ＝98÷2×2 ＝49×2 ＝98（平方厘米） 答：中间最大正方形的面积是98平方厘米。 【变式训练】为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？ 【答案】41.04平方米 【分析】圆形的面积＝πr²，代入数字可计算出圆形面积，将正方形面积如图沿对角线分成两个三角形，三角形的底为圆的直径，高为圆的半径，据此根据三角形面积＝（底×高）÷2算出三角形面积之后再乘2可算出正方形面积；用圆面积－正方形面积就是种太阳花的面积。 【详解】3.14×62－（6×2）×6÷2×2 ＝3.14×36－12×6÷2×2 ＝113.04－72 ＝41.04（平方米） 答：种太阳花的面积有41.04平方米。 A夯实基础 1．有大小不同的两个圆，它们的直径分别增加了2厘米，和原来相比，哪个圆的周长增加得多？（    ） A．大圆 B．小圆 C．一样多 D．无法比较 【答案】C 【分析】圆的周长公式为，当直径增加时，周长增加的量等于圆周率乘直径增加的量。两个圆的直径增加的长度相等，所以周长增加的长度也相等。 【详解】设原来大圆的直径为，小圆的直径为。原来大圆的周长为，小圆的周长为。直径增加厘米后，大圆的直径变为，小圆的直径变为。 现在大圆的周长为：，现在小圆的周长为：， 大圆周长增加（厘米），小圆周长增加（厘米）， 两个圆的周长增加得一样多。 2．研究表明，人的身高与双臂展开的长度大约相等，六（1）班42人，在操场拍毕业照，全班同学手拉手围成一个尽可能大的圆，这个圆的面积大约是（    ）。（六年级学生平均身高大约1.5m） A．30m2 B．300m2 C．3000m2 D．30000m2 【答案】B 【分析】根据题意，全班同学手拉手围成圆，圆的周长近似等于全班同学双臂展开的总长度。利用“身高与双臂展开的长度大约相等”及“平均身高”，计算出圆的周长。根据圆的周长公式，求出圆的半径。根据圆的面积公式，计算出圆的面积。将计算结果与选项进行比较，选择最接近的数值。 【详解】（m） （m） 因为314与300最接近，所以这个圆的面积大约是，对应选项B。 3．小丽绕着一个圆形草坪的边缘走了一圈，一共走了50.24米，这个圆形草坪的占地面积是（    ）平方米。 A．401.92 B．200.96 C．100.48 D．50.24 【答案】B 【分析】根据圆周长公式：（π取3.14，r为半径），则r＝C÷π÷2，把数据代入公式计算后即可得出该圆形草坪的半径，又因为圆面积公式为：，把计算得出的半径代入公式计算即可。 【详解】 （米） （平方米） 这个圆形草坪的占地面积是200.96平方米。 4．学校为毕业生制作纪念徽章，徽章的底面是一个半径为2厘米的圆形，这个徽章底面的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】 12.56 12.56 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝，将r＝2厘米，π取3.14代入公式可得徽章底面的周长和徽章底面的面积。 【详解】徽章底面的周长：2×3.14×2＝12.56（厘米） 徽章底面的面积：3.14×22＝12.56（平方厘米） 5．一个钟表的分针长10厘米，经过半小时，分针的尖端走过了( )厘米。时针长6厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 31.4 226.08 【分析】分针长度是圆的半径，半小时分针转动半圈，尖端走过的长度是圆周长的一半，先用圆周长公式算出整圈长度后再除以2即可；一昼夜是24小时，钟表时针12小时转完整一圈，24小时转动2圈；时针长度是圆的半径，先利用圆的面积公式算出一圈圆的面积，再乘2得到总扫过面积。 【详解】2×3.14×10÷2 ＝3.14×10×（2÷2） ＝3.14×10 ＝31.4（厘米） 3.14×62×2 ＝3.14×36×2 ＝113.04×2 ＝226.08（平方厘米） 6．如图所示，张爷爷开辟了一块半圆形菜地（一面靠墙），它的直径是8m，如果用篱笆将菜地围起来，至少需要( )米长的篱笆。 【答案】12.56 【分析】如图所示，张爷爷的篱笆围起来的菜地是半圆形，因为靠墙，所以篱笆的长度是圆周长的一半，因此根据圆的周长＝π×直径，先求出圆的周长，再用周长÷2，即可得出结果。 【详解】3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（米） B培优拔高 7．为响应国家“健康中国”的规划，某小区新建了一个半径为10米的圆形综合健身广场，并按1∶3的面积比，将这个健身广场划分为“力量训练区”和“有氧运动区”。有氧运动区的占地面积是多少平方米？ 【答案】235.5平方米 【分析】已知圆形综合健身广场的半径是10米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出广场的面积； 已知广场按1∶3的面积比划分为“力量训练区”和“有氧运动区”，那么有氧运动区的占地面积占广场面积的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出有氧运动区的占地面积。 【详解】3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 314× ＝314× ＝235.5（平方米） 答：有氧运动区的占地面积是235.5平方米。 8．小夏想知道一卷空心卷筒纸展开的总长度，设计了一个实验方案（步骤如下），请你根据实验方案计算出卷筒纸展开后的总长度。 实验步骤 ①测量卷筒纸横截面的外圆直径为14厘米，内圆直径为6厘米。 ②测量每层纸的厚度为0.02厘米。 ③计算卷筒纸的总长度。 【答案】6280厘米 【分析】卷筒纸的横截面面积（圆环面积）＝纸的长度×纸的厚度。分别用外圆和内圆的直径除以2算出外圆和内圆的半径，根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2）算出卷筒纸的横截面面积；然后用卷筒纸的横截面面积除以纸的厚度即可算出卷筒纸的长度。 【详解】14÷2＝7（厘米） 6÷2＝3（厘米） 3.14×（72－32） ＝3.14×（49－9） ＝3.14×40 ＝125.6（平方厘米） 125.6÷0.02＝6280（厘米） 答：卷筒纸展开后的总长度是6280厘米。 9．某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 【答案】1727元 【分析】根据题意可知鹅卵石路的面积是环形面积，根据环形面积公式：，把数据代入可求出鹅卵石路的面积，然后用所求面积乘每平方米鹅卵石路需要的价钱，即可解答。 【详解】5＋1＝6（米） 3.14×62－3.14×52 ＝3.14×36－3.14×25 ＝113.04－78.5 ＝34.54（平方米） 34.54×50＝1727（元） 答：铺完这条鹅卵石路共需要1727元。 10．刘庄村的圆形溜冰场是当地小有名气的“冬季欢乐地”，其周长为125.6米，为了给溜冰爱好者创造更舒适、宽敞的溜冰环境，现在要把溜冰场的半径增加40%，则扩建后溜冰场的周长是多少米？ 【答案】175.84 米 【分析】先根据圆的周长公式C＝2πr求出原来的半径，再计算半径增加40%后的新半径，将原来的半径看作单位“1”，则新的半径是原来半径的（1＋40%），用原来的半径乘（1＋40%），求出扩建后的半径，最后将扩建后的半径代入周长公式求出扩建后的周长。 【详解】原半径： 125.6÷3.14÷2 ＝40÷2 ＝20（米） 扩建后半径： 20×（1＋40%） ＝20×140% ＝28（米） 扩建后周长： 2×3.14×28 ＝6.28×28 ＝175.84（米） 答：扩建后溜冰场的周长是175.84米。 11．从三块面积相等的正方形钢板上，分别切割下1个、4个和9个圆片（如图）比较三块钢板剩余材料的面积，你有什么发现？请写出计算过程并说明理由。 【答案】三块钢板剩余材料的面积相等；理由见详解 【分析】根据赋值法，设出正方形边长，即可求出圆的半径，根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝π×半径2，求出正方形面积和圆的面积，求出剩余材料的面积，再进行比较。 【详解】发现三块钢板剩余材料的面积相等。 设正方形的边长为6厘米。 图1：6×6－3.14×（6÷2）2 ＝6×6－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（平方厘米） 图2：6×6－3.14×（6÷2÷2）2×4 ＝6×6－3.14×（3÷2）2×4 ＝6×6－3.14×1.52×4 ＝36－3.14×2.25×4 ＝36－7.065×4 ＝36－28.26 ＝7.74（平方米） 图3：6×6－3.14×（6÷3÷2）2×9 ＝6×6－3.14×（2÷2）2×9 ＝6×6－3.14×12×9 ＝36－3.14×1×9 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（平方厘米） 因为7.74＝7.74＝7.74，所以三块钢板剩余材料的面积相等。 12．广场上有一个半径为8米圆形的喷水池，围着喷水池外面有一条宽2米的小路，小路的面积为多少平方米？ 【答案】113.04 平方米 【分析】本题考查圆环面积的计算。根据题意，喷水池为内圆，小路围着喷水池外面，则喷水池与小路共同构成外圆。小路的面积即为外圆面积减去内圆面积所得的圆环面积。解题时需先求出外圆半径，再利用圆环面积公式 列式计算，其中 取 3.14。 【详解】外圆半径：（米） （平方米） 答：小路的面积为 113.04 平方米。 13．公园里的一个圆形音乐喷泉的周长是157米，外面围着一个宽5米的环形观景台。这个环形观景台的面积是多少？ 【答案】 863.5平方米 【分析】本题考查圆环面积的计算。先根据内圆（音乐喷泉）的周长求出内圆半径，再根据环宽求出外圆半径，最后利用圆环面积公式 进行计算。计算过程中取值3.14。 【详解】内圆半径： 157÷3.14÷2 ＝50÷2 ＝25（米） 外圆半径： 25＋5＝30（米） 圆环面积： 3.14×（302－252） ＝3.14×（900－625） ＝3.14×275 ＝863.5（平方米） 答：这个环形观景台的面积是863.5平方米。 C思维拓展 14．小红家有一个圆柱形的舀水桶（如图），测得底面周长是62.8厘米，桶口距离底面的最小高度是12厘米，最大高度是15厘米，这个舀水桶最多能装多少毫升水？（舀水桶的壁厚忽略不计） 【答案】3768毫升 【分析】求舀水桶最多能装多少水就是求它的容积，取决于桶口到桶底的最小高度。据此先根据圆的周长公式C＝2πr，计算出底面半径r＝C÷（2π）；再半径的值和高度12厘米代入圆柱的体积公式V＝πr2h中计算，最后按1立方厘米＝1毫升进行单位换算。 【详解】62.8÷（2×3.14） ＝62.8÷6.28 ＝10（厘米） 3.14×102×12 ＝3.14×100×12 ＝314×12 ＝3768（立方厘米） 3768立方厘米＝3768毫升 答：这个舀水桶最多能装3768毫升水。 15．王阿姨入住酒店时，发现有一个圆柱形的送餐机器人在配送外卖，如图所示。这个送餐机器人的体积是多少立方分米？ 底面周长：12.56dm 高：9dm 开/关机××× 【答案】113.04立方分米 【分析】已知圆柱形送餐机器人的底面周长为12.56分米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个送餐机器人的体积。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（分米）   3.14×22×9 ＝3.14×4×9 ＝113.04（立方分米） 答：这个送餐机器人的体积是113.04立方分米。 16．张老师每天骑自行车上下班，自行车轮胎的外直径是60厘米，自行车车轮平均每分钟转120圈，张老师每天骑车从家到学校需20分钟，那么张老师家距离学校多少米？（取3.14） 【答案】4521.6米 【分析】先将车轮直径的单位从厘米换算为米，统一计算单位；再根据圆的周长公式计算出车轮转动1圈行驶的长度；用车轮一圈的长度乘每分钟转动的圈数，算出自行车每分钟行驶的路程；最后根据“路程＝速度×时间”，用每分钟行驶的路程乘骑行时间，即可求出张老师家到学校的距离。 【详解】60厘米＝0.6米 周长：3.14×0.6＝1.884（米） 每分钟路程：1.884×120＝226.08（米）   总路程：226.08×20＝4521.6（米） 答：家到学校4521.6米。 17．为美化校园，以便师生环坛漫步，览花坛四时景致，学校准备在周长是50.24米的花坛外围铺设一条2米宽的环形鹅卵石小路，这条鹅卵石小路的面积是多少平方米？ 【答案】 113.04平方米 【分析】求小路的面积，实际上是求圆环的面积，用大圆的面积减去圆的面积即可；小圆的周长已知，利用圆的周长公式（为直径），即可求出小圆的半径，大圆的半径等于小圆的半径加上小路的宽度，从而利用圆环的面积公式（为大圆半径，为小圆半径），即可求解。 【详解】 （米） （米） （平方米） 答：这条鹅卵石小路的面积是113.04平方米。 18．雨刮器的摆臂上有一根橡胶刮片，只有刮片才能把挡风玻璃上的雨水、灰尘刷干净。某款汽车的雨刮器长50厘米，刮片长30厘米，可绕点O旋转180°（如下图），那么这个雨刮器能刮到的面积是多少？ 【答案】3297平方厘米 【分析】根据题意，用雨刮器的长度减去刮片的长度，就是内圆半径的长度。圆的面积S＝πr2，分别代入雨刮器的长和内圆半径的长，算出雨刮器所在圆的面积以及内圆的面积。然后再相减，算出结果再除以2，就是这个雨刮器能刮到的面积是多少平方厘米。 【详解】50－30＝20（厘米） （3.14×502－3.14×202）÷2 ＝（3.14×2500－3.14×400）÷2 ＝（7850－1256）÷2 ＝6594÷2 ＝3297（平方厘米） 答：这个雨刮器能刮到的面积是3297平方厘米。 19．下图是一朵窗花剪纸，已知正方形的边长是20厘米。以正方形的边长为直径向其内侧作四个半圆。求空白部分花朵的面积。 【答案】228平方厘米 【分析】观察图片可知，图中空白部分花朵为四个半圆与正方形重叠的部分，所以空白部分花朵的面积＝4个半圆面积－正方形面积＝2个圆的面积－正方形面积。根据圆的面积＝；正方形面积＝边长×边长，代入数值计算即可。 【详解】圆的半径r：20÷2＝10（厘米） 圆的面积：π× ＝3.14×10×10 ＝31.4×10 ＝314（平方厘米） 正方形面积：20×20＝400（平方厘米） 空白部分花朵的面积： 314×2－400 ＝628－400 ＝228（平方厘米） 答：空白部分花朵的面积为228平方厘米。 20．为了冬季用餐更加舒适，小明家新买了一个餐桌上的保温转盘（如下图），它的直径是10分米，为了防止使用时被烫伤，它的边上有1分米宽的区域是常温区。 (1)这个转盘加热区的面积是多少？ (2)这个转盘常温区的面积是多少？ 【答案】(1)50.24平方分米 (2)28.26平方分米 【分析】（1）已知保温转盘的直径是10分米，先根据半径＝直径除以2，求出转盘的半径。常温区在转盘边缘，宽1分米，用转盘半径减去常温区宽度，求出加热区半径。再根据圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14），代入半径，求出加热区的面积。 （2）由图可知：常温区是转盘（外圆）和加热区（内圆）之间的环形，常温区面积＝外圆面积－内圆面积；内圆（加热区）面积已在小问1中求出；外圆（转盘）半径是5分米，代入圆的面积公式求出转盘总面积；再用转盘总面积减去加热区面积，求出常温区的面积。 【详解】（1）10÷2－1 ＝5－1 ＝4（分米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 答：这个转盘加热区的面积是50.24平方分米。 （2）3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方分米） 78.5－50.24＝28.26（平方分米） 答：这个转盘常温区的面积是28.26平方分米。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆 1.圆的周长基础应用 ---- 掌握圆的周长公式：（为直径，为半径，通常取 3.14）。已知直径 / 半径求周长用乘法；已知周长求直径 / 半径，用周长除以（或），常用于车轮滚动、围栏、绕线等生活场景。 2.圆的面积基础应用 ---- 核心公式：。解题关键是先确定圆的半径：已知直径先除以 2 得半径，已知周长先通过求出半径，再计算面积。 3.圆环与特殊图形面积问题 ---- 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积，公式：（为外圆半径，为内圆半径）。 ---- 注意半圆的周长≠圆周长的一半，半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径，即；半圆面积 = 圆面积的一半，即。 4.组合图形周长与面积 ---- 求组合图形周长：先分析周长由哪些线段、曲线组成，分别计算再求和，注意区分 “周长” 和 “面积”，避免把内部线段算入周长。 ---- 求组合图形面积：常用割补法、平移法、整体减空白法，将不规则图形转化为规则的圆、长方形、正方形等图形的和或差。 5.圆的实际综合应用 ---- 结合钟表指针、跑道、植树、压路等生活场景，先判断所求量是周长还是面积，再找准对应的半径 / 直径，灵活运用公式解决问题。 类型 1 圆的周长解决问题 典型例题 1：在一幅比例尺为1∶500的新建公园平面图上，一个圆形花坛周长12.56厘米，这个花坛实际的占地面积是多少平方米？ 【变式训练】同学们和体育老师筹备运动会。下图是一圈400米的标准跑道，数据如图所示，为保证第2道同学和第1道的同学跑的路程同样长，第2道同学的起跑线应该往前移多少米？ 类型 2 圆的面积解决问题 典型例题 2：刮痧是通过刺激人体的相关经络、穴位从而达到健康养生的效果。一个直径为8厘米的半圆形刮痧板的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】某休闲农庄修建了一个月牙形的鱼塘（如图），已知钓鱼区的半径是20米，沿着鱼塘的外围走一圈，需要走188.4米。 （1）鱼塘所在的大圆的半径是多少米？ （2）月牙形鱼塘的面积是多少平方米？ 类型 3 圆环的面积解决问题 典型例题3：一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 【变式训练】安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 类型 4 含圆的组合图形的面积解决问题 典型例题 4：下图是小枫家的一扇窗户，上面是一个半圆，下面是一个长方形（长1.6米，宽1.2米）。这扇窗户的面积大约是多少平方米？（结果保留一位小数） 【变式训练】红星制造厂用下图所示的长方形铁皮做了2个啤酒瓶的瓶盖，剩下的边角料的面积是多少平方厘米？ 类型 5 方中圆和圆中方的面积问题 典型例题 5：奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【变式训练】为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？ A夯实基础 1．有大小不同的两个圆，它们的直径分别增加了2厘米，和原来相比，哪个圆的周长增加得多？（    ） A．大圆 B．小圆 C．一样多 D．无法比较 2．研究表明，人的身高与双臂展开的长度大约相等，六（1）班42人，在操场拍毕业照，全班同学手拉手围成一个尽可能大的圆，这个圆的面积大约是（    ）。（六年级学生平均身高大约1.5m） A．30m2 B．300m2 C．3000m2 D．30000m2 3．小丽绕着一个圆形草坪的边缘走了一圈，一共走了50.24米，这个圆形草坪的占地面积是（    ）平方米。 A．401.92 B．200.96 C．100.48 D．50.24 4．学校为毕业生制作纪念徽章，徽章的底面是一个半径为2厘米的圆形，这个徽章底面的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 5．一个钟表的分针长10厘米，经过半小时，分针的尖端走过了( )厘米。时针长6厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是( )平方厘米。 6．如图所示，张爷爷开辟了一块半圆形菜地（一面靠墙），它的直径是8m，如果用篱笆将菜地围起来，至少需要( )米长的篱笆。 B培优拔高 7．为响应国家“健康中国”的规划，某小区新建了一个半径为10米的圆形综合健身广场，并按1∶3的面积比，将这个健身广场划分为“力量训练区”和“有氧运动区”。有氧运动区的占地面积是多少平方米？ 8．小夏想知道一卷空心卷筒纸展开的总长度，设计了一个实验方案（步骤如下），请你根据实验方案计算出卷筒纸展开后的总长度。 实验步骤 ①测量卷筒纸横截面的外圆直径为14厘米，内圆直径为6厘米。 ②测量每层纸的厚度为0.02厘米。 ③计算卷筒纸的总长度。 9．某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 10．刘庄村的圆形溜冰场是当地小有名气的“冬季欢乐地”，其周长为125.6米，为了给溜冰爱好者创造更舒适、宽敞的溜冰环境，现在要把溜冰场的半径增加40%，则扩建后溜冰场的周长是多少米？ 11．从三块面积相等的正方形钢板上，分别切割下1个、4个和9个圆片（如图）比较三块钢板剩余材料的面积，你有什么发现？请写出计算过程并说明理由。 12．广场上有一个半径为8米圆形的喷水池，围着喷水池外面有一条宽2米的小路，小路的面积为多少平方米？ 13．公园里的一个圆形音乐喷泉的周长是157米，外面围着一个宽5米的环形观景台。这个环形观景台的面积是多少？ C思维拓展 14．小红家有一个圆柱形的舀水桶（如图），测得底面周长是62.8厘米，桶口距离底面的最小高度是12厘米，最大高度是15厘米，这个舀水桶最多能装多少毫升水？（舀水桶的壁厚忽略不计） 15．王阿姨入住酒店时，发现有一个圆柱形的送餐机器人在配送外卖，如图所示。这个送餐机器人的体积是多少立方分米？ 底面周长：12.56dm 高：9dm 开/关机××× 16．张老师每天骑自行车上下班，自行车轮胎的外直径是60厘米，自行车车轮平均每分钟转120圈，张老师每天骑车从家到学校需20分钟，那么张老师家距离学校多少米？（取3.14） 17．为美化校园，以便师生环坛漫步，览花坛四时景致，学校准备在周长是50.24米的花坛外围铺设一条2米宽的环形鹅卵石小路，这条鹅卵石小路的面积是多少平方米？ 18．雨刮器的摆臂上有一根橡胶刮片，只有刮片才能把挡风玻璃上的雨水、灰尘刷干净。某款汽车的雨刮器长50厘米，刮片长30厘米，可绕点O旋转180°（如下图），那么这个雨刮器能刮到的面积是多少？ 19．下图是一朵窗花剪纸，已知正方形的边长是20厘米。以正方形的边长为直径向其内侧作四个半圆。求空白部分花朵的面积。 20．为了冬季用餐更加舒适，小明家新买了一个餐桌上的保温转盘（如下图），它的直径是10分米，为了防止使用时被烫伤，它的边上有1分米宽的区域是常温区。 (1)这个转盘加热区的面积是多少？ (2)这个转盘常温区的面积是多少？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $