单元复习讲义：专题05 圆（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学六年级上册（人教版·新教材）

该小学数学“圆”专题复习讲义通过知识框架系统梳理了圆的单元知识体系，将圆的概念、周长、面积、组合图形等11个考点按“基础概念-公式推导-实际应用”递进组织，用图文结合的方式呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于“典例+变式”的分层练习设计，如圆的周长应用中结合餐桌装饰带、自行车过桥等实际问题，培养数学思维和应用意识，方法指导突出转化、割补等思想，助力学生提升解题能力，也为教师精准教学提供支持。

专题05 圆 内容导航 考点梳理 1 考点一、圆的概念及特点 1 考点二、弧、圆心角、扇形的认识 2 考点三、圆的周长 2 考点四、圆的周长的应用 3 考点五、圆的面积 3 考点六、圆的面积的应用 4 考点七、圆环的面积 4 考点八、含圆的组合图形的周长和面积 5 考点九、方中圆和圆中方的面积问题 5 考点十、用转化法求圆的组合图形的周长与面积 6 考点十一、扇形的周长和面积 6 例题讲解 7 题型一、圆的概念及特点 7 题型二、弧、圆心角、扇形的认识 8 题型三、圆的周长 9 题型四、圆的周长的应用 11 题型五、圆的面积 13 题型六、圆的面积的应用 14 题型七、圆环的面积 16 题型八、含圆的组合图形的周长和面积 18 题型九、方中圆和圆中方的面积问题 21 题型十、用转化法求圆的组合图形的周长与面积 23 题型十一、扇形的周长和面积 26 提升练习 28 考点梳理 考点一、圆的概念及特点 1. 圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 (1) 圆心（O）：确定圆的位置。 (2) 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段。决定圆的大小。 (3) 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段。 2. 基本特征 (1) 在同一个圆（或等圆）中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 (2) 直径是半径的2倍，半径是直径的一半。 1　 公式： 或 (3) 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 (4) 注意：半径和直径是线段，不是射线或直线；对称轴是直线，不是线段。 考点二、弧、圆心角、扇形的认识 1. 基本概念 (1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。 (2) 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 (3) 扇形：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2. 扇形的大小 (1) 在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形越大。 (2) 半圆也是一个特殊的扇形，其圆心角为 。 考点三、圆的周长 1. 圆周率（ ） (1) 任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 表示。 (2) 是一个无限不循环小数，计算时通常取近似值 。 (3) 历史常识：我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后第七位的人。 2. 周长公式 (1) 已知直径求周长： (2) 已知半径求周长： 3. 重要推论 (1) 圆的周长总是直径的 倍。 (2) 若两个圆的半径比是 ，则它们的直径比、周长比也是 。 考点四、圆的周长的应用 1. 常见题型 (1) 已知周长求直径/半径： 1　 2　 (2) 滚动问题：车轮滚动一周前进的距离等于车轮的周长。 1　 前进距离 = 周长 圈数 (3) 捆扎问题：计算捆绑圆柱体所需绳子长度时，需注意“直线部分”和“曲线部分”。 1　 例如：捆绑 个并排且紧密接触的相同圆柱，绳长 = 直径 + 1个圆周长（仅适用于单排紧密排列的特例，具体需画图分析）。 2. 易错点 (1) 区分“周长”与“半圆的周长”。 (2) 计算结果若未要求保留 ，务必代入 计算，并注意单位。 考点五、圆的面积 1. 公式推导（转化思想） (1) 将圆分成若干等份（如16份、32份...），剪开后拼成一个近似的长方形。 (2) 长方形的长近似于圆周长的一半（ ）。 (3) 长方形的宽近似于圆的半径（ ）。 (4) 因为：长方形面积 = 长 宽 (5) 所以：圆的面积 = 2. 面积公式 (1) (2) 若已知直径： (3) 若已知周长：先求 ，再求 。 3. 面积比规律 (1) 若两个圆的半径比是 ，则它们的面积比是 。 考点六、圆的面积的应用 1. 已知条件求解 (1) 已知 ：直接代入 。 (2) 已知 ：先求 ，再代入公式。 (3) 已知 ：先求 ，再代入公式。 2. 实际问题 (1) 自动旋转喷灌装置：喷水范围是一个圆，射程即为半径 。 (2) 树干的横截面积：通常测量树干周长 ，求出 ，再计算面积。 3. 注意事项 (1) 计算 时，表示 ，而不是 。 (2) 面积单位是平方单位（如 ）。 考点七、圆环的面积 1. 概念 圆环是指两个同心圆（圆心相同，半径不同）之间的部分。 (1) 外圆半径： (2) 内圆半径： (3) 环宽： 2. 面积公式 (1) 基本公式： (2) 提取公因数简化公式： 3. 解题技巧 (1) 遇到 时，可利用平方差公式 进行简便计算，尤其是当 和 数值较大时。 考点八、含圆的组合图形的周长和面积 1. 组合图形的周长 (1) 定义：围成图形的所有外围线条的长度之和。 (2) 关键：内部的分割线不计入周长。 (3) 方法： 1　 分解图形，识别哪些是直线段，哪些是圆弧。 2　 圆弧长度计算：看该弧占整个圆周长的几分之几（由圆心角决定）。 3　 累加所有外围边长。 2. 组合图形的面积 (1) 方法： 1　 相加法：将不规则图形分割成几个规则图形（如半圆+三角形），分别计算后相加。 2　 相减法：用大图形的面积减去空白部分或小图形的面积（如正方形-圆）。 考点九、方中圆和圆中方的面积问题 1. 方中圆（正方形内切圆） (1) 描述：正方形里面有一个最大的圆。 (2) 关系：正方形边长 。 (3) 面积比： 1　 2　 3　 4　 剩余面积（四个角）： 2. 圆中方（圆内接正方形） (1) 描述：圆里面有一个最大的正方形。 (2) 关系：正方形对角线 = 圆的直径 。 (3) 面积计算： 1　 利用对角线求正方形面积： 2　 3　 4　 剩余面积（弓形部分）： 考点十、用转化法求圆的组合图形的周长与面积 1. 割补法（平移、旋转） (1) 原理：将图形中不规则的部分通过切割、移动、拼接，转化为规则图形。 (2) 示例：求树叶形阴影面积。通常可以看作是两个四分之一圆重叠部分，或者通过割补变成半圆减三角形等。 2. 典型模型 (1) 跑道模型：两个半圆 + 一个长方形。 (2) 花瓣模型：通常由多个半圆或扇形重叠而成，利用对称性，计算一个基本单元后乘以倍数。 考点十一、扇形的周长和面积 1. 扇形面积 (1) 公式： （ 为圆心角度数） 2. 扇形周长 (1) 定义：扇形的周长 = 弧长 + 2条半径 (2) 公式： 或 (3) 易错警示：很多学生只计算了弧长，忘记加上两条半径。扇形周长 弧长。 3. 特殊扇形 (1) 圆心角为 的扇形（四分之一圆）： 1　 面积： 2　 周长： 例题讲解 题型一、圆的概念及特点 【典例例题】圆有( )条半径；( )决定圆的位置；( )或( )决定圆的大小。 【答案】 无数 圆心 半径 直径 【分析】本题考查圆的基本性质。圆是由所有到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点组成的图形，因此圆有无数条半径；圆的位置由圆心决定，因为圆心固定了圆在平面上的位置；圆的大小由半径或直径决定，因为半径或直径的长度直接影响圆的周长和面积。 【详解】由分析可知，圆有无数条半径；圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径或直径决定。 举一反三 【变式训练1】生活中常见的车轮设计成圆形，主要应用的是圆特征中的（    ）。 A．同圆中半径是直径的 B．圆心决定圆的位置 C．半径决定圆的大小 D．同圆中的半径都相等 【答案】D 【分析】车轮做成圆形是为了滚动平稳。这是因为在同一个圆中，所有半径的长度都相等，使得车轮滚动时圆心到地面的距离始终保持一致，从而避免颠簸。据此结合选项判断即可。 【详解】生活中常见的车轮设计成圆形，主要应用的是圆特征中的同圆中的半径都相等。 故答案为：D 【变式训练2】画圆时，圆规两个脚之间的距离是7cm，画出的圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 【答案】 7 14 【分析】画圆时，把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径，直径的长度为半径的2倍。 【详解】7×2＝14（cm） 即画圆时，圆规两个脚之间的距离是7cm，画出的圆的半径是7cm，直径是14cm。 【变式训练3】画一画。 请用圆规画一个直径3厘米的圆，分别用O，r表示圆心和半径。 【答案】图见详解 【分析】用圆规画一个直径3厘米的圆，圆规两脚间的距离是1.5厘米，圆规有针尖的一端定在某一点上，另一端绕这个点旋转一周即可。圆心用大写字母O表示，半径用小写字母r表示。 【详解】 题型二、弧、圆心角、扇形的认识 【典例例题】扇形是由两条( )和一段( )围成的，( )的角叫做圆心角。 【答案】 半径 弧 顶点在圆心 【分析】根据角的含义：由一点引出的两条射线所围成的图形叫做角；根据题意，并结合扇形图进行解答。 【详解】 在扇形AOB中，角的顶点在圆心O上，并且由两条半径和圆上的两条半径所夹弧围成的；扇形都有一个角叫做 圆心角，角的顶点在圆心上。 扇形是由两条半径和一段弧围成的，顶点在圆心的角叫做圆心角。 【点睛】此题考查了扇形的含义，根据题意，画出图是解答此题的关键。 举一反三 【变式训练1】下面各图中，（    ）的涂色部分是扇形。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。据此判断即可。 【详解】A．涂色部分的角的顶点不在圆心上，不满足扇形“由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成”这一条件，所以不是扇形。 B．涂色部分的角的顶点不在圆心上，不满足扇形的定义，所以不是扇形。 C．涂色部分的角的顶点不在圆心上，不满足扇形的定义，所以不是扇形。 D．涂色部分是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，符合扇形的定义，所以是扇形。 故答案为：D 【变式训练2】当扇形的圆心角等于( )度时，扇形就是一个半圆；当扇形的圆心角等于( )度时，扇形就是一个整圆，当圆心角等于( )度时，扇形就是圆。 【答案】 180 360 90 【分析】在同一个圆内，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，因为半圆的圆心角为180度，所以当扇形的圆心角等于180度时，扇形就是一个半圆；因为圆的圆心角为360度，所以当扇形的圆心角等于360度时，扇形就是一个整圆；圆心角的是360度×＝90度，所以当圆心角等于90度时，扇形就是圆。 【详解】当扇形的圆心角等于180度时，扇形就是一个半圆；当扇形的圆心角等于360度时，扇形就是一个整圆，当圆心角等于90度时，扇形就是圆。 【变式训练3】画一个半径为3厘米的圆，并在圆里画一个圆心角是120°的扇形。 【答案】 【分析】（1）先确定一个点作为圆心；再把圆规的两脚分开，使两脚之间的距离为3厘米；将圆规带有针尖的一只脚固定在圆心上，另一只装有铅笔的脚绕圆心旋转一周，画出一个圆。 （2）在已画好的圆内，以圆心为顶点；将量角器的中心与圆心重合，0刻度线与圆的一条半径重合；在量角器120°刻度线对应的位置上点一个点；以圆心为端点，通过刚画的点画一条半径；用圆规或直尺将两条半径和它们所夹的弧连接起来，形成圆心角为120°的扇形。 【详解】略 题型三、圆的周长 【典例例题】计算圆的周长。 【答案】31.4cm 【分析】由图可知，该圆的半径r＝5cm，根据圆周长公式：C＝2πr（π取3.14，r为半径），把数据代入计算即可。 【详解】2×3.14×5＝31.4（cm） 圆的周长是31.4cm。 举一反三 【变式训练1】计算下面各圆的周长。 r＝6m         d＝4.5dm 【答案】37.68m；14.13dm 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，或周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×6×2 ＝18.84×2 ＝37.68（m） 3.14×4.5＝14.13（dm） 半径是6m的圆的周长为37.68m。直径为4.5dm的圆的周长为14.13dm。 【变式训练2】用圆规画圆，圆规两脚间的距离是，这个圆的直径是( )，周长是( )。 【答案】 6 18.84 【分析】圆规两脚间的距离就是圆的半径；直径＝半径×2，据此求出圆的直径；再根据圆的周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】3×2＝6（cm） 3.14×6＝18.84（cm） 用圆规画圆，圆规两脚间的距离是3cm，这个圆的直径是6cm，周长是18.84cm。 【变式训练3】一个半径是4cm的半圆，周长是( )cm。 【答案】20.56 【分析】已知半圆的半径是4cm，直径为4×2＝8cm，根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，最后将圆周长的一半与直径相加即可求出半圆的周长。据此解答。 【详解】4×2＝8（cm） 3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（cm） 12.56＋8＝20.56（cm） 所以周长是20.56cm。 题型四、圆的周长的应用 【典例例题】欢欢家为了迎接新年，购置了一张崭新的圆形餐桌，寓意着团团圆圆。这张餐桌的半径是0.6米。她想给餐桌的边缘贴上一圈喜庆的装饰带，这圈装饰带至少需要多少米？（得数保留两位小数） 【答案】3.77米 【分析】给圆形餐桌边缘贴装饰带，装饰带的长度等于圆形餐桌的周长。已知圆的半径r=0.6米，根据圆的周长公式：C＝2πr，代入数值计算，最后按“四舍五入”法将结果保留两位小数。 【详解】2×3.14×0.6 ＝6.28×0.6 ＝3.768 ≈3.77（米） 答：这圈装饰带至少需要3.77米。 举一反三 【变式训练1】少年易学老难成，一寸光阴不可轻。一个时钟的分针长10分米，这根分针针尖1小时走过的路程是多少分米？ 【答案】62.8分米 【分析】根据题意可知，分针针尖1小时走过的路程是一个圆的周长，分针的长度就是这个圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr（π取3.14），代入半径，即可求出这根分针针尖1小时走过的路程。 【详解】2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（分米） 答：这根分针针尖1小时走过的路程是62.8分米。 【变式训练2】一台大型压路机的前轮半径是1.5m，如果前轮每分钟转5圈，20分钟就可以从新修道路的一端行驶到另一端。这条新修道路大约长多少米？ 【答案】942米 【分析】根据“圆的周长＝2πr（r为半径）”代入数值计算出半径为1.5米的前轮的周长；再用前轮的周长乘5计算出一分钟行驶的路程；最后用一分钟行驶的路程乘20即可。 【详解】3.14×2×1.5×5×20 ＝6.28×1.5×5×20 ＝9.42×5×20 ＝47.1×20 ＝942（米） 答：这条新修道路大约长942米。 【变式训练3】赵阿姨响应“低碳生活、绿色出行”的号召，她每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是70cm，平均每分钟转100周。赵阿姨骑自行车通过一座长659.4m的桥，需要多少分钟？ 【答案】3分钟 【分析】利用“”算出车轮转一周走过的距离，然后乘100得1分钟前进的距离，最后用桥长除以每分钟前进的距离可算得需要的时间。 【详解】70cm＝0.7m （分钟） 答：需要3分钟。 题型五、圆的面积 【典例例题】我会求下面各圆的面积。     【答案】50.24平方厘米；113.04平方厘米 【分析】根据图示，第一个圆可以直接用圆的面积公式求出圆的面积，圆的面积公式＝πr²，将数据代入公式计算出结果即可。 根据图示，第二个圆已知了直径12厘米求半径，则为12÷2＝6（厘米）然后再根据圆的面积公式求出圆的面积，圆的面积公式＝πr²，据此解答。 【详解】3.14×42＝50.24（平方厘米） 3.14×（12÷2）2 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 第一个圆的面积为50.24平方厘米，第二个圆的面积为113.04平方厘米。 举一反三 【变式训练1】一个圆的直径是12cm，半径是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 6 113.04 【分析】根据圆的半径＝圆的直径÷2，代入直径数值即可求出半径；再根据圆的面积＝πr2（r为半径），代入半径数值即可求出面积。 【详解】12÷2＝6（cm） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（cm2） 一个圆的直径是12cm，半径是6cm，面积是113.04cm2。 【变式训练2】把一根长12.56厘米的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 2 12.56 【分析】12.56厘米相当于是圆的周长，用周长除以2除以π算出半径；根据圆的面积S＝πr2算出圆的面积。 【详解】半径：12.56÷2÷3.14＝2（厘米） 面积：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 【变式训练3】求圆的周长和面积。 【答案】25.12厘米，50.24平方厘米；7.536米，4.5216平方米 【分析】根据圆的周长＝圆周率×直径＝2×圆周率×半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】3.14×8＝25.12（厘米） 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 2×3.14×1.2＝7.536（米） 3.14×1.22 ＝3.14×1.44 ＝4.5216（平方米） 第一个圆的周长是25.12厘米，面积是50.24平方厘米；第二个圆的周长是7.536米，面积是4.5216平方米。 题型六、圆的面积的应用 【典例例题】一个圆形草坪的直径是8米，这个草坪的面积是多少平方米？ 【答案】 50.24平方米 【分析】已知圆的直径，根据同一个圆中半径是直径的一半，先求出半径，再利用圆的面积公式 计算，其中取。 【详解】草坪的半径： （米） 草坪的面积： （平方米） 答：这个草坪的面积是平方米。 举一反三 【变式训练1】若每平方米草地每天能释放氧气15克，一块周长94.2米的圆形草地一天能释放氧气多少克？ 【答案】10597.5克 【分析】根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，先求出草地面积，草地面积×每平方米草地每天能释放氧气质量＝这块草地一天释放的氧气质量，据此列式解答。 【详解】3.14×（94.2÷3.14÷2）2×15 ＝3.14×152×15 ＝3.14×225×15 ＝10597.5（克） 答：一天能释放氧气10597.5克。 【变式训练2】育红村有一块圆形草皮地，李爷爷沿外围走了一圈，一共走了628步，每步约长60厘米，这块草皮地占地面积大约是多少平方米？ 【答案】11304平方米 【分析】用李爷爷的步长乘步数求出这块草皮地的周长，根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14）求出其半径，最后根据圆的面积S＝πr2，代入半径即可解答。注意单位统一。 【详解】60厘米＝0.6米 628×0.6＝376.8（米） 376.8÷（2×3.14） ＝376.8÷6.28 ＝60（米） 3.14×602 ＝3.14×3600 ＝11304（平方米） 答：这块草皮地的占地面积大约是11304平方米。 【变式训练3】有4块半径为2米的圆形铁片，给它们的两面都涂上油漆。如果每平方米用油漆0.4千克至少需要多少千克油漆？ 【答案】40.192千克 【分析】已知半径2米，根据圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14），算出单个圆形铁片一面的面积；结合两面都涂上油漆，将单个铁片一面的面积乘2，得到单个铁片的涂漆总面积；再用单个铁片的涂漆面积乘铁片的数量4，算出4块铁片总共需要涂漆的面积；最后根据每平方米用油漆0.4千克的标准，用总涂漆面积乘每平方米的用漆量，就能得出至少需要准备的油漆质量。据此解答。 【详解】3.14×22×2×4×0.4 ＝3.14×4×2×4×0.4 ＝12.56×2×4×0.4 ＝25.12×4×0.4 ＝100.48×0.4 ＝40.192（千克） 答：如果每平方米用油漆0.4千克至少需要40.192千克油漆。 题型七、圆环的面积 【典例例题】公园里有一个圆形的花圃，直径是10米，在花圃的周围修一条2米宽的石子路，这条石子路的面积是多少平方米？ 【答案】75.36平方米 【分析】石子路的形状是一个圆环，其面积等于外圆面积减去内圆面积。根据题意，已知内圆（花圃）的直径和路宽，首先求出内圆半径，再加上路宽得到外圆半径。最后利用圆环面积公式进行计算。 【详解】内圆半径：（米） 外圆半径：（米） 石子路面积： ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 （平方米） 答：这条石子路的面积是75.36平方米。 举一反三 【变式训练1】计算下面涂色部分的面积。 【答案】15.7 【分析】由图可知，涂色部分是一个圆环，内圆的半径是2cm，外圆的半径是2＋1＝3（cm），根据圆环的面积＝（－），代入数据计算即可。 【详解】2＋1＝3（cm） 3.14×（－） ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（） 【变式训练2】安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 【答案】0.628平方米 【分析】求红色油漆的面积，就是求圆环的面积；根据半径＝直径÷2，据此求出指示牌的半径；再用指示牌的半径－油漆圈的宽度，求出小圆的半径，即不刷红色油漆的面积，根据圆环面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答，注意单位换算。 【详解】120÷2＝60（厘米） 60－20＝40（厘米） 3.14×（602－402） ＝3.14×（3600－1600） ＝3.14×2000 ＝6280（平方厘米） 6280平方厘米＝0.628平方米 答：红色油漆的面积是0.628平方米。 【变式训练3】公园里有一种供游人休息的凳子，形状如图，这种凳子座面的面积是多少平方米？ 【答案】9.42平方米 【分析】圆的半径＝直径÷2，圆的面积＝πr2，用大圆的面积－小圆的面积，即可求得这种凳子座面的面积是多少平方米。 【详解】4÷2＝2（米） 2÷2＝1（米） 3.14×22－3.14×12 ＝3.14×4－3.14×1 ＝12.56－3.14 ＝9.42（平方米） 答：这种凳子座面的面积是9.42平方米。 题型八、含圆的组合图形的周长和面积 【典例例题】一个运动场，两端是半圆，中间是长方形。 （1）这个运动场的占地面积是多少平方米？ （2）如果绕着这个运动场跑3圈，要跑多少米？ 【答案】（1）2851.84平方米 （2）685.44米 【分析】（1）观察图形，运动场两端是两个完全一样的半圆，合起来是一个圆。这个运动场的占地面积＝圆的面积＋长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 （2）这个运动场的周长＝圆的周长＋2条直跑道的长度，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求出这个运动场的周长，再乘3，即是绕着这个运动场跑3圈的米数。 【详解】（1）3.14×（32÷2）2＋64×32 ＝3.14×162＋2048 ＝3.14×256＋2048 ＝803.84＋2048 ＝2851.84（平方米） 答：这个运动场的占地面积是2851.84平方米。 （2）3.14×32＋64×2 ＝100.48＋128 ＝228.48（米） 228.48×3＝685.44（米） 答：绕着这个运动场跑3圈，要跑685.44米。 举一反三 【变式训练1】计算下面图形中阴影部分的周长。 【答案】 20.56分米 【分析】周长＝正方形两条边长＋整圆周长；根据圆周长公式C＝πd计算。 【详解】4×2＋3.14×4 ＝8＋12.56 ＝20.56（dm） 【变式训练2】求如图阴影部分的面积。 【答案】78 【分析】阴影部分的面积＝梯形面积－半圆面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2。 【详解】 （） 【变式训练3】施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 【答案】10.28平方厘米 【分析】这个四叶花瓣状装饰图由4个以正方形边长为直径的半圆和中间的正方形组成，先用正方形的边长除以2求出半圆的半径，再把4个半圆转化为2个完整的圆，根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出它们的面积，再根据正方形面积＝边长×边长，求出中间正方形的面积，最后将2个圆的面积与正方形的面积相加，即可求出这个装饰图的总面积。 【详解】3.14×（2÷2）2×2＋2×2 ＝3.14×12×2＋2×2 ＝3.14×1×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（平方厘米） 答：这个装饰图的面积是10.28平方厘米。 题型九、方中圆和圆中方的面积问题 【典例例题】如图，一个大正方形内接一个圆，圆内又接一个正方形。圆的面积是628平方厘米，那么小正方形的面积是( )平方厘米，大正方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 400 800 【分析】因为已知圆的面积，所以可根据圆的面积公式求出半径的平方。 因为大正方形的边长等于圆的直径，所以可以用推导大正方形的面积。 因为小正方形的对角线长等于圆的直径，所以可以用对角线与正方形面积的关系，结合推导小正方形的面积。 【详解】已知圆面积，所以 算大正方形面积：大正方形内接圆，大正方形的边长等于圆的直径。 大正方形面积边长边长（平方厘米）。 算小正方形面积： 圆内接小正方形，小正方形的对角线长度等于圆的直径。把小正方形沿对角线分成2个相同的三角形，每个三角形底是，高是，小正方形面积为： （平方厘米）。 举一反三 【变式训练1】如图所示，在周长为25.12cm的圆外画一个最小的正方形这个圆的半径是( )cm，正方形的面积是( )cm2。 【答案】 4 64 【分析】根据d＝C÷π，求出圆的直径， 直径再除以2就得到半径，圆内直径等于正方形的边长，正方形的面积＝边长×边长，据此解答。 【详解】25.12÷3.14＝8（cm） 8÷2＝4（cm） 8×8＝64（cm2） 在周长为25.12cm的圆外画一个最小的正方形这个圆的半径是4cm，正方形的面积是64cm2。 【变式训练2】如图，如果正方形的面积是24平方厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？ 【答案】18.84平方厘米 【分析】从图中可知，圆的直径等于正方形的边长。设圆的半径为r厘米，则圆的直径是2r厘米，根据“边长×边长＝正方形的面积”，据此列出方程，并求出半径的平方即r2的值。根据圆的面积公式S＝πr2，把r2的值代入圆的面积公式，求出这个圆的面积。 【详解】解：设圆的半径为r厘米。 （2r）×（2r）＝24 4r2＝24 r2＝24÷4 r2＝6 圆的面积：3.14×6＝18.84（平方厘米） 答：圆的面积是18.84平方厘米。 【变式训练3】人民公园有一个圆形花坛，花坛半径是5米，国庆节在花坛中间部分用波斯菊摆了一个最大的正方形（如图），外围种上千日红。这个花坛中千日红所占的面积是多少平方米？ 【答案】 28.5平方米 【分析】观察图形可知正方形的对角线的长度等于圆的直径的长度，正方形的面积可由对角线平均分成两个直角三角形，三角形的高为半径，底为直径，据此求出正方形的面积，即种波斯菊的面积；用圆的面积减去正方形的面积求出种千日红的面积，将数据代入圆的面积公式及三角形的面积公式S＝ah÷2计算即可。 【详解】3.14×52－（5×2）×5÷2×2 ＝3.14×25－10×5÷2×2 ＝78.5－50 ＝28.5（平方米） 答：这个花坛中千日红所占的面积是28.5平方米。 题型十、用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例例题】求下面图形阴影部分的周长和面积。 【答案】周长是31.4厘米；面积是39.25平方厘米 【分析】计算阴影部分周长时，将其看作一个大半圆的弧长加上两个小半圆的弧长（两个小半圆可拼成一个整圆）；计算面积时，将其看作一个大半圆的面积。 用到圆的周长公式（）和面积公式。 【详解】周长：3.14×5×2÷2 ＝3.14×5 ＝15.7（厘米） 3.14×5＝15.7（厘米） 15.7＋15.7＝31.4（厘米） 面积：3.14×÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 所以图形阴影部分的周长为31.4厘米，面积为39.25平方厘米。 举一反三 【变式训练1】求图中涂色部分的周长。 【答案】62.8cm 【分析】观察图形可知，涂色部分的周长＝直径为20cm的圆周长的一半＋较大空白圆周长的一半＋较小空白圆周长的一半。设空白大圆的直径是a，小圆的直径是b，根据圆的周长公式C＝πd，可求出较大空白圆周长的一半＋较小空白圆周长的一半＝πa÷2＋πb÷2＝π（a＋b）÷2，而a＋b＝20cm，则较大空白圆周长的一半＋较小空白圆周长的一半＝直径为20cm的圆周长的一半。那么涂色部分的周长就等于直径是20cm的圆的周长。据此解答。 【详解】设空白大圆的直径是a，小圆的直径是b。 20π÷2＋πa÷2＋πb÷2 ＝10π＋π（a＋b）÷2 ＝10π＋20π÷2 ＝10π＋10π ＝20π ＝3.14×20 ＝62.8（cm） 则涂色部分的周长是62.8cm。 【变式训练2】计算下面图形中阴影部分的面积。 【答案】13.76dm2；6.28cm2 【分析】（1）观察图形可知，用正方形的面积减四个空白扇形组成的整圆的面积，即可求出阴影部分的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，代入数据解答即可。 （2）观察图形可知，阴影部分的面积是半径为2厘米圆的面积的一半，根据圆的面积＝πr2，代入数据解答即可。 【详解】（1）8×8－3.14×（8÷2）2 ＝64－3.14×42 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（dm2） （2）3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（cm2） 【变式训练3】在南城门古建筑修复过程中，工人师傅为了得到（下图阴影部分）木板图案，在直径20厘米的圆形木板上设计、裁取。仔细观察并计算出木板图案的面积是多少平方厘米？ 【答案】157平方厘米 【分析】观察图形可知，木板图案的面积等于大圆面积减去两个小圆的面积（四个小半圆可拼成两个小圆）。先根据大圆直径20厘米求出大圆半径，再求出小圆半径。根据圆的面积公式S＝πr2，先分别求出大圆的面积和两个小圆的总面积，再用大圆的面积减去两个小圆的总面积，即可求出木板图案的面积。 【详解】3.14×（20÷2）2－3.14×（20÷2÷2）2×2 ＝3.14×102－3.14×52×2 ＝3.14×100－3.14×25×2 ＝314－78.5×2 ＝314－157 ＝157（平方厘米） 答：木板图案的面积是157平方厘米。 题型十一、扇形的周长和面积 【典例例题】已知AO＝8厘米，计算扇形的面积和周长。 【答案】面积50.24平方厘米；周长28.56厘米 【分析】由图可知，图中的扇形为直角扇形，且已知AO＝8厘米，即扇形的半径＝8厘米。解答时需明确：直角扇形的周长等于圆的周长的加上2条半径；直角扇形的面积等于圆的面积的。利用圆的周长，圆的面积计算即可。 【详解】3.14×× ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 2×3.14×8×＋8×2 ＝12.56＋16 ＝28.56（厘米） 举一反三 【变式训练1】如图，以三角形的三个顶点为圆心，作出了半径均为2厘米的扇形。请你求出三角形中阴影部分的面积。 【答案】平方厘米 【分析】三角形的内角和等于，以三角形的三个顶点为圆心，作出了半径均为2厘米的扇形，这三个扇形的圆心角的和就等于；圆的内角和为360°，三个扇形的面积占圆的一半，圆的面积＝πr2。 【详解】 （平方厘米） 【变式训练2】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】28.26平方厘米 【分析】阴影部分是圆心角为120°的扇环，是圆环的（）。已知内圆的半径是3厘米，外圆的半径是3＋3＝6厘米，根据圆环面积公式S＝π（R2－r2）求出圆环的面积，再乘即可算出阴影部分的面积。 【详解】120°÷360°＝＝ 3＋3＝6（厘米） 3.14×（62－32）× ＝3.14×（36－9）× ＝3.14×27× ＝28.26（平方厘米） 【变式训练3】求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】23.37cm 【分析】阴影部分的面积等于梯形的面积减去扇形的面积，根据；圆的面积公式 用圆心角除以周角，然后再与圆的面积相乘。把数据代入计算出阴影部分面积即可。 【详解】（5＋10）×5÷2－3.14×62× ＝15×5÷2－3.14×36× ＝37.5－3.14×4.5 ＝37.5－14.13 ＝23.37（cm） 提升练习 1．在古代，我国数学史上关于圆的研究记载着不同的说法，下面说法中，描述圆心到圆上的距离一样长的是（    ）。 A．“没有规矩不成方圆” B．“径一而周三” C．“圆一中同长也” D．“圆出于方，方出于矩” 【答案】C 【分析】题干中“圆心到圆上的距离一样长”指的是圆的半径长度都相等，逐项分析即可。 【详解】A．“没有规矩不成方圆”是指画圆需要圆规，画方需要直尺，强调做事需要遵循规则，没有描述圆的半径特征，此选项错误； B．“径一而周三”是指圆的周长大约是直径的倍，反映的是圆周率的早期认识，此选项错误； C．“圆一中同长也”出自《墨经》，“一中”表示有一个中心（圆心），“同长”表示从中心到周边的距离相等（半径相等），符合题意，此选项正确； D．“圆出于方，方出于矩”是指圆可以从正方形切割而来，正方形可以用矩尺画出来，描述的是图形的形成，此选项错误。 2．丽丽把圆规的两脚张开5厘米画一个圆，她画的圆的周长是（    ）厘米。 A．10 B．15.7 C．31.4 D．50.24 【答案】C 【分析】画圆时，圆规两脚张开的距离等于圆的半径。已知半径长度，直接代入圆的周长公式，进行计算即可得出结果。 【详解】 （厘米） 她画的圆的周长是厘米。 3．在长4cm、宽3cm的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（    ）。 A．7.71cm B．10.28cm C．12.56cm D．15.42cm 【答案】B 【分析】要在长方形内画一个最大的半圆，需确定半圆的直径。通常考虑以长方形的长或宽作为直径。若以长为直径，半径为，需验证半径是否小于等于宽。确定直径后，根据半圆周长公式“圆周长的一半加直径”进行计算。 【详解】首先确定最大半圆的直径。 长方形的长为，宽为。 若以长方形的长为半圆的直径，则直径，半径。 因为，即半径小于宽，所以该半圆可以画在长方形内。 若以宽为直径，直径为，半圆较小，不符合“最大”的要求。 所以，最大半圆的直径为。 根据半圆的周长公式列式计算： （cm） 这个半圆的周长是。 4．比较下面四幅图中的涂色部分，正确的说法是（    ）。 A．周长相等，面积不等 B．周长不等，面积相等 C．周长面积都相等 D．周长面积都不相等 【答案】B 【分析】计算周长时，要明确各图涂色部分周长的组成；计算面积时，可通过正方形面积减去空白部分面积来计算；圆的周长计算公式为，正方形的周长计算公式为边长×4，；据此解答即可。 【详解】4个选项中空白部分都能通过拼接的方式拼成一个直径为8的圆，而涂色部分的面积＝正方形面积－空白部分面积（都是一个直径为8的圆），所以4个选项中涂色部分面积相等； 第一幅图中涂色部分的周长实际上为1个圆的周长加上1个正方形的周长的和，即3.14×8＋8×4＝25.12＋32＝57.12； 第二幅图中涂色部分的周长实际上为1个圆的周长加上2条边长的和，即3.14×8＋8×2＝25.12＋16＝41.12； 第三幅图中涂色部分的周长实际上为1个圆的周长，即3.14×8＝25.12； 第四幅图中涂色部分的周长实际上为1个圆的周长加上4条边长的和，即3.14×8＋8×4＝25.12＋32＝57.12； 25.12＜41.12＜57.12，所以涂色部分的周长不等； 因此，四幅图中的涂色部分周长不等，面积相等。 5．用8个圆心角为的扇形拼成一个圆，这些扇形的( )必须相等。 【答案】半径 【分析】一个圆的圆心角是360°，8个圆心角为45°的扇形，圆心角之和刚好是360°，但要拼成一个完整的圆，还需要这些扇形的半径相等，这样它们才能匹配，拼成一个圆。 【详解】用8个圆心角为的扇形拼成一个圆，这些扇形的半径必须相等。 6．如图，把一个圆沿半径平均分成若干份后，拼成一个近似的长方形，近似的长方形的周长比圆的周长增加了10cm，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。（π取3.14） 【答案】 31.4 78.5 【分析】把圆拼成近似长方形后，周长增加的部分是两条半径的长度。增加的长度为10cm，所以圆的半径为10÷2＝5（cm），根据圆的周长公式C＝2πr即可求出圆的周长，根据圆的面积公式即可求出圆的面积。据此解答。 【详解】10÷2＝5（cm） 2×3.14×5 ＝6.28×5 ＝31.4（cm） 3.14×52＝3.14×25＝78.5（cm2） 因此，这个圆的周长是31.4cm，面积是78.5cm2。 【点睛】圆拼成近似长方形后，周长增加的部分就是两条圆的半径，因此增加的长度除以2即可直接得到圆的半径。 7．学校为毕业生制作纪念徽章，徽章的底面是一个半径为2厘米的圆形，这个徽章底面的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】 12.56 12.56 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝，将r＝2厘米，π取3.14代入公式可得徽章底面的周长和徽章底面的面积。 【详解】徽章底面的周长：2×3.14×2＝12.56（厘米） 徽章底面的面积：3.14×22＝12.56（平方厘米） 8．一个钟表的分针长10厘米，经过半小时，分针的尖端走过了( )厘米。时针长6厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 31.4 226.08 【分析】分针长度是圆的半径，半小时分针转动半圈，尖端走过的长度是圆周长的一半，先用圆周长公式算出整圈长度后再除以2即可；一昼夜是24小时，钟表时针12小时转完整一圈，24小时转动2圈；时针长度是圆的半径，先利用圆的面积公式算出一圈圆的面积，再乘2得到总扫过面积。 【详解】2×3.14×10÷2 ＝3.14×10×（2÷2） ＝3.14×10 ＝31.4（厘米） 3.14×62×2 ＝3.14×36×2 ＝113.04×2 ＝226.08（平方厘米） 9．宋代词人黄裳的《游灵芝僧房》中“千顷烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”描述了雨点打在水面上荡开层层波纹的景象。已知水池池面是长5米，宽4米的长方形，当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是( )米，面积是( )平方米。（π取3.14） 【答案】 12.56 12.56 【分析】长方形内最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，根据圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】3.14×4＝12.56（米） 3.14× ＝3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是12.56米，面积是12.56平方米。 10．果果家的客厅里挂了一幅正方形的十字绣作品，如图，圆形绣花部分的直径是2m，绣花部分以外的面积是( )。 【答案】0.86 【分析】正方形的边长等于圆的直径2m，先根据正方形面积＝边长×边长，求出正方形的面积，接着用直径除以2求出半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出圆的面积；最后用正方形面积减去圆的面积，即可求出绣花部分以外的面积。 【详解】2×2－3.14×（2÷2）2 ＝4－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（m2） 11．画一个半径为1.5厘米的圆，完成后在圆内标出圆心和半径，用字母和表示；以这个圆的圆心为顶点，在这个圆内画一个圆心角为60°的扇形，并把扇形涂上颜色或线条。 【答案】 【分析】画一条长1.5厘米的线段，以这条线段的一个端点为圆心，以圆规的另一个脚到线段另一个端点的长为半径画圆，在圆内标出圆心和半径，用字母和表示；并在圆中画一个圆心角为60°的扇形，画一个半径，然后圆规的0刻度线和这个半径重合，量出60°角，并画出另一个半径，据此即可画出扇形，并在扇形涂上颜色或线条即可。 【详解】画图并标记，如图所示： 12．计算下面图形的周长。 【答案】18.28m 【分析】观察图形可知，图形的周长等于3个4m的长加上直径是4m的圆周长的一半，根据圆的周长＝×直径求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，再加上3个4m即可解答。 【详解】3.14×4÷2＋4×3 ＝12.56÷2＋12 ＝6.28＋12 ＝18.28（m） 图形的周长是18.28m。 13．如图，两个半圆的直径都是4cm，求图中阴影部分的面积。（圆周率取3.14） 【答案】4.56cm2 【分析】经过旋转，将两个半圆拼成一个整圆，则阴影部分的面积等于两个半圆的面积之和（即一个整圆的面积）减去大直角三角形的面积（两个小直角三角形的面积和）。大直角三角形的底和高等于圆的直径。根据圆的面积公式S＝πr2，三角形面积公式S＝底×高÷2，列式计算解。 【详解】3.14×（4÷2）2－4×4÷2 ＝3.14×22－4×4÷2 ＝3.14×4－4×4÷2 ＝12.56－16÷2 ＝12.56－8 ＝4.56（cm2） 14．求阴影部分的周长和面积。 【答案】37.68cm；50.24 【分析】观察图形，阴影部分的周长是以8cm为半径的大圆的周长的和以8cm为直径的小圆的周长。利用割补法，阴影部分的面积是以8cm为半径的大圆面积的，根据圆的周长公式：和圆的面积公式:,即可求得。 【详解】大圆的周长： （cm） 小圆的周长：（cm） 阴影部分的周长： （cm） 大圆的面积： （） 阴影部分的面积：（） 15．李师傅为一个周长是94.2米的圆形草坪安装自动旋转喷灌装置，你认为安装射程多少米的型号比较合适？应该装在什么地方？ 【答案】15米；圆心 【分析】已知圆形草坪的周长是94.2米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径，也就是自动旋转喷灌装置的射程； 根据“在同一个圆内，所有的半径都相等”得出自动旋转喷灌装置应该装在圆心的位置。 【详解】94.2÷3.14÷2 ＝30÷2 ＝15（米） 答：安装射程15米的型号比较合适，应该装在圆心处。 16．一个圆形茶杯盖的周长是25.12厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24 平方厘米 【分析】根据圆的周长＝，用圆形茶杯盖的周长除以2，再除以3.14即可求出它的半径，再根据圆的面积＝即可求出这个圆形茶杯盖的面积。 【详解】25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米） 答：它的面积是 50.24 平方厘米。 17．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是40厘米，要骑过75.36米长的钢丝，车轮要转动多少圈？（π取3.14） 【答案】60圈 【分析】根据圆的周长＝π×直径，据此求出车轮的周长，再用钢丝的长度÷车轮的周长，即可解答，注意单位换算。 【详解】40厘米＝0.4米 75.36÷（3.14×0.4） ＝75.36÷1.256 ＝60（圈） 答：车轮要转动60圈。 18．一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 【答案】(1)15.7米 (2)17.27平方米 【分析】（1）栅栏的长度等于圆周长的一半；根据圆的周长C＝2πr算出圆的周长，再除以2即可。 （2）扩建后羊圈的半径是6米，根据圆的面积S＝πr2，算出扩建后羊圈面积的一半与原来羊圈面积的一半，求出它们的差即可。 【详解】（1）2×3.14×5÷2＝15.7（米） 答：修这个羊圈需要15.7米的栅栏。 （2）5＋1＝6（米） 3.14×62÷2－3.14×52÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×25÷2 ＝56.52－39.25 ＝17.27（平方米） 答：羊圈的面积增加了17.27平方米。 19．古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美，现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 【答案】0.5平方米 【分析】外圆内方中间的正方形对角线长度等于外圆的直径，正方形可以看成两个以对角线为底、半径为高的三角形。已知圆的周长，根据圆的周长公式，求出圆的直径与半径，再根据，求出一个三角形面积，三角形面积乘2即为正方形面积。 【详解】3.14÷3.14＝1（米） 1÷2＝0.5（米） 1×0.5÷2×2 ＝0.5÷2×2 ＝0.25×2 ＝0.5（平方米） 答：需要糊纸部分的面积为0.5平方米。 20．如下图，草地上建有边长为6米的正方体建筑物，牛绳拴在建筑物的一个角上，牛绳长为12米。这头牛能吃到草的最大面积是多少？（两头拴绳处的长度忽略不计） 【答案】395.64平方米 【分析】分析题目，这头牛能吃到草的最大面积等于以12米为半径的圆的面积的，再加上2个半径是（12－6）米的圆面积的，圆的面积＝πr2，据此列式计算。 【详解】3.14×122×＋3.14×（12－6）2××2 ＝3.14×144×＋3.14×62××2 ＝452.16×＋3.14×36××2 ＝339.12＋113.04××2 ＝339.12＋28.26×2 ＝339.12＋56.52 ＝395.64（平方米） 答：这头牛能吃到草的最大面积是395.64平方米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 内容导航 考点梳理 1 考点一、圆的概念及特点 1 考点二、弧、圆心角、扇形的认识 2 考点三、圆的周长 2 考点四、圆的周长的应用 3 考点五、圆的面积 3 考点六、圆的面积的应用 4 考点七、圆环的面积 4 考点八、含圆的组合图形的周长和面积 5 考点九、方中圆和圆中方的面积问题 5 考点十、用转化法求圆的组合图形的周长与面积 6 考点十一、扇形的周长和面积 6 例题讲解 7 题型一、圆的概念及特点 7 题型二、弧、圆心角、扇形的认识 7 题型三、圆的周长 8 题型四、圆的周长的应用 8 题型五、圆的面积 9 题型六、圆的面积的应用 10 题型七、圆环的面积 11 题型八、含圆的组合图形的周长和面积 12 题型九、方中圆和圆中方的面积问题 13 题型十、用转化法求圆的组合图形的周长与面积 14 题型十一、扇形的周长和面积 15 提升练习 17 考点梳理 考点一、圆的概念及特点 1. 圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 (1) 圆心（O）：确定圆的位置。 (2) 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段。决定圆的大小。 (3) 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段。 2. 基本特征 (1) 在同一个圆（或等圆）中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 (2) 直径是半径的2倍，半径是直径的一半。 1　 公式： 或 (3) 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 (4) 注意：半径和直径是线段，不是射线或直线；对称轴是直线，不是线段。 考点二、弧、圆心角、扇形的认识 1. 基本概念 (1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。 (2) 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 (3) 扇形：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2. 扇形的大小 (1) 在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形越大。 (2) 半圆也是一个特殊的扇形，其圆心角为 。 考点三、圆的周长 1. 圆周率（ ） (1) 任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 表示。 (2) 是一个无限不循环小数，计算时通常取近似值 。 (3) 历史常识：我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后第七位的人。 2. 周长公式 (1) 已知直径求周长： (2) 已知半径求周长： 3. 重要推论 (1) 圆的周长总是直径的 倍。 (2) 若两个圆的半径比是 ，则它们的直径比、周长比也是 。 考点四、圆的周长的应用 1. 常见题型 (1) 已知周长求直径/半径： 1　 2　 (2) 滚动问题：车轮滚动一周前进的距离等于车轮的周长。 1　 前进距离 = 周长 圈数 (3) 捆扎问题：计算捆绑圆柱体所需绳子长度时，需注意“直线部分”和“曲线部分”。 1　 例如：捆绑 个并排且紧密接触的相同圆柱，绳长 = 直径 + 1个圆周长（仅适用于单排紧密排列的特例，具体需画图分析）。 2. 易错点 (1) 区分“周长”与“半圆的周长”。 (2) 计算结果若未要求保留 ，务必代入 计算，并注意单位。 考点五、圆的面积 1. 公式推导（转化思想） (1) 将圆分成若干等份（如16份、32份...），剪开后拼成一个近似的长方形。 (2) 长方形的长近似于圆周长的一半（ ）。 (3) 长方形的宽近似于圆的半径（ ）。 (4) 因为：长方形面积 = 长 宽 (5) 所以：圆的面积 = 2. 面积公式 (1) (2) 若已知直径： (3) 若已知周长：先求 ，再求 。 3. 面积比规律 (1) 若两个圆的半径比是 ，则它们的面积比是 。 考点六、圆的面积的应用 1. 已知条件求解 (1) 已知 ：直接代入 。 (2) 已知 ：先求 ，再代入公式。 (3) 已知 ：先求 ，再代入公式。 2. 实际问题 (1) 自动旋转喷灌装置：喷水范围是一个圆，射程即为半径 。 (2) 树干的横截面积：通常测量树干周长 ，求出 ，再计算面积。 3. 注意事项 (1) 计算 时，表示 ，而不是 。 (2) 面积单位是平方单位（如 ）。 考点七、圆环的面积 1. 概念 圆环是指两个同心圆（圆心相同，半径不同）之间的部分。 (1) 外圆半径： (2) 内圆半径： (3) 环宽： 2. 面积公式 (1) 基本公式： (2) 提取公因数简化公式： 3. 解题技巧 (1) 遇到 时，可利用平方差公式 进行简便计算，尤其是当 和 数值较大时。 考点八、含圆的组合图形的周长和面积 1. 组合图形的周长 (1) 定义：围成图形的所有外围线条的长度之和。 (2) 关键：内部的分割线不计入周长。 (3) 方法： 1　 分解图形，识别哪些是直线段，哪些是圆弧。 2　 圆弧长度计算：看该弧占整个圆周长的几分之几（由圆心角决定）。 3　 累加所有外围边长。 2. 组合图形的面积 (1) 方法： 1　 相加法：将不规则图形分割成几个规则图形（如半圆+三角形），分别计算后相加。 2　 相减法：用大图形的面积减去空白部分或小图形的面积（如正方形-圆）。 考点九、方中圆和圆中方的面积问题 1. 方中圆（正方形内切圆） (1) 描述：正方形里面有一个最大的圆。 (2) 关系：正方形边长 。 (3) 面积比： 1　 2　 3　 4　 剩余面积（四个角）： 2. 圆中方（圆内接正方形） (1) 描述：圆里面有一个最大的正方形。 (2) 关系：正方形对角线 = 圆的直径 。 (3) 面积计算： 1　 利用对角线求正方形面积： 2　 3　 4　 剩余面积（弓形部分）： 考点十、用转化法求圆的组合图形的周长与面积 1. 割补法（平移、旋转） (1) 原理：将图形中不规则的部分通过切割、移动、拼接，转化为规则图形。 (2) 示例：求树叶形阴影面积。通常可以看作是两个四分之一圆重叠部分，或者通过割补变成半圆减三角形等。 2. 典型模型 (1) 跑道模型：两个半圆 + 一个长方形。 (2) 花瓣模型：通常由多个半圆或扇形重叠而成，利用对称性，计算一个基本单元后乘以倍数。 考点十一、扇形的周长和面积 1. 扇形面积 (1) 公式： （ 为圆心角度数） 2. 扇形周长 (1) 定义：扇形的周长 = 弧长 + 2条半径 (2) 公式： 或 (3) 易错警示：很多学生只计算了弧长，忘记加上两条半径。扇形周长 弧长。 3. 特殊扇形 (1) 圆心角为 的扇形（四分之一圆）： 1　 面积： 2　 周长： 例题讲解 题型一、圆的概念及特点 【典例例题】圆有( )条半径；( )决定圆的位置；( )或( )决定圆的大小。 举一反三 【变式训练1】生活中常见的车轮设计成圆形，主要应用的是圆特征中的（    ）。 A．同圆中半径是直径的 B．圆心决定圆的位置 C．半径决定圆的大小 D．同圆中的半径都相等 【变式训练2】画圆时，圆规两个脚之间的距离是7cm，画出的圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 【变式训练3】画一画。 请用圆规画一个直径3厘米的圆，分别用O，r表示圆心和半径。 题型二、弧、圆心角、扇形的认识 【典例例题】扇形是由两条( )和一段( )围成的，( )的角叫做圆心角。 举一反三 【变式训练1】下面各图中，（    ）的涂色部分是扇形。 A． B． C． D． 【变式训练2】当扇形的圆心角等于( )度时，扇形就是一个半圆；当扇形的圆心角等于( )度时，扇形就是一个整圆，当圆心角等于( )度时，扇形就是圆。 【变式训练3】画一个半径为3厘米的圆，并在圆里画一个圆心角是120°的扇形。 题型三、圆的周长 【典例例题】计算圆的周长。 举一反三 【变式训练1】计算下面各圆的周长。 r＝6m         d＝4.5dm 【变式训练2】用圆规画圆，圆规两脚间的距离是，这个圆的直径是( )，周长是( )。 【变式训练3】一个半径是4cm的半圆，周长是( )cm。 题型四、圆的周长的应用 【典例例题】欢欢家为了迎接新年，购置了一张崭新的圆形餐桌，寓意着团团圆圆。这张餐桌的半径是0.6米。她想给餐桌的边缘贴上一圈喜庆的装饰带，这圈装饰带至少需要多少米？（得数保留两位小数） 举一反三 【变式训练1】少年易学老难成，一寸光阴不可轻。一个时钟的分针长10分米，这根分针针尖1小时走过的路程是多少分米？ 【变式训练2】一台大型压路机的前轮半径是1.5m，如果前轮每分钟转5圈，20分钟就可以从新修道路的一端行驶到另一端。这条新修道路大约长多少米？ 【变式训练3】赵阿姨响应“低碳生活、绿色出行”的号召，她每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是70cm，平均每分钟转100周。赵阿姨骑自行车通过一座长659.4m的桥，需要多少分钟？ 题型五、圆的面积 【典例例题】我会求下面各圆的面积。     举一反三 【变式训练1】一个圆的直径是12cm，半径是( )cm，面积是( )cm2。 【变式训练2】把一根长12.56厘米的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【变式训练3】求圆的周长和面积。 题型六、圆的面积的应用 【典例例题】一个圆形草坪的直径是8米，这个草坪的面积是多少平方米？ 举一反三 【变式训练1】若每平方米草地每天能释放氧气15克，一块周长94.2米的圆形草地一天能释放氧气多少克？ 【变式训练2】育红村有一块圆形草皮地，李爷爷沿外围走了一圈，一共走了628步，每步约长60厘米，这块草皮地占地面积大约是多少平方米？ 【变式训练3】有4块半径为2米的圆形铁片，给它们的两面都涂上油漆。如果每平方米用油漆0.4千克至少需要多少千克油漆？ 题型七、圆环的面积 【典例例题】公园里有一个圆形的花圃，直径是10米，在花圃的周围修一条2米宽的石子路，这条石子路的面积是多少平方米？ 举一反三 【变式训练1】计算下面涂色部分的面积。 【变式训练2】安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 【变式训练3】公园里有一种供游人休息的凳子，形状如图，这种凳子座面的面积是多少平方米？ 题型八、含圆的组合图形的周长和面积 【典例例题】一个运动场，两端是半圆，中间是长方形。 （1）这个运动场的占地面积是多少平方米？ （2）如果绕着这个运动场跑3圈，要跑多少米？ 举一反三 【变式训练1】计算下面图形中阴影部分的周长。 【变式训练2】求如图阴影部分的面积。 【变式训练3】施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 题型九、方中圆和圆中方的面积问题 【典例例题】如图，一个大正方形内接一个圆，圆内又接一个正方形。圆的面积是628平方厘米，那么小正方形的面积是( )平方厘米，大正方形的面积是( )平方厘米。 举一反三 【变式训练1】如图所示，在周长为25.12cm的圆外画一个最小的正方形这个圆的半径是( )cm，正方形的面积是( )cm2。 【变式训练2】如图，如果正方形的面积是24平方厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？ 【变式训练3】人民公园有一个圆形花坛，花坛半径是5米，国庆节在花坛中间部分用波斯菊摆了一个最大的正方形（如图），外围种上千日红。这个花坛中千日红所占的面积是多少平方米？ 题型十、用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例例题】求下面图形阴影部分的周长和面积。 举一反三 【变式训练1】求图中涂色部分的周长。 【变式训练2】计算下面图形中阴影部分的面积。 【变式训练3】在南城门古建筑修复过程中，工人师傅为了得到（下图阴影部分）木板图案，在直径20厘米的圆形木板上设计、裁取。仔细观察并计算出木板图案的面积是多少平方厘米？ 题型十一、扇形的周长和面积 【典例例题】已知AO＝8厘米，计算扇形的面积和周长。 举一反三 【变式训练1】如图，以三角形的三个顶点为圆心，作出了半径均为2厘米的扇形。请你求出三角形中阴影部分的面积。 【变式训练2】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【变式训练3】求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 提升练习 1．在古代，我国数学史上关于圆的研究记载着不同的说法，下面说法中，描述圆心到圆上的距离一样长的是（    ）。 A．“没有规矩不成方圆” B．“径一而周三” C．“圆一中同长也” D．“圆出于方，方出于矩” 2．丽丽把圆规的两脚张开5厘米画一个圆，她画的圆的周长是（    ）厘米。 A．10 B．15.7 C．31.4 D．50.24 3．在长4cm、宽3cm的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（    ）。 A．7.71cm B．10.28cm C．12.56cm D．15.42cm 4．比较下面四幅图中的涂色部分，正确的说法是（    ）。 A．周长相等，面积不等 B．周长不等，面积相等 C．周长面积都相等 D．周长面积都不相等 5．用8个圆心角为的扇形拼成一个圆，这些扇形的( )必须相等。 6．如图，把一个圆沿半径平均分成若干份后，拼成一个近似的长方形，近似的长方形的周长比圆的周长增加了10cm，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。（π取3.14） 7．学校为毕业生制作纪念徽章，徽章的底面是一个半径为2厘米的圆形，这个徽章底面的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 8．一个钟表的分针长10厘米，经过半小时，分针的尖端走过了( )厘米。时针长6厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是( )平方厘米。 9．宋代词人黄裳的《游灵芝僧房》中“千顷烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”描述了雨点打在水面上荡开层层波纹的景象。已知水池池面是长5米，宽4米的长方形，当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是( )米，面积是( )平方米。（π取3.14） 10．果果家的客厅里挂了一幅正方形的十字绣作品，如图，圆形绣花部分的直径是2m，绣花部分以外的面积是( )。 11．画一个半径为1.5厘米的圆，完成后在圆内标出圆心和半径，用字母和表示；以这个圆的圆心为顶点，在这个圆内画一个圆心角为60°的扇形，并把扇形涂上颜色或线条。 12．计算下面图形的周长。 13．如图，两个半圆的直径都是4cm，求图中阴影部分的面积。（圆周率取3.14） 14．求阴影部分的周长和面积。 15．李师傅为一个周长是94.2米的圆形草坪安装自动旋转喷灌装置，你认为安装射程多少米的型号比较合适？应该装在什么地方？ 16．一个圆形茶杯盖的周长是25.12厘米，它的面积是多少平方厘米？ 17．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是40厘米，要骑过75.36米长的钢丝，车轮要转动多少圈？（π取3.14） 18．一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 19．古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美，现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 20．如下图，草地上建有边长为6米的正方体建筑物，牛绳拴在建筑物的一个角上，牛绳长为12米。这头牛能吃到草的最大面积是多少？（两头拴绳处的长度忽略不计） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $