单元复习讲义：专题05 平行四边形和梯形（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学四年级上册（人教版·新教材）

该小学数学“平行四边形和梯形”单元复习讲义按“概念认知-操作技能-实际应用”递进构建知识体系，通过考点梳理（含8个核心考点）、知识框架图呈现四边形分类及关系，用步骤分解（如画垂线“重合-平移-画线-标记”）明晰操作要点，体现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“考点-例题-练习”三阶设计，例题含典例及变式训练，如“过点A画已知直线的垂线和平行线”培养空间观念，提升练习结合生活情境（如引水管最省材料）渗透应用意识，帮助不同层次学生掌握基础与拓展，为教师实施精准复习提供系统支持。

专题05 平行四边形和梯形 内容导航 考点梳理 1 考点一、平行和垂直的特征 1 考点二、画垂线和平行线 2 考点三、点到直线的距离 2 考点四、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 2 考点五、平行四边形的概念及特点 3 考点六、梯形的概念及特点 3 考点七、画平行四边形和梯形 4 考点八、四边形的分类及关系 4 例题讲解 5 题型一、平行和垂直的特征 5 题型二、画垂线和平行线 5 题型三、点到直线的距离 6 题型四、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 7 题型五、平行四边形的概念及特点 8 题型六、梯形的概念及特点 9 题型七、画平行四边形和梯形 9 题型八、四边形的分类及关系 10 提升练习 11 考点梳理 考点一、平行和垂直的特征 1. 平行 (1) 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 (2) 表示方法：直线 与直线 互相平行，记作 ，读作“ 平行于 ”。 (3) 关键点： 1　 必须强调“在同一平面内”。 2　 平行线永不相交，无论延伸多长。 2. 垂直 (1) 定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 (2) 表示方法：直线 与直线 互相垂直，记作 ，读作“ 垂直于 ”。 (3) 关键点： 1　 垂直是相交的一种特殊情况。 2　 判断垂直的依据是夹角是否为 。 考点二、画垂线和平行线 1. 画垂线的方法 (1) 工具：三角尺、直尺。 (2) 步骤（过直线上或直线外一点画已知直线的垂线）： 1　 重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2　 平移：沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知点。 3　 画线：沿另一条直角边画直线。 4　 标记：画出直角符号。 2. 画平行线的方法 (1) 工具：三角尺、直尺。 (2) 步骤（过直线外一点画已知直线的平行线）： 1　 重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2　 靠紧：用直尺靠紧三角尺的另一条直角边。 3　 平移：固定直尺，沿直尺方向平移三角尺，直到三角尺的原直角边经过已知点。 4　 画线：沿三角尺的直角边画直线。 考点三、点到直线的距离 1. 性质：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。 2. 定义：这条垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 3. 应用实例： (1) 测定跳远成绩时，测量的是落地点到起跳线的垂直距离。 (2) 修路时，从村庄到公路修一条最短的路，应修垂直于公路的路线。 4. 平行线间的距离: 两条平行线之间的垂直线段长度都相等，即平行线间的距离处处相等。 考点四、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 1. 画长方形（例如：长3厘米，宽2厘米） (1) 原理：利用相邻两边互相垂直，对边互相平行且相等的特征。 (2) 步骤： 1　 画一条长3厘米的线段作为长。 2　 分别过这条线段的两个端点，画两条垂直于该线段的2厘米长的线段作为宽。 3　 连接两条宽的另一端点。 4　 检查并标记直角符号。 2. 画正方形（例如：边长2厘米） (1) 原理：四条边都相等，四个角都是直角。 (2) 步骤： 1　 画一条长2厘米的线段。 2　 分别过两个端点画两条垂直于该线段的2厘米长的线段。 3　 连接两端点。 4　 验证四条边是否相等，四个角是否为直角。 考点五、平行四边形的概念及特点 1. 概念 (1) 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 特点（性质） (1) 边：两组对边分别平行且相等。 (2) 角：对角相等，邻角互补（和为 ）。 (3) 高与底： 1　 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。 2　 垂足所在的边叫做平行四边形的底。 3　 平行四边形有无数条高。 (4) 不稳定性：平行四边形容易变形，具有不稳定性（应用于伸缩门、升降机等等）。 考点六、梯形的概念及特点 1. 概念 (1) 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 (2) 各部分名称： 1　 上底：平行的一组对边中较短的一条（通常位置在上）。 2　 下底：平行的一组对边中较长的一条（通常位置在下）。 3　 腰：不平行的一组对边。 4　 高：从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 2. 特殊梯形 (1) 等腰梯形：两腰相等的梯形。特点：两腰相等，同一底上的两个角相等，是轴对称图形。 (2) 直角梯形：有一个角是直角的梯形。特点：有一条腰垂直于底边，这条腰的长度就是梯形的高。 3. 特点 (1) 只有一组对边平行。 (2) 梯形也有无数条高，且所有高的长度相等。 考点七、画平行四边形和梯形 1. 画平行四边形 (1) 方法一（利用方格纸）：在方格纸上选取四个点，确保对边平行且相等，连线即可。 (2) 方法二（利用几何工具）： 1　 画一条线段作为底。 2　 确定高的大小，画出对应的高。 3　 利用平移法画出对边，确保对边平行且相等。 2. 画梯形 (1) 步骤： 1　 画两条互相平行的线段，长度不等（分别为上底和下底）。 2　 连接两条线段的端点。 3　 若画直角梯形，需保证一条腰与底垂直；若画等腰梯形，需保证两腰长度相等。 考点八、四边形的分类及关系 1. 分类标准 (1) 根据对边是否平行进行分类。 2. 关系图解 3. 关键结论 (1) 正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。 (2) 平行四边形和梯形是互斥关系（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）。 (3) 所有的长方形、正方形、平行四边形、梯形都是四边形。 例题讲解 题型一、平行和垂直的特征 【典例例题】下面各组直线中，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 举一反三 【变式训练1】下图是我们日常的电线杆示意图，图中4条电线互相( )。横担与电线杆互相( )。 【变式训练2】在同一平面内，可以画( )条已知直线的平行线；过直线外一点，可以画( )条已知直线的平行线。 【变式训练3】拿一张长方形纸对折两次，再打开。如果出现两条折痕，那么这两条折痕互相( )；如果出现三条折痕，那么这三条折痕互相( )。 题型二、画垂线和平行线 【典例例题】过点A画已知直线的垂线和平行线。 举一反三 【变式训练1】过M点作AB的平行线，过N点作CD的垂线。 【变式训练2】分别过A点和B点画已知直线的垂线，再过B点画这条直线的平行线。 【变式训练3】过点A做直线a的平行线；过点A做直线b的垂线。 题型三、点到直线的距离 【典例例题】小明家刚建了新房子，要把自来水管引到自己家，怎样做最节省材料？在图上画一画。 举一反三 【变式训练1】沙包投掷练习时，同学们站在起掷线投掷，沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。下面是四名同学投掷沙包情况的示意图，（    ）的成绩最好。 A．红红 B．亮亮 C．方方 D．田田 【变式训练2】如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 B．垂线段最短。 C．两点之间，线段最短。 D．两点确定一条直线。 【变式训练3】工人要从自来水主水管接一条分水管到李新家里，怎样规划最节省水管？请画图表示。并说出理由。 理由：________________________________________。 题型四、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例例题】画一个长是3厘米、宽是2厘米的长方形。 举一反三 【变式训练1】下图是一个长方形的两条边，请把这个长方形画完整。 【变式训练2】画出一个边长是2厘米的正方形。 【变式训练3】（1）画一个长6厘米、宽4厘米的长方形。 （2）画一个边长5厘米的正方形。 题型五、平行四边形的概念及特点 【典例例题】一个平行四边形的周长为50cm，其中一条边长是13cm，与这条边相邻的一条边长是( )cm。 举一反三 【变式训练1】将一张平行四边形纸剪一刀，使剪下的两部分都是梯形。下面四种剪法中，正确的是（    ）。 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【变式训练2】用四根这样的小棒可以围成( )个不同的平行四边形。围成的形状不能确定，说明平行四边形具有( )的特点。 【变式训练3】用5厘米和8厘米的木棒各两根围成一个长方形，周长是( )厘米；如果围成一个平行四边形，周长是( )厘米。 题型六、梯形的概念及特点 【典例例题】一个梯形的下底是上底的3倍，如果将这个梯形的下底缩短8厘米，就变成了一个平行四边形。这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 举一反三 【变式训练1】第一小组的同学，借助一张长方形纸片和一张三角形纸片交叉摆放，利用重叠部分创造梯形，下面的四种摆法中，不符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】在梯形ABCD中（如图），线段AB与线段( )互相垂直，线段AB与线段( )互相平行。 【变式训练3】春节要到了，幸福社区的工作人员正在装扮社区。李师傅用32米长的彩带正好把一个上底是6米、下底是10米的等腰梯形广告牌围了一圈。这个等腰梯形广告牌一条腰的长度是( )米。 题型七、画平行四边形和梯形 【典例例题】下面方格纸中，每个小方格边长是1厘米。 （1）画一个底5厘米，高3厘米的平行四边形。 （2）画一个上底2厘米，下底4厘米，高3厘米的梯形。 举一反三 【变式训练1】在下面的方格里（每个最小的正方形的边长是1厘米），画出一个上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米的梯形。 【变式训练2】在方格纸上按要求画出下面的图形。（每个小方格的边长是1厘米） （1）底是3厘米，高是2厘米的平行四边形。 （2）上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米的等腰梯形。 【变式训练3】利用下面的方格图画一画。（每个小正方形的边长表示1厘米） （1）画一个上底是4厘米，下底是6厘米，高是3厘米的等腰梯形。 （2）在这个等腰梯形中画一条线段，将其分成一个平行四边形与一个三角形。 题型八、四边形的分类及关系 【典例例题】我们可以用图示来表示四边形之间的关系，下面图示正确的是（    ）。 A． B． C． D． 举一反三 【变式训练1】下列图形中，一定是梯形的是（    ）。 A．两组对边都平行的四边形 B．两组对边都不平行的四边形 C．只有一组对边平行的四边形 D．对角相等的四边形 【变式训练2】长方形和正方形的关系可以用图1来表示，除此之外（    ）也可以用这样的图（图2）表示关系。 A．a表示平行四边形，b表示四边形 B．a表示平行四边形，b表示长方形 C．a表示平行四边形，b表示梯形 D．a表示等腰梯形，b表示直角梯形 【变式训练3】用8根小棒交叉摆放（如下图），其中a与b互相平行，c与d互相平行，涂色部分是四个四边形，( )号（填序号）是平行四边形。( )号（填序号）是梯形。 提升练习 1．利用直角三角板作直线MN的垂线，下列作图方法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．已知直线a、b、c在同一平面内，如果a//b，b//c，那么a与c的位置关系是（    ）。 A．互相平行 B．相交但不垂直 C．互相垂直 D．无法确定 3．下列各图中，（    ）既有互相平行的线段，又有互相垂直的线段。 A． B． C． D． 4．下面是4个同学对画同一平面内两直线位置关系的分类情况，你认为合理的是（    ）。 A． B． C． D． 5．a、b、c、d是同一平面内的4条直线（如图），关于它们的位置关系，下面说法正确的有（    ）个。 ①a⊥b    ②b⊥c    ③a∥c    ④如果d⊥a，那么d∥b A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在四边形ABCD中，，BC长4厘米，AD长6厘米，如果点D沿DA所在直线慢慢往左平移，与A点相距1厘米时停止运动，这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→梯形→三角形 B．梯形→长方形→平行四边形 C．梯形→平行四边形→梯形 D．梯形→平行四边形→长方形→梯形 7．一条直线的垂线有( )条；过直线外一点画已知直线的垂线，能画( )条。 8．在同一平面内，画一条直线的平行线，可以画( )条；过直线外一点，能画( )条直线与已知直线平行。有两条直线和同一条直线平行，则这两条直线( )。 9．一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是10厘米，腰是8厘米，则这个等腰梯形的周长是( )厘米。 10．黑板的上下两条边互相( )，长方形的长和宽互相( )。 11．团团、圆圆、乐乐三位同学在玩“抢板凳”游戏，( )离椅子的距离最近。 12．下图中，有( )组平行线，( )组垂线。 13．数一数下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 14． 用画垂线的方法，把下面的图形画成一个长方形或正方形。 15．用圆规和直尺，画一个长8厘米，宽5厘米的长方形。（留下作图痕迹） 16．乐乐在泳池中游泳，他想上岸休息，怎样游最省体力，最近？在图中画出路线。 17．路线中的智慧。 周末，乐乐从家先到爷爷家，然后和爷爷一起去小河边钓鱼，乐乐怎样走最近？请你在下图中画出最短路线。 18．过角内一点P分别作角的一边的平行线和垂线。 19．一个等腰梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，它的周长是16厘米，那么等腰梯形的一条腰长是多少厘米？ 20．一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度分别是16分米与90厘米。现在要在广告牌的四周装上灯带，灯带长多少分米？ 21．老旧小区改造工程正在进行中。 （1）A、B两个小区需要从水管管道分别接一条水管到各自的小区，怎样接最省材料？请你画一画并说明理由。 （2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是（     ）。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行四边形和梯形 内容导航 考点梳理 1 考点一、平行和垂直的特征 1 考点二、画垂线和平行线 2 考点三、点到直线的距离 2 考点四、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 2 考点五、平行四边形的概念及特点 3 考点六、梯形的概念及特点 3 考点七、画平行四边形和梯形 4 考点八、四边形的分类及关系 4 例题讲解 5 题型一、平行和垂直的特征 5 题型二、画垂线和平行线 6 题型三、点到直线的距离 9 题型四、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 11 题型五、平行四边形的概念及特点 13 题型六、梯形的概念及特点 15 题型七、画平行四边形和梯形 17 题型八、四边形的分类及关系 20 提升练习 22 考点梳理 考点一、平行和垂直的特征 1. 平行 (1) 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 (2) 表示方法：直线 与直线 互相平行，记作 ，读作“ 平行于 ”。 (3) 关键点： 1　 必须强调“在同一平面内”。 2　 平行线永不相交，无论延伸多长。 2. 垂直 (1) 定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 (2) 表示方法：直线 与直线 互相垂直，记作 ，读作“ 垂直于 ”。 (3) 关键点： 1　 垂直是相交的一种特殊情况。 2　 判断垂直的依据是夹角是否为 。 考点二、画垂线和平行线 1. 画垂线的方法 (1) 工具：三角尺、直尺。 (2) 步骤（过直线上或直线外一点画已知直线的垂线）： 1　 重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2　 平移：沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知点。 3　 画线：沿另一条直角边画直线。 4　 标记：画出直角符号。 2. 画平行线的方法 (1) 工具：三角尺、直尺。 (2) 步骤（过直线外一点画已知直线的平行线）： 1　 重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2　 靠紧：用直尺靠紧三角尺的另一条直角边。 3　 平移：固定直尺，沿直尺方向平移三角尺，直到三角尺的原直角边经过已知点。 4　 画线：沿三角尺的直角边画直线。 考点三、点到直线的距离 1. 性质：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。 2. 定义：这条垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 3. 应用实例： (1) 测定跳远成绩时，测量的是落地点到起跳线的垂直距离。 (2) 修路时，从村庄到公路修一条最短的路，应修垂直于公路的路线。 4. 平行线间的距离: 两条平行线之间的垂直线段长度都相等，即平行线间的距离处处相等。 考点四、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 1. 画长方形（例如：长3厘米，宽2厘米） (1) 原理：利用相邻两边互相垂直，对边互相平行且相等的特征。 (2) 步骤： 1　 画一条长3厘米的线段作为长。 2　 分别过这条线段的两个端点，画两条垂直于该线段的2厘米长的线段作为宽。 3　 连接两条宽的另一端点。 4　 检查并标记直角符号。 2. 画正方形（例如：边长2厘米） (1) 原理：四条边都相等，四个角都是直角。 (2) 步骤： 1　 画一条长2厘米的线段。 2　 分别过两个端点画两条垂直于该线段的2厘米长的线段。 3　 连接两端点。 4　 验证四条边是否相等，四个角是否为直角。 考点五、平行四边形的概念及特点 1. 概念 (1) 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 特点（性质） (1) 边：两组对边分别平行且相等。 (2) 角：对角相等，邻角互补（和为 ）。 (3) 高与底： 1　 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。 2　 垂足所在的边叫做平行四边形的底。 3　 平行四边形有无数条高。 (4) 不稳定性：平行四边形容易变形，具有不稳定性（应用于伸缩门、升降机等等）。 考点六、梯形的概念及特点 1. 概念 (1) 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 (2) 各部分名称： 1　 上底：平行的一组对边中较短的一条（通常位置在上）。 2　 下底：平行的一组对边中较长的一条（通常位置在下）。 3　 腰：不平行的一组对边。 4　 高：从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 2. 特殊梯形 (1) 等腰梯形：两腰相等的梯形。特点：两腰相等，同一底上的两个角相等，是轴对称图形。 (2) 直角梯形：有一个角是直角的梯形。特点：有一条腰垂直于底边，这条腰的长度就是梯形的高。 3. 特点 (1) 只有一组对边平行。 (2) 梯形也有无数条高，且所有高的长度相等。 考点七、画平行四边形和梯形 1. 画平行四边形 (1) 方法一（利用方格纸）：在方格纸上选取四个点，确保对边平行且相等，连线即可。 (2) 方法二（利用几何工具）： 1　 画一条线段作为底。 2　 确定高的大小，画出对应的高。 3　 利用平移法画出对边，确保对边平行且相等。 2. 画梯形 (1) 步骤： 1　 画两条互相平行的线段，长度不等（分别为上底和下底）。 2　 连接两条线段的端点。 3　 若画直角梯形，需保证一条腰与底垂直；若画等腰梯形，需保证两腰长度相等。 考点八、四边形的分类及关系 1. 分类标准 (1) 根据对边是否平行进行分类。 2. 关系图解 3. 关键结论 (1) 正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。 (2) 平行四边形和梯形是互斥关系（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）。 (3) 所有的长方形、正方形、平行四边形、梯形都是四边形。 例题讲解 题型一、平行和垂直的特征 【典例例题】下面各组直线中，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 【答案】 ②③⑧ ①⑦ 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行； 在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 【详解】根据分析可知，图中各组直线中，互相平行的是（②③⑧），互相垂直的是（①⑦）。 举一反三 【变式训练1】下图是我们日常的电线杆示意图，图中4条电线互相( )。横担与电线杆互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】根据平行线的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。从图中可以看出，四条电线在同一平面内彼此没有交点，故它们互相平行；横担与电线杆的方向成直角，故互相垂直。据此解答即可。 【详解】根据分析可知： 下图是我们日常的电线杆示意图，图中4条电线互相平行。横担与电线杆互相垂直。 【变式训练2】在同一平面内，可以画( )条已知直线的平行线；过直线外一点，可以画( )条已知直线的平行线。 【答案】 无数 1 【分析】在同一平面内，一条已知直线有无数条直线与它平行，因为平行线可以在这条直线的两侧任意位置画，只要保持方向相同且不相交即可。 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。因此只能画1条。 【详解】在同一平面内，可以画无数条已知直线的平行线；过直线外一点，可以画1条已知直线的平行线。 【变式训练3】拿一张长方形纸对折两次，再打开。如果出现两条折痕，那么这两条折痕互相( )；如果出现三条折痕，那么这三条折痕互相( )。 【答案】 垂直 平行 【分析】如果两次对折方向不同（比如一次横向折、一次纵向折），打开后会得到2条折痕，折痕相交成直角，因此两条折痕互相垂直。如果两次对折方向相同（比如两次都沿横向对折），打开后会得到3条折痕，所有折痕方向一致、永不相交，因此三条折痕互相平行。 【详解】拿一张长方形纸对折两次，再打开。如果出现两条折痕，那么这两条折痕互相垂直；如果出现三条折痕，那么这三条折痕互相平行。 题型二、画垂线和平行线 【典例例题】过点A画已知直线的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】过直线上或直线外一点作垂线的步骤： 1．把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2．沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 3．沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 过直线外一点，画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成。 1．把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2．用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。 3．平移后，使直线外的点在三角尺的一条直角边（刚才与已知直线重合的那一条直角边）上，沿直角边画出另一条直线。这条直线就是已知直线的平行线。 【详解】画图如下： 举一反三 【变式训练1】过M点作AB的平行线，过N点作CD的垂线。 【答案】 【分析】先把三角尺的一条直角边与AB重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使点M在三角尺的直角边上，然后沿直角边经M点画出另一条直线即可； 先把三角尺的一条直角边与CD重合，沿着CD移动三角尺，使点N在三角尺的另一条直角边上，再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是CD的垂线。 据此作图即可。 【详解】画图略 【变式训练2】分别过A点和B点画已知直线的垂线，再过B点画这条直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点（B点）重合，过A点（B点）沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可画出垂线。 （2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边画直线即可画出平行线。 【详解】由分析得： 【变式训练3】过点A做直线a的平行线；过点A做直线b的垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）画已知直线的平行线的步骤：固定三角尺，将一条直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺使直线外的点在三角尺的直角边上；沿着这条直角边画出另一条直线。 （2）过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】 题型三、点到直线的距离 【典例例题】小明家刚建了新房子，要把自来水管引到自己家，怎样做最节省材料？在图上画一画。 【答案】见详解 【分析】根据题意，把小明家看作一个点，主水管看作一条直线。在点到直线的所有线段中，垂直的线段最短。所以过小明家向主水管画垂线即可。 画垂线时，使得三角板的一条直角边与已知直线重合，将三角板沿着直线移动，使得三角板顶点与指定的点重合，过指定点，沿三角板的另一条直角边画垂线。标上垂直标记。 【详解】如图： 举一反三 【变式训练1】沙包投掷练习时，同学们站在起掷线投掷，沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。下面是四名同学投掷沙包情况的示意图，（    ）的成绩最好。 A．红红 B．亮亮 C．方方 D．田田 【答案】A 【分析】直线外一点到直线的垂线段长度就是点到直线的距离，据此根据沙包落地点到起掷线的垂线段长度，即可判断四人的成绩。 【详解】根据图可知，红红投掷沙包的落地点到起掷线的垂线段最长，所以红红的成绩最好。 故答案为：Ａ 【变式训练2】如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 B．垂线段最短。 C．两点之间，线段最短。 D．两点确定一条直线。 【答案】B 【分析】根据“点到直线的距离，垂线段最短”进行解答即可。 【详解】小丽觉得行人沿垂直方向行走时距离最短，这一想法体现的数学依据是垂线段最短。 【变式训练3】工人要从自来水主水管接一条分水管到李新家里，怎样规划最节省水管？请画图表示。并说出理由。 理由：________________________________________。 【答案】 图见详解；理由见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要规划最节省水管，则从李新家向主水管作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】 理由： 直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段长度最短，因此这样规划最节省水管。 题型四、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例例题】画一个长是3厘米、宽是2厘米的长方形。 【答案】 【分析】长方形的两组对边互相平行且相等，4个角都是直角。先画一条水平的长度为3厘米的线段，再将直角三角尺的直角顶点与这条线段左边的端点重合，一条直角边与3厘米长的线段重合，沿着另一条直角边画线段，使得这条线段的长度是2厘米，再依据同样的方法，画出长方形的另外两条边。 【详解】画图略； 举一反三 【变式训练1】下图是一个长方形的两条边，请把这个长方形画完整。 【答案】见详解 【分析】长方形的对边互相平行且相等，因此分别过长方形两条边的顶点作与它相邻边的平行线，这两条平行线相交成直角，所组成的图形即为长方形，依此画图。 【详解】画图如下： 【变式训练2】画出一个边长是2厘米的正方形。 【答案】见详解 【分析】以一点为端点，先画两条长度都为2厘米，且互相垂直的线段，以一条线段的另一端点作另一条线段的平行线段，长度为2厘米，再把两条平行线段的另外两个端点用线段连接起来，即可得到一个边长为2厘米的正方形。 【详解】 【变式训练3】（1）画一个长6厘米、宽4厘米的长方形。 （2）画一个边长5厘米的正方形。 【答案】见详解 【分析】长方形有4条边，对边相等，4个角都是直角。正方形有4条边，4条边长度都相等，4个角都是直角。利用直尺来画线段，用直尺的直角边缘来辅助画垂直线，确保画出的角是直角。 【详解】（1）作图步骤：用直尺画一条水平线段，量出长度为6厘米。 在这条线段的左端点，向上画一条垂直线段，长度为4厘米；同样，在右端点也向上画一条垂直线段，长度为4厘米。连接上面两条垂直线段的顶端，画一条水平线段。这条线段的长度应该也是6厘米。此时得到的图形就是长6厘米、宽4厘米的长方形。 （2）作图步骤： 用直尺画一条水平线段，量出长度为 5厘米；在这条线段的左端点，向上画一条垂直线段，长度为 5厘米；在这条线段的右端点，向上画一条垂直线段，长度为5厘米。连接上面两条垂直线段的顶端，画一条水平线段。这条线段的长度应该也是5厘米。此时得到的图形就是边长5厘米的正方形。 题型五、平行四边形的概念及特点 【典例例题】一个平行四边形的周长为50cm，其中一条边长是13cm，与这条边相邻的一条边长是( )cm。 【答案】12 【分析】根据平行四边形的对边相等，则平行四边形两邻边长度和，再乘2等于平行四边形的周长，所以周长除以2，减去13cm，等于它的邻边长度。据此解答。 【详解】50÷2－13 ＝25－13 ＝12（cm） 则一个平行四边形的周长为50cm，其中一条边长是13cm，与这条边相邻的一条边长是12cm。 举一反三 【变式训练1】将一张平行四边形纸剪一刀，使剪下的两部分都是梯形。下面四种剪法中，正确的是（    ）。 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫做梯形；将一张平行四边形纸片剪一刀为两个梯形，只要是连接一组对边之间的任意一条线段，不与另外一组对边平行，不经过顶点即可。 【详解】①剪的线是连接一组对边之间的一条线段，不与另外一组对边平行，不经过顶点，剪下的两部分都是梯形； ②剪的线是连接一组对边之间的一条线段，不经过顶点，但与另外一组对边平行，剪下的两部分都不是梯形，是平行四边形； ③剪的线是连接一组对边之间的一条线段，不经过顶点，剪下的两部分都是梯形； ④剪的线是连接一组对边之间的一条线段，不经过顶点，剪下的两部分都是梯形。 将一张平行四边形纸剪一刀，使剪下的两部分都是梯形。四种剪法中，正确的是①③④。 【变式训练2】用四根这样的小棒可以围成( )个不同的平行四边形。围成的形状不能确定，说明平行四边形具有( )的特点。 【答案】 无数 不稳定性 【分析】平行四边形的对边相等，平行四边形的四条边长度固定时，夹角可以变化，形状会随之改变，不稳定性易变形。 【详解】只要改变平行四边形的内角，就能得到形状不同的平行四边形，这四根小棒可以围成无数个不同的平行四边形。 围成的形状不能确定，说明平行四边形具有不稳定性的特点。 【变式训练3】用5厘米和8厘米的木棒各两根围成一个长方形，周长是( )厘米；如果围成一个平行四边形，周长是( )厘米。 【答案】 26 26 【分析】根据题意，明确长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形对边相等，因此必须使用两根5厘米作为一组对边，两根8厘米作为另一组对边；平行四边形对边也相等，同样需要用两根5厘米和两根8厘米分别作为两组对边。因此周长与长方形相同；计算周长即可。 【详解】根据分析可知： （5＋8）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 用5厘米和8厘米的木棒各两根围成一个长方形，周长是26厘米；如果围成一个平行四边形，周长是26厘米。 题型六、梯形的概念及特点 【典例例题】一个梯形的下底是上底的3倍，如果将这个梯形的下底缩短8厘米，就变成了一个平行四边形。这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 【答案】 4 12 【分析】根据平行四边形的特征，对边相等。梯形下底缩短8厘米后变成平行四边形，说明此时下底长度等于上底长度。因此，缩短的8厘米即为原梯形下底与上底的差。因为下底是上底的3倍，所以下底比上底多（3－1）倍。上底的长度列式为8÷（3－1），计算即可。再用上底的长度乘3即可得下底的长度。 【详解】8÷（3－1） ＝8÷2 ＝4（厘米） 4×3＝12（厘米） 举一反三 【变式训练1】第一小组的同学，借助一张长方形纸片和一张三角形纸片交叉摆放，利用重叠部分创造梯形，下面的四种摆法中，不符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】有一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形，要使重叠部分是梯形，则必须有一组对边分别在长方形的对边上，另一组对边在三角形的两条边上，据此选择即可。 【详解】A．有一组对边分别在长方形的对边上，另一组对边在三角形的两条边上，重叠部分是一个梯形，符合要求； B．有一组对边分别在长方形的对边上，另一组对边在三角形的两条边上，重叠部分是一个梯形，符合要求； C．重叠部分是一个三角形，不符合要求； D．有一组对边分别在长方形的对边上，另一组对边在三角形的两条边上，重叠部分是一个梯形，符合要求。 【变式训练2】在梯形ABCD中（如图），线段AB与线段( )互相垂直，线段AB与线段( )互相平行。 【答案】 AD/DA CD/DC 【分析】在同一平面内，两条永不相交的直线叫做平行线，如果同一平面内的这样的两条直线不平行，说明它们一定相交。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 【详解】在梯形ABCD中（如图），线段AB与线段（AD）互相垂直，线段AB与线段（CD）互相平行。 【变式训练3】春节要到了，幸福社区的工作人员正在装扮社区。李师傅用32米长的彩带正好把一个上底是6米、下底是10米的等腰梯形广告牌围了一圈。这个等腰梯形广告牌一条腰的长度是( )米。 【答案】8 【分析】等腰梯形的周长公式为：周长＝上底＋下底＋2×腰长。已知彩带长32米（即周长为32米），上底6米，下底10米。先计算上底与下底的和，用周长减去上底与下底的和，即可计算出两条腰的总长度，用除法即可计算出一条腰的长度。 【详解】32－（6＋10） ＝32－16 ＝16（米） 16÷2＝8（米） 所以这个等腰梯形广告牌一条腰的长度是8米。 题型七、画平行四边形和梯形 【典例例题】下面方格纸中，每个小方格边长是1厘米。 （1）画一个底5厘米，高3厘米的平行四边形。 （2）画一个上底2厘米，下底4厘米，高3厘米的梯形。 【答案】见详解 【分析】画符合要求的平行四边形： 先在方格纸横向画一条占5个小格、长5厘米的线段作为平行四边形的底；把这条底边的两个端点，沿垂直方向向上数3个小方格，标记出两个新端点，连接两个新端点得到顶边，最后连接左右侧边，就得到底5厘米、高3厘米的平行四边形；画符合要求的梯形： 先横向画一条占2个小方格、长2厘米的线段作为梯形的上底；从上底向下垂直数3个小方格，横向画一条占4个小方格、长4厘米的线段作为下底，保证上下底互相平行；最后依次连接上底和下底的端点，封闭图形，就得到符合要求的梯形。 【详解】如图： （答案不唯一） 举一反三 【变式训练1】在下面的方格里（每个最小的正方形的边长是1厘米），画出一个上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米的梯形。 【答案】见详解 【分析】每个小正方形边长为1厘米，先在方格中画一条长3厘米（占3个小方格的边长）的水平线段作上底；在这条上底的正下方，垂直距离为4厘米（向下数4个小方格边长）的位置，画一条和上底平行、长5厘米（占5个小方格边长）的水平线段作下底；把上底和下底的左右两个端点依次连接，就得到符合要求的梯形。 【详解】如图： （画法不唯一） 【变式训练2】在方格纸上按要求画出下面的图形。（每个小方格的边长是1厘米） （1）底是3厘米，高是2厘米的平行四边形。 （2）上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米的等腰梯形。 【答案】见详解 【分析】（1）画一条水平线段，长度为3个小方格边长，即3厘米，作为平行四边形的底。在底的一个端点，向上垂直数2个小方格，确定一个点。从这个点出发，画一条与底平行且长度为3个小方格边长（3厘米）的线段。连接两条3厘米线段的另外两个端点，这样就画出了底是3厘米，高是2厘米的平行四边形。 （2）梯形的上底与下底是互相平行的，在等腰梯形中，两腰长度相等，两底相互平行。画一条水平线段，长度为4个小方格边长，即4厘米，作为等腰梯形的下底。从下底两端点分别向上垂直数3格，并在水平方向向内移动1格确定上底两个端点。连接这两个点，使这条线段长度为2个小方格边长，即2厘米，作为等腰梯形的上底。分别连接上底的两个端点和下底两端点，使左右两条腰长度相等，这样就画出了上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米的等腰梯形。 【详解】根据分析，如图： 【变式训练3】利用下面的方格图画一画。（每个小正方形的边长表示1厘米） （1）画一个上底是4厘米，下底是6厘米，高是3厘米的等腰梯形。 （2）在这个等腰梯形中画一条线段，将其分成一个平行四边形与一个三角形。 【答案】见详解 【分析】（1）根据题目已知每个小正方形的边长表示1厘米，那么上底4厘米对应四个格子，下底6厘米对应6个格子，高3厘米对应3个格子,据此画出对应的等腰梯形。 （2）在等腰梯形中，可以从上底的一个顶点，作一条与梯形另外一条腰平行的线段，就可以完成分割，这个等腰梯形有两种不同分割方法，如下图。 【详解】 题型八、四边形的分类及关系 【典例例题】我们可以用图示来表示四边形之间的关系，下面图示正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行四边形和梯形都属于四边形，平行四边形不是特殊的梯形，梯形也不是特殊的平行四边形。长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。据此解答即可。 【详解】 A．这个关系图是错误的，长方形是特殊的平行四边形，而不是平行四边形是特殊的长方形；不符合题意。 B．这个关系图是错误的，长方形和正方形是特殊的平行四边形，而不是平行四边形是特殊的长方形和正方形；不符合题意。 C．这个关系图是正确的，平行四边形和梯形都属于四边形，长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形；符合题意。 D．这个关系图是错误的，平行四边形不是特殊的梯形；不符合题意。 故答案为：C 举一反三 【变式训练1】下列图形中，一定是梯形的是（    ）。 A．两组对边都平行的四边形 B．两组对边都不平行的四边形 C．只有一组对边平行的四边形 D．对角相等的四边形 【答案】C 【分析】根据梯形的定义，只有一组对边平行的四边形是梯形。逐一分析各选项即可解答。 【详解】A．两组对边都平行的四边形是平行四边形，不是梯形； B．梯形是有一组对边平行的四边形，两组对边都不平行的四边形不符合梯形定义； C．只有一组对边平行的四边形是梯形； D．对角相等的四边形可能是平行四边形，不一定是梯形。 【变式训练2】长方形和正方形的关系可以用图1来表示，除此之外（    ）也可以用这样的图（图2）表示关系。 A．a表示平行四边形，b表示四边形 B．a表示平行四边形，b表示长方形 C．a表示平行四边形，b表示梯形 D．a表示等腰梯形，b表示直角梯形 【答案】B 【分析】图中是包含关系：大圈代表范围更大的概念，小圈代表范围更小、属于大圈的特殊概念。 长方形是特殊的平行四边形，两组对边分别平行且有 4 个直角，因此平行四边形包含长方形，对应图中大圈 a 包含小圈 b的关系。 【详解】四边形包含平行四边形，平行四边形是特殊的四边形，关系颠倒，A不符合 平行四边形包含长方形，长方形是特殊的平行四边形，两组对边平行且有直角，大圈 a 包含小圈 b，B符合 平行四边形和梯形是并列关系，都属于四边形，无包含，C不符合 等腰梯形和直角梯形是并列关系，都属于梯形，无包含，D不符合 故答案为：B 【变式训练3】用8根小棒交叉摆放（如下图），其中a与b互相平行，c与d互相平行，涂色部分是四个四边形，( )号（填序号）是平行四边形。( )号（填序号）是梯形。 【答案】 ③ ①④ 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；据此解答即可。 【详解】根据分析：③号是平行四边形。①④号是梯形。 提升练习 1．利用直角三角板作直线MN的垂线，下列作图方法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用三角板画垂线，关键是让三角板的一条直角边贴合直线MN，沿着另一条直角边画线，两条直角边夹角是90°，才能保证垂直。 【详解】A．三角板直角边没有对齐直线MN，画不出直角，错误。 B．三角板的一条直角边贴合直线MN，但没有沿着另一条直角边画线，错误。 C．三角板直角边没有贴合直线MN，错误。 D．三角板一条直角边紧紧贴住直线MN，沿着另一条直角边画线，夹角是直角，正确。 2．已知直线a、b、c在同一平面内，如果a//b，b//c，那么a与c的位置关系是（    ）。 A．互相平行 B．相交但不垂直 C．互相垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行，依据该性质判断即可。 【详解】已知，，和都平行于同一条直线，因此a与c互相平行。 3．下列各图中，（    ）既有互相平行的线段，又有互相垂直的线段。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解答即可。 【详解】A．图中是一个梯形，有互相平行的线段。 B．图中是一个四边形，有互相平行的线段。 C．图中是一个直角三角形，有互相垂直的线段。 D．图中是一个直角梯形，既有互相平行的线段，又有互相垂直的线段。 故答案为：D 4．下面是4个同学对画同一平面内两直线位置关系的分类情况，你认为合理的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同一平面内两条直线有平行和相交两种位置关系。在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。垂直是一种特殊的相交，包含在相交里面。据此解答即可。 【详解】 根据分析可知，的位置关系的分类情况合理。故答案为：D 5．a、b、c、d是同一平面内的4条直线（如图），关于它们的位置关系，下面说法正确的有（    ）个。 ①a⊥b    ②b⊥c    ③a∥c    ④如果d⊥a，那么d∥b A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行，据此解答。 【详解】①根据图中垂足标记可知，a⊥b； ②根据图中垂足标记可知，b⊥c； ③根据图中垂足标记可知，直线c和直线a都与直线b垂直，所以a∥c； ④如果d⊥a，此时直线d和直线b都与直线a垂直，所以d∥b； 综上所述，说法正确的是①②③④，所以说法正确的有4个。 故答案为：D 6．如图，在四边形ABCD中，，BC长4厘米，AD长6厘米，如果点D沿DA所在直线慢慢往左平移，与A点相距1厘米时停止运动，这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→梯形→三角形 B．梯形→长方形→平行四边形 C．梯形→平行四边形→梯形 D．梯形→平行四边形→长方形→梯形 【答案】C 【分析】已知AD∥BC，AD＝6厘米，BC＝4厘米，AD≠BC，原图形是梯形。平移过程中：当D向左平移，AD缩短到AD＝BC＝4厘米时，一组对边平行且相等，图形变为平行四边形。停止运动时：D继续向左平移，最终停止时AD＝1厘米，依旧满足AD∥BC，但AD≠BC，图形再次变为梯形。 因此整个变化过程是：梯形→平行四边形→梯形。 【详解】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC长4厘米，AD长6厘米，如果点D沿DA所在直线慢慢往左平移，与A点相距1厘米时停止运动，这个图形的变化过程是梯形→平行四边形→梯形。 7．一条直线的垂线有( )条；过直线外一点画已知直线的垂线，能画( )条。 【答案】 无数 1 【分析】在同一个平面内，过一点可以作一条直线和已知直线垂直，因为一条直线上有无数个点，所以一条直线的垂线有无数条；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 【详解】一条直线的垂线有无数条；过直线外一点画已知直线的垂线，能画1条。 8．在同一平面内，画一条直线的平行线，可以画( )条；过直线外一点，能画( )条直线与已知直线平行。有两条直线和同一条直线平行，则这两条直线( )。 【答案】 无数 1 互相平行 【分析】同一平面内只要不和已知直线相交，都满足平行线要求，因此一条直线的平行线有无数条；根据平行的基本结论，过直线外一点，只能画出1条与已知直线平行的直线；平行具有传递性，两条直线都和同一条直线平行，则这两条直线互相平行。 【详解】在同一平面内，画一条直线的平行线，可以画无数条；过直线外一点，能画1条直线与已知直线平行。有两条直线和同一条直线平行，则这两条直线互相平行。 9．一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是10厘米，腰是8厘米，则这个等腰梯形的周长是( )厘米。 【答案】32 【分析】等腰梯形的腰相等，周长＝腰×2＋上底＋下底。 【详解】8×2＋6＋10 ＝16＋6＋10 ＝22＋10 ＝32（厘米） 这个等腰梯形的周长是32厘米。 10．黑板的上下两条边互相( )，长方形的长和宽互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】教室黑板的形状是长方形，其上下两条边在同一平面内且不相交，符合平行的定义，长方形的长和宽相交成直角，符合垂直的定义，据此即可解答。 【详解】黑板的上下两条边互相平行，长方形的长和宽互相垂直。 11．团团、圆圆、乐乐三位同学在玩“抢板凳”游戏，( )离椅子的距离最近。 【答案】圆圆 【分析】根据“点到直线的距离，垂线段最短”，结合图可知，板凳与圆圆的连线与三人所在直线垂直，所以圆圆离椅子的距离最近。 【详解】由分析得出，圆圆离椅子的距离最近。 12．下图中，有( )组平行线，( )组垂线。 【答案】 3 4 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直；据此即可解答。 【详解】观察上图可知，AD与BC互相平行，AB与CD互相平行，BF与DE互相平行，所以有3组平行线。 BF分别与AD和BC垂直，DE分别与AD和BC垂直，因此垂线有4组。 综上可知，图中，有3组平行线，4组垂线。 13．数一数下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 【答案】 6 12 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；依此数出它们的个数即可。 【详解】单独的平行四边形有3个，两个平行四边形组成的平行四边形有2个，三个平行四边形组成的平行四边形有1个，共3＋2＋1＝5＋1＝6个； 单独的梯形有6个，两个梯形组成的梯形有4个，三个梯形组成的梯形有2个，共6＋4＋2＝10＋2＝12个。 数一数下图中有（6）个平行四边形和（12）个梯形。 14． 用画垂线的方法，把下面的图形画成一个长方形或正方形。 【答案】见详解 【分析】 在长方形宽的另一个端点做垂线，在长方形长的另一个端点做垂线，然后这两条垂线相交于一点即可。 在正方形已画好的右边的另一个端点做右边的垂线，再把已画好的下边的另一个端点做下边的垂线，然后这两条垂线相交于一点即可。 【详解】 如图： 15．用圆规和直尺，画一个长8厘米，宽5厘米的长方形。（留下作图痕迹） 【答案】 【分析】长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等，作图时要满足这两个特征。 【详解】用直尺画一条长8厘米的线段作为长方形的长，记为线段AB。 用圆规量取5厘米的长度，以A为端点，向线段上方画弧线，将直尺的刻度线跟端点重合，向上画垂线，与弧线交于一点，再将A点与这个交点连线，则这条线段就是长方形的宽。另一条宽同理。 连接两条宽的另外两个端点，得到长方形的另一条长，即可得到符合要求的长方形。 16．乐乐在泳池中游泳，他想上岸休息，怎样游最省体力，最近？在图中画出路线。 【答案】见详解 【分析】点到直线的距离，垂线段最短。观察图形可知，乐乐现在更靠近上面的岸边，则垂直方向游向上面的岸边最省力。据此解答。 【详解】 17．路线中的智慧。 周末，乐乐从家先到爷爷家，然后和爷爷一起去小河边钓鱼，乐乐怎样走最近？请你在下图中画出最短路线。 【答案】答案见详解 【分析】根据“两点之间，线段最短”，可知从乐乐家到爷爷家最短的路线即为连接乐乐家和爷爷家的线段。根据“垂线段最短”，可知从爷爷家向小河作垂线，即为爷爷家到小河的最短路线。 【详解】乐乐的最短路线如下： 18．过角内一点P分别作角的一边的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知角的一边重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知角的一边重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可。 （2）用三角板的一条直角边的已知角的一边重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】根据分析画图如下： 19．一个等腰梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，它的周长是16厘米，那么等腰梯形的一条腰长是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】梯形的周长等于上底、下底与两条腰的长度之和。根据题意，先用周长减去上底和下底的长度，求出两条腰的总长度，再除以2即可求出一条腰的长度。 【详解】 （厘米） 答：等腰梯形的一条腰长是4厘米。 20．一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度分别是16分米与90厘米。现在要在广告牌的四周装上灯带，灯带长多少分米？ 【答案】50分米 【分析】根据题意，要在广告牌的四周装上灯带，求灯带长就是求平行四边形的周长，即是求平行四边形4条边的长度之和，由于平行四边形对边相等，所以可以把相邻两边的长度分别乘2，再相加，也可以先把相邻两边长度相加，再把它们的和乘2，即求到平行四边形的周长，也就是灯带的长度；为了方便计算，需要根据1分米＝10厘米，把90厘米换算成9分米。据此解答。 【详解】90厘米＝9分米 方法一： 16×2＋9×2 ＝32＋18 ＝50（分米） 方法二： （16＋9）×2 ＝25×2 ＝50（分米） 答：灯带长50分米。 21．老旧小区改造工程正在进行中。 （1）A、B两个小区需要从水管管道分别接一条水管到各自的小区，怎样接最省材料？请你画一画并说明理由。 （2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是（     ）。 【答案】（1）见详解；点到直线的垂直线段最短。 （2）互相平行 【分析】（1）从小区 A、B 到水管的最短连接方式是分别作 A、B 到管道的垂线，这样用料最省。理由是：在同一平面内，点到直线的最短距离是垂直线段。 （2）画出的这两条水管在平面内的位置关系是平行，因为它们都与同一条直线（原水管管道）垂直。 【详解】根据分析可知 （1）画图如下： 理由是：在同一平面内，点到直线的最短距离是垂直线段。 （2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是互相平行。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $