单元复习讲义：专题06 多边形的面积（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学五年级上册（人教版·新教材）

该小学数学讲义以“多边形的面积”为核心，通过考点梳理构建系统知识体系，用框架图呈现面积单位（公顷、平方千米）与图形（平行四边形、三角形、梯形）的内在联系，分考点细化定义、公式推导及易错点，突出单位换算和面积计算的重难点。 讲义亮点在于“考点-例题-提升”三阶练习设计，如不规则图形用数方格法估算面积，培养量感和几何直观，钉子板多边形规律探索发展推理意识。变式训练兼顾基础与拓展，助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供清晰路径。

专题06 多边形的面积 内容导航 考点梳理 1 考点一、公顷、平方千米的认识 1 考点二、公顷、平方千米的进率与换算 2 考点三、平行四边形、三角形和梯形的高及画法 2 考点四、平行四边形面积的计算 3 考点五、平行四边形面积的应用 3 考点六、三角形面积的计算 4 考点七、三角形面积的应用 4 考点八、梯形面积的计算 4 考点九、梯形面积的应用 5 考点十、组合图形的面积 5 考点十一、不规则图形的面积 6 考点十二、钉子板上的多边形 6 例题讲解 7 题型一、公顷、平方千米的认识 7 题型二、公顷、平方千米的进率与换算 8 题型三、平行四边形、三角形和梯形的高及画法 10 题型四、平行四边形面积的计算 12 题型五、平行四边形面积的应用 13 题型六、三角形面积的计算 15 题型七、三角形面积的应用 17 题型八、梯形面积的计算 18 题型九、梯形面积的应用 20 题型十、组合图形的面积 22 题型十一、不规则图形的面积 25 题型十二、钉子板上的多边形 27 提升练习 29 考点梳理 考点一、公顷、平方千米的认识 1. 公顷（hm²） (1) 定义：边长是100米的正方形面积是1公顷。 (2) 直观感受：1公顷大约相当于400米跑道围起来部分的面积，或者一个标准足球场加上周围跑道的面积。 (3) 适用场景：测量和计算土地面积时，常用公顷作单位（如公园、校园、大型广场）。 2. 平方千米（km²） (1) 定义：边长是1千米（1000米）的正方形面积是1平方千米。 (2) 直观感受：1平方千米比2个天安门广场的面积还要大一些。 (3) 适用场景：计量比较大的土地面积时，常用平方千米作单位（如城市面积、省份面积、国家国土面积）。 考点二、公顷、平方千米的进率与换算 1. 进率关系 (1) 1公顷 = 10000 平方米 (2) 1平方千米 = 100 公顷 (3) 1平方千米 = 1000000 平方米 2. 换算方法 (1) 高级单位 → 低级单位：乘以进率（小数点向右移动）。 例：3公顷 = 3 × 10000 = 30000 平方米 例：5平方千米 = 5 × 100 = 500 公顷 (2) 低级单位 → 高级单位：除以进率（小数点向左移动）。 例：20000平方米 = 20000 ÷ 10000 = 2 公顷 例：800公顷 = 800 ÷ 100 = 8 平方千米 注意：在进行面积计算应用题时，务必先统一单位，再列式计算。 考点三、平行四边形、三角形和梯形的高及画法 1. 高的定义 (1) 平行四边形的高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 (2) 三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 (3) 梯形的高：两底之间的距离叫做梯形的高（即从上底一点向下底引垂线）。 2. 画法要点 (1) 工具：必须使用三角板或直尺配合画垂线。 (2) 标识：高通常用虚线表示，并标出直角符号。 (3) 数量： 1　 平行四边形有无数条高（对应同一组对边的高长度相等）。 2　 三角形有三条高（锐角三角形高在内部，直角三角形两条高是直角边，钝角三角形两条高在外部）。 3　 梯形有无数条高（所有高长度相等）。 考点四、平行四边形面积的计算 1. 公式推导 利用割补法将平行四边形转化成长方形： (1) 长方形的长 = 平行四边形的底 ( ) (2) 长方形的宽 = 平行四边形的高 ( ) (3) 因为：长方形面积 = 长 × 宽 (4) 所以：平行四边形面积 = 底 × 高 2. 字母公式 (1) ：面积 (2) ：底 (3) ：高 易错点：计算时必须使用对应的底和高。 考点五、平行四边形面积的应用 1. 已知底和高，求面积 直接代入公式 。 2. 已知面积和底（或高），求高（或底） 根据逆运算推导： (1) (2) 3. 等底等高的平行四边形 (1) 结论：等底等高的平行四边形面积相等。 (2) 形状：形状可以不同，但面积一定相同。 4. 拉框变形问题 (1) 用木条钉成一个长方形框架，拉成平行四边形后： 1　 周长不变（四条边长度没变）。 2　 面积变小（高变短了，底不变）。 考点六、三角形面积的计算 1. 公式推导 利用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形： (1) 平行四边形的底 = 三角形的底 ( ) (2) 平行四边形的高 = 三角形的高 ( ) (3) 平行四边形面积 = (4) 三角形面积是平行四边形面积的一半。 (5) 所以：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 2. 字母公式 易错点：千万不要忘记除以2！ 考点七、三角形面积的应用 1. 基本计算 已知底和高，求面积： 。 2. 逆向求解 (1) 已知面积和高，求底： (2) 已知面积和底，求高： (3) 记忆技巧：求底或高时，先用面积乘2，再除以另一个量。 3. 等底等高的三角形 (1) 结论：等底等高的三角形面积相等。 (2) 同底等高模型：在两条平行线之间，同底的三角形面积相等。 4. 直角三角形 (1) 两条直角边互为底和高。 (2) 面积 = 直角边1 × 直角边2 ÷ 2。 考点八、梯形面积的计算 1. 公式推导 利用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形： (1) 平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底 ( ) (2) 平行四边形的高 = 梯形的高 ( ) (3) 平行四边形面积 = (4) 梯形面积是平行四边形面积的一半。 (5) 所以：梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 2. 字母公式 (1) ：上底 (2) ：下底 (3) ：高 考点九、梯形面积的应用 1. 基本计算 代入公式 。注意先算括号内的加法。 2. 逆向求解 (1) 已知面积、上底、下底，求高： (2) 已知面积、高、上底，求下底： (3) 关键步骤：求高或底时，务必先将面积乘2。 3. 特殊梯形 (1) 直角梯形：垂直于底边的腰就是梯形的高。 (2) 堆叠物体：如钢管堆放，顶层根数相当于上底，底层根数相当于下底，层数相当于高，总根数可用梯形面积公式计算。 考点十、组合图形的面积 1. 定义 由两个或两个以上简单图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形）组合而成的图形。 2. 计算方法 (1) 分割法（加法）：将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积后相加。适用：凸出的组合图形。 (2) 添补法（减法）：将组合图形补成一个大的简单图形，计算出大图形的面积，再减去空白部分（多余部分）的面积。适用：凹进去的组合图形。 3. 解题步骤 (1) 观察：分析图形由哪些基本图形组成。 (2) 辅助线：画出分割线或补全线，标注已知数据。 (3) 计算：分别计算各部分面积。 (4) 汇总：根据加减关系得出总面积。 考点十一、不规则图形的面积 1. 估算方法 对于无法用公式直接计算的不规则图形（如树叶、脚印），通常采用数方格法。 2. 数方格规则 (1) 满格：计为1格。 (2) 不满格：通常按半格计算。 (3) 计算公式：面积 ≈ 满格数 + 不满格数 ÷ 2。 3. 注意事项 (1) 方格越小，估算结果越精确。 (2) 此方法得到的是近似值。 考点十二、钉子板上的多边形 1. 探索规律（皮克定理简化版） 在钉子板上围成的多边形，其面积与多边形边上的钉子数（ ）和多边形内部的钉子数（ ）有关。 2. 常见规律总结 (1) 当内部没有钉子（ ）时： (2) 当内部有1个钉子（ ）时： (3) 当内部有2个钉子（ ）时： (4) 通用公式（选学/拓展）： (1) ：面积 (2) ：内部钉子数 (3) ：边上钉子数 例题讲解 题型一、公顷、平方千米的认识 【典例例题】在括号里填合适的单位。 我们教室的面积大约是80( )。   数学课本的封面面积是481( )。 沛县的面积是1576( )。 汉城公园的占地面积是34( )。 【答案】 平方米/ 平方厘米/ 平方千米/ 公顷/ 【分析】根据生活经验以及数据大小，选择合适的计量单位。 【详解】我们教室的面积大约是80平方米。 数学课本的封面面积是481平方厘米。 沛县的面积是1576平方千米。 汉城公园的占地面积是34公顷。 举一反三 【变式训练1】广西壮族自治区陆地总面积23.67（    ）。 A．万平方千米 B．平方千米 C．万平方米 D．公顷 【答案】A 【分析】方桌桌面的面积约1平方米。平方千米常用在大面积的地方，比如国土面积，城市面积，海洋面积等，公顷是测量土地面积的常用单位，比如某村庄的耕地面积，公顷是测量小块土地，平方千米是测量很大土地。联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。 【详解】由分析可得：广西壮族自治区陆地总面积23.67万平方千米。 故答案为：A 【变式训练2】下面各项中，面积最接近1公顷的是（    ）。 A．200间教室的地面 B．200张课桌的桌面 C．1000平方米 D．1000块黑板的表面 【答案】A 【分析】根据1公顷＝10000平方米，分析各选项找出面积约为10000平方米的选项。 【详解】A．通常一间教室的面积约为50平方米，则200间教室的面积为：200×50＝10000（平方米），与1公顷相等，选项正确； B．一张课桌桌面面积约为0.5平方米，200张课桌的面积为：200×0.5＝100（平方米），远小于10000平方米，选项错误； C．直接给出数值1000平方米，小于10000平方米，选项错误； D．一块黑板面积约为4平方米，1000块黑板的面积为：1000×4＝4000（平方米），小于10000平方米，选项错误。 故答案为：A 【变式训练3】填上合适的单位：暑假我和爸爸妈妈去首都北京游玩，乘坐飞机从北京的上空向下看，发现北京真大呀！我用手机搜索后，知道了北京市的面积是16410( )。在北京游玩的第一天，我们参观了天安门广场，又参观了占地面积约72( )的故宫博物院。晚上我们到宾馆休息，我们住的房间面积约是15( )。 【答案】 平方千米/km² 公顷/hm² 平方米/m² 【分析】面积的常用单位有公顷、平方千米、平方米、平方分米等，1公顷比一个标准足球场稍大一点，1平方千米大约是小型湖泊的湖面面积，1平方米大约1张方桌面的大小，1平方分米大约1个成人手掌面的大小，所以北京市的面积是16410平方千米在北京游玩的第一天，我们参观了天安门广场，又参观了占地面积约72公顷的故宫博物院。晚上我们到宾馆休息，我们住的房间面积约是15 平方米。 【详解】由分析可知，北京市的面积是16410平方千米。在北京游玩的第一天，我们参观了天安门广场，又参观了占地面积约72公顷的故宫博物院。晚上我们到宾馆休息，我们住的房间面积约是15 平方米。 题型二、公顷、平方千米的进率与换算 【典例例题】3600公顷＝( )平方千米    1100平方厘米＝( )平方分米 6公顷＝( )平方米    240000平方米＝( )公顷 【答案】 36 11 60000 24 【分析】①根据1平方千米＝100公顷，小单位“公顷”换算大单位“平方千米”，用3600除以进率100即可换算； ②1平方分米＝100平方厘米，小单位“平方厘米”换算大单位“平方分米”，用1100除以进率100即可换算； ③1公顷＝10000平方米，大单位“公顷”换算成小单位“平方米”，用6乘进率10000即可换算； ④1公顷＝10000平方米，小单位“平方米”换算成大单位“公顷”，用240000除以进率10000即可换算。 【详解】①3600÷100＝36（平方千米），即3600公顷＝36平方千米； ②1100÷100＝11（平方分米），即1100平方厘米＝11平方分米； ③6×10000＝60000（平方米），即6公顷＝60000平方米； ④240000÷10000＝24（公顷），即240000平方米＝24公顷。 举一反三 【变式训练1】湖北省，简称“鄂”，全省总面积是185900000000平方米，合( )公顷，合( )平方千米。 【答案】 18590000 185900 【分析】根据题意，1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷，将185900000000平方米化成公顷和平方千米即可，小单位化大单位除以进率，据此填空。 【详解】根据分析可得： 1公顷＝1000平方米，185900000000÷10000＝18590000（公顷） 1平方千米＝100公顷，18590000÷100＝185900（平方千米） 所以湖北省，简称“鄂”，全省总面积是185900000000平方米，合18590000公顷，合185900平方千米。 【变式训练2】在括号里填上合适的数。 18公顷＝( )平方米    4000000平方米＝( )平方千米＝( )公顷 【答案】 180000 4 400 【分析】第1题，根据1公顷＝10000平方米，18公顷即为18个10000平方米，在18的末尾添上4个0即可。 第2题，根据1公顷＝10000平方米，将4000000末尾的4个0去掉，即可将其单位化为公顷是400公顷，再根据1平方千米＝100公顷，将400末尾的2个0去掉，即可将其单位化为平方千米。 【详解】18公顷＝180000平方米    4000000平方米＝4平方千米＝400公顷 【变式训练3】一个长方形松树林长9千米、宽6千米，这个松树林的面积是多少公顷？ 【答案】5400公顷 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求出松树林的面积；再根据1平方千米＝100公顷，换算单位即可。 【详解】（平方千米） 54平方千米＝5400公顷 答：这个松树林的面积是5400公顷。 题型三、平行四边形、三角形和梯形的高及画法 【典例例题】画出下面图形底边上的高。 【答案】（后两幅图高的画法不唯一） 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角边可以画出三角形的高； 在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，用三角板的直角边可以画出平行四边形的一条高； 梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角边可以画出梯形的一条高，解答即可。（画法不唯一） 【详解】略 举一反三 【变式训练1】乐乐给下面图形画指定底边的高，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫作平行四边形的高，垂足所在的边叫作平行四边形的底； 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作三角形的底； 从梯形上底的一点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作梯形的高，垂足所在的边就是梯形的下底，据此逐项分析。 【详解】A．图中所画线段不是指定底边的高； B．图中所画线段不是指定底边的高； C．图中所画线段不是指定底边的高； D．图中所画线段是指定底边的高。 故答案为：D 【变式训练2】图中，标出的高正确的是（    ）。 A．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④ 【答案】C 【分析】从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，这条线段就是平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，这条对边叫做梯形的底。据此分析。 【详解】由图可知，图形①和图形②都是从平行四边形的一条边上的任意一点向对边作垂直线段，所以图形①和图形②标出的高正确；图形③和图形④都是从顶点出发向梯形的腰作垂直线段，所以图形③和图形④标出的高错误。 综上所述，标出的高正确的是①②。 故答案为：C 【变式训练3】根据下面每个图形标出的底，分别画出高。 【答案】（后两个画法不唯一） 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高； 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底； 从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高；据此画图即可。 【详解】略 题型四、平行四边形面积的计算 【典例例题】求下面平面图形的面积。（单位：cm） 【答案】350cm2 【分析】观察图形可知，25厘米和14厘米是对应的底和高，根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积=底×高，代入数据计算即可得解。 【详解】（cm2） 所以该平面图形的面积是350cm2。 举一反三 【变式训练1】在推导平行四边形面积公式时，把平行四边形剪拼成长方形。在这个转化的过程中，平行四边形的周长( )，面积( )。（填“变了”或者“不变”） 【答案】 变了 不变 【分析】分析题目，用割补法把平行四边形剪拼成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高可知：平行四边形和长方形的面积是相等的；平行四边形的斜边在转化后变成了长方形的直角边，斜边的长度大于直角边的长度，周长指的是封闭图形一周的长度，据此可知，长方形的周长比平行四边形的周长小。 【详解】根据分析可知：在转化的过程中，平行四边形的周长变了，面积不变。 在推导平行四边形面积公式时，把平行四边形剪拼成长方形。在这个转化的过程中，平行四边形的周长变了，面积不变。（填“变了”或者“不变”） 【变式训练2】平行四边形的底是25m，高是14m，它的面积是( )m2。 【答案】350 【分析】平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算解答。 【详解】25×14＝350（m2） 故它的面积是350m2。 【变式训练3】求下面平行四边形的面积。 【答案】2.64 【分析】根据图示，结合平行四边形的面积公式：底×高，代入数据计算即可。 【详解】1.2×2.2＝2.64（） 即平行四边形的面积是2.64。 题型五、平行四边形面积的应用 【典例例题】一个平行四边形果园，底为250米，高为30米。如果每棵果树占地12平方米，这个果园一共可以种多少棵果树？ 【答案】625棵 【分析】先利用“平行四边形的面积＝底×高”求出这个果园的面积，一共可以种果树的棵数＝这个果园的面积÷每棵果树的占地面积，据此解答。 【详解】250×30÷12 ＝7500÷12 ＝625（棵） 答：这个果园一共可以种625棵果树。 举一反三 【变式训练1】如下图所示，王叔叔靠墙边用篱笆围一块平行四边形菜地，面积为27平方米。王叔叔一共需要篱笆多少米？ 【答案】17米 【分析】因为围成平行四边形菜地靠墙的一侧不需要篱笆，将其余的三边相加即可；根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形高（4.5米）对应底的长，再乘2，最后再加上5米即可解答。 【详解】27÷4.5×2＋5 ＝6×2＋5 ＝12＋5 ＝17（米） 答：王叔叔一共需要篱笆17米。 【变式训练2】刘叔叔家的果园是一个平行四边形，它的底是240米，高是85米，平均每公顷果园可以收水果8.5吨，这个果园共收水果多少吨？ 【答案】17.34吨 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，代入数据，求出果园的面积，再用果园的面积×平均每公顷收水果的重量，即可解答，注意单位换算。 【详解】240×85＝20400（平方米） 20400÷10000＝2.04（公顷） 2.04×8.5＝17.34（吨） 答：这个果园共收水果17.34 吨。 【变式训练3】有一块面积为300平方米的平行四边形草地，为了方便行人通过，工人师傅在草地中间修了一条宽1.5米的小路（如图所示）。小路的面积是多少平方米？ 【答案】18平方米 【分析】平行四边形面积＝底×高，若已知面积和底，平行四边形高＝面积÷底，因为小路上下两边在平行四边形上，所以上下两条边平行，且路宽一样，所以上下两条边长度相等，所以小路形状是平行四边形，并且小路和平行四边形草地高相等，根据草地面积和底，求出平行四边形的高，即小路的高，再结合小路的底（路宽）代入平行四边形面积公式即可。 【详解】300÷25×1.5 ＝12×1.5 ＝18（平方米） 答：小路的面积是18平方米。 题型六、三角形面积的计算 【典例例题】求下列三角形的面积。（单位：dm） （1）     （2） 【答案】（1）48dm2；（2）30dm2 【分析】（1）观察图形可知，三角形的底12dm对应的高是8dm，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解； （2）观察图形可知，三角形的底6dm对应的高是10dm，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】（1）8×12÷2 ＝96÷2 ＝48（dm2）   三角形的面积是48dm2。      （2）6×10÷2 ＝60÷2 ＝30（dm2） 三角形的面积是30dm2。 举一反三 【变式训练1】一个三角形的底是2.6厘米，高是5厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】6.5 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】2.6×5÷2 ＝13÷2 ＝6.5（平方厘米） 这个三角形面积是6.5平方厘米。 【变式训练2】一个平行四边形的面积是40平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】20 【分析】等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，用平行四边形面积÷2，据此求出与它等底等高的三角形面积。 【详解】40÷2＝20（平方厘米） 一个平行四边形的面积是40平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是20平方厘米。 【变式训练3】计算下面三角形的面积。（单位：dm） 【答案】54dm2；195dm2；7dm2 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】18×6÷2 ＝108÷2 ＝54（dm2） 26×15÷2 ＝390÷2 ＝195（dm2） 5×2.8÷2 ＝14÷2 ＝7（dm2） 三角形面积分别是54dm2，195dm2，7dm2。 题型七、三角形面积的应用 【典例例题】一块茄子地的形状是三角形，它的底是28米，高是30米，每棵茄子约占0.5平方米，那么这块地可以种多少棵茄子？ 【答案】840棵 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据计算，求出这块地的面积，再用三角形的面积除以每棵茄子占地面积，即可求出这块地可以种多少棵茄子。 【详解】三角形的面积： （平方米） （棵） 答：这块地可以种840棵茄子。 举一反三 【变式训练1】一种三角形板材，量得它的底是2.4米，高是1.5米。如果每平方米板材的价格是68元，买这样的一块板材需要多少钱？ 【答案】122.4元 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，计算出这块板材的面积，板材面积×每平方米价格＝买这样的一块板材需要的钱数。 【详解】2.4×1.5÷2×68 ＝1.8×68 ＝122.4（元） 答：买这样的一块板材需要122.4元钱。 【变式训练2】一个三角形的花圃，底36米，高12米。如果平均每平方米产鲜花24枝，这个花圃一共可以产鲜花多少枝？ 【答案】5184枝 【分析】先根据“三角形的面积＝底×高÷2”求出这个花圃的面积，这个花圃一共可以产鲜花的数量＝这个花圃的面积×平均每平方米产鲜花的数量，据此解答。 【详解】36×12÷2×24 ＝432÷2×24 ＝216×24 ＝5184（枝） 答：这个花圃一共可以产鲜花5184枝。 【变式训练3】一块三角形玻璃的底是12.5分米，高是4分米，每平方米玻璃的价钱是20元。买这块玻璃要用多少元钱？ 【答案】 5元 【分析】根据三角形的面积公式，先计算出三角形玻璃的面积，注意此时面积单位是平方分米；因为玻璃的单价是按平方米计算的，所以需要将面积单位换算成平方米；最后根据总价＝单价×面积，计算出买这块玻璃需要的钱数。 【详解】12.5×4÷2 ＝50÷2 ＝25（平方分米） 25平方分米＝0.25平方米 0.25×20＝5（元） 答：买这块玻璃要用5元钱。 题型八、梯形面积的计算 【典例例题】求下面图形的面积。（单位：厘米） 【答案】39平方厘米 【分析】已知直角梯形的上底、下底和高，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可求出图形的面积。 【详解】（8＋5）×6÷2 ＝13×6÷2 ＝78÷2 ＝39（平方厘米） 图形的面积是39平方厘米。 举一反三 【变式训练1】一个梯形的面积是300平方米，上底与下底的和是50米，它的高是( )米。 【答案】12 【分析】梯形的面积公式为：面积＝（上底＋下底）×高÷2，则高＝面积×2÷（上底＋下底），已知梯形面积为300平方米，上底与下底的和为50米，把数据代入公式计算即可。 【详解】300×2÷50＝12（米） 这个梯形的高是12米。 【变式训练2】一个梯形的上底是10分米，下底和高相等，都是12分米，它的面积是( )平方分米。 【答案】132 【分析】根据梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2，代入数值求出即可。 【详解】 （平方分米） 所以它的面积是132平方分米。 【变式训练3】求下面每个梯形的面积。（单位：cm） 【答案】（1）63 cm2 （2）90 cm2 （3）32 cm2 【分析】本题需根据梯形面积公式S＝（a＋b）h¸2（其中a为上底，b为下底，h为高）来计算每个梯形的面积。解题时需先准确识别每个梯形的上底、下底和高，再代入公式计算。 【详解】（1）S＝（10＋8）×7÷2 ＝18×7÷2 ＝126÷2 ＝63（cm2） 梯形的面积是63cm2。 （2）S＝（8＋12）×9÷2 ＝20×9÷2 ＝180÷2 ＝90（cm2） 梯形的面积是90cm2。 （3）S＝（5＋11）×4÷2 ＝16×4÷2 ＝64÷2 ＝32（cm2） 梯形的面积是32cm2。 题型九、梯形面积的应用 【典例例题】一个梯形果园，上底12米，下底15米，高8米。如果平均每棵果树占地1.2平方米，这个果园一共有多少棵果树？ 【答案】棵 【分析】根据梯形的面积公式：，先计算出梯形果园的总面积，再用总面积除以每棵果树的占地面积，即可求出果树的总棵数。 【详解】 （棵） 答：这个果园一共有棵果树。 举一反三 【变式训练1】如图所示，张伯伯圈了一块直角梯形菜地用来种大白菜。这块菜地一面靠墙，共用篱笆72米。如果每平方米收大白菜14千克，张伯伯这块地一共可以收大白菜多少千克？ 【答案】4368千克 【分析】篱笆总长72米，斜边20米，靠墙不用篱笆，72－20算出梯形上底加下底的和，用梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2求面积，再乘每平方米白菜产量得到总收成。 【详解】72－20＝52（米） 52×12÷2 ＝624÷2 ＝312（平方米） 312×14＝4368（千克） 答：一共可以收大白菜4368千克。 【变式训练2】一块梯形麦田的上底是80米，下底是120米，高是40米，共收小麦4.08吨。平均每公顷收小麦多少吨？ 【答案】10.2吨 【分析】先根据“”求出这块梯形麦田的面积，再根据“1公顷＝10000平方米”用除法把单位转化为“公顷”，平均每公顷麦田收小麦的质量＝这块麦田一共收小麦的质量÷这块麦田的面积，据此解答。 【详解】（80＋120）×40÷2 ＝200×40÷2 ＝8000÷2 ＝4000（平方米） 4000÷10000＝0.4（公顷） 4.08÷0.4＝10.2（吨） 答：平均每公顷收小麦10.2吨。 【变式训练3】借助梯形的面积公式可以轻松计算出下图中左边这堆木头的根数。受此启发，奇奇觉得如果在上面加一根木头后得到下面右边这堆木头，就可以借助三角形的面积公式计算这堆木头的根数：根（a为最下层的根数，h为层数）。你认可吗？为什么？如果右边这堆木头有20层，那么一共有多少根呢？ 【答案】不认可，因为右边这堆木头最上面有1根木头，在计算时就相当于一个上底为“1”的梯形，所以计算时仍要借助梯形的面积公式；210根 【分析】梯形面积公式（上底＋下底）×高÷2，适合木头堆“每层根数从1开始依次增加到最下层根数”的规律；而三角形面积公式底×高÷2，仅适用于“从0开始递增”的数量分布，与实际木头堆的数量特征不符。 【详解】 （根） 答：我不认可。因为右边这堆木头最上面有1根木头，在计算时就相当于一个上底为“1”的梯形，所以计算时仍要借助梯形的面积公式。如果右边这堆木头有20层，那么一共有210根。 题型十、组合图形的面积 【典例例题】计算组合图形的面积。（单位：cm） 【答案】180cm2；60cm2 【分析】第一个组合图形的面积＝三角形面积＋梯形面积，三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此列式计算； 第二个组合图形的面积＝平行四边形面积＋正方形面积，平行四边形面积＝底×高，正方形面积＝边长×边长，据此列式计算。 【详解】12×6÷2＋（9＋15）×12÷2 ＝36＋24×12÷2 ＝36＋144 ＝180（cm2） 6×4＋6×6 ＝24＋36 ＝60（cm2） 组合图形的面积分别是180cm2、60cm2。 举一反三 【变式训练1】计算下面图形的面积。（单位：cm）    【答案】150cm2；690cm2 【分析】第一个组合图形的面积＝三角形面积＋平行四边形，三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积＝底×高，据此列式计算； 第二个组合图形的面积＝正方形面积－梯形面积，正方形面积＝边长×边长，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此列式计算。 【详解】15×8÷2＋15×6 ＝60＋90 ＝150（cm2） 30×30－（12＋30）×10÷2 ＝900－42×10÷2 ＝900－210 ＝690（cm2） 组合图形的面积分别是150cm2、690cm2。 【变式训练2】计算下面图形中阴影部分的面积。 【答案】27dm2；42cm2 【分析】由图可知，整个图形是一个梯形，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，空白部分是一个三角形，三角形的面积＝底×高÷2，阴影部分的面积＝梯形的面积－三角形的面积； 由图可知，阴影部分是一个梯形，梯形的上底是6cm，下底是8cm，高是6cm，利用“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出阴影部分的面积，据此解答。 【详解】（5＋9）×6÷2－5×6÷2 ＝14×6÷2－5×6÷2 ＝84÷2－30÷2 ＝42－15 ＝27（dm2） 所以，阴影部分的面积是27dm2。 （6＋8）×6÷2 ＝14×6÷2 ＝84÷2 ＝42（cm2） 所以，阴影部分的面积是42cm2。 【变式训练3】阳光小学有一块试验田，形状如下图。如果每平方米收萝卜6千克，这块试验田一共可以收萝卜多少千克？ 【答案】25728千克 【分析】这块试验田是由一个底边长为80米，高为56米的三角形和一个上底为48米，下底为80米，高为32米的梯形组成； 根据三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2即可求出试验田的面积，用试验田的面积乘每平方米萝卜的产量6千克即可求出这块试验田一共可以收萝卜多少千克。 【详解】80×56÷2＋（48＋80）×32÷2 ＝80×56÷2＋128×32÷2 ＝2240＋2048 ＝4288（平方米） 4288×6＝25728（千克） 答：这块试验田一共可以收萝卜25728千克。 题型十一、不规则图形的面积 【典例例题】每个小方格的面积表示1cm2，大于或等于半格的按1格计算，请你填一填。 满格的有( )个，大于或等于半格的有( )个，图形的面积大约是( )cm2。 【答案】 6 5 11 【分析】根据题意可知：先数满格有6个，面积是6平方厘米，大于或等于半格的有5个，面积是5平方厘米，小于半格的舍去，故图形的面积大约是平方厘米，据此解答。 【详解】根据分析可知： 则满格的有6个，大于或等于半格的有5个，图形的面积大约是11cm2。 举一反三 【变式训练1】如图中每个小方格的面积表示1平方厘米，估计图中蘑菇的面积大约是（    ）平方厘米。 A．3 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【分析】不规则图形的面积估算方法：数格子，分别数出满格和不满格的数量，不满格的数量按半格计算，再加上满格的数量，就是不规则图形的格子数，最后乘每个小方格的面积即可。 【详解】满格有2个，不满格有10个； 一共有： 2＋10÷2 ＝2＋5 ＝7（个） 面积：1×7＝7（平方厘米） 估计图中蘑菇的面积大约是7平方厘米。 故答案为：B 【变式训练2】下图中涂色部分的面积约为( )。 【答案】24 【分析】从图中可知，图中每小格代表1平方厘米，数涂色占多少格即可知道涂色面积，不满1格算半格。 【详解】根据分析从图中数得约：24个方格，所以是24平方厘米。 下图中涂色部分的面积约为24。 【点睛】不满1格算半格。 【变式训练3】下面每个小方格的边长都是1cm，估一估下图的面积约为( )cm2。 【答案】 【分析】不规则图形（方格图）面积估算时，可以按照下面步骤进行估算： 第一步确定方格单位：明确每个小方格的边长，算出个方格的面积（比如边长，格面积是）。 第二步是数满格数量：直接数出图形完全覆盖的方格数，记为“满格数”。 第三步是数不满格数量：数出图形部分覆盖的方格数，不满格统一按“半格”计算。 最后一步计算总面积：总面积满格数 + 不满格换算的格数，最后乘格的面积。 【详解】图中满格大约有个；不满格大约有个，不满格按半格算，共（格）；总面积约为：（格），，所以图中的面积约为16cm2。 题型十二、钉子板上的多边形 【典例例题】在钉子板上围成的多边形的面积S，与它边上的钉子数n，以及内部钉子数b的关系是：当多边形内只有1枚钉子时，S＝( )；当多边形内有2枚钉子时，S＝( )。 【答案】 n÷2 n÷2＋1 【分析】钉子板上的多边形的面积公式是：S＝（n÷2）＋（b－1），其中n为多边形边上钉子数，b为多边形内部钉子数。把数据代入计算即可。 【详解】（n÷2）＋（1－1）＝n÷2 （n÷2）＋（2－1）＝n÷2＋1 在钉子板上围成的多边形的面积S，与它边上的钉子数n，以及内部钉子数b的关系是：当多边形内只有1枚钉子时，S＝n÷2；当多边形内有2枚钉子时，S＝n÷2＋1。 举一反三 【变式训练1】在钉子板上围一个多边形（每相邻两枚钉子之间都是1厘米），如果多边形边上的钉子共12枚，内部有1枚钉子，围成的多边形面积是（    ）平方厘米。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】钉子板上的多边形的面积＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数，以此代数解答。 【详解】12÷2＋（1－1） ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 围成的多边形面积是6平方厘米。 【变式训练2】在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米，围出的多边形边上有13枚钉子，多边形内有2枚钉子，这个多边形的面积是( )平方厘米。 【答案】7.5 【分析】根据在钉子板上，，其中为多边形边上钉子数，为多边形内部钉子数，把数据代入计算即可。 【详解】 （平方厘米） 所以这个多边形的面积是7.5平方厘米。 【点睛】，其中为多边形边上钉子数，为多边形内部钉子数。 【变式训练3】下图钉子板中多边形的面积是( )平方厘米。如果在这个钉子板上围出一个内部有2枚钉子，边上有9枚钉子的多边形，这个多边形的面积是( )平方厘米。 【答案】 3.5 5.5 【分析】钉子板上的多边形的面积，其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。把数据代入计算即可。 【详解】 （平方厘米） 所以图中多边形的面积是平方厘米。 （平方厘米） 所以第二空是平方厘米。 提升练习 1．学校有一块正方形操场，正好能容纳100个小朋友做广播操。这块操场的面积大约是（    ）。 A．200平方分米 B．200平方米 C．2000平方米 D．2000公顷 【答案】B 【分析】先估算单个小朋友做广播操需要占用的大致面积，已知总共有100个小朋友，再用单个小朋友的占用面积乘100，即可得到操场的大致面积。把计算得到的面积结果和各个选项的单位、数值做对比，结合单位换算关系匹配正确选项。 【详解】根据生活经验，小朋友做广播操时需要伸展手臂和腿部，每个小朋友大约需要占地至平方米。 个小朋友大约需要的面积为：（平方米） A．平方分米平方米，个小朋友不可能只占地平方米，空间太小，此选项错误； B．平方米，与估算结果相符，符合实际情况，此选项正确； C．平方米，平均每个小朋友占地平方米，空间过大，不符合做广播操的实际需求，此选项错误； D．公顷平方米，面积巨大，相当于大型公园或农场，不符合学校操场的实际，此选项错误。 综上所述，这块操场的面积大约是平方米。 2．一个梯形的上底是3cm，下底是7cm，高是5cm，它的面积是（    ）cm2。 A．50 B．25 C．100 D．105 【答案】B 【分析】根据梯形的面积公式，其中表示上底，表示下底，表示高。题目已给出上底、下底和高的具体数值，直接代入公式进行综合算式计算，得出结果后与选项对比即可。 【详解】梯形的面积公式为： 代入题干数据列综合算式如下： 计算结果为，对比选项，B选项符合。 3．把一个长方形的框架拉成一个平行四边形，平行四边形与长方形相比（    ）。 A．周长和面积都变了 B．周长和面积都不变 C．周长不变，面积变了 D．周长变了，面积没变 【答案】C 【分析】把长方形框架拉成平行四边形，四条边的长度不变；但形状改变后，平行四边形的高小于原长方形的宽，底不变。平行四边形的面积＝底×高。 【详解】把一个长方形框架拉成一个平行四边形，四条边的长度没有发生变化，所以平行四边形的周长与长方形的周长相等，即周长不变。 由于底不变，高变小，根据积的变化规律，面积变小，即面积变了。 综上所述，平行四边形与长方形相比，周长不变，面积变了。 4．晓东列出算式“17.5×13.5－（5＋13.5）×（17.5－11）÷2”计算下面图形的面积，晓东的思考过程可以用（    ）来表示。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析晓东列出算式“17.5×13.5－（5＋13.5）×（17.5－11）÷2”的含义，根据长方形面积＝长×宽，得知算式的第一部分13.5×17.5表示一个长为17.5米，宽为13.5米的长方形的面积；根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，得知算式的第二部分（5＋13.5）×（17.5－11）÷2表示一个梯形的面积，其中，上底为5米，下底为13.5米，高为（17.5－11）米。因此，晓东的思路对应的是用一个大长方形的面积减去一个梯形的面积，得到目标图形的面积。据此分析选项。 【详解】A．观察图形可知，选项A的思路是三角形面积加上梯形面积等于目标图形面积。不符合晓东的思路用一个大长方形的面积减去一个梯形的面积，得到目标图形的面积。 B．观察图形可知，选项B的思路是长方形面积加上梯形面积等于目标图形面积。不符合晓东的思路用一个大长方形的面积减去一个梯形的面积，得到目标图形的面积。 C．观察图形可知，选项C的思路是长方形面积加上三角形面积等于目标图形面积。不符合晓东的思路用一个大长方形的面积减去一个梯形的面积，得到目标图形的面积。 D．观察图形可知，选项D的思路是用一个大长方形的面积减去一个梯形的面积，得到目标图形的面积，且，长方形的长为17.5米宽为13.5米，梯形的上底为5米，下底为13.5米，高为（17.5-11）米，符合晓东的思路。 故答案为：D 5．一个三角形的面积是39cm2，它的底是6cm，它的高是( )cm。 【答案】13 【分析】由“”可知“”，把题目中的数据代入公式求出这个三角形的高，据此解答。 【详解】2×39÷6 ＝78÷6 ＝13（cm） 所以，它的高是13cm。 6．一个平行四边形的底是8厘米，高是7厘米。与这个平行四边形等底等积的三角形的高是( )厘米。 【答案】14 【分析】平行四边形面积＝底×高，因为三角形和这个平行四边形等底等积，根据“三角形的高＝面积×2÷底”将三角形的面积和底，也就是平行四边形的面积和底代入公式求解。 【详解】8×7＝56（平方厘米） 56×2÷8 ＝112÷8 ＝14（厘米） 7．李叔叔用一根32分米长的铁丝围成一个正方形框架，如果把正方形框架拉成一个平行四边形，那么平行四边形的面积是( )平方分米，周长是( )分米。 【答案】 48 32 【分析】铁丝的总长度等于正方形的周长，把正方形框架拉成一个平行四边形，四条边的长度不变，则平行四边形的周长等于正方形的周长；根据“”求出正方形的边长，平行四边形的底等于正方形的边长，平行四边形的高比正方形的边长少2分米，先求出平行四边形的高，再根据“”求出平行四边形的面积。 【详解】32÷4＝8（分米） 8×（8－2） ＝8×6 ＝48（平方分米） 分析可知，平行四边形的面积是48平方分米，周长是32分米。 8．一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底也相等。已知平行四边形的高是6.8厘米，三角形的高是( )厘米。 【答案】13.6 【分析】平行四边形和一个三角形的面积相等，底也相等。那么三角形的高必须是平行四边形高的2倍。 【详解】（厘米） 因此三角形的高是13.6厘米。 9．填写合适的面积单位。 桂林市全州县有着“广西北大门”的美誉，总面积约为4021( )；被称为“楚南第一名刹”的湘山寺景区，建筑面积约为2( )。 【答案】 平方千米/km2 公顷/hm2 【分析】常见的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米、公顷、平方千米等，其中1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，1平方米＝100平方分米，1平方分米＝100平方厘米。根据生活常识和对不同面积单位大小的理解，结合所描述物体的实际情况，选择合适的面积单位。 【详解】全州县是县级行政区，县级区域总面积通常较大，常用平方千米作为面积单位，因此填全州县总面积约为4021平方千米（km2）。 湘山寺景区的建筑面积属于中等规模，公顷是计量稍大面积的常用单位（1公顷＝10000平方米），2公顷符合景区建筑面积的实际情况，因此湘山寺景区建筑面积约为2公顷（hm2）。 10．如图中平行四边形的面积为b平方厘米，那么三角形面积为( )平方厘米，梯形面积为( )平方厘米。 【答案】 b÷2 【分析】平行四边形、三角形和梯形的高相等，已知平行四边形面积为b平方厘米，底为8厘米，可先求出高。再利用三角形和梯形的面积公式，三角形面积＝底×高÷2；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此即可计算。 【详解】平行四边形的高：（b÷8）平方厘米 三角形面积＝底×高÷2 8×（b÷8）÷2 ＝8×b÷8÷2 ＝（b÷2）厘米 梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2 （4＋12）×（b÷8）÷2 ＝16×b÷8÷2 ＝b 11．如图，明明在估计图中树叶的面积时做了一些标记。如果每个小正方形的面积是，那么这片树叶的面积大约是( )。 【答案】42 【分析】通常采用以下方法估算树叶面积： 利用轴对称性：树叶图形通常是轴对称的，因此只需数出对称轴一侧的方格数，再乘2即可得到总面积。 ‌数整格与半格：对于对称轴一侧的方格，数出完整的方格（整格）和不完整的方格（不满整格）。不满整格的部分通常按半格计算。 计算面积：总面积 ≈（整格数＋不满整格数×0.5）×2。 【详解】左侧整格数面积：17×1＝17（），所以整体整格数面积＝17×2＝34（）； 左侧不满整格数面积：8×0.5＝4（），所以整体不满整格数面积：4×2＝8（） 整体面积为：34＋8＝42（） 所以这片树叶的面积大约是42。 12．数学家发现了“皮克定理”：如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数，a表示内部的格点数，它们之间的关系可以表示为S＝n÷2＋a－1。如图，钉子板上围出一个多边形，它的面积是( )平方厘米。 【答案】5.5 【分析】分别数出n表示边上的格点数和a表示内部的格点数，代入S＝n÷2＋a－1，求值即可。求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】看图可知，n＝7，a＝3 S＝n÷2＋a－1 ＝7÷2＋3－1 ＝3.5＋3－1 ＝5.5（平方厘米） 它的面积是5.5平方厘米。 13．下面方格纸上每个小方格表示1cm2，在方格纸上分别画一个平行四边形、一个三角形，使它们的面积和高都与图中的梯形相等。 【答案】见详解 【分析】已知每个小方格表示1cm2，由图可知梯形的上底为2cm，下底为4cm，高为4cm，根据梯形面积公式：（上底＋下底）×高÷2，求出梯形面积为（2＋4）×4÷2＝12cm2。已知要画的平行四边形和三角形，它们的面积和高都与图中的梯形相等，即需满足：高4cm，面积12cm2。 根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入面积和高的数值，求出平行四边形的底为12÷4＝3cm，所以画一个底为3cm、高为4cm的平行四边形即可。 根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入面积和高的数值，求出三角形的底为12×2÷4＝6cm，所以画一个底为6cm、高为4cm的三角形即可。 【详解】梯形面积：（2＋4）×4÷2 ＝6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（cm2） 平行四边形的底：12÷4＝3（cm） 三角形的底：12×2÷4 ＝24÷4 ＝6（cm） 根据分析，画图如下： （答案不唯一） 14．计算下面图形的面积。（单位：分米） 【答案】18平方分米；184平方分米 【分析】（1）根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 （2）组合图形的面积＝长方形的面积＋三角形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】（1）12×3÷2 ＝36÷2 ＝18（平方分米） 三角形的面积是18平方分米。 （2）20×8＝160（平方分米） （20－8）×（12－8）÷2 ＝12×4÷2 ＝24（平方分米） 160＋24＝184（平方分米） 组合图形的面积是184平方分米。 15．计算中队旗（阴影部分）的面积。（单位：厘米） 【答案】4200平方厘米 【分析】由图可知，整个图形是一个长方形，长方形的长是80厘米，宽是（30×2）厘米，利用“”求出长方形的面积，空白部分是一个三角形，三角形的底是（30×2）厘米，高是20厘米，利用“”求出三角形的面积，阴影部分的面积＝长方形的面积－三角形的面积，据此解答。 【详解】80×（30×2）－（30×2）×20÷2 ＝80×60－60×20÷2 ＝4800－1200÷2 ＝4800－600 ＝4200（平方厘米） 所以，中队旗的面积是4200平方厘米。 16．计算下面图形面积。（单位：厘米） 【答案】860平方厘米；184平方厘米 【分析】（1）第一个图形可以看成是梯形面积加平行四边形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形面积＝底×高，先分别算出梯形和平行四边形的面积，再相加即可； （2）第二个图形可以看成是长方形面积减去梯形面积，根据长方形面积＝长×宽，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，先分别算出长方形和梯形的面积，再用长方形的面积减去梯形的面积即可。 【详解】（1）（36＋40）×10÷2 ＝76×10÷2 ＝760÷2 ＝380（平方厘米） 40×12＝480（平方厘米） 380＋480＝860（平方厘米） 所以第一个图形的面积是860平方厘米。 （2）20×12＝240（平方厘米） （8＋20）×4÷2 ＝28×4÷2 ＝112÷2 ＝56（平方厘米） 240－56＝184（平方厘米） 所以第二个图形的面积是184平方厘米。 17．一块梯形麦田，上底是40米，下底是60米，高是25米。如果每平方米收小麦0.8千克，这块麦田一共可以收小麦多少千克？ 【答案】 1000千克 【分析】根据梯形的面积，先求出梯形麦田的面积。已知每平方米收小麦的质量，用麦田的面积乘每平方米收小麦的质量，即可求出这块麦田一共可以收小麦的质量。 【详解】 （平方米） （千克） 答：这块麦田一共可以收小麦1000千克。 18．星光植物园有一块梯形草坪（如图），布置菊花展时计划把它扩建成一个平行四边形，受条件限制，扩建时只把梯形的上底延长，下底和高不变，梯形高20米。若要在扩建的部分铺草皮，草皮的单价是8.7元/平方米，购买草皮需要多少元？ 【答案】1740元 【分析】扩建部分是一个三角形，这个三角形的底为梯形下底减去上底，即50－30＝20米，高与梯形的高相等，为20米。根据三角形面积公式（其中a为底，h为高），可得扩建部分面积；已知草皮单价是8.7元/平方米，根据“总价＝单价×数量”，可得购买草皮需要的价格。 【详解】50－30＝20（米） 20×20÷2 ＝400÷2 ＝200（平方米） 8.7×200＝1740（元） 答：购买草皮需要1740元。 19．国家鼓励将荒地开发为农用地，有这样一块荒地（如下图），李叔叔打算开发出来种玉米，请你想办法帮他算一算这块土地的面积是多少平方千米？ 【答案】3平方千米 【分析】 如图把这块土地拆分成一个三角形和一个长方形。由图可知：三角形的底为2.4－1.2＝1.2千米，高为2－1＝1千米，根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2，代入底和高的数值，求出三角形的面积。长方形的长为2.4千米。宽为1千米，根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，代入长和宽的数值，求出长方形的面积。最后将三角形的面积和长方形的面积相加，求出总面积，即这块土地的面积。 【详解】（2.4－1.2）×（2－1）÷2＋2.4×1 ＝1.2×1÷2＋2.4 ＝1.2÷2＋2.4 ＝0.6＋2.4 ＝3（平方千米） 答：这块土地的面积是3平方千米。 20．王大伯把一块梯形菜地分成一个平行四边形和一个三角形，平行四边形地里种白菜，三角形地里种萝卜。萝卜地一共有多少平方米？如果每棵白菜占地0.16平方米，一共可以种多少棵？ 【答案】萝卜地一共有11.52平方米；一共可以种204棵白菜 【分析】由图可知，三角形地的底为（11.6－6.8＝4.8）米，高为4.8米，根据三角形面积＝底×高÷2即可求出萝卜地一共有多少平方米； 白菜地的底为6.8米，高为4.8米的平行四边形，根据平行四边形＝底×高即可求出白菜占地的面积，用白菜占地的面积除以每棵白菜占地面积0.16平方米，即可求出一共可以种多少棵白菜。 【详解】（11.6－6.8）×4.8÷2 ＝4.8×4.8÷2 ＝11.52（平方米） 6.8×4.8÷0.16 ＝32.64÷0.16 ＝204（棵） 答：萝卜地一共有11.52平方米；一共可以种204棵白菜。 21．学校手工制作组制作了一个指示牌（如下图）。现在要为这个指示牌的正反两面都刷上油漆。 (1)刷油漆的面积是多少平方厘米？ (2)如果每平方厘米要刷油漆0.5克，那么一共需要多少克油漆？ 【答案】(1)940平方厘米 (2)470克 【分析】指示牌可以看作一个底是22厘米、高是10厘米的三角形和一个长是30厘米、宽是12厘米的长方形组合而成，根据三角形的面积＝底×高÷2，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算出组合图形的面积，再乘2就是两面一共多少平方厘米，最后再乘每平方厘米用油漆的克数即可解答。 【详解】（1）一面面积：22×10÷2＋30×12 ＝110＋360 ＝470（平方厘米） 两面：470×2＝940（平方厘米） 答：刷油漆的面积是940平方厘米。 （2）940×0.5＝470（克） 答：如果每平方厘米要刷油漆0.5g，那么一共需要470克油漆。 22．王叔叔家有一个果园，中间一条宽2米的道路将果园分割成两块，如图（单位：米） (1)这个果园的实际种植面积是多少平方米？ (2)王叔叔要在果园里种上果树，如果每2.5平方米种一棵，一共可以种多少棵果树？ 【答案】(1)925平方米 (2)370棵 【分析】（1）种植面积不包括道路面积，种植面积＝梯形的面积－道路的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，道路的面积＝底×高；代入数据计算即可； （2）种植棵数＝种植面积÷每棵树的面积，据此解答。 【详解】（1）（30＋48）×25÷2－25×2 ＝78×25÷2－25×2 ＝1950÷2－50 ＝975－50 ＝925（平方米） 答：这个果园的实际种植面积是925平方米。 （2）925÷2.5＝370（棵） 答：一共可以种370棵果树。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 多边形的面积 内容导航 考点梳理 1 考点一、公顷、平方千米的认识 1 考点二、公顷、平方千米的进率与换算 2 考点三、平行四边形、三角形和梯形的高及画法 2 考点四、平行四边形面积的计算 3 考点五、平行四边形面积的应用 3 考点六、三角形面积的计算 4 考点七、三角形面积的应用 4 考点八、梯形面积的计算 4 考点九、梯形面积的应用 5 考点十、组合图形的面积 5 考点十一、不规则图形的面积 6 考点十二、钉子板上的多边形 6 例题讲解 7 题型一、公顷、平方千米的认识 7 题型二、公顷、平方千米的进率与换算 7 题型三、平行四边形、三角形和梯形的高及画法 8 题型四、平行四边形面积的计算 8 题型五、平行四边形面积的应用 9 题型六、三角形面积的计算 10 题型七、三角形面积的应用 11 题型八、梯形面积的计算 11 题型九、梯形面积的应用 12 题型十、组合图形的面积 13 题型十一、不规则图形的面积 15 题型十二、钉子板上的多边形 15 提升练习 16 考点梳理 考点一、公顷、平方千米的认识 1. 公顷（hm²） (1) 定义：边长是100米的正方形面积是1公顷。 (2) 直观感受：1公顷大约相当于400米跑道围起来部分的面积，或者一个标准足球场加上周围跑道的面积。 (3) 适用场景：测量和计算土地面积时，常用公顷作单位（如公园、校园、大型广场）。 2. 平方千米（km²） (1) 定义：边长是1千米（1000米）的正方形面积是1平方千米。 (2) 直观感受：1平方千米比2个天安门广场的面积还要大一些。 (3) 适用场景：计量比较大的土地面积时，常用平方千米作单位（如城市面积、省份面积、国家国土面积）。 考点二、公顷、平方千米的进率与换算 1. 进率关系 (1) 1公顷 = 10000 平方米 (2) 1平方千米 = 100 公顷 (3) 1平方千米 = 1000000 平方米 2. 换算方法 (1) 高级单位 → 低级单位：乘以进率（小数点向右移动）。 例：3公顷 = 3 × 10000 = 30000 平方米 例：5平方千米 = 5 × 100 = 500 公顷 (2) 低级单位 → 高级单位：除以进率（小数点向左移动）。 例：20000平方米 = 20000 ÷ 10000 = 2 公顷 例：800公顷 = 800 ÷ 100 = 8 平方千米 注意：在进行面积计算应用题时，务必先统一单位，再列式计算。 考点三、平行四边形、三角形和梯形的高及画法 1. 高的定义 (1) 平行四边形的高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 (2) 三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 (3) 梯形的高：两底之间的距离叫做梯形的高（即从上底一点向下底引垂线）。 2. 画法要点 (1) 工具：必须使用三角板或直尺配合画垂线。 (2) 标识：高通常用虚线表示，并标出直角符号。 (3) 数量： 1　 平行四边形有无数条高（对应同一组对边的高长度相等）。 2　 三角形有三条高（锐角三角形高在内部，直角三角形两条高是直角边，钝角三角形两条高在外部）。 3　 梯形有无数条高（所有高长度相等）。 考点四、平行四边形面积的计算 1. 公式推导 利用割补法将平行四边形转化成长方形： (1) 长方形的长 = 平行四边形的底 ( ) (2) 长方形的宽 = 平行四边形的高 ( ) (3) 因为：长方形面积 = 长 × 宽 (4) 所以：平行四边形面积 = 底 × 高 2. 字母公式 (1) ：面积 (2) ：底 (3) ：高 易错点：计算时必须使用对应的底和高。 考点五、平行四边形面积的应用 1. 已知底和高，求面积 直接代入公式 。 2. 已知面积和底（或高），求高（或底） 根据逆运算推导： (1) (2) 3. 等底等高的平行四边形 (1) 结论：等底等高的平行四边形面积相等。 (2) 形状：形状可以不同，但面积一定相同。 4. 拉框变形问题 (1) 用木条钉成一个长方形框架，拉成平行四边形后： 1　 周长不变（四条边长度没变）。 2　 面积变小（高变短了，底不变）。 考点六、三角形面积的计算 1. 公式推导 利用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形： (1) 平行四边形的底 = 三角形的底 ( ) (2) 平行四边形的高 = 三角形的高 ( ) (3) 平行四边形面积 = (4) 三角形面积是平行四边形面积的一半。 (5) 所以：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 2. 字母公式 易错点：千万不要忘记除以2！ 考点七、三角形面积的应用 1. 基本计算 已知底和高，求面积： 。 2. 逆向求解 (1) 已知面积和高，求底： (2) 已知面积和底，求高： (3) 记忆技巧：求底或高时，先用面积乘2，再除以另一个量。 3. 等底等高的三角形 (1) 结论：等底等高的三角形面积相等。 (2) 同底等高模型：在两条平行线之间，同底的三角形面积相等。 4. 直角三角形 (1) 两条直角边互为底和高。 (2) 面积 = 直角边1 × 直角边2 ÷ 2。 考点八、梯形面积的计算 1. 公式推导 利用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形： (1) 平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底 ( ) (2) 平行四边形的高 = 梯形的高 ( ) (3) 平行四边形面积 = (4) 梯形面积是平行四边形面积的一半。 (5) 所以：梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 2. 字母公式 (1) ：上底 (2) ：下底 (3) ：高 考点九、梯形面积的应用 1. 基本计算 代入公式 。注意先算括号内的加法。 2. 逆向求解 (1) 已知面积、上底、下底，求高： (2) 已知面积、高、上底，求下底： (3) 关键步骤：求高或底时，务必先将面积乘2。 3. 特殊梯形 (1) 直角梯形：垂直于底边的腰就是梯形的高。 (2) 堆叠物体：如钢管堆放，顶层根数相当于上底，底层根数相当于下底，层数相当于高，总根数可用梯形面积公式计算。 考点十、组合图形的面积 1. 定义 由两个或两个以上简单图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形）组合而成的图形。 2. 计算方法 (1) 分割法（加法）：将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积后相加。适用：凸出的组合图形。 (2) 添补法（减法）：将组合图形补成一个大的简单图形，计算出大图形的面积，再减去空白部分（多余部分）的面积。适用：凹进去的组合图形。 3. 解题步骤 (1) 观察：分析图形由哪些基本图形组成。 (2) 辅助线：画出分割线或补全线，标注已知数据。 (3) 计算：分别计算各部分面积。 (4) 汇总：根据加减关系得出总面积。 考点十一、不规则图形的面积 1. 估算方法 对于无法用公式直接计算的不规则图形（如树叶、脚印），通常采用数方格法。 2. 数方格规则 (1) 满格：计为1格。 (2) 不满格：通常按半格计算。 (3) 计算公式：面积 ≈ 满格数 + 不满格数 ÷ 2。 3. 注意事项 (1) 方格越小，估算结果越精确。 (2) 此方法得到的是近似值。 考点十二、钉子板上的多边形 1. 探索规律（皮克定理简化版） 在钉子板上围成的多边形，其面积与多边形边上的钉子数（ ）和多边形内部的钉子数（ ）有关。 2. 常见规律总结 (1) 当内部没有钉子（ ）时： (2) 当内部有1个钉子（ ）时： (3) 当内部有2个钉子（ ）时： (4) 通用公式（选学/拓展）： (1) ：面积 (2) ：内部钉子数 (3) ：边上钉子数 例题讲解 题型一、公顷、平方千米的认识 【典例例题】在括号里填合适的单位。 我们教室的面积大约是80( )。   数学课本的封面面积是481( )。 沛县的面积是1576( )。 汉城公园的占地面积是34( )。 举一反三 【变式训练1】广西壮族自治区陆地总面积23.67（    ）。 A．万平方千米 B．平方千米 C．万平方米 D．公顷 【变式训练2】下面各项中，面积最接近1公顷的是（    ）。 A．200间教室的地面 B．200张课桌的桌面 C．1000平方米 D．1000块黑板的表面 【变式训练3】填上合适的单位：暑假我和爸爸妈妈去首都北京游玩，乘坐飞机从北京的上空向下看，发现北京真大呀！我用手机搜索后，知道了北京市的面积是16410( )。在北京游玩的第一天，我们参观了天安门广场，又参观了占地面积约72( )的故宫博物院。晚上我们到宾馆休息，我们住的房间面积约是15( )。 题型二、公顷、平方千米的进率与换算 【典例例题】3600公顷＝( )平方千米    1100平方厘米＝( )平方分米 6公顷＝( )平方米    240000平方米＝( )公顷 举一反三 【变式训练1】湖北省，简称“鄂”，全省总面积是185900000000平方米，合( )公顷，合( )平方千米。 【变式训练2】在括号里填上合适的数。 18公顷＝( )平方米    4000000平方米＝( )平方千米＝( )公顷 【变式训练3】一个长方形松树林长9千米、宽6千米，这个松树林的面积是多少公顷？ 题型三、平行四边形、三角形和梯形的高及画法 【典例例题】画出下面图形底边上的高。 举一反三 【变式训练1】乐乐给下面图形画指定底边的高，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】图中，标出的高正确的是（    ）。 A．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④ 【变式训练3】根据下面每个图形标出的底，分别画出高。 题型四、平行四边形面积的计算 【典例例题】求下面平面图形的面积。（单位：cm） 举一反三 【变式训练1】在推导平行四边形面积公式时，把平行四边形剪拼成长方形。在这个转化的过程中，平行四边形的周长( )，面积( )。（填“变了”或者“不变”） 【变式训练2】平行四边形的底是25m，高是14m，它的面积是( )m2。 【变式训练3】求下面平行四边形的面积。 题型五、平行四边形面积的应用 【典例例题】一个平行四边形果园，底为250米，高为30米。如果每棵果树占地12平方米，这个果园一共可以种多少棵果树？ 举一反三 【变式训练1】如下图所示，王叔叔靠墙边用篱笆围一块平行四边形菜地，面积为27平方米。王叔叔一共需要篱笆多少米？ 【变式训练2】刘叔叔家的果园是一个平行四边形，它的底是240米，高是85米，平均每公顷果园可以收水果8.5吨，这个果园共收水果多少吨？ 【变式训练3】有一块面积为300平方米的平行四边形草地，为了方便行人通过，工人师傅在草地中间修了一条宽1.5米的小路（如图所示）。小路的面积是多少平方米？ 题型六、三角形面积的计算 【典例例题】求下列三角形的面积。（单位：dm） （1）     （2） 举一反三 【变式训练1】一个三角形的底是2.6厘米，高是5厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【变式训练2】一个平行四边形的面积是40平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方厘米。 【变式训练3】计算下面三角形的面积。（单位：dm） 题型七、三角形面积的应用 【典例例题】一块茄子地的形状是三角形，它的底是28米，高是30米，每棵茄子约占0.5平方米，那么这块地可以种多少棵茄子？ 举一反三 【变式训练1】一种三角形板材，量得它的底是2.4米，高是1.5米。如果每平方米板材的价格是68元，买这样的一块板材需要多少钱？ 【变式训练2】一个三角形的花圃，底36米，高12米。如果平均每平方米产鲜花24枝，这个花圃一共可以产鲜花多少枝？ 【变式训练3】一块三角形玻璃的底是12.5分米，高是4分米，每平方米玻璃的价钱是20元。买这块玻璃要用多少元钱？ 题型八、梯形面积的计算 【典例例题】求下面图形的面积。（单位：厘米） 举一反三 【变式训练1】一个梯形的面积是300平方米，上底与下底的和是50米，它的高是( )米。 【变式训练2】一个梯形的上底是10分米，下底和高相等，都是12分米，它的面积是( )平方分米。 【变式训练3】求下面每个梯形的面积。（单位：cm） 题型九、梯形面积的应用 【典例例题】一个梯形果园，上底12米，下底15米，高8米。如果平均每棵果树占地1.2平方米，这个果园一共有多少棵果树？ 举一反三 【变式训练1】如图所示，张伯伯圈了一块直角梯形菜地用来种大白菜。这块菜地一面靠墙，共用篱笆72米。如果每平方米收大白菜14千克，张伯伯这块地一共可以收大白菜多少千克？ 【变式训练2】一块梯形麦田的上底是80米，下底是120米，高是40米，共收小麦4.08吨。平均每公顷收小麦多少吨？ 【变式训练3】借助梯形的面积公式可以轻松计算出下图中左边这堆木头的根数。受此启发，奇奇觉得如果在上面加一根木头后得到下面右边这堆木头，就可以借助三角形的面积公式计算这堆木头的根数：根（a为最下层的根数，h为层数）。你认可吗？为什么？如果右边这堆木头有20层，那么一共有多少根呢？ 题型十、组合图形的面积 【典例例题】计算组合图形的面积。（单位：cm） 举一反三 【变式训练1】计算下面图形的面积。（单位：cm）    【变式训练2】计算下面图形中阴影部分的面积。 【变式训练3】阳光小学有一块试验田，形状如下图。如果每平方米收萝卜6千克，这块试验田一共可以收萝卜多少千克？ 题型十一、不规则图形的面积 【典例例题】每个小方格的面积表示1cm2，大于或等于半格的按1格计算，请你填一填。 满格的有( )个，大于或等于半格的有( )个，图形的面积大约是( )cm2。 举一反三 【变式训练1】如图中每个小方格的面积表示1平方厘米，估计图中蘑菇的面积大约是（    ）平方厘米。 A．3 B．7 C．13 D．15 【变式训练2】下图中涂色部分的面积约为( )。 【变式训练3】下面每个小方格的边长都是1cm，估一估下图的面积约为( )cm2。 题型十二、钉子板上的多边形 【典例例题】在钉子板上围成的多边形的面积S，与它边上的钉子数n，以及内部钉子数b的关系是：当多边形内只有1枚钉子时，S＝( )；当多边形内有2枚钉子时，S＝( )。 举一反三 【变式训练1】在钉子板上围一个多边形（每相邻两枚钉子之间都是1厘米），如果多边形边上的钉子共12枚，内部有1枚钉子，围成的多边形面积是（    ）平方厘米。 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练2】在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米，围出的多边形边上有13枚钉子，多边形内有2枚钉子，这个多边形的面积是( )平方厘米。 【变式训练3】下图钉子板中多边形的面积是( )平方厘米。如果在这个钉子板上围出一个内部有2枚钉子，边上有9枚钉子的多边形，这个多边形的面积是( )平方厘米。 提升练习 1．学校有一块正方形操场，正好能容纳100个小朋友做广播操。这块操场的面积大约是（    ）。 A．200平方分米 B．200平方米 C．2000平方米 D．2000公顷 2．一个梯形的上底是3cm，下底是7cm，高是5cm，它的面积是（    ）cm2。 A．50 B．25 C．100 D．105 3．把一个长方形的框架拉成一个平行四边形，平行四边形与长方形相比（    ）。 A．周长和面积都变了 B．周长和面积都不变 C．周长不变，面积变了 D．周长变了，面积没变 4．晓东列出算式“17.5×13.5－（5＋13.5）×（17.5－11）÷2”计算下面图形的面积，晓东的思考过程可以用（    ）来表示。 A． B． C． D． 5．一个三角形的面积是39cm2，它的底是6cm，它的高是( )cm。 6．一个平行四边形的底是8厘米，高是7厘米。与这个平行四边形等底等积的三角形的高是( )厘米。 7．李叔叔用一根32分米长的铁丝围成一个正方形框架，如果把正方形框架拉成一个平行四边形，那么平行四边形的面积是( )平方分米，周长是( )分米。 8．一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底也相等。已知平行四边形的高是6.8厘米，三角形的高是( )厘米。 9．填写合适的面积单位。 桂林市全州县有着“广西北大门”的美誉，总面积约为4021( )；被称为“楚南第一名刹”的湘山寺景区，建筑面积约为2( )。 10．如图中平行四边形的面积为b平方厘米，那么三角形面积为( )平方厘米，梯形面积为( )平方厘米。 11．如图，明明在估计图中树叶的面积时做了一些标记。如果每个小正方形的面积是，那么这片树叶的面积大约是( )。 12．数学家发现了“皮克定理”：如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数，a表示内部的格点数，它们之间的关系可以表示为S＝n÷2＋a－1。如图，钉子板上围出一个多边形，它的面积是( )平方厘米。 13．下面方格纸上每个小方格表示1cm2，在方格纸上分别画一个平行四边形、一个三角形，使它们的面积和高都与图中的梯形相等。 14．计算下面图形的面积。（单位：分米） 15．计算中队旗（阴影部分）的面积。（单位：厘米） 16．计算下面图形面积。（单位：厘米） 17．一块梯形麦田，上底是40米，下底是60米，高是25米。如果每平方米收小麦0.8千克，这块麦田一共可以收小麦多少千克？ 18．星光植物园有一块梯形草坪（如图），布置菊花展时计划把它扩建成一个平行四边形，受条件限制，扩建时只把梯形的上底延长，下底和高不变，梯形高20米。若要在扩建的部分铺草皮，草皮的单价是8.7元/平方米，购买草皮需要多少元？ 19．国家鼓励将荒地开发为农用地，有这样一块荒地（如下图），李叔叔打算开发出来种玉米，请你想办法帮他算一算这块土地的面积是多少平方千米？ 20．王大伯把一块梯形菜地分成一个平行四边形和一个三角形，平行四边形地里种白菜，三角形地里种萝卜。萝卜地一共有多少平方米？如果每棵白菜占地0.16平方米，一共可以种多少棵？ 21．学校手工制作组制作了一个指示牌（如下图）。现在要为这个指示牌的正反两面都刷上油漆。 (1)刷油漆的面积是多少平方厘米？ (2)如果每平方厘米要刷油漆0.5克，那么一共需要多少克油漆？ 22．王叔叔家有一个果园，中间一条宽2米的道路将果园分割成两块，如图（单位：米） (1)这个果园的实际种植面积是多少平方米？ (2)王叔叔要在果园里种上果树，如果每2.5平方米种一棵，一共可以种多少棵果树？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $