精品解析：河南省信阳市浉河中学2021-2022学年 八年级上学期 11月考数学试卷

21-11-04-浉河中学八年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中，各角的度数有下列关系：，则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 3. 若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（ ） A. 组成的三角形中，周长最小为8 B. 组成的三角形中，周长最小为7 C. 组成的三角形中，周长最大为 D. 组成的三角形中，周长最大为 4. 如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 等腰三角形的一个外角等于，则它的底角等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是中的平分线，于点，于点．若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，将的三个顶点坐标的横坐标都乘以－1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ） A. 将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 B. 关于轴对称 C. 将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 D. 关于轴对称 8. 从正多边形的一个顶点可以引出m条对角线，这个正多边形有n条对称轴，若，则这个多边形的每一个内角都等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，P是的中点，，交于点E，交于点F，现给出以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）当在内绕顶点P旋转时始终有．（点E不与A，B重合）．上述结论中始终正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，蚂蚁点P出发，沿直线行走40米后左转30°，再沿直线行走40米，又左转30°，…；照此走下去，它第一次回到出发点P，一共行走的路程是_____米． 12. 如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC的垂直平分线与AC相交于点D，则△ABD的周长为 __________． 13. 等腰的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰三角形有___________个． 14. 如图，在中，，D是射线上一点，以A为圆心，为半径画弧交射线于E，若，则___________°． 15. 如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若BPD是直角三角形，则PA＝___． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 如图，在中（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （1）利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离的长等于的长； （2）利用尺规作图，作出（1）中的线段． 17. 如图，中，，是边上的高，为垂足，平分，交于点，，，求的度数． 18. 如图，在四边形中，，，，，，求的长． 19. 如图，在中，，，于，于，，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点的坐标：_____，_____，_____； （3）求的面积； （4）在轴上画出点，使的值最小． 21. 已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． （1）点E到的距离___________（填，或） （2）求证：． 22. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1，（1）分别在射线，上截取，（点C，E不重合）；（2）分别作线段，的垂直平分线，，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线，射线即为的平分线． 简述理由如下： 由作图知，，，，所以≌，则，即射线是的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线，上截取，（点C，E不重合）；（2）连接，，交点为P；（3）作射线．射线即为的平分线． …… 任务： （1）小明得出≌的依据是 　 　（填序号）． ① ② ③ ④ ⑤ （2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由． 23. 解决下列问题 （1）问题发现：如图（1），已知． ①若，，则； ②若，，则，； ③根据以上计算，请写出与之间的数量关系：___________． （2）问题拓展：如图（2），已知，（1）中的关系还成立吗？如果不成立，请写出正确的结论；如果成立，请写出证明过程． （3）知识应用：点是三边垂直平分线的交点，若，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21-11-04-浉河中学八年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 2. 中，各角的度数有下列关系：，则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：设， ， ，， ， 解得：， ，最大角为钝角， 是钝角三角形． 3. 若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（ ） A. 组成的三角形中，周长最小为8 B. 组成的三角形中，周长最小为7 C. 组成的三角形中，周长最大为 D. 组成的三角形中，周长最大为 【答案】D 【解析】 【详解】∵三角形三边长为，，， ∴，即， 又∵为正整数， ∴的可能取值为，，， 当时，周长最小，最小周长为，因此选项A，B错误， 当时，周长最大，最大周长为，因此选项C错误，选项D正确． 4. 如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知，，对照全等三角形判定定理逐一判断条件能不能证明；两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等． 【详解】解：已知：，， 选项A：，，，属于两边和其中一边的对角对应相等，不能判定，故此选项错误． 选项B：， ， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项C：和都是直角三角形， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项D：在和中， ， ，故此选项正确． 5. 等腰三角形的一个外角等于，则它的底角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需分类讨论外角对应底角的外角还是顶角的外角，结合三角形内角和定理排除不合理情况，即可得到结果，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵ 等腰三角形的一个外角为， ∴ 和这个外角相邻的内角为． 分两种情况讨论： ① 若是底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和定理，舍去该情况． ② 若是顶角，则底角为 ． ∴ 该等腰三角形的底角为． 6. 如图，是中的平分线，于点，于点．若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：是的平分线，，， ， ， ， ． 故选：A． 7. 如图，将的三个顶点坐标的横坐标都乘以－1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ） A. 将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 B. 关于轴对称 C. 将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 D. 关于轴对称 【答案】D 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），分别关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）． 【详解】解：根据对称的性质，得三个顶点坐标的横坐标都乘以﹣1，并保持纵坐标不变，就是横坐标变成相反数． 即所得到的点与原来的点关于y轴对称． ∴所得图形与原图形的关系是关于y轴对称． 故选D． 【点睛】题目主要考查点的对称的性质，理解轴对称的性质是解题关键． 8. 从正多边形的一个顶点可以引出m条对角线，这个正多边形有n条对称轴，若，则这个多边形的每一个内角都等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正多边形对角线条数和对称轴条数的性质，求出正多边形的边数，再根据内角和公式计算单个内角度数． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵从正多边形的一个顶点可以引出m条对角线，这个正多边形有n条对称轴， ∴，， ∵， ∴， 解得：，即该多边形为正十边形， ∵边形内角和为， ∴正十边形每个内角的度数为 ． 9. 如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直的定义可知，根据同角的余角相等可得，证明，根据全等三角形的性质可证，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ． 10. 如图，在中，，，P是的中点，，交于点E，交于点F，现给出以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）当在内绕顶点P旋转时始终有．（点E不与A，B重合）．上述结论中始终正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先判定为等腰直角三角形，利用斜边中线性质得到相等线段与等角，通过证明与全等，由此验证①②；借助全等三角形面积相等进行等面积转化，推导四边形与的面积关系验证③；结合等腰三角形性质与三角形边长关系，判断与长度不相等，否定④，最后统计正确结论数量． 【详解】在△中，，， △是等腰直角三角形， ， 是中点， ，，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， △是等腰直角三角形，故①正确；②正确； △△ ， ，故③正确； △是等腰直角三角形，是的中点， ， 无法证明与一定相等，故④错误； 即正确的有3个． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，蚂蚁点P出发，沿直线行走40米后左转30°，再沿直线行走40米，又左转30°，…；照此走下去，它第一次回到出发点P，一共行走的路程是_____米． 【答案】480 【解析】 【分析】根据题意，蚂蚁走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以40米即可． 【详解】解：∵蚂蚁每次都是沿直线前进40米后向左转30°， ∴它走过的图形是正多边形，且每个外角为30°， ∴边数n＝360°÷30°＝12， ∴它第一次回到出发点P时，一共走了12×40＝480(米)． 故答案为：480． 【点睛】本题考查了正多边形外角和的实际应用，根据题意判断出蚂蚁走过的图形是正多边形是解题的关键． 12. 如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC的垂直平分线与AC相交于点D，则△ABD的周长为 __________． 【答案】14cm 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD=CD即可求解． 【详解】解：∵BC的垂直平分线与AC相交于点D， ∴BD=CD， ∵AB＝6cm，AC＝8cm， ∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=6+8=14cm， 故答案为：14cm． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的周长，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． 13. 等腰的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰三角形有___________个． 【答案】 【解析】 【分析】设出等腰三角形的腰长与底边长，根据周长得到二者的关系式，结合边长为正整数的条件与三角形三边关系，筛选出所有符合条件的边长组合，统计个数即可． 【详解】解：设等腰的腰长为，底边长为，其中，均为正整数， 由题意得：，即 ． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得且． 将代入不等式组得 ， 解不等式组得：． 因为为正整数， 所以的取值为，，， 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 因此符合条件的等腰三角形共有个． 14. 如图，在中，，D是射线上一点，以A为圆心，为半径画弧交射线于E，若，则___________°． 【答案】50 【解析】 【分析】设，由等腰三角形的性质可用x表示，由，得到，由三角形外角的性质得到，于是即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ． 15. 如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若BPD是直角三角形，则PA＝___． 【答案】2或4 【解析】 【分析】分为点在上和点在的延长线上两种情况画出图形，然后再证明为有一个角为的直角三角形，最后依据列方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 如图1所示： 由翻折的性质可知：， ， ， ， ∴若BPD是直角三角形，则， ∴， ， ， 解得； 如图2所示： 由翻折的性质可知：， ， ， ， ∴若BPD是直角三角形，则， ∴， ， ， 解得， 综上所述，的长为2或4， 故答案为：2或4． 【点睛】本题主要考查的是翻折变换、含直角三角形的性质，证得为一个含的直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 如图，在中（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （1）利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离的长等于的长； （2）利用尺规作图，作出（1）中的线段． 【答案】（1） 如图所示，点P即为所求； （2） 如图所示，线段为所求． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法与性质，垂线的作法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的性质，作的角平分线交于点P即可； （2）作于点D即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平分，，， ． 17. 如图，中，，是边上的高，为垂足，平分，交于点，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以在中，可利用直角三角形两锐角互余，求出的度数，因为是边上的高，所以，结合和的度数，可求出和的度数，从而得到的度数，因为平分，所以可得到的度数，再利用三角形内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 在中， ， ∵  是  边上的高，即 ， ∴， 在中， ， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∵  平分 ， ∴ ， 在中， ． 18. 如图，在四边形中，，，，，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质．延长，交于点，根据已知证出是等边三角形，设，根据列出方程，即可求解． 【详解】解：延长，交于点， ，， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ， 设， ，，， ， 解得， ． 19. 如图，在中，，，于，于，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．证明，得到，，利用，计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴，． ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点的坐标：_____，_____，_____； （3）求的面积； （4）在轴上画出点，使的值最小． 【答案】（1） 如图所示； （2）；； （3）6.5 （4） 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出点的坐标，以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据A、B、C三点的坐标及关于y轴对称的点的坐标特征即可写出； （3）根据分割法即可求出的面积； （4）连接，与轴交于点，使的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与关于轴对称，， ∴点的坐标为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：的面积； 【小问4详解】 解：如图，连接，与轴交于点，点即为所求． 21. 已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． （1）点E到的距离___________（填，或） （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）过点E作交的延长线于点H，求出，然后利用角平分线的性质定理求解； （2）连接，，首先证明，得到，推出，然后证明，得到，即证明． 【小问1详解】 解：如图，过点E作交的延长线于点H， ∵ ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点E到的距离； 【小问2详解】 略 22. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1，（1）分别在射线，上截取，（点C，E不重合）；（2）分别作线段，的垂直平分线，，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线，射线即为的平分线． 简述理由如下： 由作图知，，，，所以≌，则，即射线是的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线，上截取，（点C，E不重合）；（2）连接，，交点为P；（3）作射线．射线即为的平分线． …… 任务： （1）小明得出≌的依据是 　 　（填序号）． ① ② ③ ④ ⑤ （2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）③ （2） 解：射线是的平分线，理由如下：如图2， ∵，，， ∴≌（）， ∴， ∵，， ∴≌（）， ∴， ∵，，， ∴≌（）， ∴，即， ∴射线是的平分线． 【解析】 【分析】（1）由作图得，，，，可知≌的依据； （2）找出条件，证明≌，由全等三角形的性质得到，所以是的平分线． 【小问1详解】 解：（1）如图1，由作图得，，，垂直平分，垂直平分， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴≌（）， 故答案为：③． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查角平分线的作法、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，根据三角形全等的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 23. 解决下列问题 （1）问题发现：如图（1），已知． ①若，，则； ②若，，则，； ③根据以上计算，请写出与之间的数量关系：___________． （2）问题拓展：如图（2），已知，（1）中的关系还成立吗？如果不成立，请写出正确的结论；如果成立，请写出证明过程． （3）知识应用：点是三边垂直平分线的交点，若，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②，；③ （2）（1）中关系不成立， （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据等边对等角求出，进而求出，，利用周角的定义即可得出答案； ②利用周角的定义求出，根据等边对等角求出，，，根据角的和差关系即可得出答案； ③根据①②中的规律，得出即可； （2）根据等边对等角得出，根据四边形内角和为即可得出答案； （3）分点在内部和外部两种情况，利用（1）（2）结论解得即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，； ③∵，， ∴猜想． 【小问2详解】 解：（1）中关系不成立，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图所示， 当点在内部时， ∵点是三边垂直平分线的交点， ∴， ∴由（1）可知，； 当点在外部时， ∵点是三边垂直平分线的交点， ∴， ∴由（2）可知，，即， ∴ ∴的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $