精品解析： 河南省郑州市中原区郑州外国语中学2020 -2021学年八年级上学期 10月月考数学试卷

2020～2021学年10月河南省郑州市中原区郑州外国语中学 八年级上学期月考数学试卷 （满分：100分） 一、选择题（共10题，共30分） 1. 在实数3.14，，，，，，，中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各组数中互为相反数的一组是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与3 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ） ①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 已知点 P(2m 6,m 1) 在 x 轴上，则点 P的坐标是（ ） A. (1，0) B. (4，0) C. (0，2) D. (0，3) 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD＝，则△ABC的面积是（　　） A. 18 B. 36 C. 72 D. 125 10. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，···，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，共15分） 11. 的平方根是________． 12. 比较大小：______（填“＞”、“＜”或“＝”） 13. 已知点和点，若直线轴，且，则的值______． 14. 如图，长方形ABCO中，AB=2，BC=5，且如图放置在坐标系中，若将其沿着OB对折后，A'为点A的对应点，则OA'与BC的交点D的坐标为_______． 15. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角三角形时，则AD的长为_____． 三、解答题（共6题，共55分） 16. 计算下列各题． （1）． （2）． 17. 先化简，再求值． ，其中，． 18. 如图，，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． （1）画出． （2）的面积为______． （3）已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为______． 19. 如图，中，是上的一点，若，，，． （1）求线段的长； （2）求的面积． 20. 解答下列各题： （1）发现，①；②；③；写出：④______． （2）归纳猜想：若为正整数且，用含的式子表示这个运算规律______． （3）请证明你猜想的规律． 21. 在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． （1）如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． （2）如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020～2021学年10月河南省郑州市中原区郑州外国语中学 八年级上学期月考数学试卷 （满分：100分） 一、选择题（共10题，共30分） 1. 在实数3.14，，，，，，，中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，注意带根号且开不尽的为无理数． 【详解】解：3.14是有限小数，属于有理数； =3，是整数，属于有理数； 1.是循环小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 无理数有：，，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 下列各组数中互为相反数的一组是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，也考查了算术平方根和立方根的计算，要注意细心运算每个选项，属于基础题．一个正数x的平方等于a，则这个正数x叫作a的算术平方根；一个数x的立方等于a，则这个数x叫作a的立方根，只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：A.，与3互为相反数，故A正确； B.，与相等，不是互为相反数，故B错误； C.与互为倒数，故C错误； D.，3和3相等，不是互为相反数，故D错误； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则逐项判断即可，熟练掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算正确，符合题意； 、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 4. 适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ） ①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可． 【详解】解：①，故△ABC不是直角三角形； ②a=6，∠A=45°不是成为直角三角形的必要条件，故△ABC不是直角三角形； ③∠A=32°，∠B=58°，∠C=180°－∠A－∠B=90°，故△ABC是直角三角形； ④72+242=252，故△ABC是直角三角形； ⑤22+22≠42，故△ABC不是直角三角形． 符合条件的有2个 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 5. 已知点 P(2m 6,m 1) 在 x 轴上，则点 P的坐标是（ ） A. (1，0) B. (4，0) C. (0，2) D. (0，3) 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点P（2m-6，m-1）在x轴上， ∴m-1=0， 解得：m=1， 故2m-6=-4， 则点P的坐标是（-4，0）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了x轴上点的坐标，正确得出m的值是解题关键． 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行比较即可． 【详解】解：∵＜＜， ∴5＜＜6， ∴的值在5和6之间； 故选：B． 【点睛】此题考查了估算无理数，利用夹逼法进行无理数的估算是解题的关键． 7. 如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，求出，在中，根据勾股定理求出的长. 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱底面周长为， ∴， ∵， ∴， 勾股定理求最短距离： 展开后是直角三角形，为斜边， ∴， 即最短距离为． 8. 如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， ∵S1+S2＝12， ∴×π×+π×+AC×BC﹣π×＝12， ∴AC×BC＝24， AB＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形的面积及勾股定理、完全平方公式，关键是根据扇形面积公式列出算式然后利用完全平方公式及勾股定理进行化简求解即可． 9. 如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD＝，则△ABC的面积是（　　） A. 18 B. 36 C. 72 D. 125 【答案】A 【解析】 【分析】作AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，由等腰三角形的性质可得AF的长，利用勾股定理，可以得到CF的长，再根据等积法可以得到AE的长，进而可计算出△ABC的面积． 【详解】作AE⊥CD于点E，作CF⊥AD于点F， ∵AC＝CD＝5，AD＝6，CF⊥AD， ∴AF＝AD=3，∠AFC＝90°， ∴CF＝＝4， ∵， ∴， 解得．AE＝， ∵BD＝，CD＝5， ∴BC＝， ∴△ABC的面积是：， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形面积，等腰三角形底边的高、底边的中线及顶角的角平分线“三线合一”；利用等积法得出AE的长是解题关键． 10. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，···，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察可得点P的变化规律， “ (n为自然数)”，由此即可得出结论. 【详解】观察， ， 发现规律: (n为自然数) . ∵ ∴ 点的坐标为. 故选: B. 【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出规律“ (n为自然数)”，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点P的变化罗列出部分点的坐标，再根据坐标的变化找出规律是关键. 二、填空题（共5题，共15分） 11. 的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 先求得，根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 12. 比较大小：______（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】根据，，可求得，据此即可求得答案． 【详解】∵，， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方根的性质和实数的大小比较，掌握算术平方根的概念是解题的关键． 13. 已知点和点，若直线轴，且，则的值______． 【答案】5或-3 【解析】 【分析】由于AB∥x轴，我们根据平行线之间距离处处相等，可以得到A，B两点的纵坐标相等，确定n的值；由AB=4，分B在A点的左侧或者右侧进行讨论，建立绝对值方程，求得两种情况的答案，再进行计算即可． 【详解】解：∵直线AB∥x轴， ∴-2=n ∴n=-2 ∵AB=4， ∴|3-m|=4 解得，m=-1或7 ∴m+n=-3或5 故答案为：5或-3． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的点坐标、平行的性质，分类讨论、方程的思想和计算能力，解答关键是应用数形结合思想解决问题． 14. 如图，长方形ABCO中，AB=2，BC=5，且如图放置在坐标系中，若将其沿着OB对折后，A'为点A的对应点，则OA'与BC的交点D的坐标为_______． 【答案】（，2） 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠AOB=∠CBO，由折叠的性质得到∠AOB=∠BOD，求得BD=OD，设CD=x，则BD=OD=5-x，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵长方形ABCO中，OA∥BC， ∴∠AOB=∠CBO， 由折叠的性质得，∠AOB=∠BOD， ∴∠DBO=∠BOD， ∴BD=OD， 设CD=x，则BD=OD=5-x， ∵OC=AB=2， ∴（5-x）2=x2+22， ∴x=， ∴CD=， ∴D（，2）， 故答案为：（，2）． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键． 15. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角三角形时，则AD的长为_____． 【答案】7或17 【解析】 【分析】分两种情况：①当点D在AF上时；②当点D在BF上时；进行讨论即可求解． 【详解】解：作CF⊥AB于F， ∵在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24， ∴AF＝12， ∴CF＝＝5， ①如图1，当点D在AF上时， ∵∠ADE＝90°， ∴∠ADC＝∠EDC＝（360°﹣90°）÷2＝135°． ∴∠CDF＝45°． ∴CF＝DF． ∴AD＝AF﹣DF＝AF﹣CF＝12﹣5＝7． ②如图2，当点D在BF上时， ∵∠ADE＝90°， ∴∠CDF＝45°． ∴CF＝DF． ∴AD＝AF+DF＝AF+CF＝12+5＝17． 故答案为：或． 【点睛】主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 三、解答题（共6题，共55分） 16. 计算下列各题． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可求解； （2）先计算负整数指数幂，乘方，零指数幂，算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可求解． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 17. 先化简，再求值． ，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可． 【详解】 ， 当，时， 原式 ． 18. 如图，，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． （1）画出． （2）的面积为______． （3）已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平移方式即可作图； （2）利用割补法求解即可； （3）根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：设P点坐标为， ∵以为顶点的三角形的面积为， ∴， ∴， 解得：或， 即P点坐标为或． 19. 如图，中，是上的一点，若，，，． （1）求线段的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）84 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理，得到是直角三角形，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用三角形的面积公式，进行计算求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴是直角三角形． ∴． 【小问2详解】 ， ∴的面积为84． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形，是解题的关键． 20. 解答下列各题： （1）发现，①；②；③；写出：④______． （2）归纳猜想：若为正整数且，用含的式子表示这个运算规律______． （3）请证明你猜想的规律． 【答案】（1） （2） （3） 见解析 【解析】 【分析】（）通过观察时的运算结果，发现规律并直接推导出时的对应式子与结果； （）基于（）中呈现的具体例子，归纳得出当(为正整数)时，式子的通用运算规律； （）通过对等式左边的二次根式进行通分、化简，结合为正整数时的性质，证明了归纳得出的通用规律成立． 【小问1详解】 解：观察已知式子：时： 时：， 时：，  因此第④个式子对应，可得； 【小问2详解】  解：根据上述规律， 直接得出（为正整数）时的运算规律为：； 【小问3详解】 证明：， ∵， ∴， ∴， 即． 21. 在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． （1）如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． （2）如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 【答案】（1） （2）仍成立；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（）利用，在中和等腰中分别用勾股定理，推导出结论； （）先通过证明，得到且，再在两个直角三角形中用勾股定理，验证结论仍成立； （）通过构造等腰直角，先利用证明，得到；再结合与的角度关系，判定为直角三角形，用勾股定理求出；最后利用等腰直角中的关系，计算得出的长度． 【小问1详解】 解：∵，，即， ∴在中：， ∵在中， ∴在中， ∴； 【小问2详解】 解：仍成立； 理由：∵中，， ∴； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形 ， ∴， 代入得：， 又中， ∴，原关系仍成立； 【小问3详解】 解：∵ ∴，， 按照前两问构造：过作，且，连接， 同（）可证， 得， ∵，， ，即是直角三角形， 在中：， ∴， 又∵等腰中，代入得，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $