5.3.1 一元一次方程的应用 形积问题 课件 -2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程解决形积问题，涵盖等积变形与等长变形。通过橡皮泥捏圆柱情境导入，引导学生观察直径、高度等变化量与容积、周长等不变量，衔接饮料罐改造（体积问题）和铁丝围长方形（等长变形），用表格梳理信息搭建学习支架。 其亮点在于以“观察—抽象—建模”为主线，如饮料罐改造中用表格对比旧新包装的半径、高与容积，培养模型观念和抽象能力。例题分层设计，方法总结提炼“用不同表达式表示不变量”思路，助力学生发展推理意识，教师可通过生活化实例提升教学效率。

5.3.1形积问题 第五章 一元一次方程 学 习 目 标 1 2 3 初步体会利用相等关系，选择某个量，用不同的表达式去表示它，就可得到相应的方程。能建立一元一次方程模型解决实际问题，发展模型观念; 经历容积和周长问题的解决过程，抽象建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想，发展抽象能力; 体会一元一次方程的应用价值。 如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱， 请思考下列几个问题： (1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了? 还有哪些量改变了? (2)在这个变化过程中，什么量没有变化呢? 创设情境，导入新课 新知探究 探究点1 体积问题 议一议 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ （1）这个问题中包含哪些量？ 6.6cm 12cm 6cm 旧圆柱形易拉罐的底面直径、高、容积 新圆柱形易拉罐的底面直径、高、容积。 新知探究 探究点1 体积问题 议一议 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ 6.6cm 12cm 6cm （2）它们之间有怎样的等量关系？ 容积（旧）=容积（新) 不变量：容积是变化过程中的不变量 变化量：易拉罐底面直径和高 探究点一：等积变形问题 思考1：你能否测出一个苹果的体积？ 思考2：阿基米德用非常巧妙的方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？与同伴进行讨论. 的体积 02 新知探究 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米? (1)这个问题中包含哪些量? 它们之间有怎样的等量关系? 包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、 高、容积 02 新知探究 “容积不变” 等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积 改造前 改造后 直径(半径)减少，高如何变化？ 新知探究 探究点1 体积问题 议一议 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ 6.6cm 12cm 6cm （3）设新包装的高度为xcm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？ xcm 有关量 旧包装 新包装 底面半径∕cm     高∕cm     容积∕     （4）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 新知探究 探究点1 体积问题 议一议 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ 6.6cm 12cm 6cm xcm （4）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 解：设新包装的高度为，由题意可得： 解得 ， 答：易拉罐的高度将变为14.52cm。 列方程时，关键是找出问题中的等量关系：即用不同的表达式表示同一个相同的量 例1 某饮料公司有一种底面直径和高分别为 6.6 cm， 12 cm 的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为 6 cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ （1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 容积＝π× ×高 直径 2 2 探究点一：等积变形问题 03 新知讲解 　(2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息 03 新知讲解 (3)根据等量关系，列出方程 设新包装的高度为 x cm 根据等量关系列出方程 = 答：新包装的高度为14.52cm 列方程的关键找出问题中的等量关系 解这个方程得：x=14.52 等长变形问题 2 合作探究 (1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的面积是多少？ 在这个过程中什么没有发生变化？ 长方形的周长(或长与宽的和)不变 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形。 x m (x + 1.4) m 等量关系： （长 + 宽）× 2 = 周长 解： 设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x + 1.4)m. 根据题意，得 (x + 1.4 + x) ×2 = 10 解得 x = 1.8 1.8 + 1.4 = 3.2 答：此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m. (2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化？ x m (x + 0.8) m 探究点二：等长变形问题 解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为 (x + 0.8) m. 根据题意，得 (x + 0.8 + x) ×2 = 10. 解得 x = 2.1. 2.1 + 0.8 = 2.9. 此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m， 面积为 2.9×2.1 = 6.09 (m2)， (1) 中长方形的面积为 3.2×1.8 = 5.76(m2). 此时长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大了，增大了 6.09－5.76 = 0.33(m2). 探究点二：等长变形问题 （第1题） 1. 如图，正方形的一边长减少 后，得到一 个长方形（图中阴影部分）.若长方形的周长为 ，求正方形的边长.设正方形的边长为 ， 可列方程为( ) D A. B. C. D. 返回 18 2. ［2025深圳月考］有一位工人师傅将底面直径为10，高为 80的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为40的“矮胖”形圆柱， 则“矮胖”形圆柱的高为( ) B A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 返回 19 方法总结 思考：在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流。 方程两边分别都表示 不变的容积， 相等的周长。 列方程的思路：将相同的量（不变的量） 用不同的表达式表示出来 例2 小优将一张正方形纸片横向剪去一个宽为 3 cm 的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上竖向剪去一个宽为 1 cm 的长条，如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的 2 倍. 求：(1) 原正方形纸片的边长； 解：设原正方形纸片的边长为 x cm. 根据题意，得 2(x＋3)＝2×2(x－3＋1). 解得 x＝7. 答：原正方形纸片的边长为 7 cm. 探究点二：等长变形问题 03 新知讲解 在前面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量? 列方程的思路是什么? 与同伴进行交流 思考·交流 所列方程的两边分别表示： 长方形的周长和铁丝的长度 列方程的思路： 先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程. 一元一次方程的应用 图形等积变化 应用一元一次方程解决实际问题的步骤 图形等长变化 列 ⑤检 ④解 设 审 ⑥答 作业布置 练习册102--103页： 一、必做题：1--7题 二、选做题：8--12题 三、拓展提升：综合与实践（制作有盖的长方体收纳盒） $