5.3.1形积问题（课件）-2026-2027学年新北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程解决形积问题，通过橡皮泥捏圆柱的情境导入，引导学生发现“变化中的不变量”，搭建从图形性质到方程建模的学习支架，衔接等积变形与等长变形的探究。 其亮点在于以阿基米德测皇冠等情境培养数学眼光，通过易拉罐改造、铁丝围图形等问题链发展数学思维，用表格梳理量的关系、规范解题步骤强化数学语言。助力学生提升方程建模能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

北师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月19日 5.3.1形积问题 第五章 一元一次方程 班级：________ 姓名：________ 得分：________ （时间：40分钟 满分：100分） 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 一个长方形的周长是36cm，长是宽的2倍，设宽为x cm，则可列方程为（ ） A. x + 2x = 36 B. 2(x + 2x) = 36 C. x + 2x = 18 D. 2x + 2x = 36 2. 一个圆柱形水桶，底面半径为r cm，高为h cm，容积为V cm³，已知V = πr²h，若底面半径不变，高增加2cm，新容积为（ ） A. πr²(h + 2) B. 2πr²h C. πr²h + 2 D. π(r + 2)²h 3. 把一个长10cm、宽8cm的长方形铁皮，剪去一个边长为x cm的正方形（x < 8），剩余部分围成一个无盖长方体，该长方体的高为（ ） A. x cm B. (10 - 2x) cm C. (8 - 2x) cm D. (x + 8) cm 二、填空题（每题10分，共30分） 1. 形积问题的核心是：______不变或______不变（填“形状”“面积”或“体积”），根据相关图形的面积、体积公式列方程。 2. 一个圆的半径为x cm，面积为16π cm²，根据圆的面积公式S = πr²，可列方程为______，解得x = ______（x > 0）。 3. 一个长方体的长为5cm，宽为4cm，高为x cm，体积为120 cm³，根据长方体体积公式V = 长×宽×高，可列方程为______，解得x = ______。 三、解答题（每题20分，共40分） 1. 一个长方形的长比宽多5cm，面积是150 cm²，求这个长方形的长和宽（设宽为x cm）。 2. 一个圆柱形铁块，底面直径为6cm，高为8cm，现将其熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥，圆锥的高是多少厘米？（提示：熔铸前后体积不变，圆柱体积V = πr²h，圆锥体积V = \(\frac{1}{3}\)πr²h） 参考答案 一、选择题：1.B 2.A 3.A 二、填空题：1. 面积，体积；2. πx² = 16π，4；3. 5×4×x = 120，6 三、解答题： 1. 解：设长方形的宽为x cm，则长为(x + 5) cm。 根据长方形面积公式，得x(x + 5) = 150 去括号，得x² + 5x = 150 移项，得x² + 5x - 150 = 0（七年级可通过因式分解或试值法求解） 解得x = 10（x = -15舍去，因为长度不能为负） 则长为10 + 5 = 15（cm） 答：这个长方形的宽为10cm，长为15cm。 2. 解：圆柱底面半径为6÷2 = 3（cm），设圆锥的高为h cm。 因为熔铸前后体积不变，所以圆柱体积 = 圆锥体积 列方程，得π×3²×8 = \(\frac{1}{3}\)×π×3²×h 化简，得72π = 3πh 两边同时除以3π，得h = 24 答：圆锥的高是24厘米。 （说明：本题围绕长方形、圆柱、圆锥、长方体的面积、体积公式，结合一元一次方程解决形积问题，侧重方程建模能力培养，难度贴合北师大版七年级“5.3.1形积问题”要求，步骤规范，贴合学情，总字数约800字。） 通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。（重点） 通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、 解决问题的能力。（难点） 用实例对一些数学猜想做出检验，提高发现问题和解决问题的能力。 如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱， 请思考下列几个问题： (1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了? 还有哪些量改变了? (2)在这个变化过程中，什么量没有变化呢? 创设情境，导入新课 探究点一：等积变形问题 思考1：你能否测出一个苹果的体积？ 思考2：阿基米德用非常巧妙的方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？与同伴进行讨论. 的体积 中考考法 例1 某饮料公司有一种底面直径和高分别为 6.6 cm， 12 cm 的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为 6 cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ （1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 容积＝π× ×高 直径 2 2 探究点一：等积变形问题 中考考法 （2）设新包装的高度为 x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？ 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 容积/cm3 12 3.3 3 x V V 3.32 π×12 32πx 探究点一：等积变形问题 中考考法 （3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 设新包装的高度为 x cm。 根据等量关系，列出方程： 。 解这个方程，得 x = 。 因此，易拉罐的高度变为 cm。 14.52 14.52 3.32π×12 = 32πx 探究点一：等积变形问题 中考考法 (1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？ 在这个过程中什么没有发生变化？ 长方形的周长(或长与宽的和)不变 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形。 探究点二：等长变形问题 【合作探究】 中考考法 x m (x + 1.4) m 等量关系： (长 + 宽)×2 = 周长 解： 设此时长方形的宽为 x m，则它的长为 (x + 1.4) m. 根据题意，得 (x + 1.4 + x) ×2 = 10 解得 x = 1.8 1.8 + 1.4 = 3.2 答：此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m. 探究点二：等长变形问题 中考考法 (2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化？ x m (x + 0.8) m 探究点二：等长变形问题 中考考法 解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为 (x + 0.8) m. 根据题意，得 (x + 0.8 + x) ×2 = 10. 解得 x = 2.1. 2.1 + 0.8 = 2.9. 此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m， 面积为 2.9×2.1 = 6.09 (m2)， (1) 中长方形的面积为 3.2×1.8 = 5.76(m2). 此时长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大了，增大了 6.09－5.76 = 0.33(m2). 探究点二：等长变形问题 中考考法 (3) 如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与 (2) 中长方形的面积相比，又有什么变化？ x m 探究点二：等长变形问题 中考考法 (x + x)×2 = 10 解得 x = 2.5 正方形的面积为 2.5×2.5 = 6.25(m2). 解：设正方形的边长为 x m. 根据题意，得 比(2)中面积增大 6. 25 - 6.09 = 0.16(m2). 正方形的边长为 2.5 m， 同样长的铁丝可以围更大的地方. 探究点二：等长变形问题 中考考法 例2 小优将一张正方形纸片横向剪去一个宽为 3 cm 的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上竖向剪去一个宽为 1 cm 的长条，如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的 2 倍. 求：(1) 原正方形纸片的边长； 解：设原正方形纸片的边长为 x cm. 根据题意，得 2(x＋3)＝2×2(x－3＋1). 解得 x＝7. 答：原正方形纸片的边长为 7 cm. 探究点二：等长变形问题 中考考法 1．两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4 cm和8 cm，高分别为39 cm和 10 cm. 先在右侧容器中倒满水，然后将其倒入左侧容器中. 倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米? 小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有x cm. 列方程 π×22×(39-x)= π×42×10. 解得x=-1. 请你对他的结果作出合理的解释. 【选自教材P154 习题5.3 第1题】 随堂练习 解：由题意可知，第一个容器的体积为 22×39×π = 156π cm2 第二个容器的体积为 42×10×π = 160π cm2 第二个容器的体积大于第一个容器的体积，因此将第二个容器装满水后再倒入第一个容器中，水会溢出， 即方程 π×22×（39－x）= π × 42×10的解小于0. 随堂练习 2.现有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田面 积的3倍还多100 m2，这两块试验田的面积共2900 m2，两块试验田的面积分别是多少? 解：设第二块试验田的面积是 x m2， 则第一块试验田的面积是（3x + 100）m2 根据题意，得 x + 3x + 100 = 2900 解得 x = 700 所以 3x + 100 = 2200 答：第一块试验田的面积是 2200 m2， 第二块试验田的面积是 700 m2 【选自教材P154 习题5.3 第3题】 随堂练习 3.如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm 的长条. 如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少? 解：设正方形的边长为 x cm 根据题意，得 4x = 5（x － 4） 解得 x = 20 所以每一个长条的面积为 4×20 = 80(cm2) 答：每一个长条的面积为 80 cm2. 【选自教材P154 习题5.3 第4题】 随堂练习 4.如图，某种卷筒纸的外直径为14 cm，内直径为6 cm，每层纸的厚度为0.02 cm. 假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是多少米（π取3.14)? 【选自教材P154 习题5.3 第5题】 解：设卷筒纸的宽度为 x cm 卷筒纸的体积为 = 40πx 卷筒纸的总长度为：40πx÷0.02x≈6280(cm)=62.8(m) 答：卷筒纸的总长度为62.8m 随堂练习 一元一次方程的应用 图形等积变化 应用一元一次方程解决实际问题的步骤 图形等长变化 列 ⑤检 ④解 设 审 ⑥答 课堂小结 $