17.2 用公式法分解因式 第1课时 利用平方差公式分解因式 学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦利用平方差公式分解因式，通过复习整式乘法与分解因式的互逆练习导入，搭建前后知识联系的学习支架，帮助学生理解公式来源及结构特征。 资料设计分层练习，从识别判断到进阶变形，强调整体思想和先变形再分解，培养学生的抽象能力和推理能力，通过简便运算体现工具价值，提升应用意识，助力学生掌握因式分解方法。

17.2用公式法分解因式第1课时利用平方差公式分解因式 人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解 班级： 姓名： 日期： 教材：人教版八年级上 册 一、学习目标 1.理解平方差公式α-b2=(α+b)川α-b)在因式分解中的运用，掌握利用平方差公式分解因式的方法。 2.能准确识别多项式中能用平方差公式分解因式的结构特征，灵活运用公式进行因式分解 (包括a、b为单项式或多项式的情况)。 3.能运用平方差公式进行简便运算，体会因式分解的工具价值。 二、知识梳理 1.平方差公式（因式分解） 项目 内容 公式 a2-b2=a+b)(a-b） 文字表述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数 的差的积。 2.公式的结构特征 位置 特征 左边 两项都是平方项，中间是减号（平方差）。 右边 两个二项式的积，一项相同(a),一项互为相反 数(b和-b)。 3.适用范围 条件 说明 能写成a2-b2的形式 多项式必须是两项的平方差。 a、b的含义 公式中的a、b既可以是单项式，也可以是多项 式。 4.注意事项 注意事项 说明 找准a和b 36-m2中，a=6,b=m(注意36=62，不是 整体思想 当a、b为多项式时，将其看作整体，套用公式后 去括号合并同类项。 先变形再分解 有些题目需要先展开整理或先提取负号，才能识 别平方差结构。 三、课堂练习 练习1（复习回顾) 计算： (1)(x+5)(x-5)= (2)(3x+y)(3x-y)= (3)(3m+2n)(3m-2n)= 分解因式： (1)x2-25= (2)9x2-y2= (3)9m2-4n2= 练习2（识别判断） 在下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的有哪些？ ①a2+b2②2a-b③a2-b2④-a2-b2⑤-a2+b2 练习3（例1） 分解因式： (1)4x2-9: (2)a2-25b。 分析：(1)a=,b=一(2)a=,b= 练习4（针对训练） 将下列各式因式分解： (1)25-16x2: (2)9a2-b2. 练习5（例2) 分解因式： (1)x2-y: 2)(x+p)2-(x+q2。 练习6（进阶练习） 将下列各式因式分解： (1)-4(x-2y2+9(x+y)2: (2)(x-8)(x+2)+6x。 练习7（教材P129练习第1题) 下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？ (1)x2+y2(2)x2-y2 (3)-x2+y2(4)-x2-y2 练习8（教材P129练习第2题） 分解因式： (1)36-m2:(2)49n2-1: (3)81a2-16b4: (4)4b2-(b+c)2: (5)(m+2n2-(m-2n}。 °zI-Z+…+zLh-8b+6-0S(Z) :L-,666(I) :意1 (燕县到鳯)6飞骇 四、参考答案 练习1答案 计算：(1)x2-25(2)9x2-y2(3)9m2-4n2 分解因式：(1)(x+5)(x-5) (2)(3x+y)(3x-y) (3)(3m+2n)(3m-2n) 说明：整式乘法与因式分解是互逆的运算。 练习2答案 能运用平方差公式分解因式的有：③a2-b2,⑤-α2+b2(即b-a)。 ①a2+b2是平方和，不能分解。②2a-b2中2a不是平方项④-a-b2=-(a2+b2),提出负号后是 练习3答案 (1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) (2)a2-25b2=a2-(5b2=(a+5b)(a-5b) 分析：(1)a=2x,b=3(2)a=a,b=5b 练习4答案 (1)25-16x2=52-(4x2=(5+4x)(5-4x) (2)9a2-b2=(3a2-b2=(3a+b)(3a-b) 练习5答案 (1)x2-y=x2-(y22=(x+y2)(x-y2) (2)(x+p2-(x+q2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q) 注意：第(2)题运用整体思想，将x+p和x+q分别看作整体a和b。 练习6答案 (1)-4(x-2y2+9(x+y)2 =[3(x+y]☐2-[2(x-2y)]☐2 =[3(x+y)+2(x-2y)][3(x+y)-2(x-2y)] =(5x-y)(x+7y) (2)(x-8)(x+2)+6x =x2-6x-16+6x =x2-16 =(x+4)(x-4) 注意：第(1)题需先变形为平方差形式，第(2)题需先展开合并同类项。 练习7答案 (1)x2+y2:不能，是平方和，不是平方差。 (2)x2-y2:能，符合a2-b的形式。 (3)-x2+y:能，即y2-x2,符合平方差形式。 (4)-x2-y2:不能，即-(x+y2),是平方和的相反数。 判断标准：符合平方差的形式的多顶式才能用平方差公式分解因式，即能写成α2-b的形式。 练习8答案 (1)36-m2=62-m2=(6+m)(6-m) (2)49n2-1=(7n)2-12=(7n+1)(7n-1) (3)81a2-16b4=(9a2-(4b22=(9a+4b2)(9a-4b2) (4)4b2-(b+c)2=(2b2-(b+c2=(2b+b+c)(2b-b-c)=(3b+c)(b-c) (5)(m+2n2-(m-2n)}2=[(m+2n+(m-2n)][(m+2n)-(m-2n)]=2m:4n=8mn 注意：(1)中36=62，不是(36)2。(4)中b为多项式去括号后要合并同类项。(5)运用整体思想。 练习9答案 (1)9992-1=(999+1)(999-1)=1000×998=998000 (2)原式=(502-492)+(482-472)+…+(22-12) =(50+49)(50-49)+(48+47)(48-47)+···+(2+1)(2-1) =99+95+···+3 =1275 关键：利用平方差公式将平方差转化为乘积，简化计算。连续平方差求和用分组法。