第14讲 双曲线的简单几何性质讲义-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

第14讲 双曲线的简单几何性质 目录 知识点一 双曲线的几何性质 2 知识点二 等轴双曲线 2 题型一 双曲线的简单几何性质 3 题型二 根据几何性质求双曲线的标准方程 5 题型三 双曲线的离心率问题 7 题型四 双曲线的渐近线问题 9 01 学习新知 知识点一 双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 知识点二 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 02 经典题型 题型一 双曲线的简单几何性质 1. 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 2. （多选）已知双曲线E：过点，则（    ） A．双曲线E的实轴长为4 B．双曲线E的离心率为 C．双曲线E的渐近线方程为 D．过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有1条 3. （多选）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 题型二 根据几何性质求双曲线的标准方程 4. 若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 5. 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(-3，2)； (2)渐近线方程为y=±x，且经过点A(2，-3). 6. 求双曲线的标准方程：过点(2，0)，与双曲线-=1的离心率相等. ①与双曲线-=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). ②渐近线方程为Ax±By=0的双曲线方程可设为A2x2-B2y2=λ(λ≠0). 7. (1)求经过点P，Q的双曲线的标准方程； (2)若双曲线C与已知双曲线-=1有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 解题方法(1)若双曲线过两定点，可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论. (2)与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为-=1(-a2<λ<b2)；与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为-=1(-a2<λ<b2). 8. 已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ． 题型三 双曲线的离心率问题 9. 已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 10. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 12. 已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 13. 若双曲线：的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 14. 若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型四 双曲线的渐近线问题 15. 设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 16. 椭圆的离心率记为，双曲线的离心率记为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 17. 双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线左支于A，B两点，，，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型五 双曲线的实际应用 18. 江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 19. 阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 题型六 直线与双曲线的位置关系 20. 讨论直线与双曲线的公共点的个数． 21. 已知双曲线x2-y2=4，直线l：y=k(x-1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 题型七 弦长及其应用 22. 如图，过双曲线-=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|. 题型八 中点弦及其应用 23. 直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是(　　) A.(1，2) B.(-2，-1) C.(-1，-2) D.(2，1) 24. 已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 25. 若直线l：y=kx-1与双曲线C：-y2=1交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为-2，求线段AB的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 双曲线的简单几何性质 目录 知识点一 双曲线的几何性质 2 知识点二 等轴双曲线 2 题型一 双曲线的简单几何性质 3 题型二 根据几何性质求双曲线的标准方程 5 题型三 双曲线的离心率问题 7 题型四 双曲线的渐近线问题 9 01 学习新知 知识点一 双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 知识点二 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 知识点三 直线与双曲线的关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式. (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点. (2)Δ=0时，直线与双曲线只有一个切点. (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点. 当a=0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点. 注意点： 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支. 02 经典题型 题型一 双曲线的简单几何性质 1. 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解　将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1，即-=1， 所以a=3，b=2，c=. 因此顶点坐标为A1(-3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)， 实轴长2a=6，虚轴长2b=4，离心率e==， 渐近线方程为y=±x=±x. 2. （多选）已知双曲线E：过点，则（    ） A．双曲线E的实轴长为4 B．双曲线E的离心率为 C．双曲线E的渐近线方程为 D．过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有1条 【答案】AB 【详解】由得，. 对A，，故A正确；对B，，故B正确； 对C，由得，故C错误； 对D，有3条，两条与渐近线平行，分别为，， 第三条与双曲线相切，设切线的斜率为， 则，消去可得， ，， 令，解得，所以，故D错误. 故选：AB. 3. （多选）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【答案】AC 【详解】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 题型二 根据几何性质求双曲线的标准方程 4. 若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线实轴长为，有，又，.故选：A. 5. 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(-3，2)； (2)渐近线方程为y=±x，且经过点A(2，-3). 解　(1)设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0). ∵e=，∴e2===1+=，∴=. 由题意得解得 ∴所求双曲线的标准方程为-=1. (2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y=±x. 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，则=. ① ∵点A(2，-3)在双曲线上，∴-=1.② ①②联立，无解.当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 则=.③ ∵点A(2，-3)在双曲线上，∴-=1.④ 联立③④，解得a2=8，b2=32. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 方法二　由双曲线的渐近线方程为y=±x，可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0)， ∵A(2，-3)在双曲线上，∴-(-3)2=λ，即λ=-8. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 6. 求双曲线的标准方程：过点(2，0)，与双曲线-=1的离心率相等. 解　当所求双曲线的焦点在x轴上时， 可设其方程为-=λ(λ>0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ=， 故所求双曲线的标准方程为-y2=1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 可设其方程为-=λ(λ>0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ=-<0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为-y2=1. 巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线-=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). ②渐近线方程为Ax±By=0的双曲线方程可设为A2x2-B2y2=λ(λ≠0). 7. (1)求经过点P，Q的双曲线的标准方程； (2)若双曲线C与已知双曲线-=1有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 解　(1)方法一　若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)， 由于点P和Q在双曲线上， 所以解得(舍去). 若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)， 将P，Q两点坐标代入可得解得 所以双曲线的标准方程为-=1.综上，双曲线的标准方程为-=1. 方法二　设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)，因为P，Q两点在双曲线上， 所以解得所以所求双曲线的标准方程为-=1. (2)设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16)， 由于双曲线C过点(3，2)，所以-=1，解得λ=4或λ=-14(舍去)， 所以所求双曲线C的方程为-=1. 解题方法(1)若双曲线过两定点，可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论. (2)与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为-=1(-a2<λ<b2)；与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为-=1(-a2<λ<b2). 8. 已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ． 【答案】 【解析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出的值，再由双曲线的离心率得出，进而可得双曲线的标准方程． 【详解】由椭圆方程，可得焦点为 设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则 故，所以，所以双曲线的标准方程为： 故答案为： 题型三 双曲线的离心率问题 9. 已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知a2+5=9，解得a=2，e==. 10. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为 设双曲线的一条渐近线方程为，则， .故选：D． 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设，因为为等边三角形， 则， 又，所以双曲线的离心率. 故选：A 12. 已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设双曲线的半焦距为，则， 由题意可得：， 因为，整理得. 故选：D. 13. 若双曲线：的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，由题知， 所以离心率， 故选：B. 14. 若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为，不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为，可得， 所以，所以双曲线的离心率． 故选：C． 题型四 双曲线的渐近线问题 15. 设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【详解】由双曲线的几何性质知道，，， ∵， ∴，∴离心率. 故选：D. 16. 椭圆的离心率记为，双曲线的离心率记为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线的渐近线方程为 记椭圆和双曲线的半焦距分别为，因为， 则, 令，则， 解得，（舍去），故，双曲线渐近线方程为： . 故选:A. 17. 已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线左支于A，B两点，，，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以可设，，． 因为，所以． 在中，，，， 所以，则，又， 所以，故双曲线C的渐近线方程为． 故选：D. 题型五 双曲线的实际应用 18. 江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【答案】D 【详解】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 19. 阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 题型六 直线与双曲线的位置关系 20. 讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【答案】答案见解析 【解析】联立方程组，整理得， 当时，即时，具体为：当时，；当时，；此时直线与双曲线有一个交点； 当时，即时，可得， 由，即，可得且，此时直线与双曲线有两个交点； 由，即，可得，此时直线与双曲线只有一个交点； 由，即，可得或，此时直线与双曲线没有交点； 综上可得： 当时，直线与双曲线有两个公共点； 当或时，直线与双曲线有一个公共点； 当时，直线与双曲线没有公共点. 21. 已知双曲线x2-y2=4，直线l：y=k(x-1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 解　联立 消去y，得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*) 当1-k2≠0，即k≠±1时， Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2). 由得-<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点. 题型七 弦长及其应用 22. 如图，过双曲线-=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|. 解　由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(-3，0)，F2(3，0). 因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2，所以直线AB的方程为y=(x-3).① 由消去y，得5x2+6x-27=0.解方程，得x1=-3，x2=. 将x1，x2的值分别代入①，得y1=-2y2=-. 于是，A，B两点的坐标分别为(-3，-2). 所以|AB|===. 题型八 中点弦及其应用 23. 直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是(　　) A.(1，2) B.(-2，-1) C.(-1，-2) D.(2，1) 答案　C 解析　方法一　将y=x-1代入2x2-y2=3， 得x2+2x-4=0， 由此可得弦的中点的横坐标为==-1， 纵坐标为-1-1=-2，即中点坐标为(-1，-2). 方法二　设直线y=x-1与双曲线2x2-y2=3交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，将A，B代入双曲线方程得 2-=3，2-=3，作差整理得 kAB====1， ① 又M在y=x-1上，则有y0=x0-1， ② 联立①②解得x0=-1，y0=-2， 所以M(-1，-2). 24. 已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则有，， 两式相减得到， 又线段的中点坐标为， 所以，得到， 所以的斜率为. 故选：B. 25. 若直线l：y=kx-1与双曲线C：-y2=1交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为-2，求线段AB的长. 解　设A，B， 联立方程组消去y， 得x2+4kx-4=0， 因为l与C有两个交点，所以1-2k2≠0且Δ=16k2+16=16-16k2>0， 解得k2<1且k2≠， 所以-1<k<1且k≠±， ① 且x1+x2=-，x1x2=， 又因为AB中点的横坐标为-2， 所以-=-4，即2k2+k-1=0， 解得k=-1或k=， ② 结合①②可知k=， 此时l：y=x-1，x1+x2=-=-4，x1x2==-8， 所以= =· =×=2， 即线段AB的长为2. 学科网（北京）股份有限公司 $