第13讲 双曲线及其标准方程讲义-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

第13讲 双曲线及其标准方程 目录 知识点一 双曲线的定义 2 知识点二 双曲线的标准方程 3 题型一 双曲线的定义 4 题型二 根据a,b,c求双曲线的标准方程 5 题型三 区分椭圆和双曲线的方程 8 题型四 双曲线的焦点三角形 8 题型五 双曲线上点到焦点和定点的距离的和、差最值 10 01 学习新知 知识点一 双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 知识点二 双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 02 经典题型 题型一 双曲线的定义 1. 已知A(0，-5)，B(0，5)，|PA|-|PB|=2a，当a=3或5时，P点的轨迹为(　　) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 答案　D 解析　|AB|=10，当a=3时，2a=6， 此时2a<|AB|， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a=5时，2a=10，此时2a=|AB|=10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. 2. 若方程-=1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A.-2<m<2 B.m>0 C.m≥0 D.|m|≥2 答案　A 解析　∵已知方程表示双曲线，∴(2+m)(2-m)>0. 解得-2<m<2. 3. 已知F1(3，3)，F2(-3，3)，动点P满足|PF1|-|PF2|=4，则P点的轨迹是(　　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 答案　B 解析　因为|PF1|-|PF2|=4，|F1F2|=6， 由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支. 4. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 题型二 根据a,b,c求双曲线的标准方程 5. 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解　因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为-=1(a>0，b>0). 由2c=10，2a=6，得c=5，a=3， 因此b2=52-32=16. 所以，双曲线的标准方程为-=1. 6. 焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点M(2，3)的双曲线的标准方程为　　　　　　　.  答案　x2-=1 解析　所求双曲线焦点在x轴上， 且c=2，2a=||MF1|-|MF2|| =|-|=2， ∴a=1，∴b2=c2-a2=3. ∴双曲线的标准方程为x2-=1. 7. 已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，动点满足， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 设双曲线方程为，则有，，， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 8. 求以椭圆+=1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程. 解　由题意得，双曲线的焦点在x 轴上， 且c=2， 设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 则解得 故所求双曲线的标准方程为-=1. 9. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线中，c=，且经过点(-5，2)，焦点在x轴上， (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 【答案】(1)-y2=1. (2) 【详解】（1）方法一　依题意可设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， 则有解得 故所求双曲线的标准方程为-y2=1. 方法二　∵焦点在x轴上，c=， ∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6). ∵双曲线经过点(-5，2)，∴-=1， 解得λ=5或λ=30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是-y2=1. （2）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为. 10. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)求经过点P，Q的双曲线的标准方程； (2)若双曲线C与已知双曲线-=1有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 解　(1)方法一　若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)， 由于点P和Q在双曲线上， 所以解得(舍去). 若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)， 将P，Q两点坐标代入可得 解得 所以双曲线的标准方程为-=1. 综上，双曲线的标准方程为-=1. 方法二　设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)， 因为P，Q两点在双曲线上， 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为-=1. (2)设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16)， 由于双曲线C过点(3，2)，所以-=1， 解得λ=4或λ=-14(舍去)， 所以所求双曲线C的方程为-=1. 题型三 区分椭圆和双曲线的方程 11. （多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 题型四 双曲线的焦点三角形 12. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【详解】由题意知，， 所以， 又，所以，所以的周长为．故选：C． 13. 设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则 ． 【答案】/ 【详解】依题意过点的直线与的右支交于，两点， 且，，， 则，，， 所以， 可得， 解得或（舍去）． 故答案为：． 题型五 双曲线上点到焦点和定点的距离的和、差最值 15. 已知A(-4，0)，B是圆(x-1)2+(y-4)2=1上的点，点P在双曲线-=1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为(　　) A.9 B.2+6 C.10 D.12 答案　C 解析　设点C(1，4)，圆的半径为r，点B在圆上， 则|PB|≥|PC|-r=|PC|-1， 由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点， 设A'为双曲线右焦点， 所以由双曲线定义知 |PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6， 所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10. 16. 在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4， 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 易得，，由得，则动点P的轨迹方程为， 如图： 又，则，且 故的周长为:， 当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为． 故选：D 17. 已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设C为双曲线右焦点，则，， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 双曲线及其标准方程 目录 知识点一 双曲线的定义 2 知识点二 双曲线的标准方程 3 题型一 双曲线的定义 4 题型二 根据a,b,c求双曲线的标准方程 5 题型三 区分椭圆和双曲线的方程 8 题型四 双曲线的焦点三角形 8 题型五 双曲线上点到焦点和定点的距离的和、差最值 10 01 学习新知 知识点一 双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 知识点二 双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 02 经典题型 题型一 双曲线的定义 1. 已知A(0，-5)，B(0，5)，|PA|-|PB|=2a，当a=3或5时，P点的轨迹为(　　) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 2. 若方程-=1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A.-2<m<2 B.m>0 C.m≥0 D.|m|≥2 3. 已知F1(3，3)，F2(-3，3)，动点P满足|PF1|-|PF2|=4，则P点的轨迹是(　　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 4. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 题型二 根据a,b,c求双曲线的标准方程 5. 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 6. 焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点M(2，3)的双曲线的标准方程为　　　　　　　.  7. 已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8. 求以椭圆+=1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程. 9. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线中，c=，且经过点(-5，2)，焦点在x轴上， (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 10. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)求经过点P，Q的双曲线的标准方程； (2)若双曲线C与已知双曲线-=1有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 题型三 区分椭圆和双曲线的方程 11. （多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 题型四 双曲线的焦点三角形 12. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 13. 设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则 ． 题型五 双曲线上点到焦点和定点的距离的和、差最值 15. 已知A(-4，0)，B是圆(x-1)2+(y-4)2=1上的点，点P在双曲线-=1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为(　　) A.9 B.2+6 C.10 D.12 16. 在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 17. 已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $