第2章《不等式于不等式组》暑假复习巩固 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级下册暑假综合练习单元卷，涵盖不等式、一次函数及综合应用，基础巩固与能力提升结合，适配暑假复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|不等式解集、一次函数象限（第3题）|基础概念辨析，梯度合理| |填空题|5/20|一元一次不等式定义（第11题）、实际应用列不等式（第13题）|概念与简单应用结合| |解答题|10/90|解不等式组（第16题）、函数几何综合（第25题）、方案设计（第22题）|分层设计，含“调和解”创新题（第23题），体现模型意识与推理能力|

北师大版八年级下册暑假综合练习 第3章 图形的平移与旋转 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.若，则下列结论一定成立的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三条基本性质，注意在乘除负数时不等号方向改变，同时要考虑除数不能为0的情况。 【解答】 解：对于选项A：x＞y，不等式两边同乘-2，不等号方向改变， ∴ -2x＜-2y，故A错误； 对于选项B：x＞y，不等式两边同减b，不等号方向不变， ∴ x-b＞y-b，故B错误； 对于选项C：当c＞0时，-c＜0，不等式两边同除以负数，不等号方向改变，得 ； 当c＜0时，-c＞0，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得 ； 当c=0时，式子无意义，故C不一定成立； 对于选项D：x＞y，不等式两边同除以3，不等号方向不变，得 ； 再两边同加m，不等号方向不变，得 ，故D正确。 故选：D. 2.下列不等式的解集中，不包括的是(       ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的 的解集进行判断，即可作答. 【解答】 解：A、 不包括-2025，故该选项符合题意； B、 包括-2025，故该选项不符合题意； C、 包括-2025，故该选项不符合题意； D、 包括-2025，故该选项不符合题意； 故选：A. 3.若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：正比例函数 的图象经过第二、四象限， ， . 4.已知天平右盘中每个砝码的质量均为3g，则物体的质量（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据天平的倾斜方向列出不等式组，求出x的取值范围，再在数轴上表示出来即可。 【解答】 由左图可知，物体M的质量大于1个砝码的质量， 由右图可知，物体M的质量小于3个砝码的质量， ，即 物体M的质量x的取值范围是 在数轴上表示时，3和9处应为空心圆圈，且取两点之间的部分，观察选项，只有A选项符合。 故选：A． 5.不等式的最大正整数解为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据不等式的解法求出不等式的解集，再找出不等式的最大整数解即可． 【解答】 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 则不等式的最大正整数解是， 故选． 6.如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 先根据函数解析式求出a=1，然后再根据函数图象写出不等式的解集即可. 【解答】 解： 直线y=x+1过点P(a,2) 将点P坐标代入得：a+1=2 解得：a=1 即点P坐标为：(1,2); 根据函数图象可得：当x<1时，一次函数y=x+1的图象在一次函数y=mx+n的下方， 关于x的不等式mx+n>x+1的解集为x<1. 故选：A． 7.已知关于x的不等式组的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（ ） A.5 B.8 C.11 D.9 【答案】 C 【解析】 分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集求出a、b的值，代入计算即可. 【解答】 解：解不等式x-a≥1，得：x≥a+1， 解不等式x+5≤b，得：x≤b-5， ∵ 不等式组的解集为3≤x≤4， ∴ a+1=3，b-5=4， ∴ a=2，b=9， 则a+b=2+9=11， 故选：C. 8.已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集．首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解有5个，即可得到一个关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【解答】 解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： ∵ 关于x的不等式组 的整数解共有5个，即3，2，1，0，-1， ，即 . 故选：C. 9.“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球（ 30-x ）个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组. 【解答】 解：设购买篮球x个，则购买排球（ ）个， 由题意得 故选：C. 10.若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【解答】 解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ， ， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组只有个整数解， ， 解得， ， 符合条件的整数的值的和为， 故选：． 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ，） 11.已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是___-1_____. 【答案】 【解析】 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可. 【解答】 解： 关于x的不等式 是一元一次不等式， 且 解得： 故答案为： 12.已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可. 【解答】 解：不等式的解集为 的取值范围为： 故答案为：. 13.学校准备用2000元购买名著和辞典作为文艺节奖品，其中名著每套65元．辞典每本40元，现已购买名著20套，设购买辞典本，根据题意，可列出关于的不等式为________． 【答案】 【解析】 分别计算购买名著和辞典的总费用，根据总费用不超过总预算的不等关系列出不等式. 【解答】 解：名著每套65元，购买20套名著的总费用为元， 辞典每本40元，购买x本辞典的总费用为元， 根据总花费不超过总预算，可得． 故答案为：. 14.若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为____-5____． 【答案】 【解析】 先解一元一次不等式组，根据“只有3个偶数解”确定参数a的取值范围；解分式方程，结合“有整数解”且“分母不为0”的条件，筛选符合要求的整数a；对筛选出的整数a求和，需同时满足不等式组和分式方程的双重限制. 【解答】 解：不等式组的解集为 ， 不等式组有且只有三个偶数解， 不等式组的偶数解为0，2，4， , , a为整数， a的取值为 ， 解分式方程得 ， 由题意可知 ， ，即 ， ， 分式方程有整数解，y为整数， 是3的倍数， a在上述取值中只能取 ， 经检验， 时， ； 时， ， 符合条件的a整数解为 ， 符合条件的所有整数a的和为 . 故答案为：.  15.如图，已知直线与两坐标轴分别交于、两点，与直线交于点，点 在的内部（不包括边界），则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 本题考查了一次函数的其他应用，一元一次不等式的应用，一次函数与坐标轴的交点，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出直线与两坐标轴分别交、两点，得，结合直线与直线交于点，得，理解题意，当点 在的内部，故同时满足在直线 （即 轴）的上方，在直线的下方，以及在直线 的下方，进行列式计算，即可作答． 【解答】 解：直线与两坐标轴分别交、两点， 令时，则， 解得， ； 令时，则， ； 直线与直线交于点， ， 解得， 解得， ， ， 点在的内部， 在直线 （即 轴）的上方，即， 解得， 点在的内部， 在直线的下方， 依题意，把代入，得， 即， ， ， ， 点在的内部， 在直线 的下方， 依题意，把代入，得， 即， ， ， ， 且且， ， 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 计算 （1）解不等式，并求它的正整数解； （2）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】 ，不等式的正整数解为1，2，3，4. 不等式组的解集为 ，在数轴上表示见解析 【解析】 （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，在解集范围内找出正整数解即可； （2）分别求出每个不等式的解集，根据口诀“同大取大，同小取小，大大小大中间找，大大小小找不了”确定不等式组的解集. 【解答】 （1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，得： 所以，不等式的正整数解为：1，2，3，4. （2）解： 解不等式 ①得， 解不等式 ②得： 所以，不等式组的解集为： 将不等式组的解集在数轴上表示为： 17.(5分) 小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 （1）小明的解法是从第____三_____步开始出错的，第四步的依据是____不等式的基本性质3_____； （2）请写出正确的解题过程． 【答案】 三，不等式的基本性质3（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变） 见解析 【解析】 （1）根据解不等式的基本步骤逐一判断即可； （2）根据解不等式的基本步骤解答即可； 本题考查了解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键。 【解答】 （1）解：小明的解法是从第三步开始出错的，第四步的依据是不等式的基本性质3（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）， 故答案为：三，不等式的基本性质3（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）； （2）解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 两边同时除以 ，得 。  18.(8分) 已知关于x的不等式． （1）若不等式与该不等式的解集相同，求a的值； （2）若该不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求m的值． 【答案】 【解析】 （1）先分别求出两个一元一次不等式的解集，依据解集相等建立等式，解方程即可求出字母a的值. （2）先求出原不等式解集，确定其最小整数解，再将该整数解代入一元一次方程，进而求出字母m的值. 【解答】 （1）解：解不等式， 解得 ， 解不等式 ，得 ， 两个不等式的解集相同， ， 解得 ； （2）由（1）知： 的解集为 ， 该不等式的最小整数解为 ， 将 代入 ，得： ， 解得   19.(8分) 已知直线过点和． （1）求此直线的表达式； （2）如果点在该直线上，且点的横坐标为，求该直线上所有位于点上方的点的纵坐标的取值范围． 【答案】 【解析】 （1）将两个点分别代入关系式可得方程组，再求出解即可； （2）先求出点P的坐标，再根据点的位置可得答案。 【解答】 （1）解：直线 过点 和 ， 解得 一次函数关系式为 ； （2）解：点P在直线 上，且横坐标为 ， 。 直线 中，， 一次函数值y随着x的增大而增大， 设直线上位于点P上方点的纵坐标为y， 。  20.(10分) 已知关于，的二元一次方程组：的解满足为非负数，为负数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当取何整数时，关于的不等式的解集是？ 【答案】 0 【解析】 （1）先由加减消元法求出 ，再由题意列不等式组求解即可； （2）先将题中不等式恒等变形为 ，结合不等式解集为 ，求出 ，再由（1）中关于 的取值范围求解即可. 【解答】 （1）解：， 由 ① + ②得 ，解得 ， 由 ① - ②得 ，解得 ， 为非负数， 为负数， ，解得 ， 的取值范围是 ； （2）解：由 得，， 不等式的解集是 ， ，即 ， 结合（1）中 ，得 ， 为整数， 符合条件的 的取值是 ． 21.(10分) 已知关于、的方程满足方程组 （1）用含的代数式表示； （2）若、均为非负数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】 最大值为9，最小值为-3 【解析】 （1）运用加减消元法，解得 ，即可作答. （2）由 ，且根据已知易得 ，从而可得 ，最后进行计算即可解答; （3）利用(1)的结论代入 可得 ，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答. 【解答】 （1）解： ① ，得 ， 解得 ，得 解得 综上所述： （2）解：由(1)得 均为非负数， 即 ，解得 （3）解： 即 的最大值为9，最小值为-3.  22.(10分) 我县某学习机营销商经营某品牌，两种型号的学习机．用元可进货型号的学习机个，型号的学习机个；用元可进货型号的学习机个，型号的学习机个． （1）求，两种型号的学习机每个分别为多少元？ （2）若该学习机营销商销售个型号的学习机可获利元，销售个型号的学习机可获利元，该学习机营销商准备用不超过元购进、两种型号的学习机共个，且这两种型号的学习机全部售出后总获利不低于元，问有几种进货方案？这几种进货方案中，该学习机营销商将这些型号的学习机全部售出后，获利最大的是哪种方案？最大利润是多少？ 【答案】 解：设，两种型号的学习机每个分别为元、元，由题意，得 解得： 答：，两种型号的学习机每个分别为元，元. 设购型号的学习机个，则购进型号的学习机个，由题意，得 解得：. ∵ 为整数， ∴ ，，， ∴ 共有种购买方案： 方案型号学习机个，型号学习机个； 方案型号学习机个，型号学习机个； 方案型号学习机个，型号学习机个. 设总利润为元，由题意，得 ． ， ∴ 随的增大而增大， ∴ 时，元． 【解析】 （1）设、两种型号的学习机每个分别为元、元，根据型学习机的价格型学习机的价格总价建立方程组求出其解即可； （2）设购型号的学习机个，则购进型号的学习机个，根据购买的费用建立不等式为：，根据利润的数量关系建立不等式为，从而建立不等式组求出其解就可以得出进货方案，设总利润为元，由两种型号的学习机的总利润建立关系，由一次函数的性质求出其解即可． 【解答】 （1）解：设，两种型号的学习机每个分别为元、元，由题意，得 解得： 答：，两种型号的学习机每个分别为元，元. （2）设购型号的学习机个，则购进型号的学习机个，由题意，得 解得：. ∵ 为整数， ∴ ，，， ∴ 共有种购买方案： 方案型号学习机个，型号学习机个； 方案型号学习机个，型号学习机个； 方案型号学习机个，型号学习机个. 设总利润为元，由题意，得 ． ， ∴ 随的增大而增大， ∴ 时，元．  23.(10分) 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“调和解”． （1）已知有三个不等式：①，②，③，判断方程的解是不等式___③____的“调和解”（填不等式前的序号）； （2）若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； （3）若关于的方程与关于的不等式恰有个“调和解”为整数．求的取值范围． 【答案】 ③ 【解析】 （1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断； （2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可； （3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于的方程与关于的不等式恰有个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出． 【解答】 （1）解：，解得：， ，故①不成立； ，故②不成立； ，故③成立， 故答案为：③； （2）是方程与不等式组的“调和解”， ，， 解得：， ，解得：， ， ， ； （3）不等式组，解得：， 将代入，得，解得：， 关于的方程与关于的不等式恰有个“调和解”为整数， 这个整数为，，，，，，， ，解得：， ． 24.(11分) 已知取餐地、小区A，小区B依次在同一条直线上．小区A离取餐地，小区B离取餐地．外卖员甲从取餐地出发，匀速骑行到达小区A；用完成送餐后，匀速骑行到达小区B；用完成送餐后，匀速骑行返回取餐地．给出的图象反映了这个过程中外卖员甲离取餐地的距离y（单位：）与他离开取餐地的时间x（单位：）之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题． （1）填表： 外卖员甲离开取餐地的时间（单位：） 1 10 15 45 外卖员甲离取餐地的距离（单位：） 0.3 3 3 9 （2）当时，请直接写出y关于x的函数解析式； （3）当外卖员甲离开取餐地前往小区A时，外卖员乙也从取餐地出发以的速度匀速骑行直接去小区B送餐，到达小区B后，外卖员乙用完成送餐后，以新的速度匀速骑行直接回到取餐地，结果外卖员乙比外卖员甲还提前到达取餐地，并在取餐地等待新任务，直至外卖员甲返回取餐地．在整个过程中（即），对于同一个x的值，外卖员甲离取餐地的距离为，外卖员乙离取餐地的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】 0.3，3 或 ， 【解析】 （1）由图象信息即可解答； (2) 分 三种情况讨论，利用待定系数法求解即可； (3) 求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【解答】 (1) 解：由图象得外卖员 的速度为 ， 则外卖员甲离开取餐地1min时，离取餐地的距离为0.3km； 由图象得外卖员 时，离取餐地的距离为3km； (2) 解：当 时， 设 ，则 ， 解得 ，则 ; 当 时，则 ； 当 时， 设 ，则 ，解得 ，则 ； 综上，y关于x的函数解析式为 ； (3) 解：外卖员乙离取餐地的距离为3km时，则外卖员乙离开取餐地的时间为 ， 外卖员乙离取餐地的距离为9km，即到达小区B时，则外卖员乙离开取餐地的时间为 ， 当 时，外卖员乙离取餐地的距离为 ， 由题意，得外卖员乙用3min完成送餐，则外卖员乙离开小区B的时间为 ， 时，外卖员乙离取餐地的距离为 ， 外卖员乙比外卖员甲还提前3min到达取餐地， 外卖员乙回到取餐地时，时间为81-3=78（min）， 当 时，令 ，则 ，解得 ， 设外卖员乙送餐后回取餐地的解析式为 ，则 ，解得 ， 同理，当 时，得 ， 令 ，解得 ， 与x之间的函数图象， 与x之间的函数图象如下： 当 时， 或 25.(12分) 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）如果线段的长为，求点的坐标； （4）我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 【答案】 点坐标为或 【解析】 （1）根据得，根据点、点恰好关于点对称，得到．代入，解得值即可求直线的解析式； （2）根据得到，根据得到，继而得到，根据得到，根据，解答即可； （3）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．结合线段的长为，得到，解答即可； （4）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．得到，结合，分类解答即可． 【解答】 （1）， ， 点、点恰好关于点对称， ． 把代入， 得 解得， 故直线的解析式为． （2）， ， ， ， ， ， ， ． （3）点在直线上，设， 轴，交直线于点， ． 线段的长为， ， 或， 解得或． 点坐标为或． （4）点在直线上，设， 轴，交直线于点， ． ， ， ，， ，，，， 解得，，， 或， 点是整点，， 必须是整数，必须是整数， 或，且是的倍数， 故或， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，点或或或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级下册暑假综合练习 第3章 图形的平移与旋转 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.若，则下列结论一定成立的是（       ） A. B. C. D. 2.下列不等式的解集中，不包括的是(       ) A. B. C. D. 3.若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（        ） A. B. C. D. 4.已知天平右盘中每个砝码的质量均为3g，则物体的质量（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（        ） A. B. C. D. 5.不等式的最大正整数解为（       ） A. B. C. D. 6.如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（        ） A. B. C. D. 7.已知关于x的不等式组的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（ ） A.5 B.8 C.11 D.9 8.已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围为（       ） A. B. C. D. 9.“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（       ） A. B. C. D. 10.若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（       ） A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ，） 11.已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是________. 12.已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为________． 13.学校准备用2000元购买名著和辞典作为文艺节奖品，其中名著每套65元．辞典每本40元，现已购买名著20套，设购买辞典本，根据题意，可列出关于的不等式为________． 14.若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为________． 15.如图，已知直线与两坐标轴分别交于、两点，与直线交于点，点 在的内部（不包括边界），则的取值范围是______________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 计算 （1）解不等式，并求它的正整数解； （2）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 17.(5分) 小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 （1）小明的解法是从第_________步开始出错的，第四步的依据是_________； （2）请写出正确的解题过程． 18.(8分) 已知关于x的不等式． （1）若不等式与该不等式的解集相同，求a的值； （2）若该不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求m的值． 19.(8分) 已知直线过点和． （1）求此直线的表达式； （2）如果点在该直线上，且点的横坐标为，求该直线上所有位于点上方的点的纵坐标的取值范围． 20.(10分) 已知关于，的二元一次方程组：的解满足为非负数，为负数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当取何整数时，关于的不等式的解集是？ 21.(10分) 已知关于、的方程满足方程组 （1）用含的代数式表示； （2）若、均为非负数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 22.(10分) 我县某学习机营销商经营某品牌，两种型号的学习机．用元可进货型号的学习机个，型号的学习机个；用元可进货型号的学习机个，型号的学习机个． （1）求，两种型号的学习机每个分别为多少元？ （2）若该学习机营销商销售个型号的学习机可获利元，销售个型号的学习机可获利元，该学习机营销商准备用不超过元购进、两种型号的学习机共个，且这两种型号的学习机全部售出后总获利不低于元，问有几种进货方案？这几种进货方案中，该学习机营销商将这些型号的学习机全部售出后，获利最大的是哪种方案？最大利润是多少？ 23.(10分) 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“调和解”． （1）已知有三个不等式：①，②，③，判断方程的解是不等式_______的“调和解”（填不等式前的序号）； （2）若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； （3）若关于的方程与关于的不等式恰有个“调和解”为整数．求的取值范围． 24.(11分) 已知取餐地、小区A，小区B依次在同一条直线上．小区A离取餐地，小区B离取餐地．外卖员甲从取餐地出发，匀速骑行到达小区A；用完成送餐后，匀速骑行到达小区B；用完成送餐后，匀速骑行返回取餐地．给出的图象反映了这个过程中外卖员甲离取餐地的距离y（单位：）与他离开取餐地的时间x（单位：）之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题． （1）填表： 外卖员甲离开取餐地的时间（单位：） 1 10 15 45 外卖员甲离取餐地的距离（单位：） 3 9 （2）当时，请直接写出y关于x的函数解析式； （3）当外卖员甲离开取餐地前往小区A时，外卖员乙也从取餐地出发以的速度匀速骑行直接去小区B送餐，到达小区B后，外卖员乙用完成送餐后，以新的速度匀速骑行直接回到取餐地，结果外卖员乙比外卖员甲还提前到达取餐地，并在取餐地等待新任务，直至外卖员甲返回取餐地．在整个过程中（即），对于同一个x的值，外卖员甲离取餐地的距离为，外卖员乙离取餐地的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 25.(12分) 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）如果线段的长为，求点的坐标； （4）我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $