精品解析：2023年山东省潍坊市中考数学模拟试卷一

试卷类型：A 2023年潍坊市初中学业水平考试模拟试卷（一） 数学试题 注意事项 ： 1．本试卷分第卷和第II卷两部分．第l卷，为选择题， 36分 ；第II卷，为非选择题， 84分 ； 满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前务必将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂写在答题 卡的相应位置， 答在本试卷上一律无效． 第l卷（选择题共36分 ） 一、单项选择题（共 8小题，每小题3分 ，共24分．每小题四个选项只有一项正确．） （原创题） 1. 的相反数为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 如图，木棒、与分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒绕点G逆时针旋转到与木棒平行的位置，则至少要旋转（ ） A. B. C. D. （原创题） 3. 2021年9月9日至11日，国际粮食减损大会在山东省济南召开，来自50多个国家及国际组织、企业、非政府组织的300多名代表围绕“减少粮食损失浪费，促进世界粮食安全”主题展开深入交流．从会议上了解到：从收获到零售各环节全球粮食损失率达14%，零售、餐饮和消费环节浪费率达17%，年损失达4000亿美元，相当于12.6亿人口一年的口粮．将数字4000亿用科学记数法表示为（ ） A. 4×108 B. 4×109 C. 4×1010 D. 4×1011 （原创题） 4. 随着信息发展，移动网络普及，无接触移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，王老师和郝老师都随机从“微信”、“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．则两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ） A. B. C. D. （2021•广西中考改编） 6. 定义一种运算：，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 （2021•泸州中考改编） 7. 在锐角中，，，所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. （2021•温州中考改编） 8. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分．） （2021•徐州中考改编） 9. 第七次全国人民普查的部分结果如图所示． 根据该统计图，下列判断错误的是（ ） A. 徐州0－14岁人口比重高于全国 B. 徐州15－59岁人口比重低于江苏 C. 徐州60岁以上人口比重高于全国 D. 徐州60岁以上人口比重高于江苏 （原创题） 10. 若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（ ） A. 18 B. 24或6 C. 32 D. 18或36 （2021•常德中考改编） 11. 如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P．则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. (2021·扬州中考改编) 12. 如图，点P是函数（，）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数（，）的图象于点C、D，连接、、、，其中．下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ①②③ 第 II卷（非选择题 共84分） 三 、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果．） （2021•丽水中考改编） 13. 数学活动课上，聪明的小颖和小亮在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a，b同时满足，，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当时，a的值是_____________． （2）当时，代数式的值是_____________． （2021•牡丹江中考改编） 14. 如图，在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2023秒蚂蚁所在点的坐标为_______． 15. 如图，正六边形的周长是，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形的周长是______． 16. 已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是____． 四 、解答题 （共7小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且x是整数． 18. 北京时间2021年9月20日15时10分，长征七号遥四运载火箭搭载天舟三号货运飞船，在海南文昌航天发射场成功发射。当天22时08分，天舟三号成功对接于空间站天和核心舱后向端口，为即将发射的神舟十三号载人飞船送去可支持3名航天员6个月的在轨驻留物资、空间站备份设备、空间科学载荷等诸多货物。在某一时刻，天舟三号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，此时A、P两点的距离为6千米；它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角为，求天舟三号从A处到B处的平均速度．（结果精确到，取，） （原创题） 19. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表： 组别 成绩（分） 频数 A 75.5 6 B 14 C D E 请你根据上面的统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的 ， ， ． （2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图． （3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上（不含90分）的学生有多少人？ （4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率． 20. 为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表： 该地区每周接种疫苗人数统计表 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 第6周 第7周 第8周 接种人数（万人） 7 10 12 18 25 29 37 42 该地区全民接种疫苗情况扇形统计图 A：建议接种疫苗已接种人群 B：建议接种疫苗尚未接种人群 C：暂不建议接种疫苗人群 根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点、作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）这八周中每周接种人数的平均数为________万人：该地区的总人口约为________万人； （2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势． ①估计第9周的接种人数约为________万人； ②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？ （3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？ （2021•随州中考） 21. 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷． （1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______； （2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示） ②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，） （3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留） ②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由． 22. 已知函数，记该函数图像为G． （1）当时， ①已知在该函数图像上，求n的值； ②当时，求函数G的最大值； （2）当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若时，求m的值； （3）当时，设图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B作交直线与点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若，求m的值． （2021•山西中考改编） 23. 发现·实践·探究 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明． 独立思考： （1）请解答老师提出的问题； （2）实践探究：希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明． （3）问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点H，折痕交于点M，连接，交于点N．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2023年潍坊市初中学业水平考试模拟试卷（一） 数学试题 注意事项 ： 1．本试卷分第卷和第II卷两部分．第l卷，为选择题， 36分 ；第II卷，为非选择题， 84分 ； 满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前务必将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂写在答题 卡的相应位置， 答在本试卷上一律无效． 第l卷（选择题共36分 ） 一、单项选择题（共 8小题，每小题3分 ，共24分．每小题四个选项只有一项正确．） （原创题） 1. 的相反数为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查零指数幂的性质、绝对值的化简和相反数的定义，按照运算顺序逐步计算出原式的值，再求出它的相反数即可． 【详解】解：∵ 任何不等于零的数的零次幂为 ，， ∴ ， ∴ 原式， ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数为． 2. 如图，木棒、与分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒绕点G逆时针旋转到与木棒平行的位置，则至少要旋转（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， 故将木棒绕点G逆时针旋转到与木棒平行的位置，则至少要旋转． （原创题） 3. 2021年9月9日至11日，国际粮食减损大会在山东省济南召开，来自50多个国家及国际组织、企业、非政府组织的300多名代表围绕“减少粮食损失浪费，促进世界粮食安全”主题展开深入交流．从会议上了解到：从收获到零售各环节全球粮食损失率达14%，零售、餐饮和消费环节浪费率达17%，年损失达4000亿美元，相当于12.6亿人口一年的口粮．将数字4000亿用科学记数法表示为（ ） A. 4×108 B. 4×109 C. 4×1010 D. 4×1011 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值. 【详解】∵ 4000亿，将原数化为科学记数法时，得到， 原数小数点向左移动了11位，∴ ， 即4000亿用科学记数法表示为. （原创题） 4. 随着信息发展，移动网络普及，无接触移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，王老师和郝老师都随机从“微信”、“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．则两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出所有等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记“微信”为A，“支付宝”为B，“银行卡”为C． 画树状图如下： 可知所有等可能的结果总数为种，满足“恰好一人用微信支付，一人用银行卡支付”的结果有2种， ∴所求概率为． 5. 将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直棱柱展开图的特征判断即可． 【详解】解：图中棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此D选项中的图不是它的表面展开图； 故选D． 【点睛】本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可． （2021•广西中考改编） 6. 定义一种运算：，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义的运算规则，分和两种情况列出不等式，分别求解后取并集即可得到解集． 【详解】解：由定义可知，需分两种情况讨论： 情况1：当时， 解不等式得，即， 此时，原不等式化为， 解得， 结合前提，得此情况解集为； 情况2：当时， 解不等式得，即， 此时，原不等式化为， 解得， 结合前提，得此情况解集为； 综上，原不等式的解集为或． （2021•泸州中考改编） 7. 在锐角中，，，所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据公式求出R，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，，， 则， ∴， 即， 解得：， ∴的外接圆面积为：． （2021•温州中考改编） 8. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，，可得的长度，在中，根据勾股定理，代入即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， 在中， ∵， ∴． 二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分．） （2021•徐州中考改编） 9. 第七次全国人民普查的部分结果如图所示． 根据该统计图，下列判断错误的是（ ） A. 徐州0－14岁人口比重高于全国 B. 徐州15－59岁人口比重低于江苏 C. 徐州60岁以上人口比重高于全国 D. 徐州60岁以上人口比重高于江苏 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的条形统计图对四个选项依次判断即可． 【详解】解：根据题目中的条形统计图可知： 徐州0－14岁人口比重高于全国，A选项不符合题意； 徐州15－59岁人口比重低于江苏，B选项不符合题意； 徐州60岁以上人口比重高于全国，C选项不符合题意； 徐州60岁以上人口比重低于江苏，D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查条形统计图的分析，正确从条形统计图中读取数据是解题关键． （原创题） 10. 若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（ ） A. 18 B. 24或6 C. 32 D. 18或36 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次方程，得到实根，确定直角三角形已知两边的长度，分情况进行讨论即可 【详解】解：∵， ∴ ∴或， ①若两边分别是方程的两根，且两边为直角边时，该直角三角形的面积是； ②若两边分别是方程的两根，且当长是8的边是斜边时，第三边是， ∴该直角三角形的面积是． （2021•常德中考改编） 11. 如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P．则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，结合即可判断；证明，得到，从而可得，即可判断；连接，判断出，得到，即可判断；连接，推出，然后结合得到，即可判断． 【详解】解：四边形是正方形， ，． ∵F、E分别是正方形的边与的中点， ． ， ，故选项的结论不成立，符合题意； 在和中， ， ． ， ，故选项的结论成立； ， 如图，连接， 由对称性，得， ∴ ∵ ∴ ∴，故选项的结论不成立，符合题意； 如图，连接， 若 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，与矛盾， ∴，故选项的结论不成立，符合题意； 综上所述，结论不成立的是． (2021·扬州中考改编) 12. 如图，点P是函数（，）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数（，）的图象于点C、D，连接、、、，其中．下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ①②③ 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定、因式分解及三角形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 设，根据垂直于坐标轴的直线上点的坐标特征，得到点A、B、C、D的坐标，求出与之间的关系，进而证明，从而判断结论①；利用进行判断结论；利用，结合因式分解进行判断结论即可． 【详解】解：轴，轴，点P在上，点C，D在上， 设，则，，， 令，则，即， 、， ，， ， 又， ， ， ， 故①正确； ， 故③正确； ， ， ， ， ， ， 故②错误； 综上所述，正确的结论有①、③． 第 II卷（非选择题 共84分） 三 、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果．） （2021•丽水中考改编） 13. 数学活动课上，聪明的小颖和小亮在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a，b同时满足，，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当时，a的值是_____________． （2）当时，代数式的值是_____________． 【答案】 ①. 或1 ②. 6 【解析】 【分析】（1）将替换为代入，得到关于的一元二次方程，求解即可； （2）首先把两个已知方程相减，因式分解后结合的条件，求出的值；再把两个已知方程相加，结合求出的的值，得到相关的表达式，进而求出的值；最后将变形为含有和的形式，代入计算即可． 【13题详解】 当时， ∴， 整理， ， 解得：或； 【14题详解】 联立方程组， 将得：， 整理得：， 将得：， 整理得：， ∴， 又∵， ∴，即④， 将④代入③，得，即， 又∵， ∴， ∴． （2021•牡丹江中考改编） 14. 如图，在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2023秒蚂蚁所在点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律型，根据点的坐标求出矩形的周长并求出蚂蚁爬行一周需要的时间是解题的关键． 根据点A、B、C、D的坐标可得的长，从而求出矩形的周长，进而求出蚂蚁爬行一周需要14秒，然后再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴当秒时，蚂蚁在点处，∴此时点蚂蚁的坐标为． 故答案为：. 15. 如图，正六边形的周长是，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，正多边形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 如图，连接，过作于，再求解正六边形的边长为，证明，再求解，再利用三角形的中位线定理可得答案． 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵正六边形的周长是， ， ， ， 分别为的中点， ， 同理：， ∴六边形的周长是． 故答案为：． 16. 已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是____． 【答案】2或 【解析】 【分析】分，和 确定点M的运动范围，结合抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论． 【详解】解：由题意得：O（0,0），A（3，4） ∵为直角三角形，则有： ①当时， ∴点M在与OA垂直的直线上运动 （不含点O）；如图， ②当时，， ∴点M在与OA垂直的直线上运动 （不含点A）； ③当时，， ∴点M在与OA为直径的圆上运动，圆心为点P， ∴点P为OA的中点， ∴ ∴半径r= ∵抛物线的对称轴与x轴垂直 由题意得，抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点， ∴抛物线的对称轴为的两条切线， 而点P到切线，的距离 ， 又 ∴直线的解析式为：；直线的解析式为：； ∴或4 ∴或-8 故答案为：2或-8 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有圆的切线的判定，直角三角形的判定，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论是解题的关键． 四 、解答题 （共7小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且x是整数． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ∵x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ∴，即， ∵x为整数， ∴、3、4， 由分式有意义的条件可知：、2、3， ∴， ∴原式． 18. 北京时间2021年9月20日15时10分，长征七号遥四运载火箭搭载天舟三号货运飞船，在海南文昌航天发射场成功发射。当天22时08分，天舟三号成功对接于空间站天和核心舱后向端口，为即将发射的神舟十三号载人飞船送去可支持3名航天员6个月的在轨驻留物资、空间站备份设备、空间科学载荷等诸多货物。在某一时刻，天舟三号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，此时A、P两点的距离为6千米；它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角为，求天舟三号从A处到B处的平均速度．（结果精确到，取，） 【答案】天舟三号从A处到B处的平均速度约为293米/秒 【解析】 【分析】先在中，因为已知的长度和，所以用锐角三角函数求出和的长度，再在中，因为已知，且已求出，所以用等腰直角三角形的性质求出的长度，用减去得到的长度，因为平均速度等于路程除以时间，所以将的长度单位换算为米后除以时间7.5秒，即可得到平均速度． 【详解】解：由题意可得：，，千米，， 在中， ∵，千米，， ∴， ∴千米，（千米）， 在中， ∵，千米，，， ∴（千米）， ∴（千米）米， 则天舟三号从处到处的平均速度约为：（米/秒）， 答：天舟三号从处到处的平均速度约为293米/秒． （原创题） 19. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表： 组别 成绩（分） 频数 A 75.5 6 B 14 C D E 请你根据上面的统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的 ， ， ． （2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图． （3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上（不含90分）的学生有多少人？ （4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率． 【答案】（1）18；8；4；（2）C组；见解析；（3）240人；（4） 【解析】 【分析】（1）由B组的人数和所占百分比求出抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由中位数的定义求出中位数落在C组，再由（1）的结果补全频数分布直方图即可； （3）由该校参赛人数乘以竞赛成绩在90分以上的学生所占的比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）抽取的学生人数为：14÷28%=50（人）， ∴m=50×36%=18， 由题意得：p=4， ∴n=50-6-14-18-4=8， 故答案为：18，8，4； （2）∵p+n+m=4+8+18=30， ∴这次调查成绩的中位数落在C组； 补全频数分布直方图如下： （3）1000×＝240(人)， 即估计竞赛成绩在90分以上的学生有240人； （4）将“小丽”和“小洁”分别记为：A、B，另两个同学分别记为：C、D 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种， ∴恰好抽到小丽和小洁的概率为：． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表： 该地区每周接种疫苗人数统计表 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 第6周 第7周 第8周 接种人数（万人） 7 10 12 18 25 29 37 42 该地区全民接种疫苗情况扇形统计图 A：建议接种疫苗已接种人群 B：建议接种疫苗尚未接种人群 C：暂不建议接种疫苗人群 根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点、作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）这八周中每周接种人数的平均数为________万人：该地区的总人口约为________万人； （2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势． ①估计第9周的接种人数约为________万人； ②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？ （3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？ 【答案】（1）22.5，800；（2）①48；②最早到13周实现全面免疫；（3）25周时全部完成接种 【解析】 【分析】（1）根据前8周总数除以8即可得平均数，8周总数除以所占百分比即可； （2）①将代入即可；②设最早到第周，根据题意列不等式求解； （3）设第周接种人数不低于20万人，列不等式求解即可 【详解】（1）22.5， 故答案为： （2）①把代入 故答案为：48 ②∵疫苗接种率至少达到60% ∴接种总人数至少为万 设最早到第周，达到实现全民免疫的标准 则由题意得接种总人数为 ∴ 化简得 当时， ∴最早到13周实现全面免疫 （3）由题意得，第9周接种人数为万 以此类推，设第周接种人数不低于20万人，即 ∴，即 ∴当周时，不低于20万人；当周时，低于20万人； 从第9周开始当周接种人数为， ∴当时 总接种人数为：解之得 ∴当为25周时全部完成接种. 【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，平均数的概念，一次函数的性质，列不等式解决实际问题,读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （2021•随州中考） 21. 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷． （1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______； （2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示） ②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，） （3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留） ②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由． 【答案】（1），1；（2）①；②；（3）①；②见解析． 【解析】 【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可； （2）①先求得边长为的正的面积，再根据解题即可；②设点为正五边形的中心，连接，，过作于，先由正切定义，解得的长，由①中结论知，，继而得到，据此解题； （3）①由切线性质解得，再由平行线性质及等腰三角形性质解得，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接，过点作交的延长线于点，根据，据此解题． 【详解】解：（1）直角三角形的面积为：， 直角三角形斜边为：， 设直角三角形斜边上的高为，则 设直角三角形内切圆的半径为，则 ， 故答案为：，1； （2）①边长为的正底边的高为，面积为： ， 故答案为：； ②类比①中方法可知， 设点为正五边形的中心，连接，， 由①得， 过作于，， 故，， 故，从而得到： ． （3）①是的切线， 过点作 ， 是的高， 故答案为：； ②如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求， 连接，∵， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正多边形和圆的知识，涉及含30°角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 22. 已知函数，记该函数图像为G． （1）当时， ①已知在该函数图像上，求n的值； ②当时，求函数G的最大值； （2）当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若时，求m的值； （3）当时，设图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B作交直线与点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若，求m的值． 【答案】（1）①，②函数G的最大值为；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由题意易得，①把点代入求解即可；②根据二次函数的性质可进行求解； （2）由题意可得如图所示，然后可得，是等腰直角三角形，则有，进而代入求解即可； （3）由题意可得如图所示，则有，然后可得，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，进而易证，然后根据全等三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ①∵在该函数图像上， ∴； ②由题意得：当时，函数G的解析式为，当时，函数G的解析式为， ∵， 当时，则， ∴当时，函数G有最大值，即为； 当时，则有函数G的最大值为， ∵， ∴当时，函数G的最大值为； （2）由当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，可得点Q必定落在的函数图象上，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得：， ∵， ∴； （3）①当时，由题意可得如图所示，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D， ∴， 令y=0，则有，解得：， ∵， ∴， 由题意得：，四边形DOEC是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，化简得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； ②当时，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示： ∴令y=0，则有，解得：， ∴， 同理可得， ∴，化简得：， 解得：（舍去）； 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （2021•山西中考改编） 23. 发现·实践·探究 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明． 独立思考： （1）请解答老师提出的问题； （2）实践探究：希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明． （3）问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点H，折痕交于点M，连接，交于点N．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1）解：，理由如下， 如图①中，作交于H． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图②中，连接． ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）结论：．如图1中，作交于H．证明垂直平分线段即可． （2）结论：．证明四边形是平行四边形，可得结论． （3）如图③中，过点D作于J，过点M作于T．根据，求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图③中，过点D作于J，过点M作于T． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $