第1章《三角形的证明及其应用》暑假复习巩固 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级下册暑假综合练习以三角形证明为核心，整合图形变换与动态问题，构建从基础证明到综合探究的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的证明及其应用|25题（含10道解答题，以第25题旋转综合为代表）|覆盖选择、填空、解答，注重几何证明与计算，结合折叠、旋转等图形变换及动态存在性问题|以三角形证明为核心，串联反证法、等腰/直角三角形性质、垂直平分线、角平分线，形成从概念假设到性质应用再到综合探究的递进链条|

北师大版八年级下册暑假综合练习 第1章 三角形的证明及其应用 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，第一步应假设（       ） A.一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角 B.一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角 C.一个四边形中没有一个内角是钝角或直角 D.一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角 【答案】 C 【解析】 根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法，进行判断即可. 【解答】 解：由反证法的定义得先假设结论：“至少有一个内角是钝角或直角”不成立则有：一个四边形中没有一个内角是钝角或直角. 故选：C. 2.由下列条件不能判定是直角三角形的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题利用三角形内角和定理与勾股定理逆定理，逐项判断 是否为直角三角形即可。 【解答】 解：选项A：，且 ，代入得 ，即 是直角三角形，不符合题意； 选项B：， 最大角 ， 不是直角三角形，符合题意； 选项C：， 展开得 ，整理得 ， 由勾股定理逆定理可知， 是直角三角形，不符合题意； 选项D：，设 ， 则 ， 由勾股定理逆定理可知， 是直角三角形，不符合题意。  故选：B. 3.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 分类讨论：作的垂直平分线和坐标轴的交点，以为圆心为半径作圆和坐标轴的交点，以为圆心为半径作圆和坐标轴的交点，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【解答】 作的垂直平分线和坐标轴的交点，得到，此时； 以为圆心为半径作圆和坐标轴的交点，得到和，此时； 以为圆心为半径作圆和坐标轴的交点，得到、和，此时； 综上所述：符合条件的点共有个． 故选． 4.如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，且，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 如图：连接AE，利用线段垂直平分线的性质得到 ，进而得到 ；再用HL定理证明Rt 得到 ，即 ，易得 ，结合直角三角形两锐角互余即可求出 的度数. 【解答】 解：如图：连接 是AB的中点，DE AB， 是线段AB的垂直平分线， ，DE AB， 在Rt 和Rt 中， 即 ,  故选：C. 5.如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（     ） A.1 B. C. D.3 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了尺规作图一作垂线、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键。首先根据勾股定理解得AC的值，由作图可知，DE垂直平分AB，易得AE=BE；设CE=x，则AE=BE=4-x，在RtΔBCE中，利用勾股定理解得x的值，即可获得答案. 【解答】 解：，BC=3，AB=5， ， 由作图可知，DE垂直平分AB， ， 设CE=x，则AE=BE=AC-CE=4-x， 在RtΔBCE中，可有， ，解得， . 故选：C. 6.如图，在中，平分交于点M，过点C作，垂足为E，交于点D．若，，，则的长为（        ） A. B. C.3 D.4 【答案】 B 【解析】 先证 ，从而得到 ，。再根据 ，证 ，从而得到 ，在 Rt 中，运用勾股定理求出 ，即得到 的长，最后根据 ，求得 的长。 【解答】 解： 平分 ， ， 在 和 中， ， (ASA) ，. ， 又 ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， .  故选：B. 7.如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠得，连接，若四边形为平行四边形，则的值是（ ）     A. B. C.2 D. 【答案】 D 【解析】 连接CE，延长AD交于F，可证 ，从而可证AF CE，可求 ，从而可求 即可求解. 【解答】 解：如图，连接CE，延长AD交于F， ， 在 和 中 （SAS） 四边形ABED是平行四边形， ， 在Rt 中： 在Rt 中： 在Rt 中： 故选：D 8.如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（        ） A. B.1 C. D.2 【答案】 B 【解析】 先利用平行四边形性质得到 ， ， ，再证明四边形 是平行四边形得到 ，则 ，在Rt 中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得 和 即可. 【解答】 解：四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ，则 ， ， ， 在Rt 中， ， ，则 ， 由勾股定理得 ， ， （负值舍去），则 . 故选：B.  9.如图，将三角形纸片沿折叠使点落在点处．且平分，平分．若，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质．由题意得．如图，连接．根据三角形外角的性质，得，，则．由三角形内角和定理得．由平分，平分，得，，由，得，进而求得，即可求解． 【解答】 如图，连接． ， ． 平分，平分， ，， ． ． 由折叠可得：． ，， ． 故选：． 10.如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（       ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】 B 【解析】 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接EC，作CH EF于H，由等边三角形的性质可判断 ①；证明 ， 是等边三角形，可得EF=EC=BD=1，求解 ，可得判断 ③ ，可得 ，可判断 ② ，可得 ，如图，过A作 AN BC于点N，则 ，进一步可判断 ④⑤不符合题意. 【解答】 解：连接EC，作CH EF于H. ， 都是等边三角形， ， 都是等边三角形， ， ， ，故 ①符合题意； (SAS) ， 是等边三角形， ， 在Rt 中，由勾股定理得： 四边形BDEF是平行四边形，故 ③符合题意， ， ， ，故 ②符合题意， 如图，过A作AN 于点N，则 是边长为3的等边三角形， 在Rt 中，由勾股定理得 故 ④不符合题意； AF 而AF=2，CF=1， ；故 ⑤不符合题意， 综上 ①②③符合题意，共3个， 故选：B. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应先假设________． 【答案】 【解析】 根据反证法的步骤，第一步假设命题结论不成立，写出原结论的否定即可求解. 【解答】 解：用反证法证明命题时，需先假设结论不成立， 原命题结论为 ，其否定为 ， 因此第一步应先假设 故答案为：   12.将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是___84_____°． 【答案】 【解析】 利用正多边形的外角和与内角和，先求出 ，，，即可求解． 【解答】 解： 正多边形的外角和为 ， 是正六边形的外角， 是正五边形的外角， ，， 是正五边形的内角， ， 是正六边形的内角， ， . 故答案为： 13.如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，若，则的度数为________． 【答案】 94° 【解析】 本题考查了直角三角形中两锐角互余，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，根据直角三角形中两锐角互余，先求出 ，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得到PF=PC，PE=PC，根据等边对等角得到 ，最后根据 求出结果. 【解答】 解： 解： 为AC的中点， 故答案为： 14.如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为__55°______． 【答案】 55° 【解析】 本题考查了角平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，先利用三线合一得出CE平分 ，CE平分AD，然后利用角平分线的判定与性质可得出AE平分 ，求出 ，利用等边对等角得出 ，即可求解. 【解答】 解：过E作 于H，作 于G， 于M，连接AE， 平分 BE平分 平分 平分 是AD的垂直平分线， 又 平分 即 故答案为： . 15.如图，在矩形中，对角线交于点O，，，E，F分别是上的动点，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 证明 是等边三角形，得到 ，则 ，可求出 ；过点F作FG AD于点G，则 ，设AF=DE=2x，则AG=x， ， ，可求出 ，据此求出 的最小值即可得到答案． 【解答】 解： 四边形ABCD是矩形， 是等边三角形， 如图所示，过点F作FG AD于点G，则 如图所示，过点F作 于点G，则 设 AF = DE = 2x，则 AG = x， 在Rt 中，由勾股定理得 当 即 时，EF²有最小值，最小值为 的最小值为 故答案为：. 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（5分）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，求：这个多边形是几边形？ 【答案】 这个多边形是九边形 【解析】 本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，多边形的外角和定理是解题的关键．设这个多边形的边数为n，由题意可得： ，解一元一次方程即可得出答案． 【解答】 解：设这个多边形的边数为n， 由题意可得：， 解得：， 答：这个多边形是九边形． 17.（6分）如图，，垂足为，．求证：是直角三角形． 【答案】 见解析 【解析】 本题考查了直角三角形的证明，需熟练掌握等量代换以及三角形内角和为是解决本题的关键． 根据，可得，再由等量代换可得，再根据三角形的内角和为即可证明． 【解答】 证明：，， ， 又， ． 在中，， ， 是直角三角形．  18.(8分) 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【解答】 （1）解：证明：连接、， ，是的中点， ， 是的中点， ． （2）解：由可知，， ， 又 ， ， ， ， 是等边三角形， ． 19.(8分) 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】 见解析 6 【解析】 （1）由 , 可知 , 再由 , 可知 , 然后余角的性质可推出 , 再根据对顶角相等进行等量代换即可推出 , 于是得到结论; （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论. 【解答】 （1）证明: , 而 是等腰三角形； （2）解： , ∴ △ABC是等边三角形， 20.(9分) 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】 见解析 5cm 【解析】 （1）连接PA，PB，PC，由线段垂直平分线的性质推出 ， ，得到 ，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得 ， ， ， ，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答. 【解答】 （1）证明：连接PA，PB，PC 垂直平分AB，PM垂直平分AC， 点P在线段BC的垂直平分线上； （2）解： 垂直平分AB，PM垂直平分AC， AN=CN 的周长为8cm， 即 ， 的周长为18cm， 垂直平分AB，PM垂直平分AC，   21.(10分) 如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）由角平分线的性质可得 ，进一步可证 ，得到 ，即可求解； （2）证 得 ，结合 可得 即可求解. 【解答】 （1）证明：是 的角平分线，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ， ， ，， . 22.(10分) 在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． （1）若，，．求的周长； （2）若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 【答案】 25 见解析 【解析】 （1）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形中位线定理求出 ，进而求出 ，根据三角形周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到 ，根据平行线的性质、角平分线的定义、等量代换得到 ，得到 ，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明． 【解答】 （1）解：平分 又 (ASA), 是 的中点， 是 的中位线， 的周长 （2）证明：由题意可知，为 的中位线， 平分   23.(11分) 如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． （1）求证：是的平分线． （2）若，求线段的长． 【答案】 见解析 CD=5 【解析】 （1）延长 AD，过点 C作 CF AD于点 F，根据 的面积为14，AD=7，求出 ，得出 AD=CE=4，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在 AB上取点 G，使 AG=AD=7，根据勾股定理求出 CG ，证明 ，得出 CD=CG=5. 【解答】 （1）证明：延长 AD，过点 C作 CF AD于点F，如图所示： 的面积为14， 的面积为14， 是 的平分线. （2）解：在 上取点G，使 是 的平分线， 24.(11分) 如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点． 求证下列结论： （1）； （2）； （3）； 【答案】 见解答 【解析】 （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； （2）证明(ASA)得出，，即可； （3）利用角角边证明(AAS)全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得证. 【解答】 证明：（1）的角平分线和的外角平分线， ，， 在中， ; （2），， ， 为的角平分线， ， 在和中 (ASA)$， ，; （3）， ， ， ， ， 在与中 ， (AAS)$， ， ， ， .  25.(12分) 综合与实践 【问题情境】 在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．和均为等腰直角三角形，，将和的直角顶点A与F重合，再将绕点A旋转． 【解决问题】 （1）“勤奋小组”将和按图①所示的方式摆放，连接，发现，请给予证明； （2）“智慧小组”先连接，然后将旋转至点B，D，E在同一直线上，如图②，则的度数为______； （3）“创新小组”同样先连接，在旋转过程中发现，当点D落在线段上时，如图③，可以得到，请你证明他们的发现； 【拓展探究】 （4）“攀登小组”将旋转至图④所示的位置，连接相交于点P，连接．求证：平分． 【答案】 见解析； ； 见解析； 见解析 【解析】 （1）先证明 ，然后根据SAS即可证明 （2）同理可证 得 ，求出 ，即可得 （3）同理可证 得 ，由勾股定理得 ，然后根据 即可证明结论成立； （4）作 AM BD于点M，作 AN CE于点N，同理可证 得BD=CE，根据全等三角形对应边上的高相等得AM=AN，进而可证PA平分 【解答】 （1）和 均为等腰直角三角形， （SAS）即 ； （2）同理可证 故答案为： ； （3）同理可证 （4）作AM BD于点M，作AN CE于点N， 同理可证 平分 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级下册暑假综合练习 第1章 三角形的证明及其应用 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，第一步应假设（       ） A.一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角 B.一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角 C.一个四边形中没有一个内角是钝角或直角 D.一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角 2.由下列条件不能判定是直角三角形的是（        ） A. B. C. D. 3.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（       ） A. B. C. D. 4.如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，且，则的度数为（     ） A. B. C. D. 5.如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（     ） A.1 B. C. D.3 6.如图，在中，平分交于点M，过点C作，垂足为E，交于点D．若，，，则的长为（        ） A. B. C.3 D.4 7.如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠得，连接，若四边形为平行四边形，则的值是（ ）     A. B. C.2 D. 8.如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（        ） A. B.1 C. D.2 9.如图，将三角形纸片沿折叠使点落在点处．且平分，平分．若，则（       ） A. B. C. D. 10.如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（       ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应先假设________． 12.将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是________°． 13.如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，若，则的度数为_______． 14.如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为________． 15.如图，在矩形中，对角线交于点O，，，E，F分别是上的动点，且，则的最小值为________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（5分）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，求：这个多边形是几边形？ 17.（6分）如图，，垂足为，．求证：是直角三角形． 18.(8分) 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19.(8分) 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 20.(9分) 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 21.(10分) 如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22.(10分) 在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． （1）若，，．求的周长； （2）若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 23.(11分) 如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． （1）求证：是的平分线． （2）若，求线段的长． 24.(11分) 如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点． 求证下列结论： （1）； （2）； （3）； 25.(12分) 综合与实践 【问题情境】 在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．和均为等腰直角三角形，，将和的直角顶点A与F重合，再将绕点A旋转． 【解决问题】 （1）“勤奋小组”将和按图①所示的方式摆放，连接，发现，请给予证明； （2）“智慧小组”先连接，然后将旋转至点B，D，E在同一直线上，如图②，则的度数为______； （3）“创新小组”同样先连接，在旋转过程中发现，当点D落在线段上时，如图③，可以得到，请你证明他们的发现； 【拓展探究】 （4）“攀登小组”将旋转至图④所示的位置，连接相交于点P，连接．求证：平分． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $