期中模拟试卷•基础巩固卷（范围：第1章 三角形的证明及其应用～第4章 因式分解）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟试卷 （基础巩固卷） 苏科版 考试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第4章 因式分解 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在2025年继续保持强劲增长态势，全年产销双双突破1600万辆大关，连续第11年稳居全球首位．下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 2．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对选项A：， ∴ A错误； 对选项B：， ∴ B错误； 对选项C：， ∴ C错误； 对选项D：，符合完全平方公式，因式分解正确， ∴ D正确． 3．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简已知不等式，再根据不等式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：， ∴， A、不等式两边加得，即，故选项A错误； B、当，时，满足，但不满足，故选项B错误； C、不等式两边加1得，故选项C错误； D、不等式两边同乘，不等号方向改变，得，故D选项一定成立． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ， 则的周长． 5．不等式的负整数解的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∴不等式的负整数解为，共个． 6．如图，在中，平分，过点作交于点，交于点，若，，，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【答案】D 【分析】先证明，推出，再根据，结合三角形外角的性质可得，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 7．嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙（   ） 密码及对应的明文： 3在；书架上； 里面；花瓶的； 后面；衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置． A．在衣柜的花瓶里面 B．在衣柜的后面 C．在书架上花瓶的里面 D．在书架上花瓶的后面 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，先对给定多项式用提公因式法和平方差公式进行彻底因式分解，再将每个因式对应题目给出的明文，组合后得到钥匙位置． 【详解】解： ， 对应明文： 在；书架上；花瓶的；后面， ∴组合后钥匙位置为：在书架上花瓶的后面． 故选：D． 8．如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据直角三角形两锐角互余求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 9．如图是函数与的图象，下列结论正确的是（   ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程组的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，两直线的交点坐标为，故关于x的方程的解为，故该选项不符合题意； B、关于x的方程组的解为，故该选项符合题意； C、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的下方，即， ∴关于的不等式的解集为，故该选项不符合题意； D、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的上方，即， ∴当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 10．已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．不等式的正整数解的个数是________． 【答案】2 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的正整数，统计正整数的个数即可． 【详解】解：解不等式 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为，得． 不等式的正整数解为，，共个． 12．如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 【答案】/度 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：，， ， 由作图得：是的角平分线，是的垂直平分线， ∴， ． 13．如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标是，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标是，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】先利用等边三角形的性质求出顶点的坐标，再通过直线的解析式确定平移后点的坐标，进而得到平移向量，最后将点按照该平移向量平移，即可求出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵是等边三角形，的坐标是，， ∴， ∴， ∴的坐标是， 设直线的解析式为，把代入得：， ∴直线的解析式为， ∴的坐标为， ∴点向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∴的坐标为． 14．已知，，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】先把提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：由， ∵，， ∴原式， ∴代数式的值是． 15．若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集得出，解答即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式的解集为，即关于的一元一次不等式的解集为， ∴， 解得：． 16．如图，边长为8的等边三角形，D为的中点，E为的中点，过E作，F为的中点，长为________． 【答案】 【分析】连接，先证为等边三角形，得到，在中，求得，进而得到，再利用勾股定理求即可． 【详解】连接， 因为是边长为的等边三角形， 所以，， 又分别为的中点， 所以， 所以为等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）提取公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 18．解不等式组： 【答案】 【详解】解：解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以该不等式组的解集是． 19．已知：如图把向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到． (1)画出图中； (2)连接，则的关系为______； (3)求四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)21 【分析】（1）先将各顶点坐标按照向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后的对应点即为对应各顶点的坐标，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质可得平移前后的对应边平行且相等即可得出结论； （3）由不规则图形面积的求法：要求的面积整体规则面积部分面积，即四边形的面积，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵将点，，，按照向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的对应点的坐标分别为点，，， ∴顺次连接，，可得，即如图所示； （2）解：根据平移的性质可得； （3）解：四边形的面积 ． 20．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人m台，根据题意，列出不等式组求出的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，根据题意列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台． 依题意，得解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为w， 则． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，此时， ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大． 21．如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接． (1)证明垂直平分线段； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据直角三角形角的性质求出的度数，结合作图得到，再由尺规作图的性质得出平分，进而证明，得到，最后结合推出为中点，从而证明垂直平分 （2）设，利用直角三角形角的性质表示出、的长度，再由垂直平分得到，结合勾股定理表示出，再根据列方程求解的长度． 【详解】（1）证明：在中， ∵，， ∴ 由作图可知：，平分， ∴ 在和中， ， ∴（）． ∴，即 ∵， ∴，即为的中点． ∴垂直平分线段 （2）解：设， 在中，，， ∴， ∴， 由（）知垂直平分， ∴， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 22．如图，直线：与轴、轴分别交于点、，直线：与轴、轴分别交于点、，两直线相交于点． (1)直接写出直线的解析表达式为______； (2)结合图像，当时，的取值范围是______； (3)如果点在直线上，满足的面积是面积的2倍，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据图像法进行求解即可； （3）求出的坐标，根据的面积是面积的2倍，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， ∴， 把代入，得，解得， ∴； （2）解：由图像可知的解集为； （3）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴或， ∴或． 23．问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) 【分析】（1）仿照题意用两种方法表示较大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据题意和（1）所求即可得到答案； （3）用两种不同的方法表示最大的正方形的面积即可得到答案； （4）根据求解即可； （5）根据用含a、b的式子表示出，设，则，，据此求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：图3中，当时，较大的正方形的面积既可以用表示，也可以用最大的正方形的面积减去两个长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即可表示为，也就是说， 较大的正方形的面积为可以用等式表示为：． （2）解：由题意得图2中有等式， 图3中有等式 （3）解：大正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上4个长为a，宽为b的长方形面积，其面积为， ∴； （4）解：∵， ∴； （5）解： ， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．在中，为线段上一点．在边上截取，过点作交于点，连接． (1)如图1，若平分，过点作交BC于点，连接．求证：； (2)如图2，猜想线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）过点作于，设交于，先证是等腰直角三角形，进而可证，再利用三角形全等的性质求解； （2）作正方形，取中点，连接交于，延长交于，先证，进而得到四边形是平行四边形，再证，继而可得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于，设交于， 平分， 设，则， ， 是等腰直角三角形， 又 （2）解：，证明如下： 如图，作正方形，取中点，连接交于，延长交于， 由正方形的性质可得， 是中点，， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 即， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟试卷 （基础巩固卷） 苏科版 考试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第4章 因式分解 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在2025年继续保持强劲增长态势，全年产销双双突破1600万辆大关，连续第11年稳居全球首位．下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C．D． 2．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 5．不等式的负整数解的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，平分，过点作交于点，交于点，若，，，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 7．嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙（   ） 密码及对应的明文： 3在；书架上； 里面；花瓶的； 后面；衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置． A．在衣柜的花瓶里面 B．在衣柜的后面 C．在书架上花瓶的里面 D．在书架上花瓶的后面 8．如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图是函数与的图象，下列结论正确的是（   ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程组的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．当时， 10．已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．不等式的正整数解的个数是________． 12．如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 13．如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标是，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标是，则点的坐标是__________． ∵是等边三角形，的坐标是，， ∴， ∴， ∴的坐标是， 设直线的解析式为，把代入得：， ∴直线的解析式为， ∴的坐标为， ∴点向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∴的坐标为． 14．已知，，则代数式的值是______． 15．若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________． 16．如图，边长为8的等边三角形，D为的中点，E为的中点，过E作，F为的中点，长为________． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．分解因式： (1) (2) 18．解不等式组： 19．已知：如图把向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到． (1)画出图中； (2)连接，则的关系为______； (3)求四边形的面积为______． 20．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 21．如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接． (1)证明垂直平分线段； (2)若，求的值． 22．如图，直线：与轴、轴分别交于点、，直线：与轴、轴分别交于点、，两直线相交于点． (1)直接写出直线的解析表达式为______； (2)结合图像，当时，的取值范围是______； (3)如果点在直线上，满足的面积是面积的2倍，请求出点的坐标． 23．问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 24．在中，为线段上一点．在边上截取，过点作交于点，连接． (1)如图1，若平分，过点作交BC于点，连接．求证：； (2)如图2，猜想线段之间的数量关系，并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $