专题05 二次根式 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册.

专题05二次根式 暑假预习讲义 ✺知识框架 核心概念：二次根式定义、有意义的条件、双重非负性 基本性质：三大核心性质公式、化简依据 根式分类：最简二次根式、同类二次根式（加减运算基础） 四则运算：乘法、除法、加法、减法运算规则及混合运算 ✅本章二次根完全遵循「概念—性质—化简—运算」的学习逻辑。先依托二次根式的定义、有意义条件与双重非负性，筑牢基础概念根基；再借助三大核心性质，掌握根式化简的核心依据与正反双向运用方法；通过最简二次根式、同类二次根式的判定标准，明确根式化简规范与加减运算前提；最后依托二次根式乘除、加减及混合运算法则，结合分母有理化技能，完成完整的根式运算学习。整体由基础认知到实操运用，循序渐进，是本章预习、解题与复盘的核心逻辑主线。 ✺学习目标 知识与技能：1.准确掌握二次根式的定义，熟练求解二次根式有意义时字母的取值范围。2.理解并熟记二次根式的双重非负性及三大基本性质，能运用性质进行简单的根式化简与求值计算。3.掌握最简二次根式、同类二次根式的判定标准。4.熟练掌握二次根式的乘除、加减运算法则，能进行基础的二次根式混合运算，规范书写解题步骤。 过程与方法：1.通过二次根式概念、性质的推导过程，培养数形结合、逻辑推理的数学思维。2.通过根式化简、运算练习，提升代数式运算能力与规范解题的习惯。 ✺题型归纳 题型1.二次根式的识别 题型2.求二次根式的值 题型3.求二次根式中的参数 题型4.二次根式有意义的条件 题型5.利用二次根式的性质化简 题型6.复合二次根式的化简 题型7.二次根式的乘法 题型8.二次根式的除法 题型9.二次根式的乘除混合运算 题型10.最简二次根式的判断 题型11.化为最简二次根式 题型12.已知最简二次根式求参数 题型13.同类二次根式 题型14.二次根式的加减运算 题型15.二次根式的混合运算 题型16.分母有理化 题型17.已知字母的值，化简求值 题型18.已知条件式，化简求值 题型19.比较二次根式的大小 题型20.二次根式的应用 题型21.实数的混合运算 题型22.新定义下的实数运算 题型23.实数运算的实际应用 题型24.与实数运算相关的规律题 题型25.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、二次根式的定义 1.定义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 两大必备特征：形式上：含有二次根号“√”； 取值上：被开方数a必须是非负数（a≥0）。 ★补充说明：a可以是数、单项式、多项式等代数式； 形如 2、的式子也是二次根式，系数不改变根式属性。 知识点二、二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义⟺被开方数非负，即a≥0。 2.常见取值规则： 单独根式 ：需满足 x-2≥0； 根式+分式 ：需同时满足x+1≥0且 x≠0； 多个根式叠加：每个被开方数均需大于等于0。 知识点三、二次根式的双重非负性 ▲对于二次根式(a≥0)，同时满足两个非负条件： 被开方数非负：a≥0； 根式结果非负：≥0。 核心结论：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 知识点四、二次根式三大基本性质 1.）2=a(a≥0）），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 2.=｜a｜，a为任意实数，即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 ★ =｜a｜= 3.=·(a≥0,b≥0)，即积的算术平方根等于算术平方根的积 逆向运用：·=，常用于拆分被开方数、化简根式， 知识点五、最简二次根式 最简二次根式的判定标准： （1）被开方数不含分母（分母中不含根号）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 化简原则：所有二次根式运算结果，必须化为最简二次根式。 知识点6：同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。 核心作用：只有同类二次根式可以合并（二次根式加减运算的前提）。 示例：、是同类二次根式。 知识点七、二次根式四则运算 1.乘法运算 法则：·=(a≥0,b≥0) 运算技巧：先相乘，再化简；可逆向用于根式拆分化简。 2.除法运算 法则：= (a≥0,b>0) 注意：除数不能为0，因此被开方数b必须大于0。 逆向运用： =，可将分数型被开方数拆分化简，是根式化简的核心方法之一。 3.分母有理化 定义：将分母中的根号去掉，保证二次根式结果分母不含根号，是根式化简的基础操作，所有根式最终结果必须完成有理化。 分母为单项根式：分子、分母同时乘分母的根式。 含分数被开方数化简：先利用除法公式变形，再有理化。 4.加减运算的步骤： 化简：将所有二次根式化为最简二次根式； 合并：只合并同类二次根式，非同类根式不能合并。 合并规则：系数相加减，被开方数和根号保持不变（类比合并同类项）。 5.混合运算：运算顺序与实数运算一致：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 ✺题型◆精讲 题型1.二次根式的识别 1．下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 3．二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 题型2.求二次根式的值 1．要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．当时，二次根式的值为__________． 3．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 题型3.求二次根式中的参数 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．已知是整数，则正整数的最小值为____________． 3．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 题型4.二次根式有意义的条件 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．当_____时二次根式有最小值． 3．已知x、y为实数，且，求的值． 题型5.利用二次根式的性质化简 1．下列选项中，化简正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：_______；________． 3．阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．证明如下： 根据题意得，移项得．根据二次根式的性质________， 可以将等式两边同时平方，得．即________，移项整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全证明过程． (2)若和为两个相邻整数，求的值． 题型6.复合二次根式的化简 1．若是正整数，最小的整数是（　　） A．2 B．3 C．12 D．48 2．计算：_______． 3．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 题型7.二次根式的乘法 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算：__________．（填写最简的运算结果） 3．计算：； 题型8.二次根式的除法 1．计算：（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是___________． 3．计算： 题型9.二次根式的乘除混合运算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果为____________． 3．定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 题型10.最简二次根式的判断 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 3．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 题型11.化为最简二次根式 1．若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．化简：___________． 3．化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 题型12.已知最简二次根式求参数 1．若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 2．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 题型13.同类二次根式 1．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 3．已知与最简二次根式是同类二次根式，求a的值． 题型14.二次根式的加减运算 1．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 3．计算：． 题型15.二次根式的混合运算 1．计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 2．计算：____________． 3．计算： (1) (2) 题型16.分母有理化 1．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．计算：_______． 3．计算：． 题型17.已知字母的值，化简求值 1．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．当时，的值为__________． 3．计算和求值 (1)计算：． (2)已知，求代数式的值． 题型18.已知条件式，化简求值 1．已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 2．已知，那么的值等于________ 3．已知，，求的值． 题型19.比较二次根式的大小 1．下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 2．比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 3．比较大小： (1)与 (2)与 题型20.二次根式的应用 1．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 2．正方形的边长为，它的面积与一个长为、宽为的长方形的面积相等，则的值为________． 3．海伦-秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，． (1)______； (2)求的面积． 题型21.实数的混合运算 1．化简结果为（     ） A． B． C． D．1 2．计算：__________． 3．计算： (1)． (2)． 题型22.新定义下的实数运算 1．定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 2．规定一种新的运算：，如，则________． 3．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 题型23.实数运算的实际应用 1．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求_________． 3．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为12和25． (1)大正方形的边长是__________，小正方形的边长是__________． (2)求图中阴影部分的周长． 题型24.与实数运算相关的规律题 1．班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室．第132个气球是（　　）的． A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 2．观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 3．观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．12 3．下列计算正确的是（     ） A．B． C． D． 4．与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．不能确定 5．已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 6．下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 7．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 8．二次根式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．若 是实数，化简的结果为（  ） A． B． C．3 D．4 二、填空题 10．与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 11．把化去分母中的根号后得______． 12．已知，则的值为______． 13．已知，，则代数式的值等于____________． 14．比较大小： _______(填“”“”或“”) 15．若，为实数，则，那么__________． 16．已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 17．现定义某种运算“”：对于任意两个数和，有，例如：，请按定义计算______． 18．如图所示，长方形内两个正方形的面积分别是和，那么图中两块阴影部分的面积和是_________． 19．五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为________元． 三、解答题 20．计算： (1) (2) 21．已知、满足，、满足，求的值． 22．观察下列等式： 第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)猜想：第n个等式为 （n为正整数） (3)根据你的猜想，计算： 23．一个三角形的三边长分别为，， (1)求该三角形的周长； (2)请你给一个适当的a值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 24．阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二次根式 暑假预习讲义 ✺知识框架 核心概念：二次根式定义、有意义的条件、双重非负性 基本性质：三大核心性质公式、化简依据 根式分类：最简二次根式、同类二次根式（加减运算基础） 四则运算：乘法、除法、加法、减法运算规则及混合运算 ✅本章二次根完全遵循「概念—性质—化简—运算」的学习逻辑。先依托二次根式的定义、有意义条件与双重非负性，筑牢基础概念根基；再借助三大核心性质，掌握根式化简的核心依据与正反双向运用方法；通过最简二次根式、同类二次根式的判定标准，明确根式化简规范与加减运算前提；最后依托二次根式乘除、加减及混合运算法则，结合分母有理化技能，完成完整的根式运算学习。整体由基础认知到实操运用，循序渐进，是本章预习、解题与复盘的核心逻辑主线。 ✺学习目标 知识与技能：1.准确掌握二次根式的定义，熟练求解二次根式有意义时字母的取值范围。2.理解并熟记二次根式的双重非负性及三大基本性质，能运用性质进行简单的根式化简与求值计算。3.掌握最简二次根式、同类二次根式的判定标准。4.熟练掌握二次根式的乘除、加减运算法则，能进行基础的二次根式混合运算，规范书写解题步骤。 过程与方法：1.通过二次根式概念、性质的推导过程，培养数形结合、逻辑推理的数学思维。2.通过根式化简、运算练习，提升代数式运算能力与规范解题的习惯。 ✺题型归纳 题型1.二次根式的识别 题型2.求二次根式的值 题型3.求二次根式中的参数 题型4.二次根式有意义的条件 题型5.利用二次根式的性质化简 题型6.复合二次根式的化简 题型7.二次根式的乘法 题型8.二次根式的除法 题型9.二次根式的乘除混合运算 题型10.最简二次根式的判断 题型11.化为最简二次根式 题型12.已知最简二次根式求参数 题型13.同类二次根式 题型14.二次根式的加减运算 题型15.二次根式的混合运算 题型16.分母有理化 题型17.已知字母的值，化简求值 题型18.已知条件式，化简求值 题型19.比较二次根式的大小 题型20.二次根式的应用 题型21.实数的混合运算 题型22.新定义下的实数运算 题型23.实数运算的实际应用 题型24.与实数运算相关的规律题 题型25.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、二次根式的定义 1.定义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 两大必备特征：形式上：含有二次根号“√”； 取值上：被开方数a必须是非负数（a≥0）。 ★补充说明：a可以是数、单项式、多项式等代数式； 形如 2、的式子也是二次根式，系数不改变根式属性。 知识点二、二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义⟺被开方数非负，即a≥0。 2.常见取值规则： 单独根式 ：需满足 x-2≥0； 根式+分式 ：需同时满足x+1≥0且 x≠0； 多个根式叠加：每个被开方数均需大于等于0。 知识点三、二次根式的双重非负性 ▲对于二次根式(a≥0)，同时满足两个非负条件： 被开方数非负：a≥0； 根式结果非负：≥0。 核心结论：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 知识点四、二次根式三大基本性质 1.）2=a(a≥0）），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 2.=｜a｜，a为任意实数，即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 ★ =｜a｜= 3.=·(a≥0,b≥0)，即积的算术平方根等于算术平方根的积 逆向运用：·=，常用于拆分被开方数、化简根式， 知识点五、最简二次根式 最简二次根式的判定标准： （1）被开方数不含分母（分母中不含根号）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 化简原则：所有二次根式运算结果，必须化为最简二次根式。 知识点六、同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。 核心作用：只有同类二次根式可以合并（二次根式加减运算的前提）。 示例：、是同类二次根式。 知识点七、二次根式四则运算 1.乘法运算 法则：·=(a≥0,b≥0) 运算技巧：先相乘，再化简；可逆向用于根式拆分化简。 2.除法运算 法则：= (a≥0,b>0) 注意：除数不能为0，因此被开方数b必须大于0。 逆向运用： =，可将分数型被开方数拆分化简，是根式化简的核心方法之一。 3.分母有理化 定义：将分母中的根号去掉，保证二次根式结果分母不含根号，是根式化简的基础操作，所有根式最终结果必须完成有理化。 分母为单项根式：分子、分母同时乘分母的根式。 含分数被开方数化简：先利用除法公式变形，再有理化。 4.加减运算的步骤： 化简：将所有二次根式化为最简二次根式； 合并：只合并同类二次根式，非同类根式不能合并。 合并规则：系数相加减，被开方数和根号保持不变（类比合并同类项）。 5..混合运算：运算顺序与实数运算一致：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 ✺题型◆精讲 题型1.二次根式的识别 1．下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式．需满足根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，当时，，无意义，不是二次根式，∴A错误； ∵选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，∴B错误； ∵选项C中，被开方数，满足二次根式定义，∴C正确； ∵选项D中，当时，无意义，不是二次根式，∴D错误． 2．下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 3．二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 【答案】 / 2 【详解】解：根据二次根式的定义，在中，根号内的式子为被开方数，为二次根式的系数，二次根式的根指数为； ∴由可得被开方数是，系数是，根指数是． 题型2.求二次根式的值 1．要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将各选项的x依次代入计算，判断开方结果是否为有理数即可得到答案． 【详解】解：将各选项x的值分别代入计算判断： ∵当时， ，，3是有理数，符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求． 2．当时，二次根式的值为__________． 【答案】2 【详解】解：当时，． 3．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 题型3.求二次根式中的参数 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 2．已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 3．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 题型4.二次根式有意义的条件 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到x的取值范围 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数 ∴， 解不等式得 2．当_____时二次根式有最小值． 【答案】12 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的被开方数为非负数，二次根式的最小值为0，据此列方程求解x即可． 【详解】解： 二次根式的被开方数满足非负要求， ， 的最小值为，此时， 解得， 即当时二次根式有最小值． 3．已知x、y为实数，且，求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知：，， 解得：， ∴，     ∴ ． 题型5.利用二次根式的性质化简 1．下列选项中，化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的性质和二次根式化简规则逐个判断选项即可． 【详解】解：A、，故本选项化简正确； B、，故本选项化简错误； C、，故本选项化简错误； D、，故本选项化简错误． 2．计算：_______；________． 【答案】 【分析】利用二次根式的基本性质计算即可，用到性质和． 【详解】解： ；． 3．阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．证明如下： 根据题意得，移项得．根据二次根式的性质________， 可以将等式两边同时平方，得．即________，移项整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全证明过程． (2)若和为两个相邻整数，求的值． 【答案】(1)a， (2) 【分析】（1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：应用已知结论得， 即， ∴． 题型6.复合二次根式的化简 1．若是正整数，最小的整数是（　　） A．2 B．3 C．12 D．48 【答案】B 【分析】先化简二次根式，再确定整数的最小值即可得． 【详解】解：， 是正整数，是整数， 是正整数， 是一个平方数，且为正整数， 最小的整数是3， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键． 2．计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 3．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 题型7.二次根式的乘法 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的乘法法则求解． 【详解】解：． 2．计算：__________．（填写最简的运算结果） 【答案】4 【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算，先将根号里的数相乘，再开方即可求出答案． 【详解】解： 3．计算：； 【答案】 【详解】解： ． 题型8.二次根式的除法 1．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．计算的结果是___________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：． 3．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型9.二次根式的乘除混合运算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 2．计算的结果为____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合运算顺序进行即可． 【详解】解：原式． 3．定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ， ， ， ∴． 题型10.最简二次根式的判断 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：，被开方数含能开得尽方的因数，∴ A不是最简二次根式； ，被开方数含能开得尽方的因数，∴ B不是最简二次根式； 的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，∴ C是最简二次根式； 的被开方数含分母，∴ D不是最简二次根式． 2．下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开得尽的因数和因式. 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ③满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 综上，是最简二次根式的有②③. 3．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 题型11.化为最简二次根式 1．若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 2．化简：___________． 【答案】 【详解】． 3．化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：． （2）解：由，可知． 所以． （3）解：． 因为，所以． 题型12.已知最简二次根式求参数 1．若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先化简，然后依据是正整数可得到问题的答案． 【详解】解：， ∵是正整数， ∴为完全平方数， ∴的最小值是． 故选：D. 【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 2．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 题型13.同类二次根式 1．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程即可求解a的值． 【详解】解：最简二次根式与能够合并 与是同类二次根式， 解得：． 2．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 3．已知与最简二次根式是同类二次根式，求a的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 题型14.二次根式的加减运算 1．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故A正确； B、与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； C、，故C错误； D、与不是同类二次根式，不能合并，故D错误． 2．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知：． 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型15.二次根式的混合运算 1．计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【详解】解：原式 ． 2．计算：____________． 【答案】1 【详解】解：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）解：原式； （2） 解：原式． 题型16.分母有理化 1．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 2．计算：_______． 【答案】 【分析】利用分母有理化，解答即可； 【详解】解：； 3．计算：． 【答案】 【分析】原式先分母有理化、根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 题型17.已知字母的值，化简求值 1．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把原式变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 2．当时，的值为__________． 【答案】 【分析】将已知的值代入待求的二次根式，计算得到结果即可. 【详解】解：把代入得 . 3．计算和求值 (1)计算：． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：由题意，得， ． 题型18.已知条件式，化简求值 1．已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据已知条件可证明a、b都小于0，则可先化简二次根式得到，进一步通分得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴a、b同号， ∵， ∴a、b都小于0， ∴ ， ∵，， ∴原式， 故选：B． 2．已知，那么的值等于________ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【详解】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 3．已知，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，判断的取值范围，再化简，最后代入、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 题型19.比较二次根式的大小 1．下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正数的算术平方根的性质即可求解，当时，若，则． 【详解】∵四个选项中二次根式的被开方数都是正数，且， ∴， ∴值最大的是． 2．比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【答案】< 【分析】对于两个正无理数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】，， ， ， 又， ， ． 3．比较大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的大小比较，核心方法是：对于正数，通过平方转化为有理数比较；对于负数，先比较绝对值(平方后比较)，再根据“绝对值大的负数更小”判断． 【详解】（1）解：先计算两数的平方： ， ， 又，且，， ； （2）解：先计算两数的绝对值并平方： ，， ，， 又， ， 根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数更小， ． 题型20.二次根式的应用 1．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 2．正方形的边长为，它的面积与一个长为、宽为的长方形的面积相等，则的值为________． 【答案】 【分析】根据正方形与长方形面积相等列等式，结合正方形边长为正数，开平方求解的值. 【详解】解：根据题意，得 ， 正方形边长，舍去负根， 解得：． 3．海伦-秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，． (1)______； (2)求的面积． 【答案】(1)8 (2)12 【分析】（1）根据题中公式求解即可； （2）根据海伦-秦九韶公式计算即可； 【详解】（1）解：在中，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 题型21.实数的混合运算 1．化简结果为（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式 ． 2．计算：__________． 【答案】3 【详解】解： ． 3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型22.新定义下的实数运算 1．定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先比较参与运算的两个数的大小，再根据给定对应法则代入计算，化简算术平方根和立方根即可得到结果． 【详解】解：由题意得，运算中， ，满足， 按定义得， 代入计算. 2．规定一种新的运算：，如，则________． 【答案】 / 【分析】根据新定义列出算式，再进一步计算即可得到答案． 【详解】解： ． 3．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据规定有理数的新运算法则运算即可． 【详解】（1）解：根据新运算得． （2）解：， ． 题型23.实数运算的实际应用 1．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由纸张的宽为，表示出纸的宽和长，根据纸面积为求解． 【详解】解：由图得，当纸张的宽为时，纸的宽为， ∵纸张长与宽的比为， ∴纸的长为， ∵纸面积为， ∴， ∴． 2．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求_________． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 3．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为12和25． (1)大正方形的边长是__________，小正方形的边长是__________． (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，二次根式的化简，二次根式的乘法，二次根式的加减，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的解答，二次根式的运算是解题的关键． （1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可． （2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可． 【详解】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为12和25． ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故答案为：，． （2）解：根据题意，得阴影的周长为： ． 题型24.与实数运算相关的规律题 1．班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室．第132个气球是（　　）的． A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 【答案】B 【分析】本题主要考查了周期性规律问题，有理数的除法等知识点，解题的关键是找出周期规律． 先确定周期长度，再计算位置，根据余数确定气球颜色即可． 【详解】解：气球排列顺序为“3红、2黄、2绿、1白”，每个周期包含个气球， ∴， ∴第132个气球是黄色， 故选：B． 2．观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 【详解】解：根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为：（为正整数）． 3．观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据已知等式的规律写出第8个等式即可； （2）根据已知等式的规律写出第n个等式即可； （3）根据（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； 第4个等式：，即； 第5个等式：，即； …… 第8个等式：，即． （2）解：第n个等式为． （3）解： ． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵选项A中，的符号不确定，当时，不是二次根式，∴A错误． ∵选项B中，根指数为，被开方数，满足二次根式的定义，∴B正确． ∵选项C中，的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，∴C错误． ∵选项D中，当即时，不是二次根式，∴D错误． 2．若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 【分析】化简二次根式，再根据二次根式为整数的条件，结合完全平方数的性质，即可求出正整数a的最小值． 【详解】解：先对进行化简，， 已知是整数，是正整数， ∴必须是整数，即是完全平方数， ∴ 正整数的最小值是． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法法则、合并规则、算术平方根的性质逐一判断选项即可． 【详解】选项A： ， 故A正确； 选项B：与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； 选项C：与不是同类二次根式，不能合并，故C错误； 选项D：，故D错误． 4．与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据相反数、倒数的定义，通过计算两数的乘积判断二者关系，用到平方差公式计算． 【详解】解：∵， ∴乘积为的两个数互为倒数，因此二者是互为倒数的关系． 5．已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 6．下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意， B．的被开方数含分母，化简后为，故不是最简二次根式，不符合题意， C．，被开方数含分母，化简后为，故不是最简二次根式，不符合题意， D．满足最简二次根式的条件，是最简二次根式，符合题意． 7．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的值代入二次根式，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将代入二次根式可得． 8．二次根式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴ 有意义需满足 ， 解不等式得． 9．若 是实数，化简的结果为（  ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，零指数幂运算法则，绝对值意义，正确应用运算法则是解题关键．根据二次根式性质，二次根式加减运算法则，零指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 二、填空题 10．与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 【答案】 【分析】被开方式相同的最简二次根式是同类二次根式，据此进行列式计算即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， 又∵与是同类二次根式， ∴， 解得． 11．把化去分母中的根号后得______． 【答案】 / 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义及分式有意义可得，， ∴，， ∴原式． 12．已知，则的值为______． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 13．已知，，则代数式的值等于____________． 【答案】 【详解】解：． 14．比较大小： _______(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】对于比较两个正无理数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】解：， ． ，且，， ． 15．若，为实数，则，那么__________． 【答案】 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，先求出m和n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 16．已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 【答案】 【分析】先根据已知公式推导出密度的表达式，再代入和的值，利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：由公式 可得 ，将，代入得： ． 17．现定义某种运算“”：对于任意两个数和，有，例如：，请按定义计算______． 【答案】 【分析】根据定义的新运算，将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．如图所示，长方形内两个正方形的面积分别是和，那么图中两块阴影部分的面积和是_________． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积求出边长，确定长方形的长和宽，利用面积的和差关系求解即可． 【详解】解： 两个正方形的面积分别为 和， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， 长方形的长为，宽为， 阴影部分的面积和为． 19．五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为________元． 【答案】25.2 【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可． 【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 三、解答题 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式               ； （2）解：原式                           ． 21．已知、满足，、满足，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出，，再根据二次根式的定义求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得，， 、满足， ，， 解得，， ， ， ． 22．观察下列等式： 第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)猜想：第n个等式为 （n为正整数） (3)根据你的猜想，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出第四个式子即可； （2）找到题中规律即可写出第n个等式； （3）根据规律变形，再计算即可． 【详解】（1）解：第4个等式为，即； （2）解：根据题意可得第n个等式为； （3）解：， ， ． 23．一个三角形的三边长分别为，， (1)求该三角形的周长； (2)请你给一个适当的a值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 【答案】(1) (2)当时，此时三角形周长的值为（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的加减．解答本题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则． （1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．运用二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的的值代入计算即可． 【详解】（1）解：依题意，该三角形的周长为： ； （2）当时，， ∴这个三角形的周长为（答案不唯一）． 24．阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 【答案】(1) (2)9 (3)米 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， 米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $