精品解析：2023年潍坊市初中学业水平考试模拟预测试题（四）

2023年潍坊市初中学业水平考试模拟预测试题（四） 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷，为选择题，36分；第Ⅱ卷，为非选择题，84分；满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前务必将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂写在答题卡的相应位置，答在本试卷上一律无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题四个选项只有一项正确．） 1. 数轴上表示数的点与其相反数所表示的点的距离是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 2. 如图，在中，，在上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，中芯国际的芯片技术取得突破性进展，在2022～2023年实现芯片量产．该技术是绕过EUV光刻机实现相当于芯片的生产，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为，．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式组无实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 年月潍坊市全面展开新冠疫苗第三针接种，奎文某社区针对月日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回份有效问卷．经统计，制成如下数据表格． 接种疫苗针数 人数 小明同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）： ①计算各部分扇形的圆心角分别为，，，． ②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为，，，． ③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ） A. ②①③ B. ①③② C. ①②③ D. ③①② 8. 如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分．） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各自终点后停止，两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的关系如图．当两车相距时，慢车行驶的时间为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论正确的有（ ） A. 四边形是菱形 B. 点与点重合时， C. 的面积的取值范围是 D. 当时， 12. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是抛物线上的两点，则 D. （其中） 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果．） 13. 若分式方程的解为整数，则整数___________． 14. 如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论： （1）； （2）若，，则； （3）若，则； （4）若，则与全等． 其中正确结论的序号为________． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去……，则点的横坐标为________． 16. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______． 四、解答题（共7小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中． 18. 根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） （1）求处的竖直高度； （2）求基站塔的高． 19. 某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对新中国史的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行新中国史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下： 七年级抽取学生的成绩：． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 7 中位数 8 优秀率 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生新中国史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）． （3）请估计七、八年级学生对新中国史知识掌握能够达到优秀的总人数； （4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市新中国史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 20. 已知平面直角坐标系中，点P（）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式来计算． 例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：． 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点M（0，3）到直线的距离； （2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由． 21. 点是半径为的上一动点，点是外一定点，．连接，． （1）【阅读感知】如图①，当是等边三角形时，连接，求的最大值； 将下列解答过程补充完整． 解：将线段绕点顺时针旋转到，连接，． 由旋转的性质知：，，即是等边三角形． ． 又是等边三角形， ，， ， ． 在和中， ， ______， ． 在中，， 当，，三点共线，且点在的延长线上时，， 即， 当，，三点共线，且点在的延长线上时，取最大值，最大值是______． （2）【类比探究】如图②，当四边形是正方形时，连接，求的最小值； （3）【理解运用】如图③，当是以为腰，顶角为的等腰三角形时，连接，求的最小值，并直接写出此时的周长． 22. 在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． （1）直接写出的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 23. 如图1，正方形的边长为4，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到，将线段绕点逆时针旋转90°得到．连接． （1）求证： ①的面积； ②； （2）如图2，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年潍坊市初中学业水平考试模拟预测试题（四） 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷，为选择题，36分；第Ⅱ卷，为非选择题，84分；满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前务必将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂写在答题卡的相应位置，答在本试卷上一律无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题四个选项只有一项正确．） 1. 数轴上表示数的点与其相反数所表示的点的距离是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的相反数，再计算两点距离即可． 【详解】解：∵的相反数是， 数轴上两点间的距离等于较大数减去较小数， ∴两点距离为． 2. 如图，在中，，在上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴． 3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，中芯国际的芯片技术取得突破性进展，在2022～2023年实现芯片量产．该技术是绕过EUV光刻机实现相当于芯片的生产，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将换算为以为单位的长度，再根据科学记数法的规则得到结果，科学记数法表示小于1的正数的形式为，需满足，为原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 4. 如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为，．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，由菱形的性质与勾股定理得到，则，再结合含的直角三角形性质得，，则根据即可得解． 【详解】解：设交于点， 菱形中，，， ，， ，，， 中，， ， ， 中，， ， 中，， ， ． 5. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从上边看，可得图形如下： 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形． 6. 已知关于的不等式组无实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无实数解的条件，即两个解集没有公共部分，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组无实数解，即两个解集没有公共部分， ， 解得． 7. 年月潍坊市全面展开新冠疫苗第三针接种，奎文某社区针对月日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回份有效问卷．经统计，制成如下数据表格． 接种疫苗针数 人数 小明同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）： ①计算各部分扇形的圆心角分别为，，，． ②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为，，，． ③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ） A. ②①③ B. ①③② C. ①②③ D. ③①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据制作扇形统计图的步骤进行分析排序即可得到结论． 【详解】解：制作扇形统计图的步骤依次为： ②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为，，，， ①计算各部分扇形的圆心角分别为，，，， ③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比， 正确的顺序为②①③． 8. 如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，在优弧上取点，连接，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图所示，连接，在优弧上取点，连接， 、是切线， ， ， ， 又∵圆内接四边形的对角互补， ． 二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分．） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】运用分式除法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂运算、分式减法的初中运算法则，逐个计算选项判断正误即可. 【详解】解：对选项A： ∴A错误； 对选项B： 根据积的乘方和幂的乘方法则，； ∴B正确； 对选项C： ∴C错误； 对选项D： ∴D正确. 10. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各自终点后停止，两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的关系如图．当两车相距时，慢车行驶的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据相遇后慢车单独行驶的路程与时间算出慢车速度，再结合图像中的全程距离与相遇时间求出两车的速度和，进而推导得到快车速度，最后分情况列方程求解，即可得到两车相距时慢车行驶的时间． 【详解】解：由图像可知，甲乙两地全程，两车同时出发后3小时相遇； 相遇后快车故障停车，慢车继续向甲地行驶； 出发后3小时到出发后4小时这1小时内，仅慢车行驶，两车距离从0增加到； ∴慢车速度 ∵相遇时两车3小时共同走完， ∴速度和为， ∴快车速度， 情况1：相遇前（，两车相向而行）， 两车距离随时间匀速减小，距离公式： ， 令，解得； 情况2：相遇后快车维修阶段（）， 仅慢车行驶，两车距离匀速增加，时最大距离仅为，小于，此阶段无解； 情况3：快车修好后（，两车背向而行）， 时两车已相距，快车恢复行驶后，两车分别向甲乙两地背向行驶， 距离增速为，距离公式： ， 令，解得； 情况4：快车到达终点后（）， 快车停止，仅慢车行驶，距离增速降为， 将代入，解得两车已相距（大于），此阶段无新解； 综上，或． 故选：AC． 11. 如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论正确的有（ ） A. 四边形是菱形 B. 点与点重合时， C. 的面积的取值范围是 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据折叠的性质可证四边形为平行四边形且，即可证明四边形为菱形；当点与重合时，设，则，利用勾股定理列方程求出的值，根据菱形的性质求出即可；当过点时，最短，四边形的面积最小，当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，求出的面积的取值范围；当时，可得，设，根据含角的直角三角形的性质可知，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：A选项：如下图所示， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形， 故A选项正确，符合题意； B选项：当点与重合时，如下图所示， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， ，， ， 又四边形为菱形， ，且， ， ， 故B错误，不符合题意； C选项：如下图所示，当过点时，最短， 四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ， 故C选项正确，符合题意； D选项：当时，， 在直角三角形中，设，则，， 由勾股定理得，， ， 解得：， ，， 由折叠可知， ， 故D选项错误． 12. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是抛物线上的两点，则 D. （其中） 【答案】AD 【解析】 【详解】二次函数经过点， ，故B错误； ， ， 将代入中，得，故A正确； 抛物线开口向下，对称轴为，且， ，故C错误； 当时，有最大值，此时， 当时，， （其中，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果．） 13. 若分式方程的解为整数，则整数___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值． 【详解】解：， 整理得： 若分式方程的解为整数， 为整数， 当时，解得：，经检验：成立； 当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上:， 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验． 14. 如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论： （1）； （2）若，，则； （3）若，则； （4）若，则与全等． 其中正确结论的序号为________． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】 【分析】依次分析各选项，进行推理论证即可．其中（1）可通过证明，得到，即可证明．（2）可先得到该平行四边形是矩形，得到，证明即可．（3）由证得，过点E作于点P，过点D作，交的延长线于点Q，证明得到，根据三角形的面积公式即可证明．（4）分别过N、C两点向作垂线，垂足分别为H、K，先证明后可进一步证明，即可完成求证． 【详解】解：∵平行四边形中，E是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即，故（1）正确． 若，则平行四边形是矩形，如图， ∴，， ∵， ∴， ∴，故（2）正确． ∵， ∴， ∵，又由（1）有， ∴， ∴， 如图，过点E作于点P，过点D作，交的延长线于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴，故（3）正确； ∵在中，，又， ∴， 分别过N、C两点向作垂线，垂足分别为H、K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故（4）正确． 综上所述，正确的结论是（1）（2）（3）（4）． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去……，则点的横坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直的关系式为，以及，可得到是等腰直角三角形，进而得到、、都是等腰直角三角形，设，则点，点在反比例函数的图象上，可求出，进而得到点的横坐标为1，同理，则点，求出点的横坐标为，同理得出点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；根据规律可得答案． 【详解】解：如图，过点、、、分别作轴，轴，轴，轴，垂足分别为、、、 直线的关系式为，， 是等腰直角三角形， ， 同理可得、、都是等腰直角三角形， 设，则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得（负值舍去）， 点的横坐标为1， 设，则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得， 点的横坐标为； 设，则点，，点在反比例函数的图象上， ， 解得， 点的横坐标为； 同理可得点的横坐标为； 点的横坐标为； 点的横坐标为； 点的横坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提． 16. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵正六边形的边长为2， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 四、解答题（共7小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 当时，原式． 18. 根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） （1）求处的竖直高度； （2）求基站塔的高． 【答案】（1）处的竖直高度为5米； （2）基站塔的高为19.25米． 【解析】 【分析】（1）过点作，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）延长交于点，过点作，设米，则（米），（米）．在中，解直角三角形求得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：过点作， ∵斜坡的坡度为， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， 解得：（负值舍去）， 米， 即处的竖直高度为5米； 【小问2详解】 解：延长交于点，过点作， 则四边形是矩形， 米，米， 由题意可得：， 设米，则（米），（米）， ∴在中，， 即， 解得：， 经检验：符合题意，即米， 米， 又∵斜坡的坡度为， ，即， 解得：米， 米， 答：基站塔的高为19.25米． 19. 某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对新中国史的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行新中国史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下： 七年级抽取学生的成绩：． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 7 中位数 8 优秀率 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生新中国史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）． （3）请估计七、八年级学生对新中国史知识掌握能够达到优秀的总人数； （4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市新中国史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 【答案】（1）8，8 （2）解：七年级的学生新中国史知识掌握得较好，理由如下： ∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率， ∴七年级的学生新中国史知识掌握得较好．（答案不唯一）； （3）估计七、八年级学生对新中国史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据众数与中位数的概念求解即可． （2）可根据两个年级的优秀率比较即可． （3）根据七八年级的人数以及优秀率求解即可； （4）根据题意作出树状图，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：七年级抽取学生的成绩：． 其中8出现7次，由众数的定义得：， 由条形统计图可知，八年级抽取学生的成绩：． 八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8，． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级学生对新中国史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人； 【小问4详解】 解：把七年级获得10分的学生记为，八年级获得10分的学生记为， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种， ∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为． 20. 已知平面直角坐标系中，点P（）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式来计算． 例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：． 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点M（0，3）到直线的距离； （2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由． 【答案】（1）3；（2）直线与圆相交， 【解析】 【分析】（1）直接利用公式计算即可； （2）根据半径和点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长． 【详解】解：（1）∵y＝x＋9可变形为x－y＋9＝0，则其中A＝，B＝－1，C＝9， 由公式可得 ∴点M到直线y＝x＋9的距离为3， （2）由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，圆的半径r＝4， ∵d＜r ∴直线与圆相交， 则弦长， 【点睛】本题考查了阅读理解和圆与直线的位置关系，垂径定理，解题关键是熟练运用公式求解和熟练运用圆的相关性质进行推理和计算． 21. 点是半径为的上一动点，点是外一定点，．连接，． （1）【阅读感知】如图①，当是等边三角形时，连接，求的最大值； 将下列解答过程补充完整． 解：将线段绕点顺时针旋转到，连接，． 由旋转的性质知：，，即是等边三角形． ． 又是等边三角形， ，， ， ． 在和中， ， ______， ． 在中，， 当，，三点共线，且点在的延长线上时，， 即， 当，，三点共线，且点在的延长线上时，取最大值，最大值是______． （2）【类比探究】如图②，当四边形是正方形时，连接，求的最小值； （3）【理解运用】如图③，当是以为腰，顶角为的等腰三角形时，连接，求的最小值，并直接写出此时的周长． 【答案】（1），； （2）最小值是； （3）的最小值为，的周长均为． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质，从而求得的最大值为； （2）作以为边的正方形，连接，，按照（1）中的思路，求证，从而求得的最小值； （3）作以为腰，顶点为点，顶角为的等腰，连接，，过点作于点，按照上述方法求证，从而求得的最小值，过点作于点，根据三角函数，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②－1中，作以为边的正方形，连接，， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得， 当，，三点共线，且点在的延长线上时，， ∴， 当，，三点共线，且点在的延长线上时，取最小值，最小值是． 取最小值的图像如下所示： 【小问3详解】 如下图，作以为腰，顶点为点，顶角为的等腰，连接，，过点作于点， ，， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得，即， 当，，三点共线，且点在的延长线上时，， ∴， 当，，三点共线，且点在的延长线上时，取最小值，最小值是， 当取最小值时的图象如图③－2中，此时过点作于点，且延长到点，使得， ，， ， 在中，，， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ，以及， 在中，， ， ， 的周长为． 22. 在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． （1）直接写出的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】（1）； （2）大棚最高处到地面的距离为米； （3）共需要（根）竹竿． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； 【小问2详解】 解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； 【小问3详解】 解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 23. 如图1，正方形的边长为4，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到，将线段绕点逆时针旋转90°得到．连接． （1）求证： ①的面积； ②； （2）如图2，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围． 【答案】（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G， ∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°， ∴∠FPG=∠CPD， 又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF， ∴（AAS）， ∴FG=PD， ∴的面积； ②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H， ∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°， ∴∠PEH =∠BPA， 又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE， ∴（AAS）， ∴EH=PA， 由①得：FG=PD， ∴EH+FG=PA+PD=AD=CD， 由①得：， ∴PG=CD， ∴PD+GD= CD= EH+FG， ∴FG+ GD= EH+FG， ∴GD=EH， 同理：FG=AH， 又∵∠AHE=∠FGD， ∴， ∴； （2）4≤MN＜ 【解析】 【分析】（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明，即可得到结论；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明，结合，可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得，进而即可得到结论； （2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，MN=EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重合时， EF最大值=，当点P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案． 【详解】（1） 略 （2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H， 由（1）得：， ∴∠HAE=∠GFD， ∵∠GFD+∠GDF=90°， ∴∠HAE+∠GDF=90°， ∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA， ∴∠MAD+∠MDA=90°， ∴∠AMD=90°， ∵点N是EF的中点， ∴MN=EF， ∵EH=DG=AP，AH=FG=PD， ∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4， 当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8， 此时EF最大值=， 当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8， 此时EF最小值= HG=8， ∴的取值范围是：4≤MN＜． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $