精品解析： 2023年山东省滕州市鲍沟中学中考复习强化练习作业（二）九年级数学试题

2023届山东省滕州市鲍沟中学中考复习强化练习作业（二） 九年级数学 一、单选题 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，负整数指数幂，掌握以上运算法则是解题的关键． 2. 新华社北京3月日电商务部日发布数据显示，年1至2月，全国实际使用外资金额亿元人民币，同比增长，折合亿美元，同比增长．将亿用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：亿． 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（ ） A. 10 B. 8 C. 8或10 D. 6或10 【答案】A 【解析】 【分析】解方程求得的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可． 【详解】解：， 解得， 当腰是时，三边分别，，，不能组成三角形； 当腰是时，三边分为，，，能组成等腰三角形； 所以此等腰三角形的周长是． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解一元二次方程及三角形三边关系，分类讨论是解题的关键． 4. 若反比例函数图象上有两点，，若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将点，代入反比例函数得出：，，再代入求值即可． 【详解】解：将点，代入反比例函数得出：，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数解析式和分式的加减，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5. 若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组整数解得个数，构造新的不等式组，再次求解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组有且只有4个整数解， ∴， 解得 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集和整数解，根据整数解的个数，确定符合题意的最大整数值，用最大整数值为界点值，运用相邻最大整数值构建不等式组是解题的关键． 6. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理，可求出，再根据垂直平分线的性质可得，进而得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，以及垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握三角形的内角和为，垂直平分线上的点到两端距离相等． 7. 如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为和，则下列结论中：（1），（2），（3），（4）当时，是等腰直角三角形，正确的个数是(　 　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图像上点的特征、勾股定理及其逆定理分析解答即可． 【详解】解：其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为和3，则函数的对称轴为直线， （1）∵， ∴，即，故正确； （2）由图象知，当时，，故正确； （3）当时，， ∵， ∴，故错误； （4）依题意，函数的表达式为： ， 则点A、B、D的坐标分别为：， ∴， ∴ 故是等腰直角三角形符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 8. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，，．若点B的坐标为，则点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据题意以及位似图形的知识可知和是等腰直角三角形，结合相似比和点坐标，可知是的中点，根据等腰三角形中的三线合一的性质可得，据此只需求出和即可得到点的坐标；根据是等腰直角三角形和可得是等腰直角三角形，则，结合点的坐标即可解答本题． 【详解】解：连接． ，， 是等腰直角三角形， ． ∵和是位似图形，相似比为， ，是等腰直角三角形． ， 点为的中点， ． ， ， 是等腰直角三角形， ． ， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质、等腰直角三角形的性质，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 9. 如图，在中，，以点为圆心，2为半径的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理．连接，由切线的性质得出，，利用解直角三角形求出，由圆周角定理求出，进而求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数，继而求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，对角线交于点O，E是边的中点，连接，分别交于点P，Q，过点P作交的延长线于点F．下列结论：①；②；③若四边形的面积为4，则正方形的面积为36；④．其中结论正确的序号有（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，①利用四点共圆证明即可；②设，求出，即可解决问题；③利用相似三角形的性质计算求得正方形的面积为；④利用相似三角形的性质证明即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴，故①正确， ∵E是边的中点，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴，即，故②正确， 根据对称性可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③错误， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是：①②④； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，并灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 设，是方程的两个根，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，然后代入求解即可． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程解的意义，解题的关键是掌握一元二次方程解的意义． 13. 在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，，过点O作于点；过点作于点；过点作于点；过点作于点…以此类推，点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到点是的中点，是的中点，根据中位线的性质定理，求出点的坐标，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴点是的中点，， ∵， ∴是的中点，， 即是的中位线， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为 ，点的坐标为， ……， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，中位线的性质以及点的坐标，掌握等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转44°得到，连接，若，则的大小为______． 【答案】##24度 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，等于旋转角，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，再由平行线的性质即可得到的大小，进而可得，利用和差关系即可得结果． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转44°得到， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 15. 如图，点是反比例函数上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点、，若，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交轴于，延长交轴于，设点，可表示出和两点坐标，计算得出，从而得出，进而推出，根据，进而得出是的中位线，再证得，从而得出，的关系式，结合，从而求得，的值，进而得出结果． 【详解】解：如图，延长交轴于，延长交轴于点， 设点， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案是： 【点睛】本题结合反比例函数的知识，考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，发现和构造相似三角形． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，矩形的另一个顶点在轴的正半轴上，矩形的边，则点的横坐标__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于点，由锐角三角函数定义求出的长，再证，得，由此求的长，从而可得的长，由此即可得出点的横坐标． 【详解】解：如图，过作轴于点， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 三、解答题 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】先化简二次根式，计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，然后根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 18. （1）解不等式组，并写出不等式组的最大整数解． （2）先化简，再求值：，从，，，中选择一个合适的整数代入求值． 【答案】（1），0；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据不等式组的解法即可求出的范围，然后找出的最大整数解． （2）先根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入化简后的式子即可求出答案． 【详解】解：（1）， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 的最大整数为0． （2）原式 ， 由分式有意义的条件可知：不能取，0， 故， 原式． 【点睛】本题考查分式的运算以及不等式组的解法，解题的关键熟练运用分式的加减运算法则，乘除运算法则，不等式组的解法，本题属于基础题型． 19. 某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）求本次调查共抽取了________名学生的征文，并把条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中“爱国”所对应扇形的圆心角度数； （3）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是甲、乙、丙的，若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求甲和乙征文同时被选中的概率． 【答案】（1）50，统计图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用主题为“诚信”的数量除以其数量占比即可求出本次调查的学生的征文数量，再求出主题为“友善”的数量即可补全统计图； （2）用360度乘以主题为“爱国”的数量占比即可得到答案； （3）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：名， ∴本次调查共抽取了50名学生的征文， ∴主题为“友善”的有名， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中“爱国”所对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲和乙征文同时被选中的结果数有2种， ∴甲和乙征文同时被选中的概率为． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 20. 为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】（1）A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）共有2种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球． 【解析】 【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共需3100元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有2种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； 【小问2详解】 解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为24，25， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案2：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，即购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 21. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵且， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出是等边三角形，然后利用勾股定理得出，再利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， 即的长为． 22. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于A，B两点，垂直x轴于点C，O为坐标原点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标，并直接写出的解集； （3）点D在y轴上，满足的面积和的面积相等，求点D的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）设，则，可得，把点代入一次函数解析式即可求出的值，进而表示出点的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）将一次函数和反比例函数联立求出点B的坐标，根据图像求出一次函数不在反比例函数上方时自变量的取值范围即可； （3）根据题意点D在y轴上，满足的面积和的面积相等，将直线向左平移4个单位，可得到直线，再找到关于点的对称点为，即可得到答案． 【小问1详解】 设，则， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴，解得， ∴ 把代入反比例函数得：， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 由，解得或， ∴ 由图可知的解集为：或． 【小问3详解】 由（1）、（2）得：，，， ∵直线的解析式为， 令，得， ∴直线与轴的交点的横坐标为5，与轴的交点的纵坐标为5， ∵的面积和的面积相等， ∴ ∵点的横坐标为1， ∴将直线向左平移4个单位，得到直线， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， ∵点关于点的对称点为， 由题意得点也满足的面积和的面积相等， ∴点的坐标为或. 【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题目，考查了待定系数法求解析式、三角形面积以及求函数交点坐标，能够数形结合是解题的关键． 23. 如图1，为圆的直径，为弦，过圆心作于，点为延长线上一点，是圆的切线． （1）求证：； （2）如图2，取弧的中点，连接，，若，求弦的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，切线的性质，勾股定理等 （1）连结，由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，有垂直的定义得，即可求证； （2）连接交于，连接，由圆的性质得，由勾股定理可得， ，即可求解； 掌握性质及圆中常用辅助线作法是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，连结， 是的切线， ， 即， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接交于，连接， 是直径， ， ； 为的中点， ， ， 在中， ， ， ． 24. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大?求出四边形的最大面积及此时E点的坐标； （3）在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形的面积最大为，E点坐标为（－2，－1） （3）存在，P 点的坐标为（0，）或（0，） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入，解得，即可得解； （2）先求直线的函数表达式为,设点，结合图形， 四边形的面积，运用二次函数的性质求得最值及点E点的坐标； （3）设，作于点G， ，求得＝，利用等积法得，解得n，得到点，再利用对称性得另一点 【小问1详解】 将 代入抛物线表达式得，解得， 抛物线表达式为； 【小问2详解】 ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，， 设直线的函数表达式为， 将点坐标代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为，.. 设，则， ∴ ＝， ∴＝， 四边形的面积＋ 当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时E点坐标为； 【小问3详解】 P 点的坐标为或 ①作于点G， ， 设， ， ， ， ， 由的面积，得 ，即， 化简，得， 解得， （不符合题意，舍去）， ∴， ②∵点与点P关于原点O对称， ， ∴， 综上所述：P 点的坐标为或） 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，二次函数的性质，方程的思想及分类讨论的思想等知识，本题考点较多，综合性较强，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023届山东省滕州市鲍沟中学中考复习强化练习作业（二） 九年级数学 一、单选题 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 新华社北京3月日电商务部日发布数据显示，年1至2月，全国实际使用外资金额亿元人民币，同比增长，折合亿美元，同比增长．将亿用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（ ） A. 10 B. 8 C. 8或10 D. 6或10 4. 若反比例函数图象上有两点，，若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，，，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为和，则下列结论中：（1），（2），（3），（4）当时，是等腰直角三角形，正确的个数是(　 　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，，．若点B的坐标为，则点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点为圆心，2为半径的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，对角线交于点O，E是边的中点，连接，分别交于点P，Q，过点P作交的延长线于点F．下列结论：①；②；③若四边形的面积为4，则正方形的面积为36；④．其中结论正确的序号有（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ③④ D. ①②④ 二、填空题 11. 的算术平方根是______． 12. 设，是方程的两个根，则__________． 13. 在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，，过点O作于点；过点作于点；过点作于点；过点作于点…以此类推，点的坐标为_____________． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转44°得到，连接，若，则的大小为______． 15. 如图，点是反比例函数上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点、，若，，则点的坐标为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，矩形的另一个顶点在轴的正半轴上，矩形的边，则点的横坐标__________________． 三、解答题 17. 计算： 18. （1）解不等式组，并写出不等式组的最大整数解． （2）先化简，再求值：，从，，，中选择一个合适的整数代入求值． 19. 某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）求本次调查共抽取了________名学生的征文，并把条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中“爱国”所对应扇形的圆心角度数； （3）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是甲、乙、丙的，若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求甲和乙征文同时被选中的概率． 20. 为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 21. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 22. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于A，B两点，垂直x轴于点C，O为坐标原点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标，并直接写出的解集； （3）点D在y轴上，满足的面积和的面积相等，求点D的坐标． 23. 如图1，为圆的直径，为弦，过圆心作于，点为延长线上一点，是圆的切线． （1）求证：； （2）如图2，取弧的中点，连接，，若，求弦的长． 24. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大?求出四边形的最大面积及此时E点的坐标； （3）在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $