第一章 特殊平行四边形（三大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“特殊平行四边形”单元内容，涵盖菱形、矩形、正方形的性质判定、面积计算及综合应用，搭建了从“基础定义”到“性质判定”再到“易错突破”的递进式学习支架。 清单通过“知识点分级”“易错点专项”“综合题训练”构建知识体系，如将菱形“对角线互相垂直”标注为考试核心，总结“无图必多解”等注意事项，培养学生几何直观与推理意识。设计“对点训练”和“折叠/动点问题”专题，不同学生可针对性突破，教师可据此优化教学，提升复习效率。

第一章 特殊平行四边形 知识点一 菱形的性质和判定 1. 基本定义 一组_____________相等的_____________叫做菱形。菱形属于特殊的平行四边形，因此具备平行四边形的全部性质（对边_____________、对角_____________、对角线_____________）。 2. 菱形独有性质（考试核心） ① 四条边长度全部_____________； ② 对角线互相_____________； ③ 每一条对角线_____________一组对角； ④ 是轴对称图形，有_____________条对称轴（两条对角线所在直线）。 3. 三种判定方法 ① 定义判定：先证是_____________，再证一组_____________相等 菱形； ② 边判定：任意四边形，_____________都相等 菱形； ③ 对角线判定：先证是_____________，再证对角线_____________ 菱形。 4. 面积计算 · 普通算法：_____________ _____________ · 特殊算法（菱形专属）：__________________________ 知识点二 矩形的性质和判定 1. 基本定义 有一个角是_____的平行四边形叫做矩形（长方形），属于特殊平行四边形，拥有平行四边形所有性质。 2. 矩形独有性质 ① 四个内角均为 _____________（直角）； ② 对角线长度_____________且_____________； ③ 轴对称图形，有_____________条对称轴； ④ 必考推论：矩形对角线平分，可推出“直角三角形斜边中线等于斜边的_____________”。 3. 三种判定方法 ① 定义判定：_____________ + 一个_____________ 矩形； ② 角判定：四边形中有三个角是_____________ 矩形； ③ 对角线判定：_____________ + _____________ 矩形。 4. 面积计算： 知识点三 正方形的性质和判定 1. 基本定义 正方形是最特殊的平行四边形，既是特殊的_____________，又是特殊的_____________。 定义：有一组_____________相等且有一个角是_____________的_____________。 2. 正方形全能性质 汇总矩形 + 菱形所有性质： ① _____________相等、四角都是_____________； ② 对角线_____________、_____________、_____________、平分一组对角； ③ 对称轴共 _____________条（水平、竖直、两条对角线）。 3. 三种核心判定（考试最爱考） ① 矩形基础：_____________ + 一组_____________相等 正方形； ② 菱形基础：_____________ + 一个_____________ 正方形； ③ 平行四边形基础：_____________ + _____________ 正方形。 4. 面积计算 ① ② 易错点1 菱形中的多解问题 易错提醒 易错点总结 1. 已知菱形边长、对角线、角度时，不分类讨论，只算出一种答案导致漏解。 2. 菱形内角分为锐角、钝角两组，做题时常默认一个角度，忽略互补角度情况。 3. 菱形一条对角线固定时，另一条对角线位置、长度存在双解，学生习惯性只算一种。 4. 菱形高、面积计算时，选错对应底边，导致数值错误。 注意事项总结 1. 菱形题目无图必多解，无图一定要分类讨论。 2. 菱形邻角互补，算出一个角度，必须检查是否存在另一组互补角度解。 3. 对角线题型：分清长短对角线，不要默认某条为长/短对角线。 4. 面积两种算法互通：底乘高、对角线乘积一半，不确定时两种方法互检。 【对点训练】1．如图，在菱形中，，，是线段上的动点（不与点，重合），连接，作射线，交线段于点，且使．给出下面四个结论： ①；②；③、两点间的距离的取值范围是；④连接，则面积的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 易错点2 矩形中的多解问题 易错提醒 易错点总结 1. 矩形边上动点、线段分割题型，点在不同边上位置不同，不分类直接扣分。 2. 忽略矩形对角线相等且平分，出现等腰三角形双解。 3. 直角三角形斜边中线题型，分不清斜边、直角边，出现取值多解或错解。 4. 矩形周长、边长问题，长和宽不区分，导致两组解遗漏。 注意事项总结 1. 矩形边上动点：分点在长边上、短边上两类讨论。 2. 对角线构成等腰三角形，存在顶角、底角两种情况，必须双解验证。 3. 斜边中线题型：先找真正斜边，杜绝乱套中线公式。 4. 矩形边长问题，长一定大于宽，最后记得舍去不合理解。 【对点训练】2．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④ 易错点3 正方形中的多解问题 易错提醒 易错点总结 1. 正方形内、外找点题型，不区分内外位置，漏解严重。 2. 正方形顶点顺序不确定，顺时针、逆时针两种图形，答案不同。 3. 线段、角度问题默认对称唯一解，忽略多种对称情况。 4. 正方形对角线分割三角形，等腰直角三角形常出现双解。 注意事项总结 1. 正方形无图题默认多解，一定要考虑内外、左右、上下对称。 2. 顶点顺序不确定时，分顺时针、逆时针两种画图。 3. 利用正方形高度对称性，做题先预判是否存在双解。 4. 所有解最后验证是否符合正方形边角、垂直相等性质。 【对点训练】3．如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 易错点4 特殊平行四边形与折叠问题 易错提醒 易错点总结 1.看不懂折叠全等关系，遗漏对应边、对应角相等条件。 2.不会设未知数，找不到可列勾股方程的直角三角形。 3.折叠后图形位置改变，学生依旧按原图边长计算。 4.菱形、矩形折叠后出现多解，不分类讨论。 注意事项总结 1.折叠题万能核心：折叠=全等，边相等、角相等。 2.固定解题步骤：找等边→设 x→用剩余边长表示线段→Rt△勾股列方程。 3.重点观察折叠后新形成的直角三角形，是解题突破口。 4.折叠落点不确定时，必须分类讨论位置情况，防止漏解。 【对点训练】4．利用长方形纸片，我们可以叠出不同形状的图形，并且获得一些有趣的结论： (1)如图①一张长方形纸片经过了以下两次折叠，第一次折叠后点落在边上的点处，第二次沿直线折叠后展开，请判断形成的四边形的形状，并说明理由． (2)如图②一张长方形纸片经过了以下三次折叠，第一次折叠后点落在边上，在第二次折叠中，如果沿矩形角线折叠后，点恰好落在边上的点处，第三次沿直线折叠后展开，如果，那么四边形的形状为 ，它的面积为 ． (3)如图③一张长方形纸片，点是边上一点，点为边上一点，和分别沿直线和折叠，点落在平面内点处，点落在平面内点处，点，点和点在同一直线上，如果点是的重心，，求线段和的长． 易错点5 特殊平行四边形与动点问题 易错提醒 易错点总结 1.不会用含 t 的代数式表示动点线段长度。 2.动点运动全程多阶段，不分段讨论，只算第一段。 3.求何时为菱形、矩形、正方形，不验证图形存在条件。 4.忽略时间 t 的取值范围，求出负数、超范围解不舍去。 注意事项总结 1.动点题第一步：分段，判断点在那条边上运动。 2.每一段单独列表达式，单独列方程求解。 3.特殊图形判定动点题：先列判定条件，再代动点边长列式。 4.所有解必须检验：t>0、位置在对应边上，舍去无效解。 【对点训练】5．如图，在矩形中，，，延长至点，使，连接．动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当点，中有一个点到达终点时，另一个点随即停止运动，设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)在整个运动过程中，________（选填“存在”或“不存在”）值，使得四边形是菱形； (3)若只改变点的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，求动点的速度； (4)连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 一、单选题 1．如图，在中，，，，延长到点，且，，分别为，的中点，连接，，，，且与交于点，连接，，作于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的边在直线上，，，点是直线上的动点，下列结论：①菱形的周长为；②菱形的面积为；③；④的最小值为，其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法： ①当时，； ②当点落在上时，四边形是菱形； ③在点运动的过程中，线段的最小值为； ④连接，则四边形的面积始终等于． 其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 5．如图，在矩形中，，，为的中点，为上的动点且，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，，动点，分别在线段，上，且．则长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在边长为2的正方形中，是等边三角形，连接、，给出以下结论：①；②；；④．上述结论中，正确结论的序号有_______． 8．如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是________． 9．正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点，，，…．在直线上，点，，，，…，在轴上，已知点，点的横坐标是_________． 三、解答题 10．（校园平面建模动点探究项目） 【项目背景】为美化校园环境，学校后勤部门对教学楼前矩形休闲区域进行规划建模． 在平面直角坐标系中，轴、轴分别代表校园的东西向、南北向主干道，点、 分别在轴、轴正半轴上，已知线段垂直于轴， ， ， ，且．构成如图基础休闲区域． 【项目运动规则】为测试区域动线规划合理性，设置两个动态运动点：点从点出发，以的速度向终点匀速运动；点从 点同时出发，以的速度向终点匀速运动．两点同时开始运动，任意一点到达终点时，所有运动立即终止，设运动时间为 秒（）． 请结合项目场景，完成以下探究任务： (1)【基础建模：面积动态表示】运动秒后，请用含的代数式表示四边形的面积； (2)【参数求解：相等位置探究】在运动过程中，若，求此时运动时间的值； (3)【最值探究：周长最优规划】已知点是线段的中点，点是线段上的动点（始终在点左侧），且运动全过程中线段的长度恒为保持不变．请探究运动过程中四边形的周长最小值，直接写出结果即可． 11．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 12．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形． (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 13．综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为______． (2)如图2，矩形纸片的边长，，用图1中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点的直线折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．求和的长． (3)如图3，矩形纸片的长为6，宽为3，用图1的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点． ①判断与的数量关系，并证明； ②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 14．手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，其中，．大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： (1)动手操作一： 将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请写出四边形是什么特殊四边形：___________________； (2)动手操作二： 为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2， ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； (3)动手操作三： 大家在第三张卡纸上先找出线段的中点，沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接并延长，交边于点．展平后再次折叠纸片得到，如图3，请直接写出的长． 15．综合与实践 背景阅读：折叠问题题型多样，变化灵活，从考查空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意日渐明显．折叠操作就是将图形的一部分沿一条直线翻折，使它与另一部分图形在这条直线的同旁重叠或者不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．所以在解决有关折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质． 实践操作： （1）如图1，对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）如图2，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，与相交于点G，同时得到线段； （3）如图3，将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P，连接． 问题解决： (1)在图2中，_________； (2)在图3中，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若，则_________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形 知识点一 菱形的性质和判定 1. 基本定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形属于特殊的平行四边形，因此具备平行四边形的全部性质（对边平行、对角相等、对角线互相平分）。 2. 菱形独有性质（考试核心） ① 四条边长度全部相等； ② 对角线互相垂直； ③ 每一条对角线平分一组对角； ④ 是轴对称图形，有 2 条对称轴（两条对角线所在直线）。 3. 三种判定方法 ① 定义判定：先证是平行四边形，再证一组邻边相等 菱形； ② 边判定：任意四边形，四条边都相等 菱形； ③ 对角线判定：先证是平行四边形，再证对角线互相垂直 菱形。 4. 面积计算 · 普通算法：底 高 · 特殊算法（菱形专属）：对角线乘积 2 知识点二 矩形的性质和判定 1. 基本定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形），属于特殊平行四边形，拥有平行四边形所有性质。 2. 矩形独有性质 ① 四个内角均为 （直角）； ② 对角线长度相等且互相平分； ③ 轴对称图形，有 2 条对称轴； ④ 必考推论：矩形对角线平分，可推出“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”。 3. 三种判定方法 ① 定义判定：平行四边形 + 一个直角 矩形； ② 角判定：四边形中有三个角是直角 矩形； ③ 对角线判定：平行四边形 + 对角线相等 矩形。 4. 面积计算： 知识点三 正方形的性质和判定 1. 基本定义 正方形是最特殊的平行四边形，既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 2. 正方形全能性质 汇总矩形 + 菱形所有性质： ① 四边相等、四角都是直角； ② 对角线相等、垂直、平分、平分一组对角； ③ 对称轴共 4 条（水平、竖直、两条对角线）。 3. 三种核心判定（考试最爱考） ① 矩形基础：矩形 + 一组邻边相等 正方形； ② 菱形基础：菱形 + 一个直角 正方形； ③ 平行四边形基础：平行四边形 + 对角线相等且垂直 正方形。 4. 面积计算 ① ② 易错点1 菱形中的多解问题 易错提醒 易错点总结 1. 已知菱形边长、对角线、角度时，不分类讨论，只算出一种答案导致漏解。 2. 菱形内角分为锐角、钝角两组，做题时常默认一个角度，忽略互补角度情况。 3. 菱形一条对角线固定时，另一条对角线位置、长度存在双解，学生习惯性只算一种。 4. 菱形高、面积计算时，选错对应底边，导致数值错误。 注意事项总结 1. 菱形题目无图必多解，无图一定要分类讨论。 2. 菱形邻角互补，算出一个角度，必须检查是否存在另一组互补角度解。 3. 对角线题型：分清长短对角线，不要默认某条为长/短对角线。 4. 面积两种算法互通：底乘高、对角线乘积一半，不确定时两种方法互检。 【对点训练】1．如图，在菱形中，，，是线段上的动点（不与点，重合），连接，作射线，交线段于点，且使．给出下面四个结论： ①；②；③、两点间的距离的取值范围是；④连接，则面积的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】根据菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含有角的直角三角形的性质、勾股定理，逐一判断各个结论的正误． 【详解】解：连接， 在菱形中，，， 则，，， ∴和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， 故结论①正确， ， 故结论②错误， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 当点无限接近时，趋近于，但不与重合， ∴， 当时，最小， ∴，， ∴， ∴， 故结论③错误， ∵是等边三角形，设的边长为，作， ，， ∴， ∴， 当的边长取最小值时，即时，最小，最小值为， 故结论④正确． 易错点2 矩形中的多解问题 易错提醒 易错点总结 1. 矩形边上动点、线段分割题型，点在不同边上位置不同，不分类直接扣分。 2. 忽略矩形对角线相等且平分，出现等腰三角形双解。 3. 直角三角形斜边中线题型，分不清斜边、直角边，出现取值多解或错解。 4. 矩形周长、边长问题，长和宽不区分，导致两组解遗漏。 注意事项总结 1. 矩形边上动点：分点在长边上、短边上两类讨论。 2. 对角线构成等腰三角形，存在顶角、底角两种情况，必须双解验证。 3. 斜边中线题型：先找真正斜边，杜绝乱套中线公式。 4. 矩形边长问题，长一定大于宽，最后记得舍去不合理解。 【对点训练】2．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先根据矩形得到，，再结合得到是等边三角形， ，即可证明，得到，，再证明在的垂直平分线上，得到，可得是等边三角形，故①正确；由①可得也是等边三角形，，由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确；根据直角三角形的性质得到，，即可得到，故②正确；先得到，再根据，得到即可求出面积比． 【详解】解：四边形是矩形，为中点， ，， ∴， ， 是等边三角形， ， ，， ∵， ∴，，， 在和中，， ， ，，， ，， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵矩形中三点共线， ∴在的垂直平分线上， ， 结合，可得是等边三角形，故①正确； 由①可得也是等边三角形， ， ∴由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确； 是等边三角形， ， ∵，， ∴垂直平分，即， ∵ ∴， 在中，， ， ， ，即，故②正确； ∵，， ∴， ， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴ ∴，故④正确 综上，正确的结论是①②③④． 易错点3 正方形中的多解问题 易错提醒 易错点总结 1. 正方形内、外找点题型，不区分内外位置，漏解严重。 2. 正方形顶点顺序不确定，顺时针、逆时针两种图形，答案不同。 3. 线段、角度问题默认对称唯一解，忽略多种对称情况。 4. 正方形对角线分割三角形，等腰直角三角形常出现双解。 注意事项总结 1. 正方形无图题默认多解，一定要考虑内外、左右、上下对称。 2. 顶点顺序不确定时，分顺时针、逆时针两种画图。 3. 利用正方形高度对称性，做题先预判是否存在双解。 4. 所有解最后验证是否符合正方形边角、垂直相等性质。 【对点训练】3．如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点H，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【详解】解：正方形， ， ，分别是，的中点， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ，故②正确； 如图， 根据题意可知：， ， ， 四边形是菱形， ， ， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点H， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的有． 易错点4 特殊平行四边形与折叠问题 易错提醒 易错点总结 1.看不懂折叠全等关系，遗漏对应边、对应角相等条件。 2.不会设未知数，找不到可列勾股方程的直角三角形。 3.折叠后图形位置改变，学生依旧按原图边长计算。 4.菱形、矩形折叠后出现多解，不分类讨论。 注意事项总结 1.折叠题万能核心：折叠=全等，边相等、角相等。 2.固定解题步骤：找等边→设 x→用剩余边长表示线段→Rt△勾股列方程。 3.重点观察折叠后新形成的直角三角形，是解题突破口。 4.折叠落点不确定时，必须分类讨论位置情况，防止漏解。 【对点训练】4．利用长方形纸片，我们可以叠出不同形状的图形，并且获得一些有趣的结论： (1)如图①一张长方形纸片经过了以下两次折叠，第一次折叠后点落在边上的点处，第二次沿直线折叠后展开，请判断形成的四边形的形状，并说明理由． (2)如图②一张长方形纸片经过了以下三次折叠，第一次折叠后点落在边上，在第二次折叠中，如果沿矩形角线折叠后，点恰好落在边上的点处，第三次沿直线折叠后展开，如果，那么四边形的形状为 ，它的面积为 ． (3)如图③一张长方形纸片，点是边上一点，点为边上一点，和分别沿直线和折叠，点落在平面内点处，点落在平面内点处，点，点和点在同一直线上，如果点是的重心，，求线段和的长． 【答案】(1)四边形是正方形． 理由； 四边形是长方形， ，， 由第一次折叠知，点落在边上的点处，折痕为， ， 又， ， 在中，，， ， ， 又由折叠性质知， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形． (2)菱形，； (3) 【分析】（1） 第一次折叠使点落在边上的点处，折痕为，由折叠性质得，结合可知两角均为，从而推出且，再证四边形是矩形且邻边相等即可． （2） 由（1）得，第二次折叠后且，先判定判定四边形为平行四边形，再由邻边相等证得它是菱形，最后以为底、为高求面积． （3）先由折叠与重心性质推出，并证得，设，分别表示构造方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ， 由第二次折叠知，沿对角线折叠后点落在边上的点处， ，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴ 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， ，，， 菱形的高为， ． （3）解：设与交于点， 沿折叠后点落在点处， ，，， ． 沿折叠后点落在点处， ，，， ． 点、、在同一直线上， ，． 点是的重心，且过点， 为的中点，且， ，． 在和中， ，，， ， ， ， ， 且，即． 由折叠性质，，， ∴，， 又因为 、、、 四点共线，所以 、 分别是点 、 到直线 的垂线段， 已知 ，， 的面积为 利用矩形割补表示的面积为：   ∴ 由完全平方公式可得， ∴或（舍去） ． 易错点5 特殊平行四边形与动点问题 易错提醒 易错点总结 1.不会用含 t 的代数式表示动点线段长度。 2.动点运动全程多阶段，不分段讨论，只算第一段。 3.求何时为菱形、矩形、正方形，不验证图形存在条件。 4.忽略时间 t 的取值范围，求出负数、超范围解不舍去。 注意事项总结 1.动点题第一步：分段，判断点在那条边上运动。 2.每一段单独列表达式，单独列方程求解。 3.特殊图形判定动点题：先列判定条件，再代动点边长列式。 4.所有解必须检验：t>0、位置在对应边上，舍去无效解。 【对点训练】5．如图，在矩形中，，，延长至点，使，连接．动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当点，中有一个点到达终点时，另一个点随即停止运动，设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)在整个运动过程中，________（选填“存在”或“不存在”）值，使得四边形是菱形； (3)若只改变点的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，求动点的速度； (4)连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)2.2秒 (2)不存在 (3) (4)当t的值为或或时，为等腰三角形 【分析】（1）当时，四边形是矩形，根据列出方程即可求解； （2）由勾股定理求出，当时，四边形是平行四边形，可求得t的值，只要判断的长度是否相等，即可判定四边形是否是菱形； （3）设点的速度为，则当时，四边形是正方形，据此列出方程可求解； （4）分三种情况，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，即，，，， 当时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 由题意知，， ∴， ∴， 解得； 答：为2.2秒时，四边形是矩形； （2）解：由勾股定理得，， ∵，即， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 此时， 即不存在t的值，使四边形是菱形； （3）解：设点的速度为， 由（1）知，当时，四边形是矩形， 则当时，四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：在整个运动过程中，当四边形是正方形时，动点的速度为； （4）解：为等腰三角形，有三种情况； ①当时， ∵， ∴， 即， ∴； ②当时，， ∵， ∴在中，， 解得； ③当时，则， ∴， 解得； 综上，当t的值为或或时，为等腰三角形． 一、单选题 1．如图，在中，，，，延长到点，且，，分别为，的中点，连接，，，，且与交于点，连接，，作于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理求出的长及位置关系，结合勾股定理计算；证明四边形为平行四边形，利用平行四边形性质判断及为中点；利用直角三角形斜边中线性质或已知条件判断与关系；利用等腰三角形的判定和性质及三角形中位线的性质求解即可判断． 【详解】解：∵，，， ∴， 分别为的中点， 是的中位线， ，，． 过点作于，则， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 是中点， ， ∴， ， ． 在中，，故①正确； 且， 四边形是平行四边形， 对角线 互相平分，即为中点， ，故②正确； 为中点， ，， ，故③正确； 由③得， ∵， ∴点H为的中点， ∴ 为中点， 是的中位线， ，故④错误． 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 2．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明是直角三角形，得到，再证明四边形是矩形，得到，当时，取得最小值，即取得最小值，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∵， ∴，即的最小值为． 3．如图，菱形的边在直线上，，，点是直线上的动点，下列结论：①菱形的周长为；②菱形的面积为；③；④的最小值为，其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据菱形的性质计算周长和面积，利用菱形的对角线性质以及勾股定理判断结论③，利用轴对称性质（将军饮马模型）求的最小值． 【详解】解：四边形是菱形， 菱形的周长为，故①正确； 过点作于点 在中，， ∴ ∵， 菱形的面积，故②错误； 四边形是菱形， ∴，， ，故③错误； 延长至点，使得，连接 则点关于直线对称，则， ∴ ∴最小值为的长 ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ 的最小值为，故④正确 综上所述，正确的结论有①④，共2个． 4．如图，在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法： ①当时，； ②当点落在上时，四边形是菱形； ③在点运动的过程中，线段的最小值为； ④连接，则四边形的面积始终等于． 其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】画出图形，求出，根据等角对等边即可判断①正确；画出图形，证明出是等边三角形，从而得到，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断②正确；画出反例的图形，即可判断③错误；画出图形，连接交于点，根据，即可判断④正确． 【详解】解：如图1，当时，则， 在中，，，，将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故说法①正确，符合题意； 如图2，当落在上时，点和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 故说法②正确，符合题意； 如图3， 当点靠近点时，在四边形外部，此时， ， 故说法③错误，不符合题意； 如图4，连接交于点， 将沿翻折得， 垂直平分， ， 故说法④正确，符合题意， 综上所述，正确的有①②④． 5．如图，在矩形中，，，为的中点，为上的动点且，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质和全等三角形的性质证明，在的延长线上截取，连接，证明，当点三点共线时，最小，即最小，最小值为，在中，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：连接， 在矩形中，，，， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在的延长线上截取，连接， ∴， 又是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，即最小，最小值为， 在中，， 由勾股定理得： ， ∴的最小值为． 6．如图，在菱形中，，，动点，分别在线段，上，且．则长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合三线合一和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，如图所示： ∵在菱形中，， ∴，， ∴和都为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小， ∵为等边三角形， ∴当时，， ∴此时， ∴的最小值为． 二、填空题 7．如图，在边长为2的正方形中，是等边三角形，连接、，给出以下结论：①；②；；④．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】 ①②③ 【分析】根据正方形和等边三角形的性质，分别推导边长关系、角度大小以及三角形面积，逐一判断各结论是否正确． 【详解】解： 是等边三角形，正方形 的边长为 ， ，，， ， 故①正确 ； ， ， ， 是正方形 的对角线， ， ， ， 故②正确； 如图，过点 作 于点 ， 在 中，， ， ， ∴， ， ， ， 故③正确； ， 又 ， ， ， ④错误； 综上所述，正确结论的序号有①②③． 8．如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是________． 【答案】①③④ 【分析】①根据正方形性质得，进而得，由此可对结论①进行判断； ②连接交于点P，的延长线交的延长线于点H，先求出，进而得，证明四边形是矩形得，则，再由勾股定理进行求解，由此可对结论②进行判断； ③根据得，由此可对结论③进行判断； ④设与交于点M，于交于点N，证明得，再由三角形内角和定理得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在正方形中，，， ∵点A，O，E在同一直线上， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴平分，故结论①正确； ②连接交于点P，的延长线交的延长线于点H，如图1所示： 在正方形中，，，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，故结论②不正确； ③∵， ∴，故结论③正确； ④设与交于点M，于交于点N，如图2所示： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 又∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上所述：正确的结论是①③④． 9．正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点，，，…．在直线上，点，，，，…，在轴上，已知点，点的横坐标是_________． 【答案】 【分析】先求出，从而得到直线的解析式为，结合正方形的性质依次计算出，，，总结规律可得，最后求出点的横坐标即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为． 三、解答题 10．（校园平面建模动点探究项目） 【项目背景】为美化校园环境，学校后勤部门对教学楼前矩形休闲区域进行规划建模． 在平面直角坐标系中，轴、轴分别代表校园的东西向、南北向主干道，点、 分别在轴、轴正半轴上，已知线段垂直于轴， ， ， ，且．构成如图基础休闲区域． 【项目运动规则】为测试区域动线规划合理性，设置两个动态运动点：点从点出发，以的速度向终点匀速运动；点从 点同时出发，以的速度向终点匀速运动．两点同时开始运动，任意一点到达终点时，所有运动立即终止，设运动时间为 秒（）． 请结合项目场景，完成以下探究任务： (1)【基础建模：面积动态表示】运动秒后，请用含的代数式表示四边形的面积； (2)【参数求解：相等位置探究】在运动过程中，若，求此时运动时间的值； (3)【最值探究：周长最优规划】已知点是线段的中点，点是线段上的动点（始终在点左侧），且运动全过程中线段的长度恒为保持不变．请探究运动过程中四边形的周长最小值，直接写出结果即可． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据梯形面积公式求解即可； （2）分情况讨论四边形为平行四边形或梯形时满足条件的值； （3）在上取点使，过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，当点，，共线时，设与轴交于点，即在时，此时四边形周长最小． 【详解】（1）解：， ， ∵， ， 又， ， ， 四边形 的面积； （2）解：当四边形是平行四边形时， ， ， ，解得； 当四边形是等腰梯形时， ， 如图 ，过点，作， 于点，， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 解得， 综上所述：的值为或； （3）解：如图，在上取点，使， 过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交于点， 轴， ， ， 点是线段中点， ， 点是线段中点， 过点作交于，如图， ∵， ， ∴同理是的中点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ， 四边形是矩形， ， ∵， ∴， ， ∴， ∵在中，， 四边形周长， 当最小时，四边形周长最小， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 根据两点之间线段最短，当点，，共线时，设与轴交于点， ∴， 即在时，此时最小， 四边形周长最小值． 11．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 【答案】（1），；（2）问题1：见解析；问题2：①；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得到答案； （2）问题1：如图，过作，与交于点，由正方形的性质结合已知条件证明，是等腰直角三角形，从而可得结论； 问题2：①连接，由（1）可知，，延长至，使得，连接，则垂直平分，得，则，当在上时取等号，再根据勾股定理即可求解； ②设，则，，最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，距离之和最小，进而求得． 【详解】解：（1）在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，则， ∴， 故答案为：，； （2）问题1：如图，过作，与交于点，   四边形是正方形，则 ， 由（1）得：， ， ， ，则是的垂直平分线， ，则， 平分 ， ， ， ，则， ， ； 问题2：①在正方形中，， 连接，由（1）可知，， 延长至，使得，连接，则垂直平分， ∴，    则，当在上时取等号， ∵，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； ②如图，    作于， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， 最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，的距离之和最小， 如图，    作J的对称点，连接， 则与x轴的交点是H点，此时最小， 作轴于T， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质等知识，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形． (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)6.5 (2)6 (3)不能．理由见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）中的求解答案，分析看此时能否为菱形，因为，即可得四边形不可能是菱形； 【详解】（1）根据题意得：，， ，，， ，， 在四边形中，，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当时，四边形是矩形； 故答案为：6.5； （2）在四边形中，， 当时，四边形是平行四边形， 根据（1）得：， 解得：， 当时，四边形是平行四边形； （3）不能，理由如下： 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 根据（2）得：， ， 过点作于， 四边形是矩形， ， ，， ， 四边形不可能是菱形． 13．综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为______． (2)如图2，矩形纸片的边长，，用图1中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点的直线折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．求和的长． (3)如图3，矩形纸片的长为6，宽为3，用图1的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点． ①判断与的数量关系，并证明； ②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)， (3) ① 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； ②的长为或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）由图1折叠得正方形，得，算出，第二次折叠得，在中用勾股定理求，再设未知数，利用线段长度列方程求． （3）①由矩形性质得，推出，由折叠可知，，由此推出，即可推出； ②分两种情况：若过中点，即为中点；若过中点，连接，根据矩形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ，， 由折叠性质可得：，， 四边形是正方形． （2）解：由（1）折叠知四边形为正方形， ，， ， ，， ∵沿由折叠性质， ，，， 即. 在中，由勾股定理： ， 设，则， ， 在中，由勾股定理： ， ， 展开：， 化简得． 综上：，． （3）①略 ②∵四边形是矩形， ∴， 由（1）知四边形为正方形， ， 四边形为正方形， ∴， 由折叠得，，, 若过中点，即为中点， ∴， ∴, 在中，, ∴； 若过中点，连接， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，， 即， 解得， 即， 综上，的长为或． 14．手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，其中，．大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： (1)动手操作一： 将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请写出四边形是什么特殊四边形：___________________； (2)动手操作二： 为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2， ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； (3)动手操作三： 大家在第三张卡纸上先找出线段的中点，沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接并延长，交边于点．展平后再次折叠纸片得到，如图3，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形 (2)①位置关系：，理由如下： 连接交于点，如图， 由翻折可知：垂直平分， ∴，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，即； ②线段的长为； (3) 【分析】（1）连接，，设与交于点，由翻折可知，，是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，推出，，证明得出，即可得证； （2）①连接交于点，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②根据①可求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解； （3）延长交的延长线于点，则，，，，根据矩形的性质即可证明，有，结合平行线的性质得到，即有，设，则，利用勾股定理，求得和，设，则和，在中，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，设与交于点， 由翻折可知：，，是的垂直平分线， 即有，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：①略 ②如图， 由①可知：，， 在矩形纸片中，，， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交的延长线于点，如图， 则，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠得， ∴， 则， 设， ∵， ∴， ∵，点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， 则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， 则． 15．综合与实践 背景阅读：折叠问题题型多样，变化灵活，从考查空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意日渐明显．折叠操作就是将图形的一部分沿一条直线翻折，使它与另一部分图形在这条直线的同旁重叠或者不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．所以在解决有关折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质． 实践操作： （1）如图1，对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）如图2，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，与相交于点G，同时得到线段； （3）如图3，将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P，连接． 问题解决： (1)在图2中，_________； (2)在图3中，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若，则_________． 【答案】(1)； (2)解：，证明如下： ∵将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，根据折叠的性质得出，，即可求出； （2）根据折叠的性质可得，根据等边对等角得到，可知，根据30度角的性质及勾股定理求出，根据30度角的性质得到，即可求出； （3）作交于点H，可知四边形是矩形，进而证明，得到，根据等腰三角形三线合一得到，根据30度角的性质得到，，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 再次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕， ， ∴， ∴是等边三角形， ， 由折叠的性质得：，， ∴， 即； （2）略； （3）解：如图，作交于点H，可知四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $