山东济南市东南片区2025-2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题

**基本信息** 以汉服纹样、济南山体灯光秀等文化与地方情境为载体，融合几何直观、推理能力与模型意识，实现知识应用与素养培育的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|中心对称图形、因式分解、一次函数等|第1题汉服纹样考图形变换，第5题函数图象解不等式| |填空题|5/20|正多边形计算、垂直平分线、逻辑推理等|第14题通过真假判断考查推理意识| |解答题|10/90|分式化简、几何证明、动态探究等|23题平移思想解决面积问题，24题赵爽弦图解方程渗透文化，25题翻折与平行四边形综合考查空间观念|

绝密★启用前 2025-2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意。下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是（ ） A．如意纹 B．凤纹 C．龙纹 D．忍冬纹 2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．若分式的值为零，则x的值为（    ） A． B．0 C．1 D．1 4．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a g，b g，白球的质量为c g，图中体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为（　　） A．x＜3 B．x＜1 C．x＞3 ( 第 5 题图 )D．x＞1 ( 第 6 题图 )6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝38°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，当点C的对应点C′恰好落在边AB上时，∠BAA′的度数是（　　） A．52° B．64° C．71° D．76° 7．有一张长方形桌子的桌面长90 cm，宽50 cm。有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等。设台布各边垂下的长度为x（cm），则根据题意所列方程正确的是（　　） A．2（90﹣2x）（50﹣2x）＝90×50 B．（90+2x）（50+2x）＝2×90×50 C．2（90+2x）（50+2x）＝90×50 D．（90﹣2x）（50﹣2x）＝2×90×50 ( 第 8 题图 )8．在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点，若，，过点A作AM⊥BC交BC于点M，则长为（   ） A．4.8 B．5 C．10 D．9.6 ( 第 9 题图 )9．如图，在中，，边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和，F为的中点，点D，E分别在AB，OA边上，将□沿x轴向右平移。当点D落在上时，点E的坐标为（ ） A．（1，2） B．（） C．（2，2） D．（） ( 第1 0 题图 )10．济南依山傍水，夜幕降临，山体灯光秀以光影绘山色。不同颜色的光束投影在山体表面交错重叠，绘就泉城别样夜色。如图，点A为山顶的射灯装置，射出的绿色光线形成△ABC且AB=AC，射出的红色光线形成Rt△ADE且∠DAE=90°，点B，D，C，E在同一条直线上。若∠BAD+∠CAE=∠E，BD=CE=2，则两片光束重叠部分即△ADC的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案。 11．分解因式：　 　 。 12．如图，在正五边形ABCDE内部作等边三角形CDP，则∠BCP的度数为　 　 °。 13．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E。若AE=6，则CE的长度为 。 14．甲、乙、丙三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中只有一个当了记者。一次有人问起他们的职业，甲说：“我是记者。”乙说：“我不是记者。”丙说：“甲说了假话。”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么　　 是记者。 15．如图，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，连接PC，PD，分别取PC，PD的中点M，N，连接MN，则线段MN的长为　 。 ( 第1 2 题图 ) ( 第1 3 题图 ) ( 第1 5 题图 ) 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）解不等式组：，并写出它的所有整数解。 17．（6分）先化简 ，然后从中选一个合适的数代入求值。 18．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF， 若∠AEC＝∠AFC。求证：BE＝DF。 19．（10分）解方程： （1）； （2）x2﹣6x+2＝0。 20．（10分）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动。据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价低5元，用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同。 （1） 求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2） 学校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100把，且A型劳动工具的购买数量不超过B型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 21． （8分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段AB的两个端点均为格点（网格线的交点），点O在线段AB上，且AO＝2BO。 （1）线段AB的长度为　 　 。 （2）将线段AB绕点O逆时针旋转90°，得到线段EF。 ①在图中画出线段EF（其中E为A的对应点）， ②四边形AEBF的面积是　 　 。 （3）在图中的网格内存在　 　 个格点，到∠AOE两边所在直线的距离相等。 22．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0。 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值。 23．（9分）生活中，我们常常用运动的眼光观察世界，这让我们在数学学习中有不一样的发现。当图形里的 “点、线、面”活泼地“动”起来，解题思路便别有“动”天。请运用平移转化的思想观察并解决以下几个问题： 【观察思考】政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有两种方案： 方案一（图1），小路为宽度 1 米的竖直长方形通道，贯穿整个长方形； ( b a )方案二（图2），小路为曲折形状，其中小路的左边线向右平移 1 米恰好与右边线重合。 分别设方案一和方案二的草地面积为，，则： （1）S1＝ m2 （用含a，b的代数式表示）， （2） （填“＞”、“＜”或“=”）。 【类比思考】①如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，ED⊥BC，AB＝8 cm，DC＝3 cm。涂色三角形BCE的面积是　 　 cm²。 ( 备用图 ) ( 图 4 ) ( 图 3 ) ②如图4，大正方形ABCD的边长是14 cm，梯形AHGD的面积是90 cm²，求涂色正方形HEFG的面积是多少平方厘米？ 24．（12分）阅读材料，并解决问题。 【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法。以解方程x2+2x﹣35＝0为例：将原方程整理可得：x（x+2）＝35，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和。所以（x+x+2）2＝4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，由此得原方程的一个正根为x＝5。 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ 　 　 ）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 　 　 ，解得原方程的一个正根为 　 　 ； 【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b（a＞0，b＞0）的一元二次方程可以构造图2来解。已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根。 【思维提升】小明用此方法解关于x的方程x（3x﹣n）＝24，其中3x﹣n＞x，他以3x﹣n和x作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为 　 　 。 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，□OABC的顶点O位于坐标原点，点A在x轴上，对角线OB=8，且∠BOA＝30°，两条对角线交于点D，动点E在x轴正半轴上运动，连接DE，把△ODE沿DE翻折，点O的对应点为点F，连接BF。 （1）求点D的坐标； （2）当点F在第四象限时（如图1），求证：DE∥BF； （3）是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标。 ( 八年级数学试题 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题参考答案 一、选择题 1 2 3 4 6 7 8 9 10 题号 A B C A D B D D A 答案 二、填空题 41 11. (a+2)(a-2) 12.4813.314.乙 15. 三、解答题 3(x-2)≤6+x① 16. 1+2x<x-1② 3 解不等式①得：x≤6， 2分 解不等式②得：X>4,4分 .原不等式组的解集为：4<x≤6.5分 它的所有整数解为：5,6 .7分 17.解：原式=m.m+3m-3_2m.(m+3m-3 m+3 2分 m m-3 m =m-3-2(m+3) .3分 =-m-9 4分 由题意得，m2-9≠0，m≠0， .l≠士3，≠0.5分 第1页共6页 .代入l=1,原式=-1-9=-10.6分 18.证明：，四边形ABCD为菱形， ,AB=AD,∠B=∠D, .1 分 ,'∠AEC=∠AFC,∠AEB+∠AEC=∠AFD十∠AFC=180°， ∠AEB=∠AFD,.2分 在△ABE和△ADF中， I∠B=∠D ∠AEB=∠AFD AB=AD .△ABE≌△ADF（AAS),.5分 ∴.BE=DF。 6分 19.解：1)5+1=-1 x-2 12- 去分母得：5+x-2=1-x, 2分 解得：X=-1, .4分 经检验：x=-1是原分式方程的根5分 (2)x2-6x+2=0, x2-6x=-2, x2-6x+9=-2+9, (x-3)2=7, .2分 x-3=±7， 4分 解得：x,=3+7:X2=3-7° 5分 20.解：（1)设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为(x-5)元，…1分 400_500 X-5 X 3分 第2页共6页 整理得，100x=2500, 解得x=25, 经检验：x=25是原分式方程的解，4分 X-5=20..5分 答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元； (2)设购买A型劳动工具m把，则购买B型劳动工具(100-m)把，购买花费为w 元6分 根据题意得：2（100-m)≥l, .7分 200 解得m≤3， 所以m得最大值为66… .8分 1M=20m+25(100-m)=-5m+2500..... 9分 .-5<0 .1随增大而减小 .1=66时，1m取得最小值2170元，此时A工具66把，B工具34把10分 答：购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170. 21.解：(1)352分 （2)①线段EF即所求；4分 45 ② S四边形AEBF= 2 6分 第3页共6页 (3)7 8分 22.(1)证明：因为关于x的方程为x2-(+3)x+2+2=0, 则△=[-(+3)]2-4×1×(2+2)=(k-1)2≥0,3分 所以该方程总有两个实数根；4分 (2)解：因为该方程的两个实数根为x1,x2, 所以x1+x2=k+3,x1x2=2k+2, n6分 则(x1-2)(x2-2) =x1°x2-2x1-2x2+4 =X1X2-2（x1+x2)+4.8分 =2k+2-2(k+3)+4 =0.10分 23.【观察思考】b-b, 1分 H B(E) .2分 90cm2 【类比思考】①125分 ②如右图S涂色正方形BG=14×14-90×2.7分 14cm =196-180 第4页共6页 =16（平方厘米)。9分 答：涂色正方形HEFG的面积是16平方厘米 24.【类比迁移】x+ 3 1分 (x+x+ ：4+孕、（佑边可似有不同的写洗，如果写多+孕 的， 建议扣1分) 1111111110111110 2: .4分 【拓展应用】解：由己知设矩形的长为x+a,宽为x。则大正方形的边长为2x+a,.5分 由已知a2=4且a>0. 6分 .∴.e2 .7分 .（2x+2)2=3×4+4-16且x>08分 .2x+2=4 解得X=19分 【思维提升】6 .12分 25.(1)解：四边形OABC是平行四边形，对角线OB长是8个单位长度， 1 0D-=20B=4, .1分 V 过点D作DG⊥OA于G,如图， D 则∠OGD=90°， ,∠BOA=30°， 0 G ∴DG=20D=2, 2分 ∴.0G=0D-DG_23 3分 ∴点D的坐标为(23,2)， 4分 故答案为：(23,2)： 第5页共6页 (2)证明：由翻折得，∠EDF=∠EDO,DF=DO,5分 ,四边形OABC是平行四边形， ∴.DB=DO, ..DB=DF, .∠DBF=∠DFB, .6分 ,'∠ODF=∠DBFH∠DFB, ∴.2∠EDO=2∠DBF, .∠EDO=∠DBF, .,7 ∴.DE∥BF: 8分 (3)点E的坐标为(4,0)或(43,0)。12分 y↑ D 第6页共6页绝密★启用前 2025-2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1.汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意。下列汉服纹样中，属 于中心对称图形的是() A.如意纹 B.凤纹 C.龙纹 D.忍冬纹世 2.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是() A.(a+b)c=ac+bc B.x2-9=(x+3)(x-3) C.4x2+4x+10=(2x+1)2+9 D.(x+y)2x2+2xy叶y2 3.若分式的值为零，则x的值为() A.±1 B.0 C.1 D.-1 4.如图，左、右托盘中黑球的质量分别为αg,bg,白球的质量为cg,图中体现的数学原理 可表示为() A.若心b,则+c>b+c B.若心b,则心叶c C.若a心b,则ac>bc D.若心b,则> 5.直线1：y=k1x+b与直线l2:y=kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k1x+b>2x的解集为() A.x<-3 B.x<-1 C.x>-3 D.x>-1 第5题图 八年级数学试题第1页共8页 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=38°，将△ABC绕点B 逆时针旋转得到△ABC,当点C的对应点C"恰好落在边AB上时， ∠BAA的度数是() A.52° B.64° C.71° D.76° 第6题图 7.有一张长方形桌子的桌面长90c,宽50cm。有一块长方形台布的面积是桌面面积的2 倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等。设台布各边垂下的长度为x(cm),则根 据题意所列方程正确的是() A.2(90-2x)(50-2x)=90×50 B.(90+2x)(50+2x)=2×90×50 C.2(90+2x)(50+2x)=90×50 D.(90-2x)(50-2x)=2×90×50 8.在□ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD边于点E,再分别以B,E为圆心， 大于BE长为半径画弧，两弧交于点F,连接AF并延长 交BC于点G,若BE=16,AG-12,过点A作AM⊥BC交 BC于点M,则AM长为() M G\ A.4.8 B.5V3 第8题图 C.10 D.9.6 9.如图，在△ABC中，∠ACB=45°，边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分别为(0,3) 和(-4,0)，F为OB的中点，点D,E分别在AB,OA边上， 将□BDEF沿x轴向右平移。当点D落在AC上时，点E的坐 标为() D A.(1,2) B.(4,) B C.(2,2) D.3, 第9题图 10.济南依山傍水，夜幕降临，山体灯光秀以光影绘山色。不同颜色的光束投影在山体表面 交错重叠，绘就泉城别样夜色。如图，点A为山顶的射灯装置，射出的绿色光线形成△ABC 且AB=AC,射出的红色光线形成Rt△ADE且∠DAE=90°， 点B,D,C,E在同一条直线上。若∠BAD叶∠CAE-∠E, BD=CE-2,则两片光束重叠部分即△ADC的面积为() A.65 B.6V2 D C.12W3 D.12V2 第10题图 八年级数学试题第2页共8页 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案。 11.分解因式：a2-4= 12.如图，在正五边形ABCDE内部作等边三角形CDP,则∠BCP的度数为 °。 13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E。 若AE=6,则CE的长度为 14.甲、乙、丙三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中只有一个当了记者。一次有人问 起他们的职业，甲说：“我是记者。”乙说：“我不是记者。”丙说：“甲说了假话。”如果他 们三人的话中只有一句是真的，那么 是记者。 15.如图，CA⊥AB,DB⊥AB,AB=4,AC=3,DB=2,连接PC,PD,分别取PC,PD的 中点M,N,连接MN,则线段N的长为 Q M A B D 第15题图 第12题图 第13题图 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 3(x-2)6+x 16.(7分)解不等式组： +2<-1’并写出它的所有整数解。 3 17。(6分)先化简（件兴）》”)然后从-3,0,1,3中选一个合适的数代入求值。 八年级数学试题第3页共8页 18.(6分)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF, 若∠AEC=∠AFC。求证：BE=DF。 B< C 19.(10分)解方程： -1 (2)x2-6x+2=0。 20.(10分)某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工 具开展种植活动。据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价低5元， 用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同。 (1)求A,B两种型号劳动工具的单价各是多少元？ (2)学校计划购买A,B两种型号的劳动工具共100把，且A型劳动工具的购买数量不超 过B型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 八年级数学试题第4页共8页 21.(8分)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段AB的两个端点均为格点（网 格线的交点)，点O在线段AB上，且AO=2BO。 (1)线段AB的长度为 (2)将线段AB绕点O逆时针旋转90°，得到线段EF。 ①在图中画出线段EF(其中卫为A的对应点)， ②四边形AEBF的面积是 (3)在图中的网格内存在 个格点，到∠AOE两边所在直线的距离相等。 22.(10分)已知关于x的方程x2-(+3)x+2k2=0。 (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为x1,x2,求代数式(x1-2)(x2-2)的值。 八年级数学试题第5页共8页 23.(9分)生活中，我们常常用运动的眼光观察世界，这让我们在数学学习中有不一样的发 现。当图形里的“点、线、面”活泼地“动”起来，解题思路便别有“动”天。请运用 平移转化的思想观察并解决以下几个问题： 【观察思考】政府准备在一块长米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有两 种方案： 方案一（图1），小路为宽度1米的竖直长方形通道，贯穿整个长方形： 方案二（图2），小路为曲折形状，其中小路的左边线向右平移1米恰好与右边线重合。 b 图1 图2 分别设方案一和方案二的草地面积为S1m,S,m,则： (1)S1=m(用含a,b的代数式表示)， (2)S1S2(填“>”、“<或=”)。 【类比思考】①如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，ED⊥BC,AB=8cm,DC=3cm。 涂色三角形BCE的面积是 cm2。 A B A B E 90cm2 8cm F E G C C B D3cm 14cm D 14cm 图3 图4 备用图 ②如图4，大正方形ABCD的边长是14cm,梯形AHGD的面积是90c?,求涂色正方形 HEFG的面积是多少平方厘米？ 八年级数学试题第6页共8页 24.（12分)阅读材料，并解决问题。 【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次 方程的方法。以解方程x2+2x-35=0为例：将原方程整理可得：x(x+2)=35,可视为一个 矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是(x+x+2)2,同时它又等 于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和。所以(x+x+2)2=4x(x+2)+22=4×35+4=144, 由此得原方程的一个正根为x=5。 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x+3x-2=0,请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为x2+x-10,即x( )=1: 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的 一个正根为 【拓展应用】一般地，对于形如x2+=b(α>0，b>0)的一元二次方程可以构造图2来 解。已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方 法求此方程的正根。 x+2 x+2 x+2 2 x+2 图1 图2 【思维提升】小明用此方法解关于x的方程x(3x-)=24,其中3x-n>x,他以3x-n 和x作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值 为 八年级数学试题第7页共8页 25.(12分)如图，在平面直角坐标系中，□OABC的顶点O位于坐标原点，点A在x轴上， 对角线OB=8,且∠BOA=30°，两条对角线交于点D,动点E在x轴正半轴上运动，连 接DE,把△ODE沿DE翻折，点O的对应点为点F,连接BF。 (1)求点D的坐标： (2)当点F在第四象限时（如图1)，求证：DE∥BF: (3)是否存在点E,使得以D,E,F,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写 出点E的坐标。 y y D B C B 2 (图1) (备用图) (备用图) 八年级数学试题第8页共8页