精品解析：山东省泽市定陶区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

八年级数学期末样题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间120分钟 2．请将答案填写在答题卡上 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，他们运用他们的特殊知识与专业方法解决许多在科学领域的显著问题．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 阿基米德三角形 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 2. 下列不能反映一组数据集中趋势的是（ 　　 ） A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 4. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是（ ） A. 24 B. 20 C. 15 D. 12 6. 直线经过点和点，把直线向右平移2个单位长度得到直线，则直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 4.5 8. 某一函数图像如图所示，根据图像下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值4 B. 当时， C. 当时， D. 当时，随的增大而增大 9. 如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 36 二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点与点关于原点对称，则的值为______________． 12. 我校某同学参加西安交大班招生考试，考了数学和物理，计算综合得分时，按数学占，物理占计算，如果孔明数学得分为80分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考 __分． 13. 当直线不经过第一象限，则的取值范围是____________． 14. 已知实数a满足，那么的值是________． 15. 如图，菱形中，对角线，相交于点，，，平分，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是______________． 三．解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，交于点，连接，，，． （1）求的长； （2）若，，判断的形状，并说明理由． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）的面积为 ； （2）借助的三边说明与的大小关系； （3）若保持点，不动，点从图中的位置沿轴向右移动到点，使得，求点的坐标为 ． 19. 在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，琪琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． （1）图1中甲的众数为_________，乙的平均数为_________； （2）在图2中，B反映的成绩_______________；（填“甲”或“乙”）； （3）直接写出A的较小四分位数和B的较大四分位数，并判断甲和乙谁的成绩比较好，写出理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点， （1）求和的值； （2）结合图像，直接写出关于的不等式的解集，上面解决问题的方法体现了____________思想； （3）若点在直线上，连接，求的面积． 21. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，本次航天日的主题“海上生明月，九天揽星河”这一主题寓意人类共享宇宙探索成果，彰显中国航天和平利用外层空间，推动构建人类命运共同体的理念，某航天纪念品网店中，一个“天宫”空间站模型比一个“祝融号”火星探测器模型销售单价多30元，某天该网店卖出“天宫”空间站模型的销售额为2400元，“祝融号”火星探测器模型销售额为1500元，且销售的数量相等． （1）求“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是多少元？ （2）若某学校要购买该网店的上述两个模型共50个，且“天宫”空间站模型的数量不低于“祝融号”火星探测器模型的一半．求该学校最少花费多少元？ 22. 定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． （1）若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； （2）若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； （3）已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 23. 在中，，，把一块含角的三角尺的直角顶点放在的中点上（三角尺的短直角边为，长直角边为），将三角尺绕点按逆时针方向旋转． （1）在图①中，交于点，交于点． ①求证：； ②在这一过程中，三角尺与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化，若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积． （2）将三角尺继续旋转至如图②的位置，延长交于点，延长交于点，是否仍然成立？若成立，请给出证明．若不成立，请说明理由． （3）继续旋转至如图③的位置，延长交于点，延长交于点，将三角尺绕点按逆时针方向任意旋转的过程中，连接， ①判断的形状是否发生变化，若不变化，直接写出它的形状； ②的面积是否存在最小值？若存在，直接写出面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末样题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间120分钟 2．请将答案填写在答题卡上 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，他们运用他们的特殊知识与专业方法解决许多在科学领域的显著问题．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 阿基米德三角形 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2. 下列不能反映一组数据集中趋势的是（ 　　 ） A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数．故答案选C． 考点：统计量的选择. 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原来计算结果错误，不合题意； B、与不能合并，原来计算结果错误，不合题意； C、，原来计算结果错误，不合题意； D、，原来计算结果正确，符合题意． 4. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：要使成立，则， ∴． 5. 直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是（ ） A. 24 B. 20 C. 15 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为4， ∴根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得斜边长为， ∵斜边上的高为3， ∴面积为． 6. 直线经过点和点，把直线向右平移2个单位长度得到直线，则直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先运用待定系数法求出直线的表达式，再结合一次函数平移规则“左加右减，上加下减”求出直线的表达式． 【详解】解：设直线的表达式为， ∵直线a经过点，， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线向右平移2个单位长度得到直线， ∴直线b的表达式为，即． 7. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，因此，结合平分可得出，从而，因此，再由三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴． 8. 某一函数图像如图所示，根据图像下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值4 B. 当时， C. 当时， D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由图像可得，当时，y有最大值4，故本选项错误； B、由图像可得，当时，，故本选项错误； C、由图像可得，当时，，故本选项错误； D、由图像可得，当时，图像从左到右上升，即随的增大而增大，故本选项正确． 9. 如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则是由绕点P逆时针旋转得到，即可得出答案． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，相交于点P， 则是由绕点P逆时针旋转得到， ∴点P的坐标为． 故选：C． 10. 图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象可得 AB=6，BD=12-6=6，AD=8，过点B作BE⊥AD，运用勾股定理求出BE的长，即可求出▱ABCD的面积． 【详解】解：过点B作BE⊥AD，交AD于点E， 由图象可得 AB=6，BD=12-6=6，AD=8， ∴AB=BD ∵BE⊥AD ∴， ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，注意解决本题应首先弄清横轴和纵轴表示的量，利用数形结合的思想解题，得到AB，AD的具体的值． 二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点与点关于原点对称，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 12. 我校某同学参加西安交大班招生考试，考了数学和物理，计算综合得分时，按数学占，物理占计算，如果孔明数学得分为80分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考 __分． 【答案】90 【解析】 【分析】先计算孔明数学得分的折算后的分值，然后用综合得分减去数学得分的折算后的得分，计算出的结果除以即可． 【详解】解： （分． 故答案为：90． 【点睛】本题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数． 13. 当直线不经过第一象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】直线不经过第一象限，说明一次项系数小于等于0，常数项小于等于0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第一象限， ∴， 解得． 14. 已知实数a满足，那么的值是________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 15. 如图，菱形中，对角线，相交于点，，，平分，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线于P，连接，则，，即的最小值是的长．利用菱形的性质与直角三角形的性质，求出，长，再证明是直角三角形，然后由勾股定理求出长即可． 【详解】解：如图，作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线于P，连接，则， 此时，，即的最小值是的长． ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点O与点F关于对称， ∴，， ∴在中，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，． ∴的最小值是． 三．解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 如图，在中，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，交于点，连接，，，． （1）求的长； （2）若，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ， ， ， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由作图知，为线段的垂直平分线，再由三角形的中位线定理求解即可； （2）由含角的直角三角形的性质得到，由垂直平分线的性质得到，即可求出，再根据勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：由作图知，为线段的垂直平分线， ∴点D是的中点， ∵点E是的中点， ． 【小问2详解】 略 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）的面积为 ； （2）借助的三边说明与的大小关系； （3）若保持点，不动，点从图中的位置沿轴向右移动到点，使得，求点的坐标为 ． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据割补法求解即可； （2）根据勾股定理求出的三边，再根据三角形的三边关系求解即可； （3）过点C作轴于点N，作轴于点M，证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：由图可得， ， ， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：过点C作轴于点N，作轴于点M，即， 由图有，，， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D的坐标为或． 19. 在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，琪琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． （1）图1中甲的众数为_________，乙的平均数为_________； （2）在图2中，B反映的成绩_______________；（填“甲”或“乙”）； （3）直接写出A的较小四分位数和B的较大四分位数，并判断甲和乙谁的成绩比较好，写出理由． 【答案】（1）7，8 （2）甲 （3）解法一：根据（2）可知A反映乙的成绩，B反映甲的成绩， A的较小四分位数是乙成绩前半部分的中位数，为； B的较大四分位数是甲成绩后半部分的中位数，为； 又甲的平均数为， 甲的平均数小于乙的平均数， 故乙的成绩比较好． 解法二：根据（2）可知A反映乙的成绩，B反映甲的成绩， 共有12个数据，，， A的较小四分位数是乙成绩的第3个和第4个数据的平均数，即； B的较大四分位数是甲成绩的第9和第10个数据的平均数，即； 又甲的平均数为， 甲的平均数小于乙的平均数， 故乙的成绩比较好． 【解析】 【分析】（1）根据众数，平均数的定义求解即可； （2）求出甲、乙成绩的中位数，根据箱线图的特点解答即可； （3）根据四分位数的定义求解；比较两人成绩的平均数即可判断． 【小问1详解】 解：甲的成绩中，7环出现的次数最多，故众数为7． 乙的成绩的平均数为． 【小问2详解】 解：甲、乙两人射击训练的次数均为12次，成绩按从小到大排列，中位数均是第6次和第7次的平均数， 由图1可知，甲成绩的第6次和第7次均为7环，故甲成绩的中位数为， 乙成绩的第6次和第7次均为8环，故乙成绩的中位数为， 所以乙成绩的中位数大于甲成绩的中位数， 由图2可知，A的中位数高于B的中位数， ∴A反映乙的成绩，B反映甲的成绩； 【小问3详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点， （1）求和的值； （2）结合图像，直接写出关于的不等式的解集，上面解决问题的方法体现了____________思想； （3）若点在直线上，连接，求的面积． 【答案】（1）， （2），数形结合 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，求出m的值，得到点A的坐标，再把点A代入，即可求出k的值； （2）关于的不等式的解集为一次函数的图像在正比例函数的图像的下方对应的自变量x的取值范围，根据图像即可解答； （3）对于一次函数，令，求出一次函数与轴交点为，根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图像过点， ∴， ， ∵一次函数的图像过点， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：根据函数图像可得，关于的不等式的解集为，这种求解方法体现了数形结合思想． 【小问3详解】 解：∵， ∴一次函数为， 设一次函数与轴交点为， 令，则， ∴一次函数与轴交点为， ∵，， ． 21. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，本次航天日的主题“海上生明月，九天揽星河”这一主题寓意人类共享宇宙探索成果，彰显中国航天和平利用外层空间，推动构建人类命运共同体的理念，某航天纪念品网店中，一个“天宫”空间站模型比一个“祝融号”火星探测器模型销售单价多30元，某天该网店卖出“天宫”空间站模型的销售额为2400元，“祝融号”火星探测器模型销售额为1500元，且销售的数量相等． （1）求“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是多少元？ （2）若某学校要购买该网店的上述两个模型共50个，且“天宫”空间站模型的数量不低于“祝融号”火星探测器模型的一半．求该学校最少花费多少元？ 【答案】（1）“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是80元和50元 （2）3010元 【解析】 【分析】（1）设“祝融号”火星探测器模型每个售价是元，则“天宫”空间站模型每个售价为元，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买“天宫”空间站模型个，则购买“祝融号”火星探测器模型为个，列出函数关系式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设“祝融号”火星探测器模型每个售价是元，则“天宫”空间站模型每个售价为元， 由题意得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以， 答：“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是80元和50元． 【小问2详解】 解：设购买“天宫”空间站模型个，则购买“祝融号”火星探测器模型为个， 根据题意得，解得， 设该学校需花费元， 根据题意得： ， ， 随的增大而增大， 为整数， 的最小值为17， 当时，有最小值 ， 答：该学校最少需花费3010元． 22. 定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． （1）若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； （2）若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； （3）已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据“有理二次根式”的定义计算即可； （2）根据“有理二次根式”的定义得到，即可求解； （3）方法一：根据“有理二次根式”的定义得到，将左边展开后可得关于m，n的方程组，求解即可； 方法二：根据定义可得，结合m，n为整数即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 23. 在中，，，把一块含角的三角尺的直角顶点放在的中点上（三角尺的短直角边为，长直角边为），将三角尺绕点按逆时针方向旋转． （1）在图①中，交于点，交于点． ①求证：； ②在这一过程中，三角尺与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化，若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积． （2）将三角尺继续旋转至如图②的位置，延长交于点，延长交于点，是否仍然成立？若成立，请给出证明．若不成立，请说明理由． （3）继续旋转至如图③的位置，延长交于点，延长交于点，将三角尺绕点按逆时针方向任意旋转的过程中，连接， ①判断的形状是否发生变化，若不变化，直接写出它的形状； ②的面积是否存在最小值？若存在，直接写出面积的最小值． 【答案】（1）①证明：连接． 是等腰直角三角形，，，为中点， ∴，，，， ∴， ∴ ． 在与中， ， ． ②四边形的面积不发生变化． 由①知． ， ． ∵，点D是的中点， ∴， 四边形的面积为． （2）解：仍然成立．证明如下： 连接． 由①知，，， ∴，即 ． （3） ①解：的形状不变，是等腰直角三角形，理由略 ②的面积存在最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）①连接，根据等腰三角形的性质得到，，，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得证结论； ②由得到，因此，求出的面积，得出的面积，即可解答； （2）连接，同（1）证明即可； （3）①连接，根据对顶角相等得到，由（1）①得到，因此是等腰直角三角形； ②由得到当时取得最小值，此时的面积最小．根据的面积求出的最小值，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①的形状不变，是等腰直角三角形，理由如下： 连接， ∵， ∴， 由（1）①有， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴若，则取得最小值，此时的面积最小． 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为1，的面积最小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $