山东省济南市历城区2024-2025学年八年级下学期期末数学练习卷

山东省济南市历城区2024-2025学年八年级（下）期末数学练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等边三角形、平行四边形、直角三角形、菱形四种图案，你认为符合条件的图案是(    ) A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 直角三角形 2.杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱某商户月份销售吉祥物“宸底”摆件万个，月份销售万个设该摆件销售量的月平均增长率为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 3.下列四个多项式，不能因式分解的是(    ) A. B. C. D. 4.已知单项式与的和仍然是单项式，则式子的值为(    ) A. B. C. D. 5.下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6.如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为，则纸片剩余部分的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在四边形中，，为上的一点，为的中点，且，，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为(    ) A. B. C. D. 9.下列说法中，正确的是(    ) A. 轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 B. 全等三角形是关于某直线对称的 C. 有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称 D. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 10.如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点都在格点上，如果先将线段向右平移两个单位，得到线段，其中点、的对应点分别为点、，然后将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中点、的对应点分别为点、，则旋转中心点的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.比较大小：已知，则 ______． 12.关于的方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的的值______． 13.如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数是______． 14.如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，若，则图中阴影部分的面积为______． 15.如图，在中，，，点为外一点，连接、、，，，，则 ______． 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算： 17.本小题分 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值． 18.本小题分 我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”． 下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______． 平行四边形； 矩形； 菱形； 正方形． 如图，在“对角线垂直四边形”中，点，，，分别是边，，，的中点，求证：四边形是矩形． 19.本小题分 、互为相反数，与互为倒数，的绝对值是，试求的值． 20.本小题分 先化简，再求值，其中． 21.本小题分 江津区按照政府引导、市场主导的原则，打造本地品牌市集“莲花市集”，激发“烟火经济”，发展市场活力“莲花市集”拟分、两类摊位，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多平方米，建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． 求每个、类摊位占地面积各为多少平方米？ 若拟建、两类摊位共个，类摊位的数量不少于个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍求建造这个摊位的最大费用． 22.本小题分 年是我县争创全国文明县城的关键一年，为此我县计划购进两种花卉对某广场进行美化已知用元购买种花卉与用元购买种花卉的数量相等，且种花卉每盆比种花卉多元． ，两种花卉每盆各多少元？ 计划购买，两种花卉共盆，其中种花卉的数量不超过种花卉的数量，最少需要花费多少元？ 23.本小题分 如图，在矩形中，，，连结动点在线段上以的速度从点运动到点过点作交于点，以为边向下作正方形设正方形与重叠部分图形面积为，点的运动时间为． 当落在线段上时，求的值． 求与之间的函数关系式． 当正方形的顶点落在或边上时，求的值． 如图，点在边上，且另有一动点与点同时出发，在线段上以的速度从点运动到点过点、分别作、的垂线交于点，得到矩形当正方形与矩形重叠部分图形是四边形时，直接写出的取值范围． 24.本小题分 已知：如图，，于，于，，求证：≌． 25.本小题分 问题发现：如图，在正方形中，在边上，在边上，与交于点，，求证：． 问题解决：如图，在菱形中，在边上，在射线上，与交于点，，和是否仍然相等？如果是，请写出证明；如果不是，请说明理由． 创新应用：如图，在矩形中，，在射线与不重合上运动，经过点，，，，当点在射线上时，则的长为______． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C.菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D.直角三角形可能是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 2.【答案】  【解析】解：根据题意得：． 故选：． 利用该商户月份销售吉祥物“宸底”摆件的数量该商户月份销售吉祥物“宸底”摆件的数量该摆件销售量的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：，此选项不符合题意； B.，此选项不符合题意； C.，此选项不符合题意； D.不能分解，此选项符合题意； 故选：． 利用提取公因式法与公式法，把能分解的选项分解，即可得出答案． 本题考查了公式法及提公因式法分解因式，分解因式时，有公因式的，要先提取公因式，再考虑运用何种公式来分解． 4.【答案】  【解析】解：根据题意，得，， 解得，． 所以． 故选：． 根据合并同类项法则得出，，求出、的值，再代入求出答案即可． 本题考查了合并同类项法则和求代数式的值，能根据合并同类项法则得出，是解此题的关键． 5.【答案】  【解析】解：，能构成直角三角形，符合题意； B.，不能构成直角三角形，不符合题意； C.，不能构成直角三角形，不符合题意； D.，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：． 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，然后进行判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：如图：  将正六边形可分为个全等的三角形， 拼成的四边形的面积为， 每一个三角形的面积为， 剩余部分可分割为个三角形， 剩余部分的面积为． 故选：． 如图：可将正六边形分为个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由个三角形组成，据此可求得剩余部分的面积即可． 本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为个全等三角形是解本题的关键． 7.【答案】  【解析】解：， ， ，， ， ， 是的中点，， ，， ． 故选：． 由平行线的性质可求得，即可得，根据直角三角形的性质可证得，即可求解． 本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线， ，， ∽， ， ， ， 则的最小值为， 故选：． 以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值． 本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作出高线构造出相似三角形． 9.【答案】  【解析】解：、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，原选项符合题意； B、全等三角形不一定是关于某直线对称的，原选项不符合题意； C、有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在的直线对称，原选项不符合题意； D、等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边的高线互相重合，原选项不符合题意， 故选：． 根据轴对称的定义，全等三角形的性质，轴对称的定义及三线合一进行判断即可． 本题考查了轴对称的定义，全等三角形的性质，轴对称的定义及三线合一，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图所示，分别作和的垂直平分线，两线交于一点，则点即为所求，且． 故选：． 根据线段垂直平分线的性质作图即可得到结论． 本题考查了坐标与图形变化旋转，坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 11.【答案】  【解析】解：， ， ． 故答案为：． 由不等式的性质：两边同时乘以得，两边同时加得． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的三个性质是关键． 12.【答案】答案不唯一  【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且， 符合题意． 故答案为：答案不唯一． 利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，任取其内一值即可． 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：多边形的边数是：， 故答案为：． 根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又， ， ， 即图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 由勾股定理结合正方形的面积可知，，再结合，可推出结果． 本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ，， ， 作于， ， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 将绕点逆时针旋转得到，易证得是直角三角形，根据勾股定理求得，作于，得到，解直角三角形即可求得． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，含度角的直角三角形的性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 16.【答案】解： ， 故， 解得：．  【解析】直接利用一元一次不等式的解法将原式变形进而计算即可． 此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 17.【答案】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 结合可知， 方程， 解得：，． 当时，有，解得：； 当时，有，解得：． 故的值为或．  【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式组，根据根的判别式得出不等式或不等式组是解题的关键． 根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出的范围； 结合求出的值，利用分解因式法求出方程的根，再将的值代入中即可求出的值． 18.【答案】  【解析】解：菱形和正方形是“对角线垂直四边形”． 故答案为； 证明：点、、、分别是边、、、的中点． ，， ， 同理可得， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； 根据“对角线垂直四边形”的定义求解； 根据三角形中位线的性质得到，，则可判断四边形是平行四边形，再证明，然后判断四边形是矩形． 本题考查了中点四边形：任意四边形各边中点的连线所组成的四边形为平行四边形．也考查了三角形中位线性质、菱形、正方形的性质． 19.【答案】解：、互为相反数， ． 与互为倒数， ． 的绝对值是， ． 原式．  【解析】由题意可知，，，然后代入计算即可． 本题主要考查的是代数式求值，根据题意得求得，，是解题的关键． 20.【答案】解：原式 ， 当时， 原式．  【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21.【答案】解：设每个摊位占地面积为平方米， 则：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：每个类摊位占地面积为平方米，每个类摊位占地面积为平方米； 设建类摊位的数量为个， 则且， 解得：， 建的费用比建的费用高， 建的越多，费用越大， 当取最大值时，费用最高，为元， 答：建造这个摊位的最大费用为元．  【解析】根据“用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的”列方程求解； 先根据“类摊位的数量不少于个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍”列不等式组求出建类摊位的数量，再求最大费用． 本题考查了方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 22.【答案】解：设种花卉每盆元，则种花卉每盆元，依题意有： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则． 答：种花卉每盆元，种花卉每盆元； 设购买种花卉盆，则购买种花卉盆，依题意有： ， 解得， 当时，花费最少， 元． 故最少需要花费元．  【解析】设种花卉每盆元，则种花卉每盆元，根据题意列出关于的分式方程，求解、验根即可； 设购买种花卉盆，则购买种花卉盆，根据种花卉的数量不超过种花卉的数量列出不等式即可求解． 本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应方程和不等式． 23.【答案】如图，四边形是菱形， ，， ，，， ，， ，，， ，得；        当时，． 当时，如图设，相交于， ，， ∽， ， ， ． 当点落在边上时，如图， 在与中，， ≌， ，， ，得； 当点落在边上时，如图，同理可得，得； 当与重合时，如图，． 综上所述；，，； 当点在上时，如图，由，得． 当点在上时，如图，由，得． 当点在上时，如图，由，得． 当点在上时，如图，由，得． 综上所述，或或．  【解析】由四边形是菱形，得到四条边相等，对边平行，，，由，得到得到，即，得； 当时，重叠部分图形是正方形所以；当时，重叠部分图形是矩形，所以； 当点落在边上时，如图，≌，得到，，列方程求解，当点落在边上时，如图，同理可得，得； 当与重合时，如图，； 当正方形与矩形重叠部分图形是四边形时，根据不同的时间段画出图形，列方程求解． 本题考查了正方形的性质，勾股定理得应用，面积公式得应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是能正确的画出图形，分类讨论． 24.【答案】证明：， 两直线平行，内错角相等， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌．  【解析】根据，可得，根据于，于，可得，然后根据，可得，利用可证明≌． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型． 25.【答案】   ；   或．  【解析】证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ； 解：和仍然相等； 证明：四边形为菱形，如图，过点作于点，过点作于点， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， 则， 故和仍然相等； 解：四边形为矩形，如图，当点和点重合时，连接， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 在和中， ， ≌， ，， 点在射线上， ，， ， ， ， ， ， 则； 当点和点重合时，如图， ， 点在射线上， 同理可得，， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 根据正方形的性质得，，即可证明≌，有，结合，即可得； 过点作于点，过点作于点，根据菱形的性质得和，由等面积法得，即可证明≌，有，可得，结合平行线的性质得，即可证明； 分两种情况：当点和点重合时，连接，根据矩形的性质得和，由三角形内角和定理得，可得，进一步证明，则，由勾股定理和直角三角形的性质求得和，可证明≌，则和，可得点在射线上，结合等腰三角形的性质求得和，根据求解；当点和点重合时，由，可知点在射线上，同理可得，，利用即可． 本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、菱形的性质、三角形内角和定理、勾股定理和直角三角形的性质，解题的关键是熟悉特殊四边形的性质和全等三角形的判定，以及分类讨论思想的应用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$