17.1 用提公因式法分解因式 第2课时 用提公因式法分解稍复杂的因式 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦用提公因式法分解稍复杂的因式，涵盖多项式公因式、恒等变形及分组分解法。通过复习单项式公因式导入，衔接上节课知识，搭建从简单到复杂的学习支架，引导学生逐步掌握多项式公因式提取及恒等变形技巧。 该资料以运算能力、推理能力和模型观念为核心，通过例3分解2a(b+c)-3(b+c)引入多项式公因式，结合恒等变形练习如3n(x-2)+(2-x)培养灵活转化能力。采用探究发现与讲练结合，通过分组分解法练习如mx-my+nx-ny，帮助学生建立分组模型，既提升学生综合运用能力，又为教师提供清晰教学路径，有效突破重难点。

17.1 用提公因式法分解因式 第2课时 用提公因式法分解稍复杂的因式 课题 17.1 用提公因式法分解因式 第2课时 用提公因式法分解稍复杂的因式 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十七章 因式分解 教学方法 复习导入、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件 教材分析 本节课是提公因式法分解因式的第二课时，在第一课时学习了单项式公因式的基础上，进一步研究多项式公因式、整体思想和恒等变形的应用。本节课涉及公因式为多项式的情况，以及通过恒等变形（如b-a=-(a-b)）将看似不同的因式转化为相同因式，还初步引入了分组分解法的思想。这些内容是后续学习公式法分解因式的必要基础。 学情分析 学生已掌握提公因式法分解因式的基本步骤，能熟练找出单项式公因式并进行分解。但对于公因式为多项式的情况，学生容易忽略整体思想，将多项式公因式拆开处理。在涉及的恒等变形（如b-a与a-b的关系、=）时，学生可能不能灵活转化。分组分解是全新的思路，学生需要理解先分组再提公因式的思想方法。 一、核心素养目标 1. 运算能力 能准确找出各项中的多项式公因式，熟练运用提公因式法分解稍复杂的因式。掌握恒等变形b-a=-(a-b)和=在因式分解中的灵活运用，运算准确、规范。 2. 推理能力 通过观察多项式的结构特征，发现公因式可以为多项式的规律。能从具体实例中归纳出恒等变形在因式分解中的应用策略，体会"整体思想"在数学解题中的重要作用。 3. 模型观念 建立"多项式公因式"的模型——将多项式整体视为一个因式来提取。理解分组分解法的模型——"先分组（加法结合律），再分别提公因式，最后整体提取公因式"。能识别并选择合适的分组方式。 4. 应用意识 能将提公因式法灵活运用于解决含多项式公因式的因式分解问题，以及求值问题。能将因式分解与整除证明等实际问题联系起来，体会因式分解的工具价值。 二、教学重难点 教学重点 1. 会选择多项式公因式进行因式分解，能正确提取公因式为多项式的因式。 2. 掌握恒等变形b-a=-(a-b)和=在因式分解中的应用。 3. 初步了解分组分解法的基本思想——先分组，再分别提公因式，最后整体提取公因式。 教学难点 1. 灵活运用恒等变形将看似不同的因式化为相同因式，理解整体思想的内涵。 2. 理解分组分解法的分组策略——如何选择恰当的分组方式使各组出现公因式。 3. 在提取多项式公因式时，符号和系数的正确处理，避免漏项或符号错误。 三、教学过程 环节一：复习导入（4分钟） 【教师活动】上节课我们学习了用提公因式法分解因式，请同学们先完成两道复习题。 【学生活动】 【知识点】复习：提公因式法分解因式 步骤：找公因式 → 提公因式 → 写成积的形式 公因式的确定：系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂。 注意：当第一项系数为负时，通常提出负号，使括号内首项为正。 【设计意图】通过两道基础复习题，帮助学生回顾上节课所学的提公因式法分解因式的基本步骤，为后续学习稍复杂的因式分解做好知识准备。 【过渡语】我们已经掌握了公因式为单项式的情况。如果公因式是一个多项式，又该如何处理呢？今天我们继续学习用提公因式法分解稍复杂的因式。 环节二：探究新知（18分钟） 一、例2（公因式含多项字母） 【教师活动】 【学生活动】 【教师活动】如果提出公因式4ab，另一个因式的两项是否还有公因式？ 【学生活动】 【解答】 【解答】 【解答】 【知识要点】公因式提取要彻底公因式提取要彻底，确保括号内各项不再有公因式。检查方法：提出公因式后，括号内各项是否还有公因式？如果还有公因式，说明提取不彻底，需要继续提取。 【设计意图】 巩固练习 【教师活动】把下列各式分解因式： 【学生活动】 【解答】 【解答】 【设计意图】巩固练习进一步强化公因式提取的彻底性。第(2)题涉及负号的处理，提醒学生注意第一项系数为负时提出负号，各项变号。 二、例3（公因式为多项式） 【教师活动】（例3）观察这两道题，公因式有什么特点？ 例3 分解因式： (1) 2a(b+c) - 3(b+c)； 【学生活动】 【教师活动】 【解答】解：(1) 2a(b+c) - 3(b+c) = (b+c)(2a-3)； 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】 【知识要点】多项式公因式当公因式是多项式时，将其视为一个整体来提取。常用恒等变形： b-a = -(a-b) = = -关键：奇次幂变号，偶次幂不变号。 【设计意图】 判断题 【教师活动】判断下列各式因式分解是否正确？如果错误，请改正。 (3) a(a-b) + a(a-b)(a+b) 解：原式 = a(a-b)(a+b)； 【学生活动】 【答案】 【答案】 【答案】(3) × 改正：原式=a(a-b)(1+a+b) 【设计意图】判断题的设计直击学生常见错误：提出负号时括号内各项漏变号、公因式提取不彻底、提取公因式后漏掉常数项1。通过纠错讨论，帮助学生识别并纠正这些典型错误。 巩固练习 【教师活动】把下列各式分解因式： (1) 2x(b+c) - 3y(b+c)； (2) 3n(x-2) + (2-x)。 【学生活动】(1) 公因式为(b+c)，原式=(b+c)(2x-3y)。(2) 2-x=-(x-2)，所以3n(x-2)+(2-x)=3n(x-2)-(x-2)=(x-2)(3n-1)。 【解答】解：(1) 2x(b+c) - 3y(b+c) = (b+c)(2x-3y)； 【解答】解：(2) 3n(x-2) + (2-x) 【解答】 = 3n(x-2) - (x-2) 【解答】 = (x-2)(3n-1)。 【方法归纳】恒等变形技巧遇到b-a的形式，可转化为-(a-b)。遇到的形式，可转化为。遇到2-x的形式，可转化为-(x-2)。先变形使各项出现相同的多项式因式，再提取公因式。 恒等变形总结 【教师活动】因式分解中常用到的恒等变形有哪些？ 【学生活动】 【知识点】因式分解常用恒等变形b-a = -(a-b) = = - = （偶次幂相等） = -（奇次幂互为相反数） 【设计意图】恒等变形是本节课的核心技巧。通过总结和归纳，帮助学生系统掌握这一工具，为后续灵活运用奠定基础。 【过渡语】同学们已经掌握了多项式公因式的提取方法和恒等变形的技巧。下面我们通过教材练习和拓展提升，进一步巩固所学知识。 环节三：课堂练习（15分钟） 练习1（教材P126练习 第1题） 【教师活动】分解因式： 【学生活动】 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】 【方法归纳】第(4)题解析 = -（奇次幂变号）所以 -4b = -4b[-] = 4b这样两项的公因式就统一为 了。 练习2（教材P126练习 第2题） 【教师活动】 【学生活动】 【解答】 【解答】 【解答】当a=-5，x=3时， 【解答】 【解答】 = (4×25-3)×10 【解答】 = (100-3)×10 【解答】 = 97×10 【解答】 = 970。 【设计意图】先分解因式再求值，让学生体会因式分解在简化运算中的作用。通过提取公因式(x+7)，将原式化简后再代入求值，比直接代入更加简便。 练习3（综合提升） 【教师活动】已知n是任意正整数，试说明3n+2-4×3n+1+10×3n能被7整除。 【学生活动】3n+2-4×3n+1+10×3n = 3n×32-3n×4×3+3n×10 = 3n(9-12+10) = 3n×7。因为3n×7含因数7，所以能被7整除。 【解答】解：3n+2-4×3n+1+10×3n 【解答】 = 3n×32-3n×4×3+3n×10 【解答】 = 3n×(32-4×3+10) 【解答】 = 3n×(9-12+10) 【解答】 = 3n×7 【解答】因为3n×7中含有因数7， 【解答】所以3n+2-4×3n+1+10×3n能被7整除。 【解题策略】整除证明关键思路：提取公因式3n，将各项化为3n乘以某个整数的形式。3n+2 = 3n×32（逆用同底数幂的乘法）4×3n+1 = 3n×4×3（逆用同底数幂的乘法）提取公因式3n后，括号内为常数，判断是否为7的倍数。 【设计意图】整除证明题将因式分解与整除性质结合起来，培养学生的综合运用能力。通过提取公因式3n，将三项统一为积的形式，从而判断整除性。 【过渡语】通过前面的练习，同学们已经能熟练运用提公因式法分解各种形式的因式了。下面我们学习一种新的思路——分组分解法。 环节四：拓展提升（6分钟） 分组分解法 【教师活动】观察下面的分解因式过程：把多项式am+an+bm+bn分解因式。 【学生活动】解法1：am+an+bm+bn = (am+an)+(bm+bn) = a(m+n)+b(m+n) = (m+n)(a+b)。解法2：am+an+bm+bn = (am+bm)+(an+bn) = m(a+b)+n(a+b) = (a+b)(m+n)。两种分组方式结果相同！ 【教师活动】非常好！这种先分组、再分别提公因式、最后整体提取公因式的方法叫做分组分解法。分组的关键是：分组后各组都能提出公因式，且各组提出公因式后剩下的因式相同。 【知识点】分组分解法 基本思路：先分组（利用加法结合律），再分别提公因式，最后整体提取公因式。 分组原则：分组后各组能提出公因式，且剩下的因式相同。 解法1：按a和b分组 —— am+an+bm+bn = (am+an)+(bm+bn) = a(m+n)+b(m+n) = (m+n)(a+b) 解法2：按m和n分组 —— am+an+bm+bn = (am+bm)+(an+bn) = m(a+b)+n(a+b) = (a+b)(m+n) 【设计意图】分组分解法是提公因式法的延伸和拓展。通过展示两种不同的分组方式得到相同的结果，让学生理解分组分解的核心思想，为后续学习公式法分解因式做铺垫。 分组分解练习 【教师活动】把下面的多项式分解因式： (1) mx - my + nx - ny； 【学生活动】解法1：mx-my+nx-ny = (mx-my)+(nx-ny) = m(x-y)+n(x-y) = (x-y)(m+n)。解法2：mx-my+nx-ny = (mx+nx)-(my+ny) = x(m+n)-y(m+n) = (m+n)(x-y)。 【解答】解：(1) 解法1：原式 = (mx-my)+(nx-ny) = m(x-y)+n(x-y) = (x-y)(m+n)； 【解答】解法2：原式 = (mx+nx)-(my+ny) = x(m+n)-y(m+n) = (m+n)(x-y)。 【教师活动】(2) 2a+4b-3ma-6mb。 【学生活动】解法1：原式=(2a+4b)-(3ma+6mb)=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m)。解法2：原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)。 【解答】解：(2) 解法1：原式 = (2a+4b)-(3ma+6mb) = 2(a+2b)-3m(a+2b) = (a+2b)(2-3m)； 【解答】解法2：原式 = (2a-3ma)+(4b-6mb) = a(2-3m)+2b(2-3m) = (2-3m)(a+2b)。 【规律总结】分组分解法的分组策略策略1：按字母分组——将含相同字母的项放在一起。策略2：按系数分组——将系数有公因式的项放在一起。策略3：两项两组——四项式通常分为两组，每组两项。关键：分组后各组提出公因式后，剩下的因式必须相同！ 【设计意图】通过两道分组分解的练习，让学生亲身体验分组分解法的操作过程，体会两种分组方式的异曲同工之妙。培养了学生从不同角度分析问题的能力。 环节五：课堂小结（2分钟） 【过渡语】通过本节课的学习，同学们对提公因式法分解因式有了更深入的理解。下面我们一起来总结本节课的核心内容。 【教师活动】请一位同学总结一下用提公因式法分解因式的注意事项。 【学生活动】1. 公因式可以是单项式，也可以是多项式。2. 当多项式第一项系数为负数时，一般提出负号，各项都变号。3. 公因式的提取要彻底，最后结果中每个因式不能有同类项和公因式。4. 遇到不同的多项式因式，可以通过恒等变形转化为相同的因式。5. 四项式可以尝试分组分解法。 【教师活动】 【知识点】课堂小结：用提公因式法分解稍复杂的因式一、多项式公因式 将多项式因式视为一个整体来提取。 例：2a(b+c)-3(b+c) = (b+c)(2a-3)二、恒等变形 b-a = -(a-b) = = -三、注意事项 1. 公因式提取要彻底 2. 首项为负时提出负号 3. 提取后括号内不能有同类项和公因式四、分组分解法 先分组，再分别提公因式，最后整体提取公因式。 四、板书设计 17.1 用提公因式法分解因式 第2课时 用提公因式法分解稍复杂的因式 一、多项式公因式 二、恒等变形 b-a = -(a-b) = 三、分组分解法 am+an+bm+bn = (a+b)(m+n) 分组方式不唯一，结果相同。 四、注意事项 1. 公因式提取要彻底 2. 首项为负提出负号 3. 提取后括号内不能有同类项和公因式 五、教学反思 本节课是提公因式法分解因式的第二课时，在第一课时单项式公因式的基础上，重点研究了公因式为多项式和需要恒等变形的情况。教学从复习导入出发，通过例2巩固公因式提取的彻底性，通过例3引入多项式公因式，再通过判断题和练习强化恒等变形技巧，最后拓展到分组分解法，层层递进。 学生在多项式的恒等变形方面容易出错，特别是奇次幂变号问题。教学中通过总结=-等规律，帮助学生建立系统的认知。判断题的设计有效揭示了学生的常见错误（漏变号、提取不彻底、漏掉常数项1），通过纠错讨论加深了理解。 分组分解法作为拓展内容，学生初次接触需要一定的适应过程。通过展示两种分组方式得到相同结果，让学生理解分组分解法的本质——利用加法结合律重新组合各项，创造公因式提取的条件。这一方法为后续学习公式法分解因式奠定了基础。 学科网（北京）股份有限公司 $