17.2　用公式法分解因式教学设计 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦公式法分解因式，涵盖平方差公式、完全平方公式及综合运用。通过复习因式分解概念、提公因式法和乘法公式导入，搭建新旧知识桥梁，引导学生自然过渡到新知学习。 资料注重逆向思维（从乘法公式推导因式分解公式），采用探究式教学（小组讨论例题、合作解决变式题），分层训练（基础题到拓展提升题）。通过判断完全平方式、综合分解因式等活动培养推理能力和运算能力，助力学生夯实基础、提升思维，为教师提供清晰教学流程和实用分层资源。

17.2　用公式法分解因式 第1课时　运用平方差公式分解因式 课题 第1课时　运用平方差公式分解因式 授课人 学 习 目 标 1.会运用平方差公式分解因式,发展学生的推理能力. 2.经历探索运用平方差公式分解因式的过程,发展学生的逆向思维,感受数学知识的完整性. 3.运用平方差公式分解因式. 4.培养学生良好的互动交流的习惯,体会数学在实际问题中的应用价值. 学习 重点 运用平方差公式分解因式. 学习 难点 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 思考并回答: 1.什么是因式分解? 2.我们已经学过哪种分解因式的方法? 　　学生回忆并回答,复习巩固前面所学的内容,并为本节课的学习做好知识储备. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 直接运用平方差公式分解因式 上节课我们学习了因式分解的概念及提公因式法分解因式.下面的问题你能解决吗? 1.填空:(1)(a+b)(a-b)=　　　　;  (2)(a+5)(a-5)=　　　　;  (3)(4m+3n)(4m-3n)=　　　　.  学生活动:动笔计算,并踊跃上台板演. 2.想一想:计算结果中的多项式有什么特点? 3.你能将计算结果中的多项式分解因式吗? 学生活动:从逆向思维入手,很快得到答案. 教师活动:引导学生完成题目,并运用数学“互逆”的思想,寻找因式分解的规律,即:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积. 练习:下列多项式能否利用平方差公式分解因式?为什么? (1)x2+y2;(2)x2-y2;(3)-x2-y2; (4)-x2+y2;(5)x2-25y2;(6)m2-1. 　　1.通过问题培养学生的逆向思维能力. 2.经历思考、交流,归纳出多项式分解因式的平方差公式. 活动 二: 探究 与 应用 例1　分解因式: (1)4x2-9;(2)a2-25b2. [答案:(1)(2x+3)(2x-3)　(2)(a+5b)(a-5b)] 变式　利用因式分解计算:2012-1992.[答案:800] 【探究2】 综合运用平方差公式分解因式 例2　把下列各式分解因式: (1)x2-y4;　　　　　　　　 (2)(x+p)2-(x+q)2. [答案:(1)(x+y2)(x-y2)　 (2)(2x+p+q)(p-q)] 教师活动:启发学生从平方差公式的角度分解因式,请学生上讲台板演. 学生活动:分成小组,合作探究. 评析:对于平方差公式中的字母a,b,教学中需要强调一下,它们可以表示数,也可以表示含字母的整式. 　　感悟运用平方差公式分解因式的方法. 【拓展提升】 例3　把下列各式分解因式: (1)81a2-b4;(2)49(a-b)2-16(a+b)2. [答案:(1)(9a+b2)(9a-b2)　(2)(11a-3b)(3a-11b)] 　　1.通过多媒体课件演示,充分发挥例题的作用,培养学生对整体思想的认识. 2.使学生明确:分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是 (D) A.a2+(-b)2　 B.5m2-20mn　 C.-x2-y2　 D.-x2+9 2.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为 (A) A.-21 B.21 C.-10 D.10 3.把下列各式分解因式: (1)x2-4=　(x+2)(x-2)　;  (2)a2-4b2=　(a+2b)(a-2b)　.  4.已知4m+n=40,2m-3n=5,求(m+2n)2-(3m-n)2的值. [答案:-200] 　　当堂训练,及时反馈学习效果. 【课堂总结】 　　谈谈你本节课的收获. 分解因式后应注意:①每个因式都要化简,②分解因式时,每个因式都要分解彻底. 　　通过总结可以让学生对因式分解有更进一步的理解. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. (续表) 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 导入时教师要提醒学生如果多项式是二项式且为两项的差,通常考虑运用平方差公式. ②[讲授效果反思] 通过比较简单的乘法运算推导出平方差公式,引导学生弄清平方差公式的形式和特点,让学生在做题中感受、理解平方差公式的意义,使学生通过运算,掌握运用平方差公式分解因式的方法,并能正确运用平方差公式把多项式分解因式. ③[师生互动反思] 教师出示幻灯片后要放手让学生独立思考求解,然后师生共同讨论,纠正学生解题中可能发生的错误,并对各种错误进行评析. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 第2课时　 运用完全平方公式分解因式 课题 第2课时　运用完全平方公式分解因式 授课人 学 习 目 标 1.领会运用完全平方公式分解因式的方法,发展推理能力. 2.经历探索运用完全平方公式分解因式的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤. 3.培养良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力. 4.培养严谨的推理能力以及合作探究精神. 学习 重点 理解运用完全平方公式分解因式的方法,并学会应用. 学习 难点 灵活地运用公式法分解因式. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 思考并回答: 1.什么是因式分解? 2.我们已经学过哪些分解因式的方法? 3.完全平方公式你还记得吗?说说看. 　　学生回忆并回答,复习巩固前面所学的内容,并为本节课的学习做好知识储备. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 完全平方式的概念 观察:多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点? (1)每个多项式有几项? (2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征? (3)中间项和第一项、第三项有什么关系? 学生独立思考、合作交流. 教师活动:引导学生完成上面的题目. 总结:我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式. 如果一个二次三项式的二次项系数为1,要使它成为完全平方式,需使其常数项等于一次项系数一半的平方,即关于x的二次三项式x2+mx+n是完全平方式的条件为()2=n. 　　1.通过观察、思考、总结,使学生理解完全平方式的概念,并会应用. 活动 二: 探究 与 应用 例1　判断下列各式是不是完全平方式: 1)a2-4a+4;(2)1+4a2;(3)4b2+4b-1; (4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25. [答案:(1)(5)是完全平方式,(2)(3)(4)不是完全平方式] 变式　若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式,则a的值是　±1　.  学生分小组讨论、交流,并解答. 【探究2】 直接运用完全平方公式分解因式 1.计算: (1)(a+b)2=　　　　　　;  (2)(a-b)2=　　　　　　.  2.根据乘法公式,你能将多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2分解因式吗? 把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换,就得到因式分解的完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2. 例2　分解因式: (1)x2+4x+4;　　　　　　　　(2)16x2-24x+9. 分析:在(1)中,由于4=22,4x=2·x·2, 所以x2+4x+4是一个完全平方式,即 在(2)中,由于16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,所以16x2-24x+9是一个完全平方式. 学生在师生共同分析的基础上独立完成. 针对训练　分解因式: (1)x2+12x+36;　　　　(2)a2+2a+1;　　　　(3)4x2-4x+1. [答案:(1)(x+6)2　(2)(a+1)2　(3)(2x-1)2] 学生分小组讨论、交流,并解答. 【探究3】 综合运用完全平方公式分解因式 例3　把下列各式分解因式: (1)(a+b)2-12(a+b)+36;　　　　(2)-x2+4xy-4y2. 分析:在(1)中,将a+b看作一个整体,设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36;对于(2),可通过添括号将原式写成—(x2-4xy+4y2),括号内的式子为完全平方式. 教师活动:教师出示投影后深入到学生中去发现问题,并对有困难的学生进行适时的引导与启发,最后师生共同评析、总结. 针对训练　把下列各式分解因式: (1)-2xy-x2-y2;　　　　(2)(x+y)2-10(x+y)+25. [答案:(1)-(x+y)2　(2)(x+y-5)2] 例4　利用因式分解计算: (1)1002-2×100×99+992;(2)342+34×32+162. [答案:(1)1　(2)2500] 　　2.通过整式乘法的完全平方公式的各部分与因式分解中完全平方公式的相应部分进行比较,培养学生的对应思想和公式化思想. 3.充分发挥例题的作用,让学生熟悉解题步骤与格式. 4.通过小组讨论、交流,激发学生的学习兴趣,培养学生的合作探究精神. 【拓展提升】 例5　已知x+y=7,xy=10,求下列各式的值: (1)x2+y2;　　　　　　(2)(x-y)2. [答案:(1)29　(2)9] (续表) 活动 二: 探究 与 应用 例6　已知x+=-3,求x4+的值.[答案:47] 学生在独立思考的基础上,开展小组合作学习,展示学习成果,教师点拨提升. 　　知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列各多项式中,能分解因式的是 (B) A.a2+1　　B.a2-6a+9　　C.x2+5y　　D.x2-5y 2.若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是　1　.  3.若关于x的多项式x2-8x+m2是完全平方式,则m的值为　±4　.  4.把下列多项式分解因式: (1)x2-12x+36;(2)9a2-30a+25;(3)x(x-1)-3x+4. [答案:(1)(x-6)2　(2)(3a-5)2　(3)(x-2)2] 5.已知a-b=3,求a(a-2b)+b2的值.[答案:9] 　　当堂训练,及时反馈学习效果,进一步巩固对所学新知识的理解、掌握.能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据. 【课堂总结】 　　由于多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的变形,因此把整式乘法公式反过来写,就得到多项式因式分解的公式,主要有以下三个: a2-b2=(a+b)(a-b);a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2. 师生讨论:在运用公式法分解因式时,要注意每个公式的形式与特点,通过对多项式的项数、次数等的总体分析,来确定是否可以运用公式法分解因式以及用哪个公式,通常情况下,当多项式是二项式时,考虑用平方差公式分解因式;当多项式是三项式时,考虑用完全平方公式分解因式;在有些情况下,多项式不能直接套用公式,而是需要进行适当的组合、变形、代换后,再运用公式法分解因式. 　　注重课堂小结,激发学生参与的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 导入时注意引导学生关注公式的结构特征.学生通过例题的学习及练习,掌握运用完全平方公式分解因式时要注意的问题和解题步骤.引导过程中注意激发学生的学习兴趣,允许学生之间的互动,教师不要急于总结和概括. ②[讲授效果反思] 在教学过程中,始终关注学生思维品质的培养和锻炼.由整式乘法的公式得到因式分解公式的探索中,运用逆向思维发现新知识. ③[师生互动反思] 因式分解的结果必须是几个整式的乘积的形式.我们可以用整式乘法检验因式分解的结果是否正确. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 第3课时　 综合运用提公因式法和公式法分解因式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第3课时　综合运用提公因式法和公式法分解因式 授课人 学 习 目 标 1.能综合运用提公因式法和公式法分解因式,发展推理能力. 2.培养良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力. 3.培养严谨的推理能力以及合作探究的精神. 学习 重点 综合运用因式分解的各种方法,把多项式分解因式. 学习 难点 能选择恰当的方法,把多项式分解因式. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 学生思考并回答: 1.前面我们学习了几种分解因式的方法?分别是什么方法? 2.如何找到一个多项式各项的公因式? 3.运用公式法分解因式的两个公式是什么? 　　1.学生回忆并回答,复习巩固前面学习的内容. 2.对于一些复杂的因式分解问题,有时需要多次运用公式法,有时还需要综合运用提公因式法和公式法. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 综合运用提公因式法和平方差公式分解因式 例1　你能将下列各式分解因式吗? (1)x4-y4;　　　　　　(2)a3b-ab. 分析:在(1)中,x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,可用公式法分解因式;对于(2),a3b-ab的两项有公因式ab,可以先提出公因式,再进一步分解因式. 试一试　将下列各式分解因式: (1)x2y-4y;(2)3ax2-3ay2;(3)20m2(a-b)2-5(b-a)2; (4)3m3-3m;(5)a3b-ab;(6)9m2(p+q)-4(p+q). 请同学分别作答. 教师讲解,借机提出因式分解一定要彻底. 【探究2】 综合运用提公因式法和完全平方公式分解因式 例2　你能将下列各式分解因式吗? (1)3x3-6x2y+3xy2;(2)-ax2+2a2x-a3. 分析:先提取公因式,再用公式法进一步分解因式. 试一试　将下列各式分解因式: (1)-2x2y+16xy-32y;(2)3x3-6x2y+3xy2; (3)18a2(a+2b)+12ab(a+2b)+2b2(a+2b). 　　理解平方差公式和完全平方公式的结构特征,从而提高学生灵活运用公式法分解因式的能力. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3　已知ab=2,a+b=5,求a3b+2a2b2+ab3的值.[答案:50] 例4　已知xy=4,x+y=5,求x3y+2x2y2+xy3的值.[答案:100] 　　知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.通过把一个多项式视为一个整体的处理方式,培养学生的整体思想和转化思想. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.多项式4a-9a3分解因式的结果是　a(2+3a)(2-3a)　.  2.分解因式:x3y2-x3=　x3(y+1)(y-1)　.  3.若将(2x)n-81分解因式的结果为(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是　4　.  4.把下列各式分解因式: (1)a3-a;(2)9xy3-36x3y; (3)4xy2-4x2y-y3;(4)m4-18m2+81. [答案:(1)a(a+1)(a-1)　(2)9xy(y+2x)(y-2x)　 (3)-y(2x-y)2　(4)(m+3)2(m-3)2] 5.已知x2-10x+y2-4y+29=0,求x2y2+2x3y2+x4y2的值. [答案:3600] 　　当堂训练,及时反馈学习效果. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 让学生自己总结在综合运用提公因式法和公式法分解因式时要注意的问题和解题步骤,可由一个或几个学生回答,互相补充,教师总结归纳. ②[讲授效果反思] 在教学过程中,始终关注学生思维品质的培养和锻炼.在解决具体问题时所采用的整体思想、配方法等,都有效促进了学生思维的发展. ③[师生互动反思] 师生共同讨论后形成共识:(1)如果多项式各项有公因式,应先提取公因式,再进一步分解因式;(2)分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止;(3)因式分解的结果必须是几个整式的乘积的形式.我们可以用整式乘法检验因式分解的结果是否正确. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $